BAB 11 anova

Statistika Inferensial----------------------------------------------------------------------------------------------------

BAB XI ANALISIS VARIANSIA. KONSEP DASAR Analisis variansi (analysis of variance/Anova) pertama kali diperkenalkan oleh Fisher pada tahun 1926. Anova ini merupakan perangkat statistika untuk pengujian hipotesis. Tujuan awal analisis variansi adalah untuk memeriksa adanya beda rerata dari tiga kelompok populasi atau lebih. Tiga kelompok populasi tersebut dapat mengacu pada atribut ekonomi, misalnya kelompok ekonomi kuat, menengah dan lemah. Ia juga boleh mengacu kepada regional, misalkan wilayah Jawa Barat, Jawa Timur, dan Jawa Tengah. Kata tiga kelompok populasi atau lebih perlu mendapatkan sedikit perhatian. Ini berarti anova tidak bisa digunakan untuk dua populasi sebagaimana uji beda rerata. Dengan demikian, analisis variansi ini dapat dipandang sebagai pengembangan lanjut atas uji beda rerata yang hanya mensyaratkan dua kelompok subsampel. Dalam penerapannya, analisis variansi mensyaratkan dua hal penting. Pertama, ada variabel faktor dengan 3 atau lebih pengelompokan. Kedua, ada variabel kuantitatif dengan skala interval (misalkan prestasi belajar, tinggi badan, berat badan). Dua syarat tersebut di atas semakin mempertegas perbedaannya dengan uji beda rerata. Perbedaan lain dengan anova adalah uji beda rerata hanya membandingkan dua rerata populasi yang didasarkan pada sampel bebas (independen) yang diambil secara random. Karakteristik kerandoman pada uji beda rerata ini melekat pada percobaan yang berbeda dan terpisah. Sebaliknya, anova mengasumsikan masing-masing populasi pada dasarnya berasal dari satu populasi. Lebih lanjut, data pada masing-masing kelompok yang hendak dikaji anova diambil secara acak. Masing-masing populasi beranggotakan N yang memiliki rerata dan variansi 2. Tiap populasi diambil sebanyak n subsampel. Keacakan pengambilan sampel ini penting untuk mendukung asumsi variansi kelompok bersifat homogen. Oleh karena itu, jika terjadi perbedaan signifikan antara variansi (rerata kuadrat sampel) dalam kelompok dengan antara kelompok maka itu pasti disebabkan oleh adanya beda rerata (lihat ilustrasi gambar 11-1).

Gambar 11-1

======================================== Bab XI: Analisis Variansi 200

Statistika Inferensial---------------------------------------------------------------------------------------------------Analisis variansi yang dikenal dalam statistika berwujud 3 bentuk. Bentuk pertama adalah uji anova satu jalur (one way anova). Uji anova satu jalur memuat hanya ada satu variabel yang diposisikan sebagai faktor. Bentuk kedua adalah uji anova dua jalur (two way anova). Uji anova dua jalur memuat ada dua variabel, satu variabel berposisi sebagai faktor dan satu variabel lagi berskala interval. Bentuk terakhir adalah uji anova tiga jalur (three way anova). uji anova tiga jalur menampilkan tiga variabel, dua variabel sebagai faktor dan satu variabel berskala interval. Buku ini hanya akan membahas dua bentuk yang disebut pertama. B. ANALISIS VARIANSI SATU LAJUR Analisis variansi satu lajur mensyaratkan data tersusun ke dalam tiga atau lebih kolom (atau baris). Dalam hal data tersusun ke dalam format kolom, uji anova dilakukan dengan memeriksa variasi antarkolom tanpa memperhatikan variasi perbedaan baris. Sebaliknya, dalam hal data tersusun ke dalam format baris, Uji anova dilakukan dengan memeriksa variasi antarbaris tanpa memperhatikan variasi perbedaan kolomnya. Guna mengurangi kerancuan, bentuk yang akan dijelaskan mengacu pada format kolom sebagaimana ditampilkan pada tabel 11-1 di bawah ini. Kolom 1, 2, dan seterusnya hingga kolom ke-k diperlakukan berbeda berdasarkan atribut klasifikasi tertentu. Baris 1, 2, dan seterusnya hingga baris ke-n adalah cacah sampel. Sampel ini diperlakukan secara adil, tanpa diskriminasi apapun. Masing-masing kolom memiliki total penjumlahan sehingga dapat diketemukan nilai rerata kolomnya. Dengan berpedoman pada kaidah ini pula, nilai total penjumlahan keseluruhan dapat diperoleh. Selanjutnya, rerata keseluruhan juga dapat dengan mudah diketemukan.Tabel 11-1 Sampel 1 2 n Total Rerata 1 y11 y12 y1n T1 1 2 y21 y22 y2n T2 2 Faktor/Treatment i yi1 yi2 yin Ti i k yk1 yk2 ykn Tk k

T

Analisis variansi bertitik tolak dari variasi. Variansi merupakan perbedaan kuadrat antara semua nilai dengan reratanya. Menilik pada tabel di atas variansi dapat berasal dari perbedaan atas rerata total dan atas rerata kolom. Variansi yang disebut pertama disebut variansi total (SST, sum of square total). Variansi yang terakhir disebut variansi kolom (SSC, sum of square treatment/column). Sebagaimana sudah dijelaskan dalam Buku Statistika Diskriptif, variansi total (SST) diperoleh dengan cara mengkuadratkan perbedaan setiap nilai terhadap rerata totalnya. SST: [Xi ]2 ======================================== Bab XI: Analisis Variansi 201

Statistika Inferensial---------------------------------------------------------------------------------------------------Variansi kolom diperoleh dengan cara mengkuadratkan perbedaan setiap nilai di masing-masing kolom terhadap rerata di tiap kolom. SSC = [Xi k]2 Variansi sisa yang tidak bisa dijelaskan (SSE, sum of square error) merupakan sisa dua variansi yang telah diperoleh sebelumnya. SSE = SST SSC Masing-masing nilai variansi masih harus dikoreksi dengan derajad kebebasan (degree of freedon, DF). Nilai SST dibagi dengan N-1, nilai SSC dikoreksi dengan C-1, dan nilai SSE disesuaikan dengan N-C. Perhitungan dan perlakuan masing-masing variansi disajikan pada tabel 11-2 berikut. Anova ditempuh dengan membandingkan antara variansi kolom dengan variansi yang tidak terjelaskan.Tabel 11-2

Prinsip-prinsip umum uji anova satu jalur dapat dilaksanakan dengan bebarapa langkah berikut. (1). Tetapkan hipotesis awal: Ho = 1 = 2 = 3 = = n Hipotesis nol di atas menyatakan bahwa tidak ada perbedaan yang signifikan antara rerata pada populasi ke-1, populasi ke-2 dan seterusnya hingga populasi ke-n. (2). Tetapkan hipotesis alternatif: Ha = 1 2 3 n


Statistika Inferensial---------------------------------------------------------------------------------------------------Hipotesis alternatif di atas menyatakan bahwa setidaknya ada satu perbedaan yang signifikan antara rerata pada populasi ke-1, populasi ke-2 dan seterusnya hingga populasi ke-n. (3). Hitunglah nilai rerata total ( ) dan nilai rerata kolom di tiap kolom ( k) (4). Hitunglah SST, SSC, dan SSE beserta derajad kebebasannya (5). Hitunglah perhitungan statistikanya yang mencakup MSC (Mean Square Column), MSE (Mean Square Error), dan F (rasio antara MSE dan MSC) (6). Tentukan nilai F-tabel pada posisi [ , k-1, (n-k)] sebagai nilai kritis (7). Bandingkan F-hitung dan F-tabel (8). Ambil simpulan. Sejauh mungkin butir-butir simpulan yang ditarik disesuaikan dengan persoalan yang diajukan mula-mula. Contoh aplikasi managerial anova satu jalur diberikan berikut. Untuk mengetahui apakah ada pengaruh kemasan suatu produk kecantikan terhadap penjualannya, sebuah pabrik alat-alat kecantikan melakukan pengujian dengan membuat 4 macam kemasan, yaitu A, B, C, D. Penjualan selama beberapa bulan (dalam juta rupiah) untuk masingmasing kemasan dicatat. Hasil pencatatan adalah sebagai berikut tabel 11-3. Dengan menggunakan = 5 persen, kesimpulan apakah yang dapat ditarik?Tabel 11-3 Sampel 1 2 3 4 5 6 7 8 A 15 11 10 9 B 8 8 7 9 11 8 C 11 11 8 8 9 10 D 14 11 10 9 11 12 12 10

Mentaati prinsip-prinsip umum uji anova satu jalur, penyelesaian soal di atas diawali dengan penetapan hipotesis. Hipotesis awal dinyatakan sebagai semua kelompok populasi memiliki nilai rerata yang sama. Hipotesis alternatif ditetapkan sebagai paling tidak ada dua kelompok populasi yang memiliki rerata yang tidak sama. Secara simbolik: Ho = A = B = C = D Ha = A B C D ======================================== Bab XI: Analisis Variansi 203

Statistika Inferensial---------------------------------------------------------------------------------------------------Mengikuti prosedur di atas, langkah berikutnya adalah menghitung nilai rerata. Nilai rerata kelompok subpopulasi masing-masing adalah


Statistika Inferensial---------------------------------------------------------------------------------------------------15 + 11 + 10 + 9 A = -------------------= 11.25 4 8 + 8 + 7 + 9 + 11 + 8 B = -------------------------6 11 + 11 + 8 + 8 + 9 + 10 C = -----------------------------6 14 + 11 + 10 + 9 + 11 + 12 + 12 + 10 D = --------------------------------------------8 Nilai rerata total adalah 15 + 11 + 10 + + 10 + 9 + 11 + 12 + 12 + 10 T = ---------------------------------------------------------24 = 10.09 = 8.5

= 9.5

= 11.125

Atas dasar nilai-nilai rerata di atas, perhitungan nilai-nilai variansi sudah dapat dimulai. SSCA = (15-11.25)2 + (11-11.25)2 + (10-11.25)2 + (9-11.25)2 SSCB = (8-8.5)2 + (8-8.5)2 + (7-8.5)2 + (9-8.5)2 + (11-8.5)2 + (8-8.5)2 = = 20.75 9.50 9.50

SSCC = (11-9.5)2 + (11-9.5)2 + (8-9.5)2 + (8-9.5)2 + (9-9.5)2 + (10-9.5)2 =

SSCD = (14-10.125)2 + (11-10.125)2 + (10-10.125)2 + + (10-10.125)2 = 16.88 ----------------+ 56.63 Hasil perhitungan SSC detailnya disajikan pada tabel 11-4 berikut.


Statistika Inferensial---------------------------------------------------------------------------------------------------Tabel 11-4 Sampel A 14.06 0.06 1.56 5.06 B 0.25 0.25 2.25 0.25 6.25 0.25 9.50 C 2.25 2.25 2.25 2.25 0.25 0.25 9.50 D 8.27 0.02 1.27 4.52 0.02 0.77 0.77 1.27 SSC= 16.88 56.63

Jumlah

20.75

SST = (15-10.09)2 + (11-10.09)2 + + (12-10.09)2 + (10-10.09)2 Hasil perhitungan SST detailnya disajikan pada tabel 11-5 berikut.Tabel 11-5 Sampel 1 2 3 4 5 6 7 8 A 24.07 0.82 0.01 1.20 B 4.38 4.38 9.57 1.20 0.82 4.38 C 0.82 0.82 4.38 4.38 1.20 0.01 D 15.26 0.82 0.01 1.20 0.82 3.63 3.63 SST= 0.01 87.84

=

87.84

Selanjutnya, SSE = 87.84 56.63 = 31.21 Sejalan dengan itu, rerata tiap sumber variansi dapat dihitung MSC = 56.63 ------- = 2.83 20 31.21 ------- = 10.40 3

MSE =

Atas dasar informasi di atas, nilai statistika F-rasio dapat dihitung sebesar ======================================== Bab XI: Analisis Variansi 206

Statistika Inferensial---------------------------------------------------------------------------------------------------MSE F-rasio = ------MSC = = 10.40 ------2.83 3.67

Nilai kritis untuk misalkan pada tingkat 5 persen dengan v1= k-1 = 4 1 = 3, dan v2 = n-k = 24 4 = 20 dari tabel F statistik didapatkan sebesar 3.10. Nilai 3.10 ini adalah sebagai ancangan penerimaan atau penolakan Ho (periksa gambar 11-2). Tabel F 0.05 3 ----------------------------------------------1 2 3 20 3.10 n

3.10Gambar 11-2

Hasil cetakan paket program komputer Minitab tabel 11-6 membenarkan hasil perhitungan manual di atas. ======================================== Bab XI: Analisis Variansi 207

Statistika Inferensial---------------------------------------------------------------------------------------------------Tabel 11-6

Dengan membandingkan antara F hitung dan F tabel, simpulan yang dapat ditarik adalah dengan bahwa derajad kepercayaan sebesar 95 persen, hipotesis awal tidak diterima. Sedikitnya ada satu rerata penjualan produk kecantikan yang berbeda dengan yang lainnya. Simpulan yang sama juga dapat ditempuh dengan mencermati nilai P (probabilitas) pada kolom terakhir hasil Minitab di atas. Sejak awal, risiko yang ditetapkan adalah sebesar 5 persen. Nilai P hasil olahan Minitab adalah sebesar 2.9 persen. Nilai 5 persen > 2.9 persen. Ini berarti hipotesis awal tidak diterima. Agar hipotesis awal tetap dapat diterima, risiko kesalahan adalah sebesar 2.9 persen. Dengan lain perkataan, derajad kepercayaan harus diperbesar menjadi 97.1 persen. C. ANALISIS VARIANSI DUA LAJUR Analisis variansi dua jalur merupakan pengembangan atas analisis variansi satu jalur. Apabila analisis variansi satu jalur hanya memperhatikan perbedaan antar kolom, anova dua jalur membandingkan dua atau lebih populasi (kolom) sekaligus membandingkan barisnya (periksa gambar 11-3). Klasifikasi baris pada umumnya disebut sebagai efek blok (randomized block design). Asumsi yang mendasarinya tetap sama, yaitu populasi terdistribusi normal dan sampel diambil secara acak dari masing-masing populasi. Konsekuensi atas asumsi ini adalah variansi untuk semua populasi dianggap sama besar. Hal khusus yang terkandung pada uji anova dua jalur adalah perhatian terhadap variansi antarkolom dan sekaligus variasi antarbaris.



Gambar 11-3

Sebagaimana pada anova satu jalur, variansi total (SST, sum of square total) diperoleh dengan cara mengkuadratkan perbedaan setiap nilai terhadap rerata totalnya. SST: [Xi - ]2 Variansi kolom diperoleh dengan cara mengkuadratkan perbedaan setiap nilai di masing-masing kolom terhadap rerata di tiap kolom. SSC = [Xi - k]2 Variansi baris (SSR, sum of square row) diperoleh dengan cara mengkuadratkan perbedaan setiap nilai di masing-masing baris terhadap rerata di tiap baris. SSR = [Xi - b]2 Variansi sisa yang tidak bisa dijelaskan (SSE, sum of square error) merupakan sisa dua variansi yang telah diperoleh sebelumnya. SSE = SST SSC SSR Masing-masing nilai variansi masih harus dikoreksi dengan derajad kebebasan (degree of freedon, DF). Nilai SST dibagi dengan N-1, nilai SSC dibebani dengan C-1, nilai SSR dijustifikasi dengan R-1, dan nilai SSE disesuaikan dengan N-C. Perhitungan ======================================== Bab XI: Analisis Variansi 209

Statistika Inferensial---------------------------------------------------------------------------------------------------dan perlakuan masing-masing variansi disajikan pada tabel 11-7 berikut. Anova ditempuh dengan membandingkan antara variansi kolom dengan variansi yang tidak terjelaskan.Tabel 11-7

Prinsip-prinsip umum uji anova dua jalur dapat dilaksanakan dengan bebarapa langkah berikut. (1). Tetapkan hipotesis awal: Ho = 1 = 2 = 3 = = n Ho = 1 = 2 = 3 = ... = b Hipotesis nol di atas menyatakan bahwa tidak ada perbedaan yang signifikan antara rerata pada populasi ke-1, populasi ke-2 dan seterusnya hingga populasi ke-n dan juga tidak ada perbedaan yang signifikan antara rerata pada kelompok ke-1, kelompok ke-2 dan seterusnya hingga kelompok ke-n. (2). Tetapkan hipotesis alternatif: Ha = 1 2 3 n Ha = 1 2 3 ... b Hipotesis alternatif di atas menyatakan bahwa setidaknya ada satu perbedaan yang signifikan antara rerata pada populasi ke-1, populasi ke-2 dan seterusnya hingga populasi ke-n dan juga setidaknya ada satu perbedaan yang signifikan antara rerata pada kelompok ke-1, kelompok ke-2 dan seterusnya hingga kelompok ke-n. (3). Hitunglah nilai rerata total ( ), nilai rerata kolom di tiap kolom ( k), dan nilai rerata baris () di tiap baris (4). Hitunglah SST, SSC, SSR, dan SSE beserta derajad kebebasannya ======================================== Bab XI: Analisis Variansi 210

Statistika Inferensial---------------------------------------------------------------------------------------------------(5). Hitunglah perhitungan statistikanya yang mencakup MSC (Mean Square Column), MSR (Mean Square Row), MSE (Mean Square Error), dan F (rasio antara MSE dan MSC) (6). Tentukan nilai F-tabel pada posisi [ , (k-1), (n-b)] sebagai nilai kritis (7). Bandingkan F-hitung dan F-tabel (8). Ambil simpulan. Sejauh mungkin butir-butir simpulan yang ditarik disesuaikan dengan persoalan yang diajukan mula-mula. Contoh aplikasi anova dua arah disajikan berikut. Untuk mengetahui apakah ada pengaruh kemasan (warna dan ukuran kemasan) suatu produk kecantikan terhadap penjualannya, sebuah pabrik alat-alat kecantikan melakukan pengujian dengan membuat kemasan berwarna: merah, kuning, biru, dan hijau dengan ukuran kemasan kecil, sedang, dan besar. Banyaknya produk kecantikan yang terjual selama satu minggu untuk masingmasing kemasan dicatat (terlampir tabel 11-8). Dengan menggunakan = 5 persen, kesimpulan apakah yang dapat ditarik mengenai pengaruh ukuran kemasan? Kesimpulan apa pula yang dapat ditarik mengenai pengaruh warna kemasan?Tabel 11-8 Merah A 6 7 9 Kuning B 5 9 8 Biru C 6 6 10 Hijau D 7 8 12

1. Kecil 2. Sedang 3. Besar

Penyelesaian soal di atas diawali dengan penetapan hipotesis. Hipotesis awal dinyatakan sebagai semua kelompok populasi memiliki rerata yang sama. Hipotesis alternatif ditetapkan sebagai paling tidak ada dua kelompok populasi yang memiliki rerata yang tidak sama. Secara simbolik: Ho = A = B = C = D Ho = 1 = 2 = 3 Ha = A B C D Ha = 1 2 3 Mengikuti prosedur di atas, langkah berikutnya adalah menghitung nilai rerata. Nilai rerata kelompok subpopulasi masing-masing adalah 6+7+9 A = ----------3 = 7.33


Statistika Inferensial---------------------------------------------------------------------------------------------------5+9+8 B = ----------3 6+6+9 C = ----------3 7 + 8 + 12 D = ------------3 Nilai rerata baris masing-masing adalah 1 = 6+5+6+7 ---------------4 7+9+6+8 ---------------4 9 + 8 + 10 + 12 ------------------4 = 6.00 = 7.33

= 7.33

= 9.00

2 =

= 7.50

3 =

= 9.75

Nilai rerata total adalah 6 + 7 + 9 + + 9 + 8 + 10 + 12 T = ---------------------------------------12 = 7.75

Atas dasar nilai-nilai rerata di atas, perhitungan nilai-nilai variansi sudah dapat dimulai. SSC = (7.33-7.75)2 + (7.33-7.75)2 + (7.33-7.75)2 + (9-7.75)2SSC A 0.17 B 0.17 C 0.17 D 1.56 Jumlah 2.08

=

2.80

Hasil di atas kemudian masih harus dikalikan dengan cacah baris SSC = 2.80 3 = 6.25 ======================================== Bab XI: Analisis Variansi 212

Statistika Inferensial---------------------------------------------------------------------------------------------------SSR = (6-7.75)2 + (7.5-7.75)2 + (9.75-7.5)2 = 7.13


Statistika Inferensial---------------------------------------------------------------------------------------------------SSR 1 2 3 Jumlah 3.06 0.06 4.00 7.13

Hasil di atas kemudian masih harus dikalikan dengan cacah kolom SSR = 7.13 4 = 28.50 SST = (6-7.75)2 + (7-7.75)2 + ... + (10-7.75)2 + (12-7.75)2 Hasil perhitungan SST detailnya disajikan pada tabel 11-9 berikut.Tabel 11-9 1 2 3 Jumlah A 3.06 0.56 1.56 5.19 B 7.56 1.56 0.06 9.19 C 3.06 3.06 5.06 11.19 D 0.56 0.06 18.06 18.69 Jumlah

=

44.25

44.25

Selanjutnya, SSE SSE = SST SSC SSR = 44.25 6.25 28.5 = 9.50 Sejalan dengan temuan-temuan di atas, rerata tiap variansi dapat dihitung MSR = 28.50 ------- = 14.25 2 6.25 ------- = 2.08 3 9.50 ------- = 1.58 6

MSC =

MSE =

Atas dasar informasi di atas, nilai statistika F-rasio dapat dihitung sebesar ======================================== Bab XI: Analisis Variansi 214

Statistika Inferensial---------------------------------------------------------------------------------------------------F-rasio(1) = MSC ------MSE 2.08 ------1.58 1.32 MSR ------MSE 14.25 ------1.58 9.00

= = F-rasio(2) =

= =

Nilai kritis (1) untuk misalkan pada tingkat 5 persen dengan v1= k-1 = 4 1 = 3, dan v2 = (b-1) (k-1) = 2 3 = 6 Nilai kritis (2) untuk misalkan 5 persen dengan v1= b-1 = 3 1 = 2, dan v2 = (b-1) (k-1) = 2 3 = 6 dari tabel F statistik didapatkan masing-masing sebesar 4.07 dan 4.26. Nilai-nilai ini adalah sebagai ancangan penerimaan atau penolakan Ho (periksa gambar 11-4).


Statistika Inferensial---------------------------------------------------------------------------------------------------Tabel F 0.05 2 3 ----------------------------------------------1 2 3 6 5.14 4.76 n

4.07Gambar 11-4

4.26

Hasil cetakan paket program komputer Minitab tabel 11-10 membenarkan hasil perhitungan manual di atas.Tabel 11-10

Terkait dengan klasifikasi baris, dengan membandingkan antara F hitung dan F tabel, simpulan yang dapat ditarik adalah dengan bahwa derajad kepercayaan sebesar 95 persen ada pengaruh ukuran terhadap penjualan. Terkait dengan efek kolom (warna kemasan), dengan membandingkan antara F hitung dan F tabel, simpulan yang dapat ditarik adalah dengan bahwa derajad kepercayaan sebesar 95 persen tidak ada pengaruh warna kemasan terhadap penjualan. Simpulan yang sama juga dapat ditempuh dengan mencermati nilai P (probabilitas) pada kolom terakhir hasil Minitab di atas. Sejak awal, risiko yang ======================================== Bab XI: Analisis Variansi 216

Statistika Inferensial---------------------------------------------------------------------------------------------------ditetapkan adalah sebesar 5 persen. Nilai P hasil olahan Minitab adalah masing-masing sebesar 1.6 dan 35.3 persen. Nilai 5 persen > 1.6 persen. Ini berarti hipotesis awal tidak diterima. Agar hipotesis awal tetap dapat diterima, risiko kesalahan adalah sebesar 1.6 persen. Dengan lain perkataan, derajad kepercayaan harus diperbesar menjadi 98.4 persen. Sebaliknya, sehubungan dengan warna nilai 5 persen < 35.3 persen. Ini berarti hipotesis awal diterima. Agar hipotesis awal tidak diterima, risiko kesalahan adalah sebesar 35.3 persen. Dengan lain perkataan, derajad kepercayaan harus diperbesar menjadi 64.7 persen. D. ANALISIS VARIANSI DALAM REGRESI Uji anova juga dapat diterapkan ke dalam analisis regresi. Uji hipotesis yang sudah dipelajari pada Bab IX dan X adalah uji t atas masing-masing koefisien regresi dan dilakukan secara individual. Uji anova, selangkah lebih maju, menawarkan uji hipotesis atas koefisien-koefisien regresi secara serempak hanya dalam satu kali pengujian. Penjelasan di atas secara implisit menegaskan bahwa penerapan anova dalam regresi lebih tepat untuk regresi majemuk, yaitu menguji signifikansi koefisien-koefisien regresi secara bersama-sama. Dalam hal regresi sederhana, dengan koefisien regresi yang dicari hanya satu, penerapan uji anova dirasakan menjadi janggal. Sungguhpun demikian, secara teknis penerapan anova dalam regresi sederhana masih dimungkinkan. Hasil F hitung nantinya akan sama dengan nilai kuadrat atas nilai t hitung. Prosedur umum yang dilakukan dalam uji anova dalam analisis regresi adalah sebagai berikut (1) Uji anova, seperti biasa, dimulai dengan penetapan hipotesis nol Ho: a = b = c = ... = k = 0 (nol), yaitu bahwa semua koefisien regresi tidak berbeda dengan nol Ha: a b c ... k 0 (nol), yaitu bahwa semua koefisien regresi berbeda dengan nol (2) Tentukan risiko kesalahan ( ), sekaligus nilai kritis pada tabel F pada kolom k dan baris (n-k-1). Notasi k adalah cacah koefisien regresi (tanpa konstanta), sementara K adalah cacah semua koefisien regresi (termasuk konstanta) Masing-masing nilai variansi masih harus dikoreksi dengan derajad kebebasan (degree of freedon, DF). Nilai SST dibagi dengan N-1, nilai SSC yang berasal dari regresi dikoreksi dengan k (K-1), dan nilai SSE disesuaikan dengan N-k-1. Perhitungan dan perlakuan masing-masing variansi disajikan pada tabel 11-11 berikut. Anova ditempuh dengan membandingkan antara variansi kolom dengan variansi yang tidak terjelaskan. ======================================== Bab XI: Analisis Variansi 217

(3)



Statistika Inferensial---------------------------------------------------------------------------------------------------Tabel 11-11

(4) (5) (6)

Bandingkan antara hasil langkah (3) dan langkah (2) Sejauh mungkin gambarkan ke dalam gambar distribusi F, sehingga terlihat jelas wilayah penerimaan Ho dan penolakan Ho. Ambil simpulan. Simpulan seyogyanya disusun dalam kalimat yang tegas disesuaikan dengan pokok persoalan yang diajukan.

Contoh penerapan anova ke dalam analisis regresi disampaikan dengan mengacu pada hasil-hasil regresi pada Bab X. Untuk jelasnya, hasil regresi majemuk tabel 10-4 ditampilkan lagi menjadi tabel 11-12.Tabel 11-12Tahun 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 Jumlah Rerata Y 168.70 162.10 176.00 174.20 155.90 167.20 176.20 191.00 196.60 207.90 224.60 211.60 228.40 240.50 240.40 246.60 246.30 3414.20 200.84 156.83 163.93 177.48 177.47 172.43 194.80 195.43 189.09 188.64 201.26 192.94 209.05 221.55 237.16 234.84 244.22 257.07 3414.20 200.84 y -32.14 -38.74 -24.84 -26.64 -44.94 -33.64 -24.64 -9.84 -4.24 7.06 23.76 10.76 27.56 39.66 39.56 45.76 45.46 0

-44.01 -36.90 -23.36 -23.37 -28.40 -6.03 -5.40 -11.74 -12.19 0.42 -7.90 8.22 20.71 36.33 34.00 43.38 56.24 0

y2 1032.68 1500.42 616.79 709.44 2019.18 1131.33 606.90 96.73 17.94 49.91 564.76 115.88 759.81 1573.29 1565.37 2094.41 2067.04 16521.88

21936.53 1361.84 545.54 546.16 806.76 36.41 29.18 137.85 148.61 0.18 62.41 67.55 429.04 1319.61 1156.22 1882.24 3162.68 13628.80

e 11.87 -1.83 -1.48 -3.27 -16.53 -27.60 -19.23 1.91 7.96 6.64 31.66 2.55 6.85 3.34 5.56 2.38 -10.77 0

e2 140.92 3.36 2.19 10.66 273.30 761.84 369.92 3.63 63.28 44.12 1002.64 6.48 46.94 11.14 30.93 5.66 116.06 2893.08


Statistika Inferensial---------------------------------------------------------------------------------------------------Pertanyaan yang pantas diajukan adalah apakah modal sendiri dan modal dari pihak ketiga secara berbarengan mampu meningkatkan profit yang diraup? Penyelesaian: (a) dengan model persamaan regresi Y = a + b.X1 + c.X2 maka Ho: a = b = c Ha: a b c (b) Misalkan disepakati sebesar 5 persen. Tabel F yang sesuai adalah Kolom: 2 (cacah koefisien regresi di luar konstanta, a) Baris: (17 2 1) = 14 Didapatkan angka: 3.74

Tabel F 0.05 2 ----------------------------------------------1 2 3 14 3.74 n

3.74Gambar 11-5

(c)

Berdasarkan tabel 11-12, keterangan yang sudah didapat adalah SST (yaitu y2), SSC (dalam hal ini adalah SSR, sum of square regression, yaitu 2), dan SSE (yaitu e2). Pengujian selengkapnya ditampilkan pada tabel 11-13 berikut. ======================================== Bab XI: Analisis Variansi

220

Statistika Inferensial---------------------------------------------------------------------------------------------------Tabel 11-13 SSR SSE SST DF 2 14 16 SS 13628.8015 2893.0773 16521.8788 MS 6814.4008 206.6484 F 32.9758 P-value 0.000005

(d)

Nilai F hitung pada kenyataannya lebih besar daripada nilai kritis (periksa gambar 11-5). Dengan demikian, simpulan yang dapat diperoleh adalah bahwa modal sendiri dan modal dari pihak lain secara bersama-sama berpengaruh secara signifikan terhadap profit. Simpulan di atas juga dapat langsung disidik dari p-value pada kolom terakhir. Jika p-value besarnya lebih kecil dari risiko kesalahan yang semula ditetapkan (5 persen), maka tanpa melihat tabel F pun, akan jelas bahwa Ho tidak diterima. Hal ini dapat dimaklumi mengingat p-value sesungguhnya menunjukkan besaran untuk menerima Ho. Jadi pada contoh di atas, agar Ho diterima, risiko yang ditetapkan setidaknya harus 0.0005 persen.

Uji anova dan uji t dalam riset yang sesungguhnya diperlakukan bukannya suplemen (substitutif) melainkan komplemen. Artinya keduanya digunakan secara bersama-sama sehingga juga perlu ditampilkan dalam laporan hasil regresi. Kendati demikian, kontroversi sering muncul. Kasus model regresi atas data profit, modal sendiri, dan modal pihak ketiga di atas adalah contoh yang amat baik untuk menunjukkan hal ini. Mengikuti hasil uji t, koefisien modal pihak ketiga tidak signifikan. Sementara, menurut uji anova kedua jenis modal kebetulan mampu memberikan dorongan bagi peningkatan profit. Logikanya, jika secara individu suatu variabel berpengaruh secara signifikan, secara kolektifpun mestinya juga demikian. Hasil uji manakah yang semestinya dipercayai? Menghadapi kasus semacam ini, peneliti harus mampu memberikan penjelasan dengan jitu atas dasar fakta riil yang terjadi di lapangan. Kejelian, logika, dan sentuhan diplomasi memegang peranan kunci dalam menangkal kontroversi ini. Secara teknis matematika statistika, uji F lebih kuat (powerful) daripada uji t sehingga uji anova lebih layak untuk menjadi acuan pengambilan keputusan atas signifikansi koefisien regresi (periksa kembali konsep dasar uji anova pada lembar-lembar pertama di bab ini). Menutup pembahasan mengenai anova ini, ada satu catatan penting yang perlu digarisbawahi. Uji anova, baik satu jalur maupun dua jalur, menawarkan banyak manfaat dalam mengkaji perbedaan variansi antara beberapa subpopulasi dan beberapa subblok. Sungguhpun demikian, kelemahan yang masih tersisa pada anova ini adalah ia belum mampu menjelaskan mengapa perbedaan tersebut terjadi. Jikalau terjadi perbedaan, kelemahan yang kedua adalah anova juga belum mampu memberikan klarifikasi peringkat subpopulasi manakah yang terbesar hingga subpopulasi yang terkecil. Dengan menyadari kelemahan hal ini, penggunaan anova harus dimbangi dengan alat analisis lain, misalnya uji rerata, uji beda nilai dua rerata, dan sejenisnya. Kesemuanya ini seyogyanya ditempuh agar permasalahannya terselesaikan dengan tuntas sesuai dengan sasaran yang dituju, yaitu memuaskan rasa ingin tahu yang tidak pernah padam. Inilah esensi sebuah riset yang sebenarnya. ======================================== Bab XI: Analisis Variansi 221

Statistika Inferensial---------------------------------------------------------------------------------------------------KONSEP-KONSEP PENTING BAB INI Analisis Variansi Satu Jalur Analisis Variansi Dua Jalur Rerata Kolom Rerata Baris Rerata Total Variansi Total Variansi Kolom Variansi Baris Variansi Kesalahan Analisis Variansi dalam Regresi Tabel F SOAL-SOAL LATIHAN1. Data berikut memperlihatkan uang saku mahasiswa per bulan dari tiga perguruan tinggi swasta yang disurvey pada suatu ketika. Mahasiswa Sampel 1 2 3 4 A 80.00 100.00 80.00 120.00 PTS B 120.00 100.00 80.00 100.00 C 100.00 120.00 100.00 100.00

Apakah ada perbedan yang signifikan atas uang saku rerata dari ke tiga PTS tersebut di atas? 2. Enam mahasiswa mengikuti ujian di sebuah ruangan. Tempat duduk ke enam mahasiswa disusun ke dalam denah tertentu dengan hasil/nilai sebagai berikut: 1 2 I 65 70 II 70 65 III 80 75

Pertanyaan: Apakah ke-6 mahasiswa peserta ujian tersebut saling bekerja sama (contek-contekan) atau tidak? Jelaskan jawaban Anda. 3. Mengembangkan soal nomor 1 di atas, jika mahasiswa ditelusur lebih lanjut atas dasar semester ke berapa mereka sedang menempuh studinya, apakah ada perbedan yang signifikan atas uang saku rerata dari ke tiga PTS tersebut di atas? Mahasiswa Semester Sampel 2 4 6 A 80.00 100.00 80.00 PTS B 120.00 100.00 80.00 C 100.00 120.00 100.00


Statistika Inferensial---------------------------------------------------------------------------------------------------8 120.00 100.00 100.00 4. Tiga orang analis pasar modal diwawancarai oleh satu tabloid ekonomi dan bisnis tentang prediksi kenaikan harga saham (dalam persen) yang akan terjadi masingmasing di lima bursa efek. Hasil wawancara disajikan berikut. Sampel 1 2 3 A 3.52 3.39 3.64 Prediksi Harga Saham di 5 Bursa B C D 4.71 3.89 5.21 4.79 3.82 4.93 4.92 4.19 5.10 E 4.14 3.96 4.20

Analis Pasar Modal

Jika Anda juga seorang analis pasar modal, berikan pandangan Anda apakah prediksi kelima analis tersebut pada dasarnya sama? 5. Misalkan Anda adalah seorang manager produksi. Anda membawahi 6 orang operator yang secara berkelanjutan mengerjakan 4 jenis mesin, mulai mesin I , II, hingga mesin keempat. Suatu saat Anda melakukan uji petik dengan mencatat lamanya (detik) masing-masing karyawan melakukan tugasnya di tiap-tiap mesin. Hasilnya sebagai berikut. Mesin I II III IV A 42.50 39.80 40.20 41.30 B 39.30 40.10 40.50 42.20 Operator C D 39.60 39.90 40.50 42.30 41.30 43.40 43.50 44.20 E 42.90 42.50 44.90 45.90 F 43.60 43.10 45.10 42.30

Bagaimanakah evaluasi yang dapat Anda berikan kepada manager puncak (atasan Anda) perihal kinerja karyawan secara umum? 6. Data berikut ini menunjukkan jumlah produksi, tenaga kerja, dan kapital yang ada selama 6 minggu melakukan proses produksi Minggu ke 1 2 3 4 5 6 Tenaga Kerja 5 7 8 10 12 15 Kapital 2 4 6 7 9 10 Produksi 12 16 19 24 30 39

Ujilah apakah tenaga kerja dan modal secara simultan mempengaruhi besaran produksi untuk tiap minggunya. Bandingkan dengan uji t atas koefisien regresi masing-masing, konsistenkah simpulan Anda?


Statistika Inferensial---------------------------------------------------------------------------------------------------7. Hasil pencatatan sampel terhadap daya tahan 3 tipe HP merek X, Y, dan Z yang direndam dalam air (menunjukkan lama waktu HP akan mati (jam)): -----------------------------------------------------------------------sampel 1 2 3 4 5 6 -----------------------------------------------------------------------Tipe X 1000 1100 1100 1200 1100 1000 Tipe Y 1000 1100 1200 1250 1200 1100 Tipe Z 1100 1200 1000 1200 1000 1100 -----------------------------------------------------------------------Bila Anda sebagai seorang manager perusahaan HP tersebut, apakah Anda hendak menjual produk dengan harga yang berbeda-beda?

8. Tabel berikut menunjukkan penilaian tamu hotel yang menginap (dinyatakan dalam orang) yang diberikan kepada 3 orang resepsionis sebuah hotel di Jakarta. No. 1 2 3 4 5 Nilai/Skor/ Rating 5 4 3 2 1 Kategori Sangat Baik Baik Sedang Buruk Sangat Buruk Jumlah Resepsionis I 5 orang 15 orang 25 orang 10 orang 5 orang 60 orang Resepsionis II 5 orang 10 orang 25 orang 5 orang 5 orang 50 orang Resepsionis II 10 orang 15 orang 20 orang 10 orang 10 orang 65 orang

Misalkan Anda sebagai manajer hotel yang bersangkutan, apakah resepsionis kedua adalah yang relatif paling buruk kinerjanya?


BAB 11 anova

Documents