Top Banner
APLIKASI TURUNAN
43

APLIKASI TURUNANagus_kurniawan.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/...Pembahasan : •Garis singgung dan garis normal •Panjang garis singgung dan garis normal •Panjang sub normal

Feb 10, 2020

Download

Documents

dariahiddleston
Welcome message from author
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
Page 1: APLIKASI TURUNANagus_kurniawan.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/...Pembahasan : •Garis singgung dan garis normal •Panjang garis singgung dan garis normal •Panjang sub normal

APLIKASI TURUNAN

Page 2: APLIKASI TURUNANagus_kurniawan.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/...Pembahasan : •Garis singgung dan garis normal •Panjang garis singgung dan garis normal •Panjang sub normal

Pembahasan :

• Garis singgung dan garis normal• Panjang garis singgung dan garis normal• Panjang sub normal dan sub tangen• Sudut perpotongan antara dua kurva• Maksima dan minima• Kelengkungan• Kecepatan dan percepatan• Bentuk tak tentu dan aturan L’Hospital pada limit

Page 3: APLIKASI TURUNANagus_kurniawan.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/...Pembahasan : •Garis singgung dan garis normal •Panjang garis singgung dan garis normal •Panjang sub normal

Garis Singgung dan Garis Normal

Page 4: APLIKASI TURUNANagus_kurniawan.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/...Pembahasan : •Garis singgung dan garis normal •Panjang garis singgung dan garis normal •Panjang sub normal

Garis Singgung dan Garis Normal

Page 5: APLIKASI TURUNANagus_kurniawan.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/...Pembahasan : •Garis singgung dan garis normal •Panjang garis singgung dan garis normal •Panjang sub normal

Contoh 1:

42.42.3)6,2('43' 22 yxxy

24 xy

)2(46 xy

2

1

4

16)2(

4

16 xyxy

.2

13

4

1 xy

Jawab :

Sehingga persamaan garis singgung di titik (2,6) :

Persamaan garis normal dititik (2,6) :

Tentukan persamaan garis singgung dan garis normal fungsi di (2,6)?62 23 xxy

Page 6: APLIKASI TURUNANagus_kurniawan.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/...Pembahasan : •Garis singgung dan garis normal •Panjang garis singgung dan garis normal •Panjang sub normal

Contoh 2:

Tentukan persamaan garis singgung dan garis normal di titik (1,6) padakurva : y = 3x2 – 2x + 5 ?

Page 7: APLIKASI TURUNANagus_kurniawan.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/...Pembahasan : •Garis singgung dan garis normal •Panjang garis singgung dan garis normal •Panjang sub normal

Contoh 3:

• Jika diketahui persamaan parameter 𝑥 =𝑡

1−𝑡dan y= 3𝑡2, tentukan persamaan garis singgung, garis

normal dan titik singgung pada t = 2?

Jawab:

• Titik singgung untuk t = 2 adalah (-2,12)

•𝑑𝑥

𝑑𝑡=

𝑡

1−𝑡=

1

(1−𝑡)2

•𝑑𝑦

𝑑𝑡= 3𝑡2 = 6𝑡

• ൗ𝑑𝑦

𝑑𝑡

𝑑𝑥

𝑑𝑡= 𝑑𝑦

𝑑𝑥= ൗ6𝑡

1

(1−𝑡)2= 6𝑡(1 − 𝑡)2

• m1 = 𝑑𝑦

𝑑𝑥= 6𝑡(1 − 𝑡)2= 6(2)(1 − 2)2 = 12 m2 = −

1

12

Page 8: APLIKASI TURUNANagus_kurniawan.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/...Pembahasan : •Garis singgung dan garis normal •Panjang garis singgung dan garis normal •Panjang sub normal

Contoh 4:

• Tentukan persamaan garis singgung kurva x2– 2xy + y2– x + 3y + 2 = 0 di titik (0,-2)?

