APLIKASI TRANSFORMASI LAPLACE PADA SISTEM ...digilib.unila.ac.id/58220/3/SKRIPSI TANPA BAB PEMBAHASAN.pdffisika, kimia, dan biologi. Salah satu permasalahan yang dapat diselesaikan

0

APLIKASI TRANSFORMASI LAPLACE PADA

SISTEM GERAK PEGAS TEREDAM

(Skripsi)

Oleh

ANGGUN PARAMITA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS LAMPUNG

BANDAR LAMPUNG

2019

ABSTRACT

LAPLACE TRANSFORMATION APPLICATION OF DAMPED SPRING

MOTION SYSTEM

By

Anggun Paramita

Laplace transformation is a method that can be applied to various fields, for

example the application of Laplace Transformation in a damped spring motion

system. In this application a modeling of the spring motion system that is in the

form of ordinary order equations is formed. In this paper, a solution is discussed

for several cases in applying the Laplace Transformation method to a damped

spring motion system. The resulting solution can be seen in the form of a curve so

that the differences in each case can be seen more clearly.

Keywords:differential equation, Laplace Transformation, damped spring motion

system.

ABSTRAK

APLIKASI TRANSFORMASI LAPLACE PADA SISTEM GERAK PEGAS

TEREDAM

Oleh

Anggun Paramita

Transformasi Laplace merupakan sebuah metode yang dapat di terapkan pada

berbagai bidang, misalnya aplikasi Transformasi Laplace pada sistem gerak pegas

teredam. Pada penerapan tersebut akan terbentuk pemodelan dari sistem gerak

pegasnya yang berbentuk persamaan diferensial biasa orde 2 . Dalam skripsi ini

dibahas solusi untuk beberapa kasus penerapan metode Transformasi Laplace

pada sistem gerak pegas teredam. Solusi yang dihasilkan dapat dilihat dalam

bentuk kurva sehingga perbedaan pada setiap kasus dapat terlihat lebih jelas.

Kata kunci:persamaan diferensial orde dua, Transformasi Laplace, sistem gerak

pegas

0

APLIKASI TRANSFORMASI LAPLACE PADA

SISTEM GERAK PEGAS TEREDAM

Oleh

ANGGUN PARAMITA

Skripsi

Sebagai Salah Satu Syarat untuk Mencapai Gelar

SARJANA SAINS

Pada

Jurusan Matematika

Fakultas Matematika Dan Ilmu Pengetahuan Alam

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS LAMPUNG

BANDAR LAMPUNG

2019

RIWAYAT HIDUP

Penulis bernama lengkap Anggun Paramita, anak keempat dari empat bersaudara

yang dilahirkan di Padang Cermin pada tanggal 13 Juni 1997 oleh pasangan

Bapak Suprapto dan Ibu Sri Bunga. Penulis memiliki dua orang kakak perempuan

dan 1 kakak laki-laki bernama Weni Metaria, Vivian Agustina, dan Yulian

Nursasongko.

Penulis menyelesaikan pendidikan taman kanak-kanak di TK Aisyah di Desa

Wates Kecamatan Padang Cermin pada tahun 2003. Pendidikan sekolah dasar di

SD Negeri 2 Wates Kecamatan Padang Cermin pada tahun 2009. Pendidikan

sekolah menengah pertama di SMP AL- Kautsar Bandar Lampung pada tahun

2012. Pendidikan sekolah menengah atas di SMA YP UNILA Bandar Lampung

pada tahun 2015.

Penulis melanjutkan pendidikan di perguruan tinggi dan terdaftar sebagai

mahasiswi S1 Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan

Alam Universitas Lampung pada tahun 2015 melalui jalur SNMPTN. Pada

periode 2015/2016 penulis terdaftar sebagai anggota GEMATIKA Himpunan

Mahasiswa Matematika FMIPA Unila. Penulis pernah menjadi anggota bidang

Eksternal Himpunan Mahasiswa Matematika Tahun 2016.

Sebagai bentuk penerapan ilmu perkuliahan, penulis telah melaksanakan Kerja

Praktik (KP) selama 40 hari di Perum BPS Provinsi Lampung pada tahun 2018.

Dan pada tahun yang sama, sebagai bentuk pengabdian kepada masyarakat,

penulis telah melaksanakan Kuliah Kerja Nyata (KKN) selama 32 hari di Desa

Nyampir, Kecamatan Bumi Agung, Kabupaten Lampung Timur.

Kata Inspirasi

“With every difficulty there is relief” (Quran 94:5)

“But perhaps you hate a thing and it is good for you and perhaps you love a thing and it is bad for you and Allah knows while you know not”

(Quran 2:216)

“Indeed, Allah will not change the condition of a people until they change what is in themselves”

(Quran 13:11)

“The best of people are those that bring most benefit to the rest of mankind”

(H.R. Thabrani)

“If Allah wants to do good to somebody, He afflicts him with trials” (Sahih Al-Bukhari)

PERSEMBAHAN

Alhamdulillah Wasyukurillah

Puji dan syukur tiada hentinya kepada Allah Subhanahu Wata’ala atas segala nikmat

dan karunia-Nya, dan suri tauladan Nabi Muhammad Shallallahu ‘Alaihi Wasallam

yang menjadi contoh dan panutan untuk kita semua.

Penulis persembahkan sebuah karya sederhana ini untuk:

Ayahanda Suprapto dan Ibunda Sri Bunga

Terimakasih atas limpahan kasih sayang, pengorbanan, doa, dan seluruh motivasi di

setiap langkah penulis. Karena atas doa dan ridho kalian, Allah memudahkan setiap

perjalanan hidup ini.

Kakak Weni, Vivian, dan Yulian

Terimakasih telah menjadi pendengar selama penulis mencurahkan keluh kesah dan

mendoakan setiap waktu untuk keberhasilan penulis.

Almamater Tercinta Universitas Lampung

SANWACANA

Alhamdulillahirabbil’alaamiin, puji dan syukur penulis kepada Allah Subhanahu

Wata’ala atas izin serta ridho-Nya dalam menyelesaikan skripsi yang berjudul

“Aplikasi Transformasi Laplace pada Sistem Gerak Pegas Teredam”.

Shalawat serta salam tak lupa kepada Nabi Muhammad Shallallahu ‘Alaihi

Wasallam yang telah menjadi suri tauladan yang baik sepanjang masa.

Penulis menyadari bahwa dalam penulisan skripsi ini tidak terlepas dari

bimbingan, bantuan, dan kerjasama dari berbagai pihak. Oleh karena itu, pada

kesempatan kali ini penulis ingin mengucapkan terimakasih kepada:

1. Bapak Agus Sutrisno, S.Si., M.Si. selaku Dosen Pembimbing I, yang

senantiasa selalu membimbing dan memberikan arahan, ide, kritik, dan

saran serta semangat kepada penulis selama proses pembuatan skripsi ini.

2. Bapak Dr. Muslim Ansori, S.Si., M.Si. selaku Dosen Pembimbing II, yang

telah membimbing, memberi masukan, dan mengarahkan penulis selama

proses penyusunan skripsi ini.

3. Bapak Tiryono Ruby, S.Si., M.Si., Ph.D selaku Dosen Pembahas, yang

telah memberikan kritik dan saran yang membangun kepada penulis

selama proses penyelesaian skripsi ini.

4. Widiarti, S.Si., M.Sc. selaku Pembimbing Akademik yang sudah

membimbing selama penulis berkuliah.

5. Ibu Prof. Dra. Wamiliana, MA., Ph.D. selaku Ketua Jurusan Matematika

FMIPA Universitas Lampung.

6. Bapak Amanto S.Si., M.Si. Selaku Wakil Ketua Jurusan Matematika

FMIPA Universitas Lampung.

7. Bapak Prof. Warsito, S.Si., D.E.A., Ph.D. selaku Dekan Fakultas

Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung.

8. Seluruh dosen, staf, dan karyawan Jurusan Matematika FMIPA UNILA

yang telah memberikan ilmu pengetahuan dan segala bentuk bantuan

kepada penulis.

9. Ayahanda Suprapto, Ibunda Sri Bunga, mba Weni Metaria, mba Vivian

Agustina, mas Yulian Nursasongko, mas Widi Nuridin, mas Sartono, mba

Weni Aprillia, dan keponakanku Inka, Irgi, Alma, Shisil, Azzam, dan eva

yang tak pernah berhenti memberi semangat, doa, dorongan, kasih sayang,

dan nasihat untuk selalu berjuang setiap harinya.

10. Sahabat-sahabat penulis Rani, Nurah, Thalia, Ceni, Atuy, dan Tata yang

senantiasa menemani suka duka penulis.

11. Sahabat Tersayang penulis sejak SMA Dinda Ardiasari, Hanny Putri

Kyawardhani, dan Fia Asysyifa yang selalu memberi semangat dan

dukungan penulis.

12. Risky Rizaldi sebagai sahabat penulis yang turut memberi dukungan.

13. Teman-teman penulis sejak SMP Hasna Ronaziah, Gepi Wulan, dan

Ainindita Fania yang turut mendukung dan menyemangati penulis.

14. Teman-teman penulis Natasha, Anita, Moni, Intan, Cintya, Pipin, Resti,

Dinda, Rahma, Sekar, dan Indraswari yang telah memberikan warna dan

keceriaan di masa perkuliahan penulis.

15. Seluruh pihak yang telah membantu penulis yang tidak dapat disebutkan

satu persatu atas peran dan dukungannya dalam menyusun skripsi ini.

Tentunya, Penulis menyadari bahwa masih ada kekurangan dari skripsi ini, akan

tetapi besar harapan semoga skripsi ini dapat bermanfaat bagi kita semua. Sekian

dan terimakasih.

Bandar Lampung, Januari 2019

Penulis

Anggun Paramita

DAFTAR ISI

Halaman

DAFTAR TABEL ................................................................................. i

DAFTAR GAMBAR ............................................................................. ii

I. PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang dan Masalah ..................................................... 1

1.2 Tujuan Penelitian ....................................................................... 2

1.3 Manfaat Penelitian ..................................................................... 2

II. TINJAUAN PUSTAKA

2.1 Persamaan Diferensial .............................................................. 4

2.2 Persamaan Diferensial Orde 2 .................................................. 5

2.3 Persamaan diferensial tak linier homogen koefisien konstan ... 6

2.4 Metode Transformasi Laplace .................................................. 8

2.5 Sifat-sifat Transformasi Laplace .............................................. 8

2.6 Definisi Sistem Gerak Pegas .................................................... 9

2.7 Hukum Newton II ..................................................................... 10

2.8 Transformasi Laplace pada Persamaan Diferensial .................. 12

2.9 Jenis-jenis Pegas ........................................................................ 13

2.9.1 Pegas Daun ................................................................... 13

2.9.2 Pegas Koil ...................................................................... 13

2.9.3 Pegas Batang Torsi ........................................................ 14

2.10 Jenis Redaman ........................................................................ 15

III. METODOLOGI PENELITIAN

3.1 Waktu dan Tempat Penelitian ................................................... 17

3.3 Metodologi Penelitian...............................................................

4.2 Pembuatan Pemodelan Pada Rangkaian System Gerak Pegas Kedalam Bentuk Persamaan Diferensial Biasa Orde-2 ............ 21

4.3 Penerapan Metode Transformasi Laplace kedalam Persamaan Diferensial Biasa Orde 2 yang terbentuk karena Pemodelan Dari Suatu Rangkaian System Gerak Pegas Teredam ........................................................................... 24

17

IV. HASIL DAN PEMBAHASAN

4.1 Penyelesaian Persamaan Diferensial dengan Metode Transformasi Laplace................................................................. 19

V. KESIMPULAN

5.1 Kesimpulan ...............................................................................

DAFTAR PUSTAKA

LAMPIRAN

32

DAFTAR GAMBAR

Gambar Halaman

1. Sistem Gerak Benda pada Pegas ....................................................... 10

2. Sistem Gerak Pegas dengan Peredam B dan Gaya Luar F(t) ............ 10

3. Contoh Pegas Daun ........................................................................... 13

4. Contoh Pegas Koil ............................................................................ 14

5. Contoh Pegas Puntir .......................................................................... 14

6. Plot Over Damped ............................................................................ 32

7. Plot Critical Damped ........................................................................ 34

8. Plot Under Damped .......................................................................... 36

9. Plot Gabungan .................................................................................. 36

1

I. PENDAHULUAN

1. 1 Latar Belakang

Metode Transformasi Laplace (Laplace Transformation) merupakan suatu metode

yangdapat digunakan untuk menyelesaikan persamaan diferensial, yang

memetakan masalah nilaiawal ke dalam suatu persamaan aljabar atau suatu sistem

persamaan yang dapat diselesaikandengan metode aljabar dan tabel transformasi

Laplace. Metode ini pertama kali diperkenalkanoleh Pierre Simon Marquas De

Laplace (1749 – 1827) seorang matematikawan Perancis danseorang guru besar di

Paris. Dengan metode transformasi Laplace akan dihasilkan solusikhusus secara

langsung sesuai dengan kondisi masalah nilai awal yang diberikan. Terdapat

beberapa penerapan transformasi laplace pada bidang keilmuan lainnya seperti

fisika, kimia, dan biologi. Salah satu permasalahan yang dapat diselesaikan

dengan menggunakan transformasi laplace pada bidang keilmuan fisika adalah

sistem pegas massa atau sistem gerak pegas.

Sistem pegas massa merupakan suatu sistem yang tersusun dari benda yang

memiliki massa dan terhubung dengan pegas. Rangkaian pegas dapat disusun dari

beberapa buah pegas yang dipasang secara seri ataupun paralel sesuai

dengankebutuhan. Pegas-pegas yang dipasang secara seri akan menurunkan nilai

konstantapegas, sedangkan pemasangan pegas secara paralel akan menaikan nilai

2

konstantapegas. Pemodelan Sistem Gerak Pegas menerapkan Hukum Newton II.

. Sistem Gerak Pegas yang dibahas adalah sistem yang terdiri atas pegas,

massaperedam dan gaya luar. Pemodelan Sistem Gerak Pegas

menghasilkanPersamaan Diferensial orde-2. Oleh sebab itu, solusi sistem gerak

pegas tersebut dapat ditentukan dengan menggunakan transformasi Laplace.

Oleh karena hal diatas maka pada penulisan makalah ini akan diaplikasikan

transformasi laplace pada sistem gerak pegas. Suatu rangkaian yang sulit dapat di

analisa atau diselesaikan dengan menggunakan transformasi laplace.

1. 2 Tujuan Penelitian

Adapun tujuan pada penelitian ini adalah :

1. Untuk menyelesaikan persamaan diferensial dengan transformasi laplace.

2. Untuk mengetahui model dari suatu rangkaian sistem gerak pegas.

3. Untuk menerapkan metode transformasi laplace dalam mencari solusi

persamaan pada sistem gerak pegas.

1. 3 Manfaat Penelitian

Adapun manfaat penelitian ini adalah sebagai berikut :

1. Memberikan wawasan dan pengetahuan mengenai metode Transformasi

Laplace dan pengaplikasiannya.

3

2. Mendorong kepada pembaca untuk lebih mengembangkannya dengan

menggunakan metode lain dalam menyelesaikan sistem persamaan diferensial

dan menerapkannya pada keilmuan-keilmuan lain yang terkait sehingga dapat

berguna bagi perkembangan ilmu pengetahuan dan teknologi.

4

II. TINJAUAN PUSTAKA

2.1 Persamaan Diferensial

Persamaan diferensial (differential equation) adalah suatu persamaan yang

melibatkan satu atau lebih turunan fungsi yang belum diketahui danpersamaan itu

juga mungkin melibatkan fungsi itu sendiri dan konstanta. Dari turunan yang

membentuk dalam persamaan diferensial akan membentuk jenis dan klarifikasi

persamaan diferensial itu sendri (Prayudi, 2006).

Persamaan diferensial biasa adalah suatu persamaan diferensial yangmelibatkan

hanya ada satu variabel bebas, jika diambil y(x) sebagai suatu fungsisatu variabel,

dengan x dinamakan variabel bebas dan y dinamakan variabel takbebas, maka

persamaan diferensial biasa dapat dinyatakan dalam bentuk :

𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑦′ , 𝑦′′ , 𝑦′′′ , … . , (𝑛)) = 0.

Persamaan ini menyatakan bahwa tedapat hubungan antara variabel bebas x dan

variabel tak bebas y beserta derivatif-derivatifnya, dalam bentuk himpunan

persamaan yang secara identik sama dengan nol. Sebuah persamaan diferensial

disebut mempunyai orde-n jika orde turunan tertinggi yang terlibat adalah n,

sedangkan jika turunan dengan orde tertinggi itu berderajat k maka persamaan itu

dinamakan persamaan diferensial berderajat k. Contoh :

5

1. 𝑥𝑦 𝑦

2. 𝑦 𝑦 𝑦 𝑥

3. 𝑦 𝑦 𝑦 𝑥

Pada contoh 1, 2, dan 3 di atas, lambang 𝑦′ , 𝑦′′ , dan 𝑦′′′ berturut-turut

menyatakan turunan pertama, turunan kedua, serta turunan ketiga dari fungsi

𝑦 𝑥 terhadap x. Dengan kata lain 𝑦

, 𝑦

, dan 𝑦

2.2 Persamaan diferensial orde 2

Persamaan diferensial linear orde kedua memiliki bentuk: 𝑦 𝑦 𝑦

Akan dibuat dua asumsi penyederhanaan, yaitu 𝑥 dan 𝑥 adalah konstanta

serta 𝑥 identik dengan nol. Sehingga 𝑦 𝑦 𝑦 . Sebuah

persamaan diferensial dimana 𝑥 dikatakan bersifat homogen. Untuk

menyelesaikan persamaan diferensial orde satu, diperlukan satu integral yang

akan menghasilkan solusi umum dengan satu konstanta sebarang. Sedangkan

secara analogi, penyelesaian persamaan diferensial orde dua memerlukan dua

integral sehingga solusi umumnya akan mempunyai dua konstanta. Persamaan

diferensial linear homogen orde d selalu mempunyai dua solusi dasar, yaitu 𝑥

dan 𝑥 , yang berdiri sendiri atau tidak bergantung (independent) satu sama

lain (yaitu tidak satupun dari kedua fungsi tersebut merupakan kelipatan konstanta

dari persamaan lainnya) (Purcell &Varberg, 1987)

6

2.3 Persamaan diferensial tak linier homogen dengan koefisien konstan

Persamaan diferensial homogen orde-n dengan koefisien konstan adalah

persamaaan yang mempunyai bentuk umum (Mohamed, 2013).

𝑦 𝑦 𝑦 (2. 1)

Dengan .

Dalam menentukan solusi persamaan diferensial homogen dilakukan hal berikut :

Misalkan 𝑦 merupakan solusi persamaan diferensial homogen yaitu 𝑦

𝑦 𝑦 . Dengan mensubstitusikan solusi tesebut dan turunannya kedalam

persamaan diferensial didapatkan :

𝑦

𝑦

Sehingga diperoleh,

𝑦 𝑦 𝑦

Karena 𝑥 , maka disebut dengan persamaan

karakteristik dari persamaan diferensial. Akar persamaan karakteristik dari

persamaan diferensial adalah :

√

dan

√

√

√

7

Kemungkinan nilai dan bergantung dari nilai D, yaitu :

a) Jika maka (akar real dan berbeda)

Jika akar persamaan karakteristik adalah riil dan semuanya berbeda, maka

solusi persamaan , , , merupakan bilangan real dan berbeda,

. Maka 𝑦 dan 𝑦 .

𝑦 𝑦 𝑦 𝑦

.......................(2. 2)

b) Jika maka merupakan bilangan kompleks (imajiner)

Jika persamaan karakteristik memiliki akar-akar kompleks, maka akar-akar

kompleks tersebut mempunyai bentuk . Jika tidak akar yang sama,

maka solusi umumnya (solusi homogen) adalah 𝑦

. Sehingga solusi kompleks dan , yang

memiliki solusi nilainya 𝑥 𝑥. Jadi solusi umum atau

solusi homogeny dari persamaan diferensial yang akar-akar nya kompleks

adalah kombinasi linier dari solusi-solusinya, atau :

𝑦 𝑥

𝑥.....................(2. 3)

c) Jika maka (akar real dan sama)

Jika persamaan karakteristik memiliki akar-akar yang sama, maka solusi

umumnya tidak lagi mempunyai bentuk seperti pesamaan (2),

tetapi mempunyai bentuk 𝑥 𝑥 . Jika akar-akar nya

berulang sebanyak s kali 𝑛 maka solusi umum (solusi homogen)

adalah :

𝑦

𝑥 ....................(2. 4)

8

2.4 Metode Transformasi Laplace

Misalkan suatu fungsi dari t yang ditentukan untuk di definisikan

sebagai :

{𝑓 } ∫ 𝑓 ∫

𝑓

(2. 5)

Transformasi laplace dari dikatakan ada apabila integral (4) konvergen untuk

beberapa harga s, jika tidak demikian maka transformasi laplace nya tidak ada

(Heris, 2011).

2.5 Sifat-sifat Transformasi Laplace

Adapun sifat-sifat transformasi laplace adalah sebagai berikut (murray, 1999) :

1. Terbatas Eksponensial

Fungsi 𝑓 disebut terbatas eksponensial pada interval bila

terdapatbilangan real M dan r sehingga berlaku 𝑓 untuk setiap

2. Sifat Keberadaan Transformasi Laplace.

Transformasi Laplace dari 𝑓 dengan ada bila 𝑓 kontinu bagian

demi bagian dan terbatas eksponensial untuk .

3. Sifat Ketunggala Transformasi Laplace.

Transformasi Laplace dari suatu fungsi adalah tunggal yaitu bila dan

merupakan Transformasi Laplace dari 𝑓 maka =

4. Sifat Linier Transformasi Laplace.

9

Dengan menggunakan definisi (2) didapatkan bahwa Transformasi Laplace

mempunyai sifat linier :

( 𝑓 ) ∫

( 𝑓 )

( 𝑓 ) ∫

𝑓 ∫

( 𝑓 ) (2. 5)

2.6 Definisi sistem gerak pegas

Pegas adalah benda elastis yang digunakan untuk menyimpan energi mekanis.

Pegas biasanya terbuat dari baja. Ada beberapa rancangan pegas. dalam

pemakaian sehari-hari, istilah ini mengacu pada coil springs. Pegas juga

ditemukan di sistem suspensimobil. Pada mobil, pegas memiliki fungsi menyerap

kejut dari jalan dan getaran roda agar tidak diteruskan ke bodi kendaraan secara

langsung. Selain itu, pegas juga berguna untuk menambah daya cengkeram ban

terhadap permukaan jalan. Perilaku penjalaran gelombang pada sistem fisis dapat

dipelajari pada SistemGerak Pegas. Pemodelan Sistem Gerak Pegas menerapkan

Hukum Newton II. Sistem Gerak Pegas yang dibahas adalah sistem yang terdiri

atas pegas, massa peredam dan gaya luar. Pemodelan Sistem Gerak Pegas

menghasilkanPersamaan Diferensial orde-2. Sistem gerak pegas diilustrasikan

dengan benda bermassa m yang tergantungpada suatu pegas (Mangara, 2013).

10

Gambar 2. 1 Sistem Gerak Benda Pada Pegas

Gambar 2. 2 Sistem Gerak Pegas dengan Peredam B dan Gaya Luar F(t)

2.7 Hukum Newton II

Hukum Newton II mengatakan “Percepatan sebuah benda berbanding lurus

dengan gaya total yang bekerja padanya dan berbanding terbalik dengan

massanya. Arah percepatan sama dengan arah gaya total yang bekerja padanya”.

Berdasarkan Hukum Newton II, kamu dapat memahami bahwa suatu benda akan

bertambah kelajuannya jika diberikan gaya total yang arahnya sama dengan arah

11

gerak benda. Akan tetapi, jika arah gaya total yang diberikan pada benda tersebut

berlawanan dengan arah gerak benda maka gaya tersebut akan memperkecil laju

benda atau bahkan menghentikannya. Pemodelan Sistem Gerak Pegas

menerapkan Hukum Newton II. Sistem Gerak Pegas yang dibahas adalah sistem

yang terdiri atas pegas, massa peredam dan gaya luar. Pemodelan Sistem Gerak

Pegas menghasilkan Persamaan Diferensial orde-2. Sistem gerak pegas

diilustrasikan dengan benda bermassa m yang tergantungpada suatu pegas.

Pemodelan sistem gerak pada Gambar, didasarkan pada Hukum Newton II,yaitu:

(2. 6)

Dengan :

= gaya-gaya yang bekerja pada benda

= massa benda

= percepatan gerak benda

Gaya- gaya yang bekerja pada benda yang tergantung pada pegas :

1. = , adalah gaya tarik gravitasi benda, = massa benda, dan =

gravitasi. Arah gaya ini kebawah karena pengaruh gravitasi. Gaya ini

sering disebut dengan berat benda.

2. 𝑦 ), adalah gaya pegas, = konstanta pegas, 𝑦 = posisi

benda, dan = perubahan panjang pegas. Arah gaya pegas keatas dan

kebawah. Jika pegas ditarik negatif, arah gaya keatas dan jka pegas

ditekan positif, arah gaya kebawah.

3.

= gaya redam, arah gaya nya berlawanan dengan gerak

benda. konstanta redaman, dan

= kecepatan benda. Jika = 0

12

sistem disebut sistem tak teredam dan jika sistem disebut sistem

teredam.

4. = gaya eksternal, arah gaya dapat keatas atau kebawah.

Penerapan gaya ini langsung pada benda atau pegas (Mangara, 2013).

2.8 Transformasi Laplace Pada Persamaan Diferensial Koefisien Konstan

Transformasi Laplace dapat digunakan untuk menentukan solusi suatu persamaan

diferensial dengan koefisien konstan. Misal ditentukan persamaan diferensial :

)(2

xFqYdx

dYp

dx

Yd

Atau

)(''' xFqYpYY ....................................................(2. 7)

,q adalah konstanta dan persamaan tersebut mempunyai syarat awal atau batas

Y(0)=A dan Y’(0)=B, A dan B adalah konstanta yang diberikan. Solusi

persamaan diferensial yang diketahui dapat ditentukan dengan cara melakukan

transformasi Laplace pada masing-masing persamaan dan selanjutnya gunakan

syarat awal yang diberikan. Akibatnya diperoleh persamaan aljabar :

)()( syxYL .............................................................(2. 8)

Solusi yang diperlukan diperoleh dengan menggunakan transformasi Laplace

invers dari y(s) (Arifin, 2011).

13

2. 9. Jenis-Jenis Pegas Pada Suspensi

2.9.1 Pegas Daun

Pegas daun memiliki sifat kostruksi yang sederhana, dapat meredam getaran

sendiri (gesekan antara daun pegas, dan biasanya berfungsi sebagai lengan

penyangga (tidak memerlukan lengan, memanjang ataupun melintang).

Gambar 2. 3 Contoh Pegas Daun

2.9.2 Pegas Koil

Pada saat pemegasan, batang pegas koil menerima beban puntir dan lengkung.

Pegas koil memiliki beberapa sifat, yaitu :

Langkah pemegasannya panjang

Tidak dapat meredam getaran sendiri

Tidak dapat menerima gaya horizontal (memerlukan lengan-lengan)

Energy beban yang di absorsi lebih besar daripada pegas daun

Dapat dibuat pegas daun

Pegas ini biasanya digunakan pada suspense independen dan aksel rigid.

14

Gambar 2. 4 Contoh Pegas Koil

2.9.3 Pegas Batang Torsi (Puntir)

Pada saat pemegasan biasanya pegas mendapatkan beban punter. Pegas batang

torsi memiliki beberapa sifat, yaitu :

Memerlukan sedikit tempat

Energy yang di absorsi lebih besar dibandingkan dengan pegas lainnya

Tidak memiliki sifat meredam getaran sendiri

Langkah pemegasan panjang

Memiliki biaya yang maha

Gambar 2. 5 contoh pegas puntir

15

2. 10 Jenis – Jenis Redaman

Pada umumnya setiap benda yang berosilasi akan berhenti berosilasi jika tidak

digetarkan secara terus menerus. Benda yang pada mulanya bergetar atau

berosilasi bisa berhenti karena mengalami redaman. Redaman bisa terjadi akibat

adanya gaya hambat atau gaya gesekan. Osilasi yang mengalami redaman biasa

disebut sebagai osilasi teredam alias getaran teredam (Naufan, 2016).

Redaman yang terjadi pada suatu benda dapat di kategorikan sebagai berikut :

2.10.1Under Damped

Benda yang mengalami under damped biasanya melakukan beberapa osilasi

sebelum berhenti. Benda masih melakukan beberapa getaran sebelum berhenti

karena redaman yang dialaminya tidak terlalu besar.

2.10.2 Critical Damped

Benda yang mengalami critical damping biasanya langsung berhenti berosilasi

(benda langsung kembali ke posisi setimbangnya). Benda langsung berhenti

berosilasi karena redaman yang dialaminya cukup besar.

2.10.3 Overdamped

Over damping mirip seperti critical damping. Bedanya pada critical

damping benda tiba lebih cepat di posisi setimbangnya sedangkan pada over

16

damping benda lama sekali tiba di posisi setimbangnya. Hal ini disebabkan

karena redaman yang dialami oleh benda sangat besar.

17

III. METODOLOGI PENELITIAN

3. 1 Waktu dan Tempat Penelitian

Penelitian ini dilakukan pada semester ganjil tahun ajaran 2018/2019 di

Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Universitas Lampung.

3. 2 Metodologi Penelitian

Adapun langkah-langkah dari penelitian ini adalah sebagai berikut :

1. Mempelajari buku dan jurnal yang berhubungan dengan metode transformasi

laplace dan sistem gerak pegas.

2. Mempelajari dan memahami definisi yang terkait dengan penerapan metode

transformasi laplace pada sistem gerak pegas.

3. Menyelesaikan persamaan diferensial menggunakan metode transformasi

laplace

4. Membuat pemodelan dari suatu rangkaian sistem gerak pegas kedalam bentuk

persamaan diferensial biasa orde 2.

5. Menerapkan metode transformasi Laplace kedalam persamaan diferensial biasa

orde 2 yang terbentuk karena pemodelan dari suatu rangkaian sistem gerak

pegas.

18

6. Menarik kesimpulan berupa solusi penyelesaian dari metode transformasi

laplace terhadap model dari sistem gerak pegas.

32

V. KESIMPULAN

Adapun kesimpulan yang di dapatkan dari penelitian ini adalah :

1. Persamaan pada sistem gerak pegas yang teredam dapat ditentukan

menggunakan Hukum Newton II yaitu 𝐹 = 𝑚. 𝑎 sehingga menghasilkan

persamaan diferensial biasa orde dua yaitu 𝑚𝑑2𝑦

𝑑𝑡 2 + 𝑑𝑑𝑦

𝑑𝑡+ 𝑘𝑦 = 𝐹(𝑡)

2. Pada kasus pertama dapat dibentuk persamaan 2𝑦′ ′ + 5𝑦′ − 3𝑦 = 0 dengan

𝑦 0 = 4, dan 𝑦′ 0 = 9 jika diselesaikan menggunakan metode

Transformasi Laplace didapatkan solusi nya yaitu 𝑦 𝑡 = 6𝑒1

2𝑡 − 2𝑒−3𝑡 .

3. Jika dilihat solusi yang dihasilkan pada kasus pertama bentuknya sama seperti

solusi pada sistem teredam lebih yaitu 𝑦 𝑡 = 𝑐1𝑒𝑟1𝑡 − 𝑐2𝑒𝑟2𝑡 . Jadi

persamaan diatas merupakan sistem teredam lebih dimana 𝑑2 > 4𝑚𝑘. Sistem

gerak pegas yang teredam lebih terjadi jika menggunakan medium yang

memiliki gaya gesek yang besar misalnya seperti minyak yang kental.

4. Pada kasus kedua dapat dibentuk persamaan 𝑦′′ − 4𝑦′ − 4𝑦 = 8𝑡 dengan

𝑦 0 = 0, dan 𝑦′ 0 = 12 jika diselesaikan menggunakan metode

Transformasi Laplace didapatkan solusi nya yaitu 𝑦 𝑡 = 𝑒2𝑡 14𝑡 − 2 +

2𝑡 + 2

5.1. Kesimpulan

33

5. Jika dilihat solusi yang dihasilkan pada kasus kedua bentuknya sama seperti

solusi pada sistem teredam lebih yaitu 𝑦 = (𝑐1 + 𝑐2𝑡)𝑒 −𝑑

2𝑚 𝑡

. Jadi persamaan

pada kasus kedua merupakan sistem teredam kritis dimana 𝑑2 = 4𝑚𝑘.

6. Pada kasus ketiga dapat dibentuk persamaan 𝑦′′ − 4𝑦′ + 8𝑦 = 8𝑒2𝑡 cos 2 𝑡 +

6𝑒2𝑡 sin 2𝑡 dengan 𝑦 0 = 4, dan 𝑦′ 0 = 10 jika diselesaikan menggunakan

metode Transformasi Laplace didapatkan solusi nya yaitu 𝑦 𝑡 =

2𝑡𝑒2𝑡 sin 2𝑡 −3

2𝑡𝑒2𝑡 cos 2𝑡 + 4𝑒2𝑡 cos 2𝑡 +

7

4𝑒2𝑡 sin 2𝑡.

7. Jika dilihat solusi yang dihasilkan pada kasus ketiga bentuknya sama seperti

solusi pada sistem teredam kurang yaitu 𝑦 = 𝑐1𝑒(𝛼+𝑖𝛽 )𝑡 + 𝑐2𝑒 𝛼−𝑖𝛽 𝑡 . Jadi

persamaan pada kasus kedua merupakan sistem teredam kurang dimana

𝑑2 − 4𝑚𝑘 < 0.

19

DAFTAR PUSTAKA

Arifin. 2011. Aplikasi Transformasi Laplace pada Rangkaian Listrik.

Skripsi. Prodi Matematika Fakultas Sains dan Teknologi UIN Sunan

Kalijaga, Yogyakarta

Bronson, R. & Gabriel C. 2007. Schaum’s Outline

PersamaanDiferensial Edisi Ketiga. Erlangga, Jakarta.

Fathani, A. H. 2008. Ensiklopedi Matematika. Ar-Ruzz Media,

Yogyakarta.

Gazali, W. 2006. Kalkulus Lanjut. Graha Ilmu, Yogyakarta.

Kartono. 2012. Persamaan Diferensial Biasa. Graha Ilmu, Yogyakarta.

Mangara Tua Sitanggang. “Matematika”. Jurnal Aplikasi Fungsi Green Pada

Dinamika Sistem Fisis-Massa Pegas Dengan Shock Absorber. Vol 11.

No. 2 (Desember 2013).

Nagle, R. K. , Edward B. S. , & Arthur D. S. 2004. Fundamentals of Differential Equations and Boundary Value Problems. Fourth Edition. Pearson AdisonWesley, United States of America.

Prayudi. 2007. Matematika Teknik Persamaan diferensial, Transformasi Laplace,

Deret Fourier. Graha ilmu, Yogyakarta.

Purcell, Edwin J. 1986. Kalkulus dan Geometri Analitis. Erlangga, Jakarta.

R. Murray, Spiegel. 1990. Teori dan Soal-Soal Transformasi Laplace. Erlangga,

Jakarta.