Top Banner
35

Bab 1 Sistem Bilangan riil - · PDF filedan b adalahbilanganbulatdan . ... •Bilangan irrasional adalahbilanganyang bukan rasional, ... Nilai mutlak x ∈R, ditulis dengan

Feb 22, 2018

Download

Documents

lyxuyen
Welcome message from author
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
Page 1: Bab 1 Sistem Bilangan riil -   · PDF filedan b adalahbilanganbulatdan . ... •Bilangan irrasional adalahbilanganyang bukan rasional, ... Nilai mutlak x ∈R, ditulis dengan
Page 2: Bab 1 Sistem Bilangan riil -   · PDF filedan b adalahbilanganbulatdan . ... •Bilangan irrasional adalahbilanganyang bukan rasional, ... Nilai mutlak x ∈R, ditulis dengan

• Himpunan adalah sekumpulan obyek/unsurdengan kriteria/syarat tertentu.

• Unsur-unsur dalam himpunan S disebut anggota(elemen) S. (elemen) S.

• Himpunan yang tidak memiliki anggota disebuthimpunan kosong, ditulis dengan notasi atau { }.

• Jika a merupakan anggota himpunan S, makadituliskan dan dibaca “a elemen S”.

• Jika a bukan anggota himpunan S, maka dituliskan

dan dibaca “a bukan elemen S”.

a S∈

a S∉

Page 3: Bab 1 Sistem Bilangan riil -   · PDF filedan b adalahbilanganbulatdan . ... •Bilangan irrasional adalahbilanganyang bukan rasional, ... Nilai mutlak x ∈R, ditulis dengan

Pada umumnya, sebarang himpunan dapat

dinyatakan dengan 2 cara.

• Dengan mendaftar seluruh anggotanya. Sebagai

contoh, himpunan A yang terdiri atas unsur-unsurcontoh, himpunan A yang terdiri atas unsur-unsur

1,2,3,4,5,6,7,8,9 dapat dinyatakan sebagai:

• Menuliskan syarat keanggotaan yang dimiliki oleh

seluruh anggota suatu himpunan tetapi tidak dimiliki

oleh unsur-unsur yang bukan anggota himpunan

tersebut.

{1,2,3,4,5,6,7,8,9}A =

{ bilangan bulat positif kurangdari 10}A x x=

Page 4: Bab 1 Sistem Bilangan riil -   · PDF filedan b adalahbilanganbulatdan . ... •Bilangan irrasional adalahbilanganyang bukan rasional, ... Nilai mutlak x ∈R, ditulis dengan

• Bilangan asli adalah salah satu sistem bilangan

yang paling sederhana, anggota-anggotanya

adalah: 1, 2, 3, 4, ……

Himpunan bilangan asli diberi lambang N, jadiHimpunan bilangan asli diberi lambang N, jadi

N = {1, 2, 3, 4, …………}

• Bilangan bulat terdiri atas bilangan asli,

negatifnya, dan bilangan nol. Bilangan bulat

diberi lambang Z, jadi

Z = {….,-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,…}

Page 5: Bab 1 Sistem Bilangan riil -   · PDF filedan b adalahbilanganbulatdan . ... •Bilangan irrasional adalahbilanganyang bukan rasional, ... Nilai mutlak x ∈R, ditulis dengan

• Bilangan rasional adalah bilangan yang

dapat dinyatakan sebagai bentuk , di mana a

dan b adalah bilangan bulat dan .

Bilangan Rasional diberi lambang : Q

a

b

0b ≠

Bilangan Rasional diberi lambang : Q

• Contoh

Bilangan asli 6 dapat dinyatakan sebagai:

atau dan sebagainya12

2

30

5

Page 6: Bab 1 Sistem Bilangan riil -   · PDF filedan b adalahbilanganbulatdan . ... •Bilangan irrasional adalahbilanganyang bukan rasional, ... Nilai mutlak x ∈R, ditulis dengan

• Ciri lain dari bilangan rasional adalah adanya

desimal berulang

• Contoh

merupakan bilangan rasional3 merupakan bilangan rasional3

7

Bukti Misal x = 0,753753753753…. 1000 x = 753,753753753… 1000 x – x = 753 999 x = 753

753

999x = (terbukti)

Page 7: Bab 1 Sistem Bilangan riil -   · PDF filedan b adalahbilanganbulatdan . ... •Bilangan irrasional adalahbilanganyang bukan rasional, ... Nilai mutlak x ∈R, ditulis dengan

• Bilangan irrasional adalah bilangan yang bukan

rasional, persisnya adalah bilangan yang tidak dapat

dinyatakan sebagai bentuk a/ b di mana a dan b

adalah bilangan bulat dan b ≠ 0.

ContohContoh

• π = 3,141592653358…….. (desimalnya tidak

beraturan/tidak berulang)

• e = 2,71828281284590….... (desimalnya tidak

beraturan/tidak berulang)

• √2 = 1,4142135623…….. (desimalnya tidak

beraturan/tidak berulang

Page 8: Bab 1 Sistem Bilangan riil -   · PDF filedan b adalahbilanganbulatdan . ... •Bilangan irrasional adalahbilanganyang bukan rasional, ... Nilai mutlak x ∈R, ditulis dengan

• Bilangan riil adalah gabungan dari himpunan

bilangan rasional dan irrasional.

• Himpunan bilangan riil dilambangkan dengan

RR

Page 9: Bab 1 Sistem Bilangan riil -   · PDF filedan b adalahbilanganbulatdan . ... •Bilangan irrasional adalahbilanganyang bukan rasional, ... Nilai mutlak x ∈R, ditulis dengan

R

Q

Z

Bilangan Riil

Bilangan Rasional

Bilangan Bulat

NBilangan

Asli

Page 10: Bab 1 Sistem Bilangan riil -   · PDF filedan b adalahbilanganbulatdan . ... •Bilangan irrasional adalahbilanganyang bukan rasional, ... Nilai mutlak x ∈R, ditulis dengan

• Suatu garis bilangan adalah suatu penyajian

bilangan-bilangan riil secara grafis oleh titik-

titik pada suatu garis lurus

1 = 2,7182e=2 1,4142

− = −2 1,4142 π = 3,14159

− 1100= 2,7182e

Page 11: Bab 1 Sistem Bilangan riil -   · PDF filedan b adalahbilanganbulatdan . ... •Bilangan irrasional adalahbilanganyang bukan rasional, ... Nilai mutlak x ∈R, ditulis dengan

• Interval atau selang adalah suatu himpunan

bagian tidak kosong dari himpunan bilangan

riil R yang memenuhi suatu ketidaksamaan

tertentutertentu

• Jika digambarkan pada garis bilangan (garis

riil), maka interval akan berupa suatu segmen

garis (ruas garis) yang batas – batasnya jelas.

• Ada dua jenis interval, yaitu interval berhingga

dan interval tak berhingga.

Page 12: Bab 1 Sistem Bilangan riil -   · PDF filedan b adalahbilanganbulatdan . ... •Bilangan irrasional adalahbilanganyang bukan rasional, ... Nilai mutlak x ∈R, ditulis dengan

Interval Berhingga : sebelah kiri dan kanan mempunyai batas

No Notasi

Himpunan

Notasi

Interval Grafik

1 { }|x a x b< < ( ),a b

2 { }|x a x b≤ ≤ [ ],a b

3 { }|x a x b≤ < [ ),a b

4 { }|x a x b< ≤ ( ],a b

Page 13: Bab 1 Sistem Bilangan riil -   · PDF filedan b adalahbilanganbulatdan . ... •Bilangan irrasional adalahbilanganyang bukan rasional, ... Nilai mutlak x ∈R, ditulis dengan

Interval Tak Berhingga : salah satu sisi tidak mempunyai batas

No Notasi

Himpunan

Notasi

Interval Grafik

1 { }|x x a> ( ),a +∞

2 { }|x x a≥ [ , )a ∞

3 { }|x x b< ( , )b−∞

4 { }|x x b≤ −∞( , ]b

Page 14: Bab 1 Sistem Bilangan riil -   · PDF filedan b adalahbilanganbulatdan . ... •Bilangan irrasional adalahbilanganyang bukan rasional, ... Nilai mutlak x ∈R, ditulis dengan

1. 2 4x− < ≤

2. − < ≤1,5 4,7x

3. > 2x

4. ≤ −3,5x

5. 2 3 6x atau x≤ − < ≤

Page 15: Bab 1 Sistem Bilangan riil -   · PDF filedan b adalahbilanganbulatdan . ... •Bilangan irrasional adalahbilanganyang bukan rasional, ... Nilai mutlak x ∈R, ditulis dengan

• Peubah (variable) adalah lambang (symbol)

yang digunakan untuk menyatakan sebarang

anggota suatu himpunan.

• Jika himpunannya R maka peubahnya disebut• Jika himpunannya R maka peubahnya disebut

peubah real.

• Pertidaksamaan (inequality) adalah pernyataan

matematis yang memuat satu perubah atau

lebih dan salah satu tanda ketidaksamaan

(<, >, ≤, ≥).

Page 16: Bab 1 Sistem Bilangan riil -   · PDF filedan b adalahbilanganbulatdan . ... •Bilangan irrasional adalahbilanganyang bukan rasional, ... Nilai mutlak x ∈R, ditulis dengan

• Menyelesaikan suatu pertidaksamaan memiliki

arti mencari seluruh bilangan real yang dapat

dicapai oleh peubah-peubah yang ada dalam

pertidaksamaan tersebut sehinggapertidaksamaan tersebut sehingga

pertidaksamaan tersebut menjadi benar.

• Himpunan semua bilangan yang demikian ini

disebut penyelesaian (Himpunan Penyelesaian)

Page 17: Bab 1 Sistem Bilangan riil -   · PDF filedan b adalahbilanganbulatdan . ... •Bilangan irrasional adalahbilanganyang bukan rasional, ... Nilai mutlak x ∈R, ditulis dengan

Tentukan himpunan penyelesaian dari

pertidaksamaan berikut:

A. 4x + 2 < 2x +10 F. -2x + 3 ≤ x – 6 ≤ 3

B. 3x - 2 ≤ 4x + 5B. 3x - 2 ≤ 4x + 5

C. x2 – 7x + 10 < 0 G.

D. 2x2 + x – 15 ≥ 0

E. -1 < 3x – 4 < 8 H.

30

2

x

x

+≥

34

2

x

x

+≥

Page 18: Bab 1 Sistem Bilangan riil -   · PDF filedan b adalahbilanganbulatdan . ... •Bilangan irrasional adalahbilanganyang bukan rasional, ... Nilai mutlak x ∈R, ditulis dengan

A. 4x + 2 < 2x +10

� 4x – 2x < 10 – 2

� 2x < 8

� x < 4

B. 3x - 2 ≤ 4x + 5

� 3x – 4x ≤ 5 + 2

� -x ≤ 7

� x ≥ -7� x < 4

� Hp = { x | x < 4 }

Hp = (-∞, 4)

� x ≥ -7

� Hp = { x | x ≥ -7 }

Hp = [-7, ∞)

Page 19: Bab 1 Sistem Bilangan riil -   · PDF filedan b adalahbilanganbulatdan . ... •Bilangan irrasional adalahbilanganyang bukan rasional, ... Nilai mutlak x ∈R, ditulis dengan

C. x2 – 7x + 10 < 0 ⇔ (x – 2)(x – 5) < 0

• Tentukan pembuat nol ruas kiri

x = 2 atau x = 5

• Gambarkan pada garis bilangan, sehingga• Gambarkan pada garis bilangan, sehingga

terbentuk beberapa selang (yaitu x < 2, 2 <x <

5, dan x > 5)

2 5

Page 20: Bab 1 Sistem Bilangan riil -   · PDF filedan b adalahbilanganbulatdan . ... •Bilangan irrasional adalahbilanganyang bukan rasional, ... Nilai mutlak x ∈R, ditulis dengan

• Tentukan tanda pada masing – masing interval (selang)

dengan cara memberikan nilai dari masing-masing interval

(cukup satu wakil), misal kita ambil : x = 0; x = 3; dan x = 6.

x = 0 � (x – 2)(x – 5) = (-2)(-5) = 10 > 0 (positif)

Maka pada selang x <2 beri tanda (+)Maka pada selang x <2 beri tanda (+)

x = 3 � (x – 2)(x – 5) = (1)(-2) = -2 < 0 (negatif)

Maka pada selang 2 < x < 5 beri tanda (-)

x = 6 � (x – 2)(x – 5) = (4) (1) = 4 > 0 (positif)

Maka apda selang x > 5 beri tanda (+)

Page 21: Bab 1 Sistem Bilangan riil -   · PDF filedan b adalahbilanganbulatdan . ... •Bilangan irrasional adalahbilanganyang bukan rasional, ... Nilai mutlak x ∈R, ditulis dengan

• Sekarang perhatikan tanda pertidaksamaan

yaitu < 0, atau negatif (-)

• Jadi himpunan penyelesaiannya adalah

interval yang bertanda (-) [negatif] yaituinterval yang bertanda (-) [negatif] yaitu

• HP = {x| 2 < x < 5} = (2,5)

Page 22: Bab 1 Sistem Bilangan riil -   · PDF filedan b adalahbilanganbulatdan . ... •Bilangan irrasional adalahbilanganyang bukan rasional, ... Nilai mutlak x ∈R, ditulis dengan

D. 2x2 + x – 15 ≥ 0 ⇔ (2x – 5)(x + 3) ≥ 0

Pembuat nol x = -3 dan x = 5/2

• HP = {x| x ≤≤≤≤ -3 atau x ≥≥≥≥ 5/2}

= (-∞, -3] U [5/2, ∞)

Page 23: Bab 1 Sistem Bilangan riil -   · PDF filedan b adalahbilanganbulatdan . ... •Bilangan irrasional adalahbilanganyang bukan rasional, ... Nilai mutlak x ∈R, ditulis dengan

E. -1 < 3x – 4 < 8

� -1 + 4 < 3x < 8 + 4

� 3 < 3x < 12

� 1 < x < 4

F. -2x + 3 ≤ x – 6 ≤ 3

(1) - 2x + 3 ≤ x – 6

� - 2x – x ≤ - 6 – 3

� -3x ≤ -9� 1 < x < 4

� Hp = {x | 1 < x < 4}

= (1,4)

� -3x ≤ -9

� -x ≤ -3

� x ≥ 3

� Hp1 = {x | x ≥ 3}

= [3, ∞) 1 4

Page 24: Bab 1 Sistem Bilangan riil -   · PDF filedan b adalahbilanganbulatdan . ... •Bilangan irrasional adalahbilanganyang bukan rasional, ... Nilai mutlak x ∈R, ditulis dengan

(2) x – 6 ≤ 3

� x ≤ 3 + 6

� x ≤ 9

Hp2 = {x | x ≤ 9}

Hp = Hp1 Hp2∩

-3

9Hp2 = {x | x ≤ 9}

= (-∞, 9] Hp = { x |-3 ≤ x ≤ 9}

9

9

-3 9

Page 25: Bab 1 Sistem Bilangan riil -   · PDF filedan b adalahbilanganbulatdan . ... •Bilangan irrasional adalahbilanganyang bukan rasional, ... Nilai mutlak x ∈R, ditulis dengan

G. Penyelesaian

– Tentukan pembuat nol dari pembilang dan penyebut

ruas-ruas kiri

– Uji tanda pada setiap selang

• Pembuat nol pembilang : x = - 3

02

3≥≥≥≥

−−−−

++++

x

x

• Pembuat nol pembilang : x = - 3

• Pembuat nol penyebut : x = 2

• HP = {x| x ≤≤≤≤ 3 atau x > 2} = (-∞∞∞∞,3] U (2,∞∞∞∞)-3

(+) (-) (+)

2

Page 26: Bab 1 Sistem Bilangan riil -   · PDF filedan b adalahbilanganbulatdan . ... •Bilangan irrasional adalahbilanganyang bukan rasional, ... Nilai mutlak x ∈R, ditulis dengan

H. Penyelesaian

• Ruas kanan dijadikan nol

34

2

x

x

+≥

3 34 4 0

2 2

x x

x x

+ +≥ ⇔ − ≥

− −2 2x x− −

( )4 230

2 2

xx

x x

−+⇔ − ≥

− −

+ − +⇔ ≥

−3 4 8

02

x x

x

− +⇔ ≥

3 1 10

2

x

x

Page 27: Bab 1 Sistem Bilangan riil -   · PDF filedan b adalahbilanganbulatdan . ... •Bilangan irrasional adalahbilanganyang bukan rasional, ... Nilai mutlak x ∈R, ditulis dengan

• Tentukan pembuat nol dari pembilang dan

penyebut ruas ruas kiri

• Pembuat nol pembilang : x = 11/3

• Pembuat nol penyebut : x = 2

• Uji tanda pada setiap selang

• HP: {x|2 < x ≤≤≤≤ 11/3} = (2, 11/3]

Page 28: Bab 1 Sistem Bilangan riil -   · PDF filedan b adalahbilanganbulatdan . ... •Bilangan irrasional adalahbilanganyang bukan rasional, ... Nilai mutlak x ∈R, ditulis dengan

Definisi

Nilai mutlak R∈x , ditulis dengan notasi x , didefinisikan sebagai:

2xx = .

Definisi di atas dapat pula dinyatakan sebagai: Definisi di atas dapat pula dinyatakan sebagai:

<−

=

0,

0,

xx

xx

x

Sebagai contoh, 8)8(8 =−−=− , 2

5

2

5= , 33 = , dst

Page 29: Bab 1 Sistem Bilangan riil -   · PDF filedan b adalahbilanganbulatdan . ... •Bilangan irrasional adalahbilanganyang bukan rasional, ... Nilai mutlak x ∈R, ditulis dengan

Jika Ryx ∈, maka:

a. 0≥x 00 =⇔= xx

b. . .x y x y= 0, ≠= yasalxx

b. . .x y x y= 0, ≠= yasaly

x

y

x

c. , 0x a a x a a< ⇔ − < < ≥ dan atau x a x a x a> ⇔ > < −

d. 2 2x y x y≤ ⇔ ≤

Page 30: Bab 1 Sistem Bilangan riil -   · PDF filedan b adalahbilanganbulatdan . ... •Bilangan irrasional adalahbilanganyang bukan rasional, ... Nilai mutlak x ∈R, ditulis dengan

• Untuk menyelesaikan pertidaksamaan mutlak

dapat dilakukan dengan:

• Menggunkan sifat nilai mutlak mutlak bagian c

a. , 0x a a x a a< ⇔ − < < ≥a.

b.

• Menggunakan sifat nilai mutlak bagian d2 2x y x y≤ ⇔ ≤

, 0x a a x a a< ⇔ − < < ≥

atau x a x a x a> ⇔ > < −

Page 31: Bab 1 Sistem Bilangan riil -   · PDF filedan b adalahbilanganbulatdan . ... •Bilangan irrasional adalahbilanganyang bukan rasional, ... Nilai mutlak x ∈R, ditulis dengan

1. | 2x – 3 | < 4 ⇔ -4 < 2x – 3 < 4

⇔ -4 + 3 < 2x < 4 + 3

⇔ -1 < 2x < 7

⇔ -1/2 < x < 7/2⇔ -1/2 < x < 7/2

• HP = { x / -1/2 < x < 7/2 }

= ( - 1/2 , 7/2 )

-1/2 7/2

Page 32: Bab 1 Sistem Bilangan riil -   · PDF filedan b adalahbilanganbulatdan . ... •Bilangan irrasional adalahbilanganyang bukan rasional, ... Nilai mutlak x ∈R, ditulis dengan

2. | 5x + 1 | ≥ 9 ⇔ 5x + 1 ≤ -9 atau 5x + 1 ≥ 9

5x ≤ -10 atau 5x ≥ 8

x ≤ -2 atau x ≥ 8/5

• HP = { x / x ≤ -2 atau x ≥ 8/5 } • HP = { x / x ≤ -2 atau x ≥ 8/5 }

= (- ∞, -2]U[ 8/5, ∞)

Page 33: Bab 1 Sistem Bilangan riil -   · PDF filedan b adalahbilanganbulatdan . ... •Bilangan irrasional adalahbilanganyang bukan rasional, ... Nilai mutlak x ∈R, ditulis dengan

3. |2x – 1| > |x + 4|

� (2x – 1)2 > (x + 4)2

� 4x2 – 4x + 1 > x2 + 8x + 16

� (4x2 – x2) + (-4x – 8x) + (1 – 16) > 0� (4x2 – x2) + (-4x – 8x) + (1 – 16) > 0

� 3x2 – 12x – 15 > 0

�(3x + 3)(x – 5 )> 0

� Hp = {x | x < -1 U x > 5}

= (- ∞, -1) U (5, ∞)

-1

(+)

5

(-)(+)

Page 34: Bab 1 Sistem Bilangan riil -   · PDF filedan b adalahbilanganbulatdan . ... •Bilangan irrasional adalahbilanganyang bukan rasional, ... Nilai mutlak x ∈R, ditulis dengan

Cara lain: a2 – b2 = (a + b)(a – b)

�(2x – 1)2 > (x + 4)2

� (2x – 1)2 - (x + 4)2 > 0

� ((2x – 1)+(x + 4)) ((2x – 1)-(x + 4)) > 0 � ((2x – 1)+(x + 4)) ((2x – 1)-(x + 4)) > 0

� (3x + 3)(x – 5 )> 0

�Hp = {x | x < -1 U x > 5}

= (- ∞, -1) U (5, ∞)

-1

(+)

5

(-)(+)

Page 35: Bab 1 Sistem Bilangan riil -   · PDF filedan b adalahbilanganbulatdan . ... •Bilangan irrasional adalahbilanganyang bukan rasional, ... Nilai mutlak x ∈R, ditulis dengan

• Tentukan himpunan penyelesaian dari

pertidaksamaan berikut

1. 6.

2. 7.

− < − ≤2 2 4 6x

2 1 5 3x− < − ≤

2 2 3 0x x− − ≤2

3 4 0x x+ − ≥2. 7.

3. 8.

4. 9.

5. 10.

2 1 5 3x− < − ≤

2 10

2

x

x

−>

2 4 6 7 3 6x x x− ≤ − ≤ +

2 13

2

x

x

−≤

23 4 0x x+ − ≥

2 5 3x + ≤2

5 13

x+ ≥

2 3 6x x− > +