Jawab:

• (2x – 2y – 1) + (-2x + 2y + 3)y’ = 0

• y’ = 3

• Jadi persamaan garis singgung : y + 2 = 3(x-0) atau y = 3x – 2

Page 9: APLIKASI TURUNANagus_kurniawan.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/...Pembahasan : •Garis singgung dan garis normal •Panjang garis singgung dan garis normal •Panjang sub normal

Contoh 5:

Page 10: APLIKASI TURUNANagus_kurniawan.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/...Pembahasan : •Garis singgung dan garis normal •Panjang garis singgung dan garis normal •Panjang sub normal

Contoh 5:

22 2')2( xyyyxyx xyx

xyyy

2

2

2

2'

Di titik (1,3)

35

15

13.1.2

9.1.23|' )3,1(

y

Persamaan garis singgung

33)1(33 xxy

63 yx

Persamaan garis normal

3

1

3

1)1(

3

13 xxy

83 yx

Di titik (1,-2)

25

10

1)2.(1.2

4.1.22|' )2,1(

y

Persamaan garis singgung22)1(22 xxy

42 yx

Persamaan garis normal

2

1

2

1)1(

2

12 xxy

32 yx

Page 11: APLIKASI TURUNANagus_kurniawan.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/...Pembahasan : •Garis singgung dan garis normal •Panjang garis singgung dan garis normal •Panjang sub normal

Soal :

1. Tentukan persamaan garis singgung dan garis normal dari kurva :

a) y =1

2x2 + 1 di titik (1,

1

2)

b) x2 − xy2 + 3y2 = 13 di titik P(2,3)

2. Tentukan persamaan garis singgung dan garis normal dari fungsi parameter :

a) ቊx = 4t − 3y = t2

, di t = 2

b) ൞x =

t2

t+1

y =t−1

t+1

, di t = 1

Page 12: APLIKASI TURUNANagus_kurniawan.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/...Pembahasan : •Garis singgung dan garis normal •Panjang garis singgung dan garis normal •Panjang sub normal
Page 13: APLIKASI TURUNANagus_kurniawan.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/...Pembahasan : •Garis singgung dan garis normal •Panjang garis singgung dan garis normal •Panjang sub normal

Contoh 6:

Page 14: APLIKASI TURUNANagus_kurniawan.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/...Pembahasan : •Garis singgung dan garis normal •Panjang garis singgung dan garis normal •Panjang sub normal
Page 15: APLIKASI TURUNANagus_kurniawan.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/...Pembahasan : •Garis singgung dan garis normal •Panjang garis singgung dan garis normal •Panjang sub normal

Soal :

• Tentukan persamaan bidang singgung dan persamaan garis normal yang melalui T :

a) Persamaan 𝑧 = 𝑥3 − 2𝑥𝑦 + 𝑦2 dan titik T (1, -1, 4) terletak pada permukaan tersebut.

b) Persamaan 𝑧 =𝑥

𝑦2−

𝑦

𝑥2dan titik T (1, – 1, 2) terletak pada

permukaan tersebut.

Page 16: APLIKASI TURUNANagus_kurniawan.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/...Pembahasan : •Garis singgung dan garis normal •Panjang garis singgung dan garis normal •Panjang sub normal

Panjang Garis Singgung, Garis Normal, Sub Normal Dan Panjang Sub Tangen

• Panjang Subtangen

QR = 𝒚𝟎

𝒎

• Panjang Subnormal

RS = 𝒚𝟎.𝒎

• Panjang Garis Singgunng (Tangen)

PQ = 𝑸𝑹𝟐 + 𝑹𝑷𝟐

• Tangen Garis Normal

QS = 𝑹𝑺𝟐 + 𝑹𝑷𝟐

• Gradien

𝒎 = 𝒕𝒈𝜽 =𝑷𝑹

𝑸𝑹

Page 17: APLIKASI TURUNANagus_kurniawan.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/...Pembahasan : •Garis singgung dan garis normal •Panjang garis singgung dan garis normal •Panjang sub normal

Contoh 7:

Tentukan panjang sub tangen ; panjang subnormal; panjang garis normal danpanjang garis normal dari xy + 2x – y = 5 pada titik (2 , 1)?

Jawab:

• xy + 2x – y = 5 (y +2) + (x – 1) y’ = 0 y’ = −𝑦+2

𝑥−1= -3

• Panjang subtangen = 𝒚𝟎

𝒎= −

𝟏

𝟑= −

𝟏

𝟑

• Panjang subtangen = 𝒚𝟎.𝒎 = 1 (−3) = −3

• Panjang garis singgung = −1

3

2+ 12 =

10

9

• Panjang garis normal = −3 2 + 12 = 10

Page 18: APLIKASI TURUNANagus_kurniawan.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/...Pembahasan : •Garis singgung dan garis normal •Panjang garis singgung dan garis normal •Panjang sub normal

Soal :

Tentukan panjang sub tangen ; panjang subnormal; panjang garis normal dan panjang garis normal dari :

a. x2 + y2 – 4x - 21 = 0 pada titik (5 , 4)

b. xy2 = 18 pada titik (2,3)

Page 19: APLIKASI TURUNANagus_kurniawan.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/...Pembahasan : •Garis singgung dan garis normal •Panjang garis singgung dan garis normal •Panjang sub normal

Maksima dan Minima

Page 20: APLIKASI TURUNANagus_kurniawan.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/...Pembahasan : •Garis singgung dan garis normal •Panjang garis singgung dan garis normal •Panjang sub normal

Contoh:

Tentukan nilai stasioner serta macamnya untuk fungsi f(x) = -x2 + 4x +10

Jawab:

f‘(x) = -2x + 4

Nilai stasioner jika f’(x) = 0

-2x + 4 = 0

x = 2

f < 2 = naik

f > 2 = turun

Page 21: APLIKASI TURUNANagus_kurniawan.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/...Pembahasan : •Garis singgung dan garis normal •Panjang garis singgung dan garis normal •Panjang sub normal

Contoh:

Page 22: APLIKASI TURUNANagus_kurniawan.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/...Pembahasan : •Garis singgung dan garis normal •Panjang garis singgung dan garis normal •Panjang sub normal

Contoh:

Page 23: APLIKASI TURUNANagus_kurniawan.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/...Pembahasan : •Garis singgung dan garis normal •Panjang garis singgung dan garis normal •Panjang sub normal

Contoh:

Page 24: APLIKASI TURUNANagus_kurniawan.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/...Pembahasan : •Garis singgung dan garis normal •Panjang garis singgung dan garis normal •Panjang sub normal

Contoh:

Page 25: APLIKASI TURUNANagus_kurniawan.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/...Pembahasan : •Garis singgung dan garis normal •Panjang garis singgung dan garis normal •Panjang sub normal

Nilai Maksimum dan Minimum dari Turunan Kedua

Pada fungsi y = f(x)

• yII > 0 maka kurva cekung ke atas (titik ekstrim = minimum)

• yII < 0 maka kurva cekung ke bawah (titik ekstrim = maksimum)

Page 26: APLIKASI TURUNANagus_kurniawan.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/...Pembahasan : •Garis singgung dan garis normal •Panjang garis singgung dan garis normal •Panjang sub normal

Contoh:

• Tentukan titik ekstrim fungsi berikut:

• y = -x2 + 6x -2

• y = x2 – 4x + 8

Page 27: APLIKASI TURUNANagus_kurniawan.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/...Pembahasan : •Garis singgung dan garis normal •Panjang garis singgung dan garis normal •Panjang sub normal

Contoh:

Page 28: APLIKASI TURUNANagus_kurniawan.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/...Pembahasan : •Garis singgung dan garis normal •Panjang garis singgung dan garis normal •Panjang sub normal
Page 29: APLIKASI TURUNANagus_kurniawan.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/...Pembahasan : •Garis singgung dan garis normal •Panjang garis singgung dan garis normal •Panjang sub normal

Titik Balik / Titik Belok

Cekung bawah

Cekung atas

Monoto naik

Monoto turun

Syarat titik belok :y‘’ = 0

Misal f(x) kontinu di x = b. Maka (b,f(b)) disebut titik belok dari kurva f(x) jika :• terjadi perubahan kecekungan di x = b, yaitu di sebelah kiri

dari x =b, fungsi f cekung ke atas dan di sebelah kanan dari x =b fungsi f cekung ke bawah atau sebaliknya

• x = b adalah absis titik belok, jika atau tidak ada.

f b"( ) 0 )(" bf

Page 30: APLIKASI TURUNANagus_kurniawan.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/...Pembahasan : •Garis singgung dan garis normal •Panjang garis singgung dan garis normal •Panjang sub normal

c

f(c)

(c,f(c)) titik belok

c

f(c)

(c,f(c)) titik belok

Karena disebelah kiri c cekungkeatas dan disebelah kanan c cekung kebawah

Karena disebelah kiri c cekungkebawah dan disebelah kanan c cekung keatas

Page 31: APLIKASI TURUNANagus_kurniawan.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/...Pembahasan : •Garis singgung dan garis normal •Panjang garis singgung dan garis normal •Panjang sub normal

c

f(c)

(c,f(c)) bukan titik belokKarena disekitar c tidakTerjadi perubahan kecekungan

c

Walaupun di sekitar cTerjadi perubahan Kecekungan tapi tidak adaTitik belok karena f tidak terdefinisi di c

Page 32: APLIKASI TURUNANagus_kurniawan.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/...Pembahasan : •Garis singgung dan garis normal •Panjang garis singgung dan garis normal •Panjang sub normal

Contoh:

12)(.1 3 xxf

4)(.2 xxf

Tentukan titik belok (jika ada) dari

26)(' xxf xxf 12)('',

●0

+++++++-------------

Di x = 0 terjadi perubahan kecekungan, dan f(0)= -1 maka (0,-1)merupakan titik belok

212)('' xxf

●0

++++++++++++++

Tidak ada titik belok, karena tidak terjadi perubahankecekungan

f”(x)

x

0

f”(x)

x

0

Page 33: APLIKASI TURUNANagus_kurniawan.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/...Pembahasan : •Garis singgung dan garis normal •Panjang garis singgung dan garis normal •Panjang sub normal

2

42)(.3

2

x

xxxf

3)2(

8)(''

xxf

●2

+++++--------------

Walaupun di x = 2, terjadi perubahan kecekungan, tidak adatitik belok karena fungsi f(x) tidak terdefinisi di x = 2

f”(x)

x

Tidak ada

Page 34: APLIKASI TURUNANagus_kurniawan.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/...Pembahasan : •Garis singgung dan garis normal •Panjang garis singgung dan garis normal •Panjang sub normal

Contoh:

Tentukan titik ekstrim dan titik belok fungsi y = 1/3x3 – 3x2 + 8x -3 ?

Jawab:

y‘ = x2 – 6x + 8 (x – 2)(x – 4) = 0 x1 = 2, x2 = 4

• Untuk x = 2y = 1/3(2)3 – 3(2)2 + 8(2) -3 = 3,67 (2, 3.67)

y’’ = 2x – 6 y = 2(2) – 6 y = -2 (y’’<0 = titik maksimum)

• Untuk x = 4y = 1/3(4)3 – 3(4)2 + 8(4) -3 = 2,33 (4, 2.33)

y’’ = 2x – 6 y = 2(4) – 6 y = 2 (y’’> 0 = titik minimum)

Page 35: APLIKASI TURUNANagus_kurniawan.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/...Pembahasan : •Garis singgung dan garis normal •Panjang garis singgung dan garis normal •Panjang sub normal

Titik belok :

• y’’ = 2x – 6 y’’ = 0

• 2x – 6 = 0 x = 3

• y = 1/3(3)3 – 3(3)2 + 8(3) -3 = 3 titik balik (3,3)

Page 36: APLIKASI TURUNANagus_kurniawan.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/...Pembahasan : •Garis singgung dan garis normal •Panjang garis singgung dan garis normal •Panjang sub normal

Soal:

• Tentukan titik ekstrim dan titik belok fungsi kubik :a. y = -3x3 + 15x2 – 48x

b. y = x3 + 27x2

Page 37: APLIKASI TURUNANagus_kurniawan.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/...Pembahasan : •Garis singgung dan garis normal •Panjang garis singgung dan garis normal •Panjang sub normal

Kecepatan dan Percepatan

Page 38: APLIKASI TURUNANagus_kurniawan.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/...Pembahasan : •Garis singgung dan garis normal •Panjang garis singgung dan garis normal •Panjang sub normal

Contoh:

Page 39: APLIKASI TURUNANagus_kurniawan.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/...Pembahasan : •Garis singgung dan garis normal •Panjang garis singgung dan garis normal •Panjang sub normal

Contoh:

Posisi partikel ditunjukkan oleh pers. s=f(t)=t3-6t2+9t (t dlm detik dan s dlm meter).a. Cari kecepatan pada waktu tb. Cari kecepatan setelah 2 detikc. Kapan partikel berhentid. kapan partikel bergerak maju ?

Page 40: APLIKASI TURUNANagus_kurniawan.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/...Pembahasan : •Garis singgung dan garis normal •Panjang garis singgung dan garis normal •Panjang sub normal

• Jawab:

Page 41: APLIKASI TURUNANagus_kurniawan.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/...Pembahasan : •Garis singgung dan garis normal •Panjang garis singgung dan garis normal •Panjang sub normal

L’Hospital pada Limit

Page 42: APLIKASI TURUNANagus_kurniawan.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/...Pembahasan : •Garis singgung dan garis normal •Panjang garis singgung dan garis normal •Panjang sub normal

Contoh:

• Tentukan nilai limit dari lim𝑥→2

=𝑥2−4

𝑥−2...

Jawab:

Page 43: APLIKASI TURUNANagus_kurniawan.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/...Pembahasan : •Garis singgung dan garis normal •Panjang garis singgung dan garis normal •Panjang sub normal

Contoh:

• Tentukan nilai limit dari lim𝑥→1

=ln 𝑥

𝑥−1...

• Jawab: