ANOVA (ANALISA VARIANS) - Perjalanan Hijrahku Web viewTidak terdapat perbedaan kekuatan antara kedua baja tsb atau dengan kata lain kekuatan lempeng baja X ... kecuali bahwa kolom

PENDAHULUAN

TUJUAN INSTRUKSIONAL UMUM

TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS

SKENARIO PEMBELAJARAN1………….2………….3………….4………….

BAB I ANOVA (ANALISA VARIANS)

Dalam bab ini akan dibahas mengenai rancangan percobaan baik satu factor ( one way ANOVA) dan dua factor (two way ANOVA).

Setelah mempelajari materi ini mahasiswa dapat membuat rancangan percobaan dan menyelesaikannya baik satu factor ataupun dua faktor.

Mahasiswa mampu:

1. Mengetahui konsep desain eksperimen

2. Mengetahui asumsi yang harus dipenuhi dalam analisa varians (Anova)

3. Mengetahui penggunaan One Way Anova untuk menguji perbedaan rata-rata dari

beberapa populasi

4. Mengetahui penggunaan Random Block Design/Two Way Anova

5. Mahasiswa diharapkan dapat mengiplementasikan terhadap masalah yang dihadapi

didunia nyata.

6.

Kegiatan perkuliahan dilaksanakan dengan skenario sebagai berikut:

1. Perkuliahan

2. Penjelasan tentang concept map (tunjukan di peta konsep dimana posisi materi yang akan

dibahas), pokok bahasan, dan kompetensi yang akan dicapai (TIU dan TIK)

3. Tes pendahuluan

RINGKASAN MATERI

4. Ringkasan materi disampaikan dengan metode ceramah, critical incident, diskusi dan

tanya jawab

5. Tes akhir

6. Evaluasi pencapaian

7. Penutup

Anova (Analysis of Variance) merupakan salah satu Uji Hipotesis pada Statistika Parametrik, untuk melakukan pengujian terhadap interaksi antara dua faktor dalam suatu percobaan dengan membandingkan rata-rata dari lebih dua sampel.

Dalam banyak kasus penelitian seringkali ditemukan jumlah variabel yang diuji

lebih dari dua atau cukup besar, penggunaan uji t dan uji z tidak akan efektif karena

memakan waktu cukup lama dalam perhitungan dimana perhitungan dilakukan secara

berpasangan untuk masing-masing variabel.Andaikan saja akan dilakukan pengujian

terhadap lima variabel, maka harus dilakukan pengujian dengan uji t sebanyak sepuluh

kali pasangan variabel.Selain banyak menghabiskan waktu untuk pengerjaannya, maka

kemungkinan terjadi kesalahan baik itu kesalahan dalam perhitungan, pembandingan

ataupun pengulangan menjadi semakin besar.

Anova (Analysis of Variance) merupakan salah satu metode dalam statistika

parametrik.. `Tujuan dari analisis varians adalah untuk dapat menemukan variabel

independen dalam penelitian dan mengetahui bagaimana interaksi antar variabel dan

bagaimana pengaruhnya terhadap suatu perlakuan.

Keunggulan dari analisis varians selain mampu melakukan perbandingan untuk

banyak variabel juga antar replikasi (pengulangan) observasi serta dapat mengurangi

sejumlah kesalahan yang mungkin terjadi dalam perhitungan.

Sebagai dasar dalam pengambilan keputusan dari analisis varians digunakan

distribusi F. Distribusi F ini diturunkan oleh R. A. Fisher dan George W. Snedecor

(tahun 1950), oleh karena itu dinamakan distribusi F (Fisher-Snedecor Distribution).

7.1.2. Asumsi

Penggunaan analisis Anova didasarkan pada asumsi diantaranya sbb:

1. Data berdistribusi normal

2. Skala pengukuran minimal interval

3. Varians homogen

4. Pengambilan sampel secara acak dan masing-masing sampel independen

Asumsi kenormalan distribusi memberi penjelasan terhadap karakteristik data setiap

kelompok. Asumsi adanya homogenitas varians menjelaskan bahwa variansi dalam

masing-masing kelompok dianggap sama. Sedangkan asumsi

bebas (independen) menjelaskan bahwa variansi masing-masing terhadap rata-ratanya

pada setiap kelompok bersifat saling bebas.

7.1.3. One Way ANOVA (Complete Random Design/CRD)

Analisis variansi satu arah atau yang sering disebut sebagai rancangan acak

lengkap adalah suatu prosedur untuk menguji perbedaan rata-rata/ pengaruh perlakuan

dari beberapa populasi (lebih dari dua) dari suatu percobaan yang menggunakan satu

faktor,dimana satu faktor tersebut memiliki 2 atau lebih level. Disebut juga Desain

Seimbang jika seluruh level faktor mempunyai ukuran sampel yang sama. Dalam

analisis variansi satu arah ini sampel acak yang berukuran n diambil masing-masing dari

k populasi. Ke k populasi yang berbeda ini diklasifikasikan menurut perlakuan atau

grup yang berbeda.

Model perbandingan k teratment (perlakuan):

y ij=μ+∝ j+eij

Dimana:

µ = Mean

∝ j= efek perlakuan ke-j

e ij ͠͠ IIDN(0,σ)

Prosedur pengujian dalam analisis varians ini adalah:

Pengujian hipotesis:

H 0 : µ1=µ2=…=µk,

H 1 : paling sedikit dua diantara rataan tersebut tidak sama.

Tentukan daerah kritis dengan Level of Significance (α) yang biasa digunakan

adalah 0,01 atau 0,05

Hitung dengan menggunakan tabel Anova

Pengambilan Keputusan:

Tolak H0 jika Fhitung > Ftabel((k-1) , k(n-1)) pada selang kepercayaan (level of

significance) α

Kesimpulan

Ada dua cara dalam melakukan perhtiungan untuk mendapatkan tabel Anova, yaitu:

1. Dengan cara Matriks

2. Dengan Cara rumus

Tabel VIII.1 k sampel acak

Perlakuan

1 2 … j … K

y11 y12 … y1 j … y1 k

y21 y22 … y2 j … y2 k

… … …

yn1 yn 2 … ynj … ynk

Jumlah T .1 … T . j … T .k T..

Rataan y .1 y .2 … y . j … y . k y

Keterangan:

y ij : menyatakan pengamatan ke i dalam perlakuan ke j.

T . j : menyatakan jumlah semua pengamatan dalam sampel dari perlakuan ke i.

y . j : menyatakan rataan semua pengamatan dalam sampel dari perlakuan ke j.

T.. : jumlah semua nk pengamatan.

y.. : rataan semua nk pengamatan

Dengan cara matriks:

Observasi = Grand Mean + Deviasi Treatment + Deviasi Residual

y ij = y .. + ( y . j− y ..) + (y ij-y . j ¿

(y ij-y ..¿ = ¿ + (y ij-y . j ¿

(y ij-y ..¿ ² = ( y . j− y ..) ² + ( y ij-y . j ¿ ² + 2( y . j− y ..) (y ij-y . j ¿

= 0

∑j=1

k

∑i=1

n

¿¿¿ + ∑j=1

k

∑i=1

n

( y ij− y . j) ²

SST SSA

SSE

Keterangan: SST = Sum Square Total SSA = Sum Square of Treatment SSE = Sum Square of Error

Atau dengan cara rumus perhitungan jumlah kuadrat dengan ukuran sampel sama adalah:

SST = ∑i=1

k

∑j=1

n

y ij2−¿ T ..2

nk¿

SSA = ∑i=1

k

T . j2

n−T ..2

nk

SSE = SST – SSA

Tabel VII.2 Analisis Variansi untuk Klasifikasi satu arah

Sumber

variansi SS Df MS F hitung

Perlakua

n

SSA k-1 MSA= SSAk−1

MSAMSE

Error SSE k(n-1) MSE= SSEk (n−1)

Total SST nk-1

Contoh 1:

Berikut adalah data kecepatan merakit produk (dlm menit) yang dihasilkan oleh 4

macam operator:

Mesin

1 2 3 4 Total

12 22 19 11

10 13 14 13

14 16 20 16

13 15 19 12

11 14 18 18

Total 60 80 90 70 300

Rataan 12 16 18 14 15

Ujilah dengan taraf keberartian 0,05 apakah rata-rata kecepatan merakit produk yang

dihasilkan beberapa mesin tersebut berbeda!

Jawab:

H 0 : µ1= µ2=…= µ4,

H 1 : paling sedikit dua rataan tersebut tidak sama.

Daerah kritis: f hitung > f tabel= 3,24 dengan derajat kebebasan v1=3 dan v2=16


Observasi = Grand Mean + Deviasi Treatment + Residual

y ij = y .. + ( y . j− y) + ( y ij-y . j ¿

¿

(dikuadratkan)=100 (dikuadratkan)=116

SSA SSE

SST = SSA +SSE = 216

Dengan cara rumus:

SST= 122+222+…+182−3002

20=216

SSA= 602+802+802+702

5−3002

20=¿100

SSE= 216-100=116

Tabel Anova

Sumber

variansi SS df MS Fhitung

Perlakuan 100 3 33,3333 4,5977

Error 116 16 7,25

Total 216 19

Dari perhitungan dengan cara matrik dan cara rumus untuk tabel Anova didapatkan hasil

yang sama, sehingga untuk melakukan perhitungan boleh dilakukan dengan salah satu cara

tersebut.

Karena f hitung=4,5977 > f tabel= 3,24

Keputusan: tolak H 0 dan disimpulkan bahwa keempat mesin tidak mempunyai rataan yang

sama (Mesin memang berpengaruh)

Latihan soal:

1. Uji hipotetis pada taraf 0,01 bahwa rata-rata aktivitas khusus sama saja untuk keempat

konsentrasi.

Konsentrasi NaCl

A B C D

11,0

1

11,38 11,02 6,04

12,0

9

10,67 10,67 8,65

10,5

5

12,33 11,50 7,76

11,2

6

10,08 10,31 10,13

2. Enam mesin sedang dipertimbangkan untuk dipakai dalam pembuatan karet penutup.

Mesin tersebut dibandingkan berdasarka daya rentang barang yang dihasilkan. Sampel

acak empat karet penutup dari tiap mesin dipakai untuk menentukan apakah rataan daya

rentang tiap mesin berbeda. Berikut ini ialah pengukuran daya rentang dalam kg per cm2

x 10−1.

Mesin

1 2 3 4 5 6

17,5 16,4 20,3 14,6 17,5 18,3

16,9 19,2 15,7 16,7 19,2 16,2

15,8 17,7 17,8 20,8 16,5 17,5

18,6 15,4 18,9 18,9 205 20,1

Kerjakan analisi variansi pada taraf keberartian 0,05 dan tentukanlah apakah rataan daya

rentang ke 6 mesin berbeda secara berarti. ANALISIS VARIANS!

3. Tiga cara mengajar matematika telah diberikan kepada tiga kelompok anak SD kelas V,

satu cara hanya diberikan pada satu kelompok.Hasil ujian pada akhir pengajaran dengan

cara tersebut diberikan dalam daftar berikut.

Cara I Cara II Cara III

89

93

75

69

83

99

67

90

79

75

86

94

64

69

78

92

81

70

Anggap hasil ini sebagai sampel hasil belajar matematika dengan cara mengajar

masing-masing.

Ujilah dengan ANOVA apakah ada perbedaan efek dari ketiga cara mengajar? Gunakan

alpha 0.05.

4. Tiga cara mengajar matematika telah diberikan kepada tiga kelompok anak SD kelas V,

satu cara hanya diberikan pada satu kelompok.Hasil ujian pada akhir pengajaran dengan

cara tersebut diberikan dalam daftar berikut.

Cara I Cara II Cara III

89 67 64

93

75

69

83

99

69

57

85

90

79

75

86

94

69

78

92

81

70

84

Anggap hasil ini sebagai sampel hasil belajar matematika dengan cara mengajar

masing-masing.Sebutkan syarat-syarat yang harus dipenuhi agar percobaan ini sah

untuk dibandingkan hasilnya. Berikan analisis lengkap mengenai hasil belajar

matematika menggunakan ketiga cara tersebut. Ujilah persyaratan yang perlu

menggunakan data yang diberikan.

7.1.4 TWO WAY ANOVA

Two Way Anova dikenal juga dengan factorial design atau Randomized Block

Design. Sama dengan One Way Anova dasar perhitungan yang digunakan adalah

Distribusi F. Pada Two way Anova pengujian dilakukan dengan tidak hanya melihat

satu faktor atau perlakuan saja, tetapi juga dengan mempertimbangkan faktor blok. Uji

blok dilakukan untuk mengetahui pengaruh blok terhadap perbedaan rata-rata. Uji blok

ini akan mengurangi kombinasi kesalahan.

Model random Block experiment untuk perbandingan k tratment (perlakuan):

y ij=μ+∝i+β j+e ij

Dimana:µ = Mean ∝i= efek perlakuan ke-iβ j= efek blok ke-j

e ij ͠͠ IIDN(0,σ)

Prosedur pengujian dalam analisis varians dua arah ini adalah:

Pengujian hipotesis untuk treatment:

H 0 : Tidak ada pengaruh treatment / perlakuan

H 1 : Ada pengaruh treatment





Tolak H0 jika Fhitung = MSAMSE > Ftabel (k-1 ,(b-1)(k-1)) pada selang kepercayaan (level

of significance) α

Kesimpulan

Pengujian hipotesis untuk blok:

H 0 : Tidak ada pengaruhblok

H 1 : Ada pengaruh blok





Tolak H0 jika Fhitung = MSBMSE> Ftabel(k-1 ,(b-1)(k-1)) pada selang kepercayaan (level of

significance) α

Kesimpulan

Proses perhitungan Two Way Anova hampir sama dengan One Way Anova dimana ada

dua cara dalam perhtiungan tabel Anova, yaitu:

1. Dengan cara Matriks

2. Dengan Cara rumus

Tabel VII.3 Tabel Random Block Design( Two Way ANOVA)

Block

(B)

Treatment (A)Jml

Mean1 2 … a

1 y11 y12 … y1a T1. y1.

2 y21 y22 … Y2a T2. y2.

: : : :

b Yb1 Yb2 … yba Tb.. yb .

Jml T.1 T.2 … T.a T..

Mean y .1 y .2 y . a y ..


Observasi = Mean + Deviasi Treatment + Deviasi Block + Residual

y ij = y .. + ( y . j− y ..) + ( y i .− y ..) + (y ij- y . j ¿

(y ij-y ..¿ = ¿) + ( y i .− y ..)+ ( y ij− y i .- y . j+ y ..¿

∑i=1

a

∑j=1

b

¿¿¿ + a∑j=1

b

( y . j− y ..) ²+∑i=1

a

∑j=1

b

( y ij± y i .+ y . j+ y ..) ²

SST=∑i=1

a

∑j=1

b

¿¿¿

SSA = b∑i=1

a

( y i .− y ..) ²

SSB = a∑j=1

b

( y . j− y ..) ²

SSE = ∑i=1

a

∑j=1

b

( y ij± y i .+ y . j+ y ..) ²

Dengan cara rumus:

SST=∑i=1

a

∑j=1

b

y ij2 T ..

2

ab

SSA=∑i=1

a

T i ..2

b−T . .2

ab

SSB=∑j=1

b

T . j2

a−T . .2

ab

SSE=SST−SSA−SSB

Jumlah kuadrat diperoleh dengan membentuk tabel jumlah berikut :

Tabel VIII.4 Two Way Anova

Sumber VariasiSS df MS f hitung

A (Treatment) SSA a-1 MSA= SSAa−1

f A=MSAMSE

B (Block) SSB b-1 MSB= SSBb−1

f B=MSBMSE

Error SSE (a-1) (b-1) MSE= SSE(a−1 ) (b−1 )

Total SST (ab-1)

Contoh 2:

Suatu percobaan dilakukan untuk menentukan yang mana yang lebih baik dari tiga

sistem rudal yang berlainan, diukur laju pembakaran bahan bakar dari 24 penembakan

statis.Empat Jenis bahan bakar yang berlainan dicoba.Berikut adalah datanya :

Sistem Rudal

Jenis bahan bakar1 2 3 4

1 12 20 13 11

2 2 14 7 5

3 8 17 13 10

4 1 12 8 3

5 7 17 14 6

Gunakan taraf keberartian 5% untuk menguji hipotesis berikut :

a. Apakah ada pengaruh jenis bahan bakar?

b. Apakah ada pengaruh faktor Sistem Rudal?

Jawab :

Sistem Rudal Jenis bahan bakar Jml Mean 1 2 3 4

1 12 20 13 11 56 14

2 2 14 7 5 28 7

3 8 17 13 10 48 12

4 1 12 8 3 24 6

5 7 17 14 6 44 11

Jumlah 30 80 55 35 200

Mean 6 16 11 7 10

Hipotesis

a. H0 = α1 = α1 = α3 = 0 (Tidak ada pengaruh jenis bahan bakar)

H1 = Paling sedikit salah satu αi tidak sama dengan nol(Ada pengaruh)

b. H0 = β1 = β1 = β3 = 0 (Tidak ada pengaruh sistem rudal)

H1 = Paling sedikit salah satu βj tidak sama dengan nol(Ada pengaruh)


Observasi = Grand Mean + Deviasi Treatment + Deviasi Block + Residual

y ij = y .. + ( y . j− y) + ( y ij-y . j ¿

¿ [ 4 4 4 4−3−3−3−3

22 22−4−4−4−4

11 11]

(dikuadratkan)=310 (dikuadratkan)=184

SSA SSB

+ [ 0 6 1−3−2 −3 −4−1

2 0 221 −1 1−2−1 −2 04

] (dikuadratkan)= SSE= 24

SST = SSA +SSB+SSE = 518

Dengan cara rumus:

SST=∑i=1

a

∑j=1

b

y ij2 T ..

2

ab = 2518 - 2002

20 = 518

SSA=∑i=1

a

T i ..2

b−T ..2

ab = [302

5+

802

5+

552

5+

352

5 ] - 2002

20 = 2310 – 2000 = 310

SSB=∑j=1

b

T . j2

a−T . .2

ab = [562

4+

282

4+

482

4+

242

4+

442

4 ] - 2002

20 =2184 – 2000 = 184

SSE=SST−SSA−SSB= 518 – 310 -184 = 24

Tabel analisis variansi

Sumber Variasi SS df MS F Hitung

Jenis bahan

bakar310 3 103,3 51,7

Sistem rudal 184 4 46 23

Error 24 12 2

Jumlah 518 19

Keputusan-1:

Tolak H0 jika f hitung > f tabel(0,05;4;12)

51,1 > 3,49 Tolak H0

Kesimpulan-1:

Rataan laju pembakaran bahan bakar tidak sama untuk keempat jenis bahan bakar

Keputusan-2:

Tolak H0 jika f hitung > f tabel(0,05;3;12)

23 > 3,26 Tolak H0

Kesimpulan-2:

Sistem rudal yang berlainan menghasilkan rataan laju pembakaran yang berbeda

Latihan soal

1. Suatu percobaan diadakan untuk meneliti pengaruh suhu dan jenis tungku terhadap umur

sejenis suku cadang tertentu yang diuji. Empat jenis tungku dan tiga taraf suhu dipakai

dalam percobaan tersebut. 24 buah suku cadang dibagi secara acak, dua pada tiap

kombinasi perlakuan, dan hasilnya diterakan berikut :

Suhu (0C)

TungkuT1 T2 T3 T4

500 227 214 223 240

550 187 181 232 246

600 202 194 213 219

Gunakan taraf keberartian 0,05, ujilah apakah :

a. Ada pengaruh suhu?

b. Ada pengaruh tungku?

2. Untuk menetukan otot mana yang perlu mendapat program latihan untuk meningkatkan

kemampuan melakukan servis datar dalam tenis, penelitian ‘An Electromoygraphic-

Cinematrographic Analysis of the Tennis Serve” telah dilakukan oleh Jurusan Kesehatan

di Virginia Polytechnic Institute and State University di tahun 1978. Lima otot yang

berbeda tersebut adalah : Anterior deltoid,Pectorial mayor,Posterior deltoid,Deltoid

tengah,Trisep. Data elektromyograf, tercatat waktu servis, adalah sebagai berikut :

Orang Otot1 2 3 4 5

1 59 1.5 61 10 20

2 60 9 78 61 61

3 47 42 23 55 95

Dengan α= 0,01 ujilah apakah:

a. Ada pengaruh orang (Ketiga orang mempunyai pengukuran elektromygraf yang

sama)?

b. Ada pengaruh otot (Otot yang berbeda tidak mempunyai pengaruh pada pengukuran

elektromygraf)?

I.1.1 Two Way Anova dengan n replikasi

Tabel VII.5 Two Way Anova dengan n replikasi

Sumber Variasi Jumlah Kuadrat Derajat Kebebasan Rataan Kuadrat f hitungan

Pengaruh Utama

A JKA a-1 S12= JKA

a−1 f 1=S1

2

S2

B JKB b-1 S22= JKB

b−1 f 2=S2

2

S2

Interaksi dwifaktor

AB JK(AB) (a-1) (b-1) S32=

JK ( AB)(a−1 ) (b−1 ) f 3=

S32

S2

Galat JKG ab(n-1) S2= JKGab (n−1 )

JKT abn-1

Jumlah kuadrat diperoleh dengan membentuk tabel jumlah berikut :

Tabel VII.6 Tabel Penjumlahan Two Way ANOVA

AB

Jumlah1 2 … b

1 T11. T12. … T1b. T1…2 T21. T22. … T2b. T2…: :

A Ta1. Ta2. … Tab. Ta…

Jumlah T.1. T.2. … T.b. T…

Keterangan:

JKT=∑i=1

a

∑j=1

b

∑k=1

n

y ijk2 −¿ T 2

abn¿

JKA=∑i=1

a

T i..2

bn− T .2

abn

JKB=∑j=1

b

T j .2

an− T .2

abn

JK ( AB )=∑i=1

a

∑j=1

b

T ij2

n−∑i=1

a

T i ..2

bn−∑j=1

b

T . j .2

an+

T…2

abn

JKG=JKT −JKA−JKB−JK (AB)

Contoh 2:

Dalam suatu percobaan yang dilakukan dalam menentukan yang mana yang lebih baik dari tiga

sistem rudal yang berlainan, diukur laju pembakaran bahan bakar dari 24 peembakan statis.

Empat Jenis bahan bakar yang berlainan dicoba. Percobaan menghasilkan replikasi pengamatan

laju pembakaran pada tiap kombinasi perlakuan. Berikut adalah datanya :

Sistem Rudal

Jenis Bahan Bakar

b1 b2 b3 b4

a1

34,0 30,1 29,8 29,0

32,7 32,8 26,7 28,9

a232,0 30,2 28,7 27,6

33,2 29,8 28,1 27,8

a3

28,4 27,3 29,7 28,8

29,3 28,9 27,3 29,1

Gunakan taraf keberartian 5% untuk menguji hipotesis berikut :

a. H0 = Tidak ada beda antara rataan laju pembakaran bahan bakar bila digunakan sistem

rudal yang berlainan.

b. H0 = Tidak ada beda antara rataan laju pembakaran keempat jenis bahan bakar

c. H0 = Tidak ada interaksi sistem rudal yang berlainan dengan jenis bahan bakar yang

berlainan.

Jawab :

1. Hipotesis

a. H0 = α1 = α1 = α3 = 0

H1 = Paling sedikit salah satu αi tidak sama dengan nol

b. H0 = β1 = β1 = β3 = 0

H1 = Paling sedikit salah satu βj tidak sama dengan nol

c. H0 = (αβ)11 = (αβ)12 = … = (αβ)34 = 0

H1 = Paling sedikit salah satu (αβ)ij tidak sama dengan nol

2. Taraf keberartian = 5%

3. Daerah kritis (penentuan f tabel)

a. f1 = f9.05 (a-1,ab(n-1)) = f9.05 (2,12) = 3,89

b. f2 = f9.05 (b-1,ab(n-1)) = f9.05 (3,12) = 3,49

c. f3 = f9.05 ((a-1)(b-1),ab(n-1)) = f9.05 (6,12) = 3,00

4. Tabel jumlah

b1 b2 b3 b4 Jumlaha1 66,7 62,9 56,5 57,9 244,0a2 65,2 60,0 56,8 55,4 237,4

a3 57,7 56,2 57,0 57,9 228,8

Jumlah 189,6 179,1 170,3 171,2 710,2

5. Tabel analisis variansi

Sumber Variasi Jumlah Kuadrat

Derajat Kebebasan

Rataan Kuadrat f Hitungan

Sistem rudal 14,52 2 7,26 5,85Jenis bahan bakar 40,08 3 13,36 10,77

Interaksi 22,17 6 3,70 2,98Galat 14,91 12 1,24Jumlah 91,68 23

6. Statistik Uji

Tolak H0 jika f hitung > f tabel

7. Kesimpulan

a. 5,85 > 3,89 Tolak H0

Kesimpulan : Sistem rudal yang berlainan menghasilkan rataan laju pembakaran yang

berbeda.

b. 10,77 > 3,49 Tolak H0

Kesimpulan : Rataan laju pembakaran bahan bakar tidak sama untuk keempat jenis

bahan bakar.

c. 2,98 < 3,00 Terima H0

Kesimpulan : Tidak ada interaksi sistem rudal yang berlainan dengan jenis bahan

bakar yang berlainan.

Latihan soal

1. Suatu percobaan diadakan untuk meneliti pengaruh suhu dan jenis tungku terhadap umur

sejenis suku cadang tertentu yang diuji. Empat jenis tungku dan tiga taraf suhu dipakai

dalam percobaan tersebut. 24 buah suku cadang dibagi secara acak, dua pada tiap kombinasi

perlakuan, dan hasilnya diterakan berikut :

Suhu (0C) TungkuT1 T2 T3 T4

500 227 214 225 260221 159 236 229

550 187 181 232 246208 179 198 273

600 174 198 178 206202 194 213 219

Gunakan taraf keberartian 0,05, uji hipotesi bahwa :

a. Suhu yang berbeda tidak berpengaruh pada umur suku cadang tersebut

b. Tungku yang berlainan tidak berpengaruh pada umur suku cadang tersebut

c. Jenis tungku dan suhu tidak berinteraksi

2. Untuk menetukan otot mana yang perlu mendapat program latihan untuk meningkatkan

kemampuan melakukan servis datar dalam tenis, penelitian ‘An Electromoygraphic-

Cinematrographic Analysis of the Tennis Serve” telah dilakukan oleh Jurusan Kesehatan di

Virginia Polytechnic Institute and State University di tahun 1978. Lima otot yang berbeda

tersebut adalah :

a. Anterior deltoid,

b. Pectorial mayor,

c. Posterior deltoid,

d. Deltoid tengah,

e. Trisep

Diuji pada masing-masing tiga orang, dan percobaan dilakukan tiga kali untuk tiap

kombinasi perlakuan. Data elektromyograf, tercatat waktu servis, adalah sebagai berikut :

Orang Otot1 2 3 4 5

132 5 58 10 1959 1.5 61 10 2038 2 66 14 23

263 10 64 45 4360 9 78 61 6150 7 78 71 42

343 41 26 63 6154 43 29 46 8547 42 23 55 95

Gunakan taraf keberartian 0,01 untuk menguji hipotesis bahwa:

a. Ketiga orang mempunyai pengukuran elektromygraf yang sama

b. Otot yang berbeda tidak mempunyai pengaruh pada pengukuran elektromygraf

c. Orang dan jenis otot tidak berinteraksi

BAB VIIISTATISTIKA NON-PARAMETRIK

8.0 Tujuan Pembelajaran

Mahasiswa mampu :

1. Membedakan prosedur uji parametrik dan nonparametrik2. Menjelaskan macam-macam uji nonparametrik3. Menjelaskan asumsi-asumsi yang harus dipenuhi dalam beberapa uji

nonparametrik4. Menyelesaikan problem yang menggunakan uji nonparametrik5. Menghitung korelasi peringkat/rank Spearman

8.1 Statistika Nonparametrik

Salah satu karakteristik prosedur-prosedur dalam metode statistika adalah kelayakan

penggunaannya untuk tujuan inferensia (penyimpulan) selalu bergantung pada asumsi-

asumsi tertentu yang kaku. Prosedur dalam analisa varians, misalnya : mengasumsikan

bahwa sampel harus diambil dari populasi-populasi yang berdistribusi normal dan

mempunyai varians yang sama.

Jika populasi yang dikaji tidak dapat memenuhi asumsi-asumsi yang mendasari uji-uji

parametrik,maka statistika nonparametrik dapat memenuhi kebutuhan tersebut dan tetap

sah meski hanya berlandaskan pada asumsi-asumsi yang sangat umum. Ringkasnya, bila

uji parametriknya dan nonparametrik dapat digunakan untuk data yang sama, kita

seharusnya menghindari uji nonparametrik yang “cepat dan mudah” ini dan

mengerjakannya dengan teknik parametrik yamg lebih efisien. Akan tetapi, karena

asumsi kenormalan seringkali tidak dapat dijamin berlakunya, dan juga karena kita tidak

selalu mempunyai hasil pengukuran yang kuantitatif sifatnya, maka beruntunglah telah

disediakan sejumlah prosedur nonparametrik yang bermanfaat.

Kelebihan prosedur nonparametrik:

1. Prosedur nonparametrik memerlukan asumsi dalam jumlah yang minimum, sehingga

kemungkinan untuk digunakan secara salah pun relatif kecil (Uji-ujinya disertai dengan

asumsi-asumsi yang jauh tidak mengikat dibandingkan dengan uji parametrik

padanannya)

2. Perhitungan-perhitungannya dapat dilakukan secara cepat dan mudah

3. Konsep-konsep dan metode-metode prosedur nonparamterik mudah dipahami bagi

peneliti yang dasar matematika dan statistikanya kurang

4. Dapat diterapkan pada data dengan skala pengukuran yang lemah (Datanya tidak harus

merupakan pengukuran kuantitatif tetapi dapat berupa respon yang kualitatif)

Kelemahan prosedur nonparamtrik:

1. Tidak menggunakan semua informasi dari sampel (kurang efisien)

2. Tidak seteliti pengujian parametrik, sehingga untuk mencapai β (peluang terjadinya

kesalahan type kedua) yang sama diperlukan sampel yang besar

8.2. Uji Tanda (Sampel Tunggal)

Uji tanda merupakan prosedur nonparametrik yang paling sederhana untuk diterapkan, pada sembarang data yang bersifat dikotomi yaitu data yang tidak dapat dicatat pada skala numerik tetapi yang hanya dapat dinyatakan melalui respons positif dan negatif. Misalnya : percobaan yang responsnya bersifat kualintatif seperti “cacat” atau “tidakt”, atau dalam percobaan yang berhubungan dengan indera perasa yang responsnya berupa tanda plus bila penyicip rasanya dapat mengidentifikasi bumbu yang digunakan, atau minus bila tidak berhasil mengidentifikasi bumbu tersebut.

Asumsi yang digunakan dalam uji tanda adalah:

1. Sampel yang diukur adalah sampel acak dari suatu populasi dengan median yang belum diketahui

2. Variabel yang diukur minimal mempunyai skala pengukuan ordinal3. Varianel yang diukur adalah variabel kontinyu

Prosedur pengujian dalam uji tanda ini adalah:


H 0 : ~μ=~μ0

H 1 : ~μ ≠~μ0

Tentukan Level of Significance (α)

Tentukan daerah kritis:

1. Satu arah : P(X≤ x́ H0 benar ¿≤α

2. Dua arah : 2 P(X≤ x́ H0 benar ¿≤α

Dimana x : banyaknya tanda plus/minus manapun yang lebih kecil

Perhitungan Statistik Uji:

3. Hitung semua selisih dari pengurangan masing-masing nilai sampel

dengan median hipotesis

4. Beri tanda (+) jika selisih > 0 dan beri tanda (-) jika selisih < 0

5. Jika ada selisih = 0, buang dan ukuran sampel harus dikurangi

6. Hitung P(X≤ x́n∗0,5¿ dengan distribusi binomial dan bandingkan

dengan α untuk n ≤ 20

7. Jika n >10 dan p = 0,5 atau jika np = nq > 5, maka dapat didekati

dengan distribusi normal dengan memberikan faktor koreksi kontinuitas

yaitu:

. Z=(x ± 0,5 )−0,5 n

0,5√n


Tolak H0 jika masuk dalam daerah kritis, dan terima H0 jika diluar daerah kritis

Kesimpulan:

Menerima Ho menunjukkan bahwa tidak ada perbedaan, sedang menolak Ho

menunjukkan adanya perbedaan antara subyek.

Contoh-1

Berikut ini adalah data lama waktu (dalam jam,)sebuah alat listrik pencukur rambut dapat digunakan sebelum harus diisi tenaga listrik kembali:

1.5, 2.2, 0.9, 1.3, 2.0, 1.6, 1.8, 1.5, 2.0, 1.2, dan 1.7.

Gunakan uji tanda untuk menguji hipotesis pada taraf nyata 0.05 bahwa alat pencukur ini secara rata-rata dapat bekerja 1.8 jam sebelum harus diisi tenaga listrik kembali.

Jawab:


H 0 : ~μ=1,8

H 1 : ~μ ≠ 1,8

Dengan Level of Significance (α)=0,05, maka daerah kritis:

8. Dua arah : 2 P(X≤ x́ H0 benar ¿≤0,05

9. Dua arah : P(X≤ x́ H 0 benar ¿≤0,025



Data 1.5 2.2 2,1 1.3 2.0 1.6 1.8 1.5 2.0 1.2 1.7

Tanda - + + - + - + - + - -

*Median = 1,7182

P(X≤ 5́ ⃒11∗0,5¿ = dengan distribusi binomial (lihat tabel) = 0,5

Ternyata lebih besar dari ∝2=0,025

Keputusan:

Tolak H0

Kesimpulan:

Rata-rata bekerja/berfungsi alat pencukur listrik tsb bukan 1.8 jam

Contoh-2

Sebuah perusahaan taksi hendak menetukan apakah akan menggunakan ban radial atau ban biasa untuk meningkatkan penghematan bahan bakar. Duabelas mobil dipasang dengan ban radial dan kemudian dicoba pada sebuah lintasan tertentu. Tanpa mengganti supirnya, mobil-mobil yang sama kemudian dipasang dengan ban biasa dan dicoba sekali lagi pada lintasan yang sama. Konsumsi bahan bakar, dalam kilometer per liter, tercatat sebagai berikut:

Mobil Ban radial Ban biasa1 4.2 4.12 4.7 4.93 4.6 6.24 7.0 6.95 6.7 6.86 4.5 4.47 5.7 5.78 6.0 5.89 7.4 6.910 4.9 4.911 6.1 6.012 5.2 4.9

Dapatkah kita menyimpulkan pada taraf nyata 0.05 bahwa mobil yang dilengkapi dengan ban radial lebih hemat bahan bakar dari pada mobil dengan ban biasa? Gunakan hampiran normal terhadap sebaran binom.

Jawab:


H 0 :~μR−~μB = 0

H 1 :~μR−~μB>0

Ban

Radial 4.2 4.7

4.6 7.0 6.7 4.5 5.

76.0 7.4 4.

96.1 5.2 5,

76,9

Ban

Biasa 4.1 4.9

6.2 6.9 6.8

4.4 5.7

5.8 6.9 4.9

6.0 4.9 5,3

6,5

Tanda + - - + - + 0 + + 0 + + + +

Perhitungan: Dengan sedikit perhitungan kita memperoleh 9 tanda plus, 2 tanda nol.

Setelah tanda nol dibuang, n = 12 dan x = 9.

Karena n > 10 dan p = 0,5 maka dapat didekati dengan distribusi normal dengan memberikan

faktor koreksi kontinuitas yaitu:

ZHitung=(12−0,5 )−0,5∗12√(12 ) (0,5 )(0,5)

= 3,1754

Daerah Kritis: z > 1.645

Keputusan: Karena ZHitung>ZTabel , maka tolak Ho Kesimpulan :Rata-rata ban radial memang meningkatkan penghematan bahan

bakar.

8.3. Uji Tanda Untuk Dua Sampel Berhubungan

Asumsi yang digunakan dalam uji tanda adalah:

1. Sampel yang diukur adalah sampel acak yang terdiri dari n pasangan hasil pengukuran dimana masing-masing pasangan pengukurannya dilakukan terhadap subyek yang sama

2. Variabel yang diukur minimal mempunyai skala pengukuan ordinal3. Variabel yang diukur adalah variabel kontinyu4. Ke-n pasangan hasil pengukuran independen

Prosedur pengujian dalam uji tanda ini adalah:


H 0 :~μ1−~μ2=d i = 0

H 1 :~μ1−~μ2≠ 0



a. Satu arah : P(X≤ x́ H0 benar ¿≤α

b. Dua arah : 2 P(X≤ x́ H0 benar ¿≤α



Untuk masing-masing pengamatan, hitung selisih dari masing-masing nilai

dari dua sampel berpasangan.

Beri tanda (+) jika selisih > 0 dan beri tanda (-) jika selisih < 0

Jika ada selisih = 0, buang dan ukuran sampel harus dikurangi

Untuk n ≤ 20 dan pengujian dilakukan dengan dua arah hitung 2P(X

≤ x́n∗0,5¿ dengan distribusi binomial dan bandingkan dengan α

Jika n >10 dan p = 0,5 atau jika np = nq > 5, maka dapat didekati dengan

distribusi normal dengan memberikan faktor koreksi kontinuitas yaitu:

. Z=(x ± 0,5 )−0,5 n

0,5√n


Tolak H0 jika masuk dalam daerah kritis, dan terima H0 jika diluar daerah kritis

Kesimpulan:

Menerima Ho menunjukkan bahwa tidak ada perbedaan, sedang menolak Ho

menunjukkan adanya perbedaan antara subyek.

Contoh-3

Seorang peneliti mempelajari efek kebersamaan terhadap denyut jantung tikus. Denyut jantung 10 tikus dicatat, baik ketika masing-masing tikus sedang sendiri maupun ketika sedang bersama-sama. Hasil studi tersebut dicatat seperti data dibawah ini (dalam menit):

Tikus 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10X 463 462 462 456 450 426 418 415 409 402Y 523 494 461 535 476 454 448 408 470 437*X=Ketika tikus sendiri

Y= Ketika tikus berkumpul

Ujilah dengan level significance 5% apakah kebersamaan meningkatkan denyut jantung tikus-tikus?

Jawab:


H 0 :~μx−~μy ≥ d i≥ 0

H 1 :~μx−~μy<¿ 0

Tikus 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10X 463 462 462 456 450 426 418 415 409 402Y 523 494 461 535 476 454 448 408 470 437d i -60 -32 +1 -79 -26 -28 -30 +7 -61 -35Tanda - - + - - - - + - -

Dua arah : 2 P(X≤ 2́10∗0,5¿=0,0547

P(X≤ 2́10∗0,5¿=0,02735≤ α=0,05

Keputusan:

Terima H0

Kesimpulan:

Kebersamaan tidak meningkatkan denyut jantung tikus-tikus tsb.

8.4. Uji Jumlah Peringkat-Bertanda Wilcoxon (Wilcoxon Rank Sum Test)

Uji Peringkat-Bertanda Wilcoxon adalah metode nonparametrik yang sangat sederhana yang ditemukan oleh Frank Wilcoxon pada tahun 1945 untuk membandingkan nilai tengah dua populasi bukan normal yang kontinu. Jadi singkatnya uji ini digunakan untuk menguji hipotesis mengenai beda lokasi median.

Asumsi yang digunakan dalam uji Wilcoxon Rank Sum Test adalah:

1. Data merupakan sampel acak hasil pengamatan X1,X2,..., Xn dari populasi satu dan sampel acak hasil pengamatan lain Y1,Y2,...,Yn

2. Variabel yang diukur minimal mempunyai skala pengukuan ordinal3. Variabel yang diukur adalah variabel kontinyu4. Kedua sampel independen

Prosedur pengujian dalam uji Wilcoxon Rank Sum Test ini adalah:


H 0 :~μ1=~μ2

H 1 :~μ1 ≠~μ2



a. Semua nilai U yang memenuhi P(U≤ u´ H 0 benar ¿<α , jika n2 ≤ 8 dan ujinya

satu arah

b. Semua nilai U yang memenuhi 2 P(U≤ u´ H 0 benar ¿<α , jika n2 ≤ 8 dan ujinya

dua arah

c. Semua nilai U ≤ Nilai kritis yang sesuai dalam tabel 18 (buku Walpole), jika 9

≤ n2 ≤ 20


Tentukan n1 (ukuran sampel yang lebih kecil) dan n2

Urutkan semua n1 + n2 pengamatan dengan urutan dari kecil ke besar dan

beri ranking 1,2,3 ...n1+n2 pada tiap pengamatan dan jika terdapat

pengamatan yang besarnya sama, maka pengamatan tsb diganti dengan

rata-rata ranking

Hitung W1= Jumlah ranking pada n1

W2= Jumlah ranking pada n2

W 1+W 2=( n1+n2 )(n1+n2+1)

2

U1 = W1 -n1(n1+1)

2

U2 = W2 -n2(n2+1)

2

Dan jika n >20 distribusi sampel U1 dan U2 dapat didekati dengan

distribusi normal dengan:

. μU 1=n1 n2

2 dan σ 2

U 1=n1 n2(n1+n2+1)

12


Tolak H0 jika U masuk dalam daerah kritis, dan terima H0 jika U diluar daerah

kritis

Kesimpulan:

Contoh-4

Berikut ini adalah data kekuatan dua jenis lempeng baja :

Lempeng Baja-X 75 46 57 43 58 32 61 56 34 65Lempeng Baja-Y 52 41 43 47 32 49 52 44 57 60

Ujilah dengan level signivicance 5% apakah kedua lempeng tsb mempunyai kekuatan yang berbeda?

Jawab: H 0 :~μx=~μy

H1 :~μx ≠ ~μy

Lempeng Baja-X 75 46 57 43 58 32 61 56 34 65Ranking 20 8 14,5 5,5 16 1,5 18 13 3 19Lempeng Baja-Y 52 41 43 47 32 49 52 44 57 60Ranking 11,5 4 5,5 9 1,5 10 11,5 7 14,5 17

W1 = 1,5+3+5,5+8+13,5+14,5+16+18+19+20=118,5

W 2=(n1+n2 )(n1+n2+1)

2– W1 = (20 )(21)

2 −118,5=91,5

U1 = W1 -n1(n1+1)

2 = 118,5 –

(10 )(11)2 =63,5

U2 = W2 -n2(n2+1)

2 = 91,5 –

(10 )(11)2 =36,5

Keputusan:

U2 < U1 Ambil U= 36,5 dimana U tabel = 23

Karena U hitung > U tabel terima H0

Kesimpulan:

Tidak terdapat perbedaan kekuatan antara kedua baja tsb atau dengan kata lain

kekuatan lempeng baja X = kekuatan lempeng baja Y

8.5. Uji Wilcoxon untuk Pengamatan Berpasangan

Uji tanda hanya menunjukkan tanda-tanda plus dan minus yang diperoleh dari selisih antara pengamatan dan median dalam kasus satu-sampel, atau tanda plus dan minus yang diperoleh dari selisih antara pasangan pengamatan dalam kasus sampel-berpasangan, tetapi tidak memperhitungkan besarnya selisih-selisih tersebut. Sebuah uji yang memanfaatkan baik arah maupun besar arah itu ditemukan pada tahun 1945 oleh Frank Wilcoxon, dan sekarang uji ini dikenal sebagai uji peringkat-bertanda wilcoxon, atau dalam kasus pengamatan berpasangan disebut juga uji Wilcoxon bagi pengamatan berpasangan.

Asumsi yang digunakan dalam uji Wilcoxon untuk Pengamatan Berpasangan adalah:

1. Data terdiri atas n buah selisih di = Yi - Xi setiap pengukuran (Xi,Yi) diperoleh dari pengamatan terhadap subyek yang sama/terhadap subyek yang telah dipasangkan dalam sampel ini diperoleh dengaan cara acak

2. Data minimal mempunyai skala pengukuran interval 3. Variabel selisih yang diukur adalah variabel acak kontinyu4. Selisih-selisih tsb independen5. Distribusi selisih populasi tsb setangkup/simetrik

Prosedur pengujian dalam uji Wilcoxon untuk Pengamatan Berpasangan ini adalah:


H 0 :~μ1−~μ2=d0

H 1 :~μ1−~μ2≠ d0



a. Semua nilai W yang memenuhi P(W≤ w´ H0 benar¿<α , jika n < 5 dan ujinya

satu arah

b. Semua nilai W yang memenuhi 2 P(W≤ w´ H 0 benar¿<α , jika n < 5 dan

ujinya dua arah

c. Semua nilai W ≤ Nilai kritis yang sesuai dalam tabel 17 (buku Walpole), jika

5 ≤ n ≤ 30


Hitung selisih dari setiap pasangan hasil pengukuran dan perhatikan tandanya

: di = Yi - Xi

Singkirkan semua selisih yang besarnya nol, meskipun ukuran sampel n akan

berkurang

Berilah ranking/peringkat pada ke-n selisih d1-d0 tanpa memperhatikan

tandanya

Hitung jumlah peringkat yang bertanda positif (w+) dan jumlah peringkat

yang bertanda negatip (w-), kemudian ambil nilai w yang terkecil

Bandingkan w terkecil dengan tabel 17 (buku Walpole)

Jika n > 30, distribusi W dapat didekati dengan distribusi Normal dengan:

μw=n (n+1)

4 dan σ 2

w=n ( n+1 )(2n+1)

24

Dan Statitik Ujinya adalah:

Z=( w−μw )

σ w


Tolak H0 jika masuk dalam daerah kritis, dan terima H0 jika sebaliknya

Kesimpulan:

Contoh-5

Sekelompok peneliti mengkaji perubahan-perubahan hemodinamik pada pasien-pasien dengan pulmonary thromboembolism yang akut. Berikut ini adalah data yang memperlihatkan tekanan arteri paru-paru rata-rata yang telah diobservasi oleh peneliti-peneliti tsb sebelum dan setelah terapi urokinase

Tekanan arteri paru-paru rata-rata (dlm milimeter Hg)Pasien 1 2 3 4 5 6 7 8 90 Jam (X) 33 17 30 25 36 25 31 20 1824 Jam (Y) 21 17 22 13 33 20 19 13 9

Ingin diketahui apakah data ini menyediakan cukup bukti untuk menunjukkan bahw terapi urikinase menurunkan tekanan arteri paru, gunakan α = 5 %

Jawab:

H 0 :~μ yi−~μxi=di ≥ 0

H 1 :~μ yi−~μxi ≠ d i<0

Terapi

Tekanan arteri paru-paru rata-rata (dlm milimeter Hg)Pasien1 2 3 4 5 6 7 8 9

0 Jam (X) 33 17 30 25 36 25 31 20 1824 Jam (Y) 21 17 22 13 33 20 19 13 9d i = Y i – X i -12 0 -8 -12 -3 -5 -12 -7 -9Peringkat/ranking 7 4 7 1 2 7 3 5

Buang

Keputusan:

Dengan n =8 memperlihatkan bahwa peluang untuk mendapatkan w+ = 0 dan W tabel (daerah kritis) ≤ 6 , sehingga tolak H0

Kesimpulan:

Terapi urokinase benar-benar menurunkan tekanan arteri paru-paru

8.6. Uji Runtun Sampel Tunggal (One Sample Run Test)

Uji runtun adalah uji yang didasarkan atas urutan pengambilan sampel pengamatan. Uji ini berguna untuk menguji bahwa pengamatan memang diambil secara acak.

Tidak peduli apakah pengamatan tsb kuantitatif atau kualitatif, uji runtun membagi data menjadi dua kelompok yang saling eksklusif, seperti: laki-laki atau perempuan, cacat atau tidak cacat, gambar atau angka, diatas atau dibawah median dan lain sebagainya. Dengan demikian, barisan hasil percobaaanya hanya terdiri atas dua lambang. Jadi andaikan bahwa n adalah ukuran sampel total, maka n1 adalah banyaknya lambang yang lebih sedikit, dan n2

adalah banyaknya lambang yang lebih banyak, maka ukuran sampel total n = n1 + n2.

Prosedur pengujian dalam uji Runtun ini adalah:


H 0 : Sampel berasal dari proses acak

H 1 : Sampel tidak berasal dari proses acak



a. Semua nilai V yang memenuhi P(V≤ v H0 benar¿<α , jika n1 dan n2 ≤ 10

dan ujinya satu arah

b. Semua nilai V yang memenuhi 2 P(V≤ v ´H 0benar ¿<α , jika jika n1 dan n2 ≤

10 dan ujinya dua arah


Hitung runtun dari barisan sampel

Lihat tabel 19 (buku Walpole) dengan n1 dan n2 serta α sesuai dengan kasus

Jika n1 dan n2 > 10, distribusi V dapat didekati dengan distribusi Normal

dengan:

μv=1+[2 n1 n2

n1+n2 ] dan σ 2v=

2n1 n2(2n1 n2−n1−n2)¿¿

Dan Statitik Ujinya adalah:

Z=( V−μv)

σ v


Jika P (Z ) < α maka tolak H0, dan terima H0 jika sebaliknya

Kesimpulan

Sebagai ilustrasi, misalkan dari 12 orang yang telah disurvey dan ditanyai pendapatnya terhadap suatu produk tertentu, dan seandainya dari 12 orang tsb ternyata berjenis kelamin yang sama, hal tersebut pastilah jelas sangat kecil kemungkinannya dihasilkan dari suatu proses pengambilan yang acak dan sangat diragukan kevalidannya. Di bawah ini adalah urutan barisan dari kedua belas orang tsb yang diwawancarai, jenis kelamin laki-laki dilambangkan dengan huruf L dan perempuan dengan lambang huruf P,

L L P P P L L P P L L L

Barisan di atas terdiri dari sampel n = 12, dengan 5 runtun, dimana runtun yang pertama berupa dua L , yang kedua tiga P, yang ketiga dua L dan demikian seterusnya.

Uji runtun untuk memeriksa keacakan didasarkan pada peubah acak V , yaitu banyaknya runtun total dalam hasil percobaan atau sampel. Dalam buku Walpole tabel A.19,menyediakan nilai-nilai P(V ≤ v* bila h0 benar) diberikan untuk v* = 2, 3, ...., 20 runtun, dan nilai-nilai n1 dan n2 yang lebih kecil atau sama dengan 10. Nilai kritis di salah satu ujung sebaran V dapat diperoleh dari tabel tsb.

Dalam ilustrasi diatas, didapatkan lima P dan tujuh L. Dengan demikian, dengan n1 = 5 dan n2 = 7, dari Tabel A.19 (buku Walpole)didapatkan bahwa:

P(V ≤ 5 bila h0 benar) = 0.197 untuk pengujian satu arah dan untuk pengujian dua arah

2 P(V ≤ 5 bila h0 benar) = 2( 0.197) = 0.394 > α

Dengan α = 0.05 tidak cukup alasan untuk menolak hipotesis bahwa sampel berasal dari proses acak (terima H0)

Uji runtun juga dapat digunakan untuk memeriksa sifat keacakan suatu barisan hasil pengamatan atau percobaan menurut waktu, yang disebabkan oleh kecenderungan atau periodisitas. Dengan menggantikan setiap pengamatan sesuai dengan urutan terjadinya dengan tanda plus bila terletak diatas median dan tanda minus bila dibawah median, dan membuang semua pengamatan yang persis sama dengan median, maka kita mendapatkan suatu barisan tanda-tanda plus dan minus yang dapat diuji sifat keacakannya seperti diilustrasikan dalam contoh berikut.

Contoh-6

Sebuah mesin diatur sehingga secara otomatis mengeluarkan minyak pengencer cat ke dalam sebuah kaleng. Dapatkah kita mengatakan bahwa banyaknya pengencer yang dikeluarkan oleh mesin ini bervariasi secara acak bila isi 15 kaleng berikut, berturut-turut, adalah 3.6, 3.9, 4.1, 3.6, 3.8, 3.7, 3.4, 4.0, 3.8, 4.1, 3.9, 4.0, 3.8, 4.2, dan 4.1 liter? Gunakan taraf nyata 0.1.

Jawab.:

H0: Data diambil secara acak dari sebuah populasi

H1: Data tidak diambil secara acak

Langkah untuk mendapatkan statistik uji :

1. Tulis data hasil pengamatan dalam sampel menurut urutan didapatnya/urutan terjadinya

2. Tentukan besarnya median sampel3. Data yang harganya lebih besar dari median diberi tanda positif dan jika sebaliknya beri

tanda negatif4. Tentukan n1 (misal yang bertanda positif) dan n2 yang bertanda negatif5. Hitung banyaknya runtun (V)6. Cari P(V ≤ α bila H0 benar) dengan melihat tabel7. Jika P(V ≤ α bila H0 benar) ≤ α Tolak H0 untuk uji satu arah dan untuk uji dua arah

Tolak H0 jika 2 P(V ≤ α bila H0 benar) ≤ α

Perhitungan untuk contoh-7 tersebut diperoleh median = 3.9. kemudian dengan mengganti setiap pengamatan dengan tanda “-“ bila lebih kecil dari 3.9, dan membuang pengamatan yang sama dengan 3.9, maka diperoleh barisan :

+ - - - - + + + + - + +

dimana didapatkan n1 = 6, n2 = 7, dan v = 6.

Keputusan: P(V ≤ α bila H0 benar) =0.296 > α Terima H0 (lihat Tabel A.19 buku Wallpole dengan n1 = 6, n2 = 7, dan v = 6)

Kesimpulan: Karena v = 6 jatuh dalam wilayah penerimaan, maka terima hipotesis bahwa isi kaleng itu memang bervariasi secara acak.

Uji runtun, meskipun kuasa ujinya lebih rendah, dapat juga digunakan sebagai pilihan lain bagi uji jumlah peringkat Wilcoxon untuk menguji bahwa dua sampel acak berasal dari dua populasi yang sama sehingga mempunyai nilai tengah yang sama. Bila populasinya setangkup, penolakan pendapat bahwa sebenarnya sama setara dengan penerimaan hipotesis akternatif bahwa kedua nilai tengah tidak sama. Untuk melakukan uji ini,berikut adalah langkah-langkah pengujiannya:

Tentukan hipotesis :

H0: Kedua sampel berasal dari populasi yang diambil secara acak

H1: Kedua sampel tidak berasal dari populasi yang diambil secara acak

Langkah :1. Gabungkan kedua sampel menjadi sampel berukuran n1 + n2 2. Tulis ke (n1+n2) buah data dari sampel gabungan menurut urutan nilainya3. Nyatakan data dari sampel ke-1 dengan A dan data dari sampel ke-2 dengan B4. Hitung banyaknya runtun (v)5. Cari P(V ≤ α bila H0 benar) dengan melihat tabel

6. Daerah kritis (Daerah penolakan): Tolak H0 jika P(V ≤ α bila H0 benar) ≤ α untuk uji satu arah Tolak H0 jika 2 P(V ≤ α bila H0 benar) ≤ α untuk uji dua arah

Jika n1 dan n2 > 10 dapat didekati dengan distribusi normal dengan :

μV =[ 2n1n2

n1+n2 ]+1 dan σ2V =

2n1n2(2n1 n2−n1−n2)

( n1+n2 )2(n1+n2−1)

Z=( V−μV )

σ V

Contoh-7

Data berikut memperlihatkan penyimpangan-penyimpangan temperatur dari suhu normal, yang setiap hari dicatat di daerah Bandung dan daerah Jakarta selama bulan April 2010:

BandungHari 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11Penyimpangan 7 6 5 -2 -1 3 2 -6 -5 8 -4Tanda + + + - - + + - - + -

JakartaHari 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11Penyimpangan 5 8 -3 -7 -9 8 -1 -2 -3 2 3Tanda + + - - - + - - - + +

Jawab:

H0: Kedua sampel berasal dari populasi yang diambil secara acak

H1: Kedua sampel tidak berasal dari populasi yang diambil secara acak

n1= 11 n2=11 karena n1 dan n2 > 10, sehingga dapat didekati dengan distribusi normal, dengan:

μV =[ 2 (11 )(11)11+11 ]+1 = 12

σ 2V =

2 (11 )(11)(2(11)(11)−11−11)(11+11 )2(11+11−1)

= 5.238 σ V =2.2887

Z=( V−μV )

σ V

= (11−12)2,2887

= -0.4369 ≈ -0.44

P(Z< -0.44) = 0.33 > α Terima H0

Kesimpulan: Kedua sampel memang berasal dari populasi yang diambil secara acak

8.7. Uji Kruskal-Wallis

Uji Kruskal-Walls merupakan generalisasi uji dua sampel Wilcoxon untuk k > 2 sampel. Diperkenalkan pada tahun 1952 oleh W. H Kruskal dan W. A. Wallis, Uji ini digunakan untuk menguji hipotesis nol (H0) bahwa k sampel bebas berasal dari populasi yang identik. Uji nonparametrik ini merupakan alternatif bagi uji F untuk pengujian kesamaan beberapa nilai tengah dalam analisis variansi jila ingin menghindar dari asumsi bahwa sampel diambil dari populasi normal.

Asumsi yang harus dipenuhi dalam uji Kruskal Wallis adalah:

1. Data untuk analisis terdiri dari k sampel acak yang berukuran n1,n2,n3...,nk

2. Pengamatan-pengamatan bebas baik di dalam maupun diantara sampel-sampel3. Variabel yang diukur kontinyu4. Skala pengukuran minimal ordinal5. Populasi-populasi identik kecuali dalam hal lokasi yang berbeda untuk sekurang-

kurangnya satu populasi

Struktur data dalam uji Kruskal Wallis:

Sampel

1 2 … … k

y11 y12 … … y1 k

y21 y22 … … y2 k

… … …

yn1 yn 2 … … ynk

Prosedur untuk memperoleh Statistik Uji:

1. Gabungkan semua sampel n = n1 + n2 + n3+... + nk

2. Urutkan dari kecil ke besar dn beri peringkat, jika terdapat pengamatan yang sama ambil rata-rata rank/peringkatnya

3. Jumlah peringkat/rank semua pengamatan n1 dan nyatakan dengan Ri

4. Hitung :

H= 12n(n+1)∑i=1

k Ri2

ni−3(n+1)

5. Jika H jatuh dalam daerah kritis H > χα2 dengan v=k-1 tolak H0, dan jika

sebaliknya terima H0

Contoh- 8

Dalam percobaan untuk menetukan sistem peluru kendali mana yang lebih baik, dilakukan pengukuran pada laju pembakaran bahan bakarnya. Datanya, setelah dikodekan, diberikan dalam Tabel 13.3. Gunakan uji Kruskal-Wallis dan taraf nyata α = 0.05 untuk menguji hipotesis bahwa laju pembakaran bahan bakar sama untuk ketiga sistem tersebut.

Tabel 13.3 Laju Pembakaran Bahan BakarSistem Peluru Kendali1 2 324.016.722.819.818.9

23.219.818.117.620.217.8

18.419.117.317.319.718.918.819.3

Jawab

H0: Ketiga populasi identik (mempunyai median yang sama)H1: Ketiga populasi tidak memiliki median yang sama

Perhitungan: dalam tabel 13.4 kita ubah pengamatan itu menjadi peringkat dan kemudian menjumlahkan semua peringkat untuk masing-masing sistem.

Tabel 13.Peringkat Bagi Data Laju Pembakaran bahan bakar

Sistem Peluru kendali

1 2 3

1911714.59.5

R1 = 61.0

1814.564165

R2 = 63.5

17112.52.5139.5812

R3 = 65.5

Sekarang, dengan mensubtitusikan n1 = 5, n2 = 6, n3 = 8, r1 = 63.0, r2 = 63.5, dan r3 = 65.6, maka kita memperoleh nilai statistik uji H yaitu :

H= 12n(n+1)∑i=1

k Ri2

ni−3(n+1)

H=12

19(19+1) [ 612

5+

63.52

6+

65.52

8 ]−3(19+1)

H = 1.6586

Keputusan: karena H tidak jatuh dalam wilayah kritisnya, yaitu H > 5.991, berarti tidak

cukup bukti untuk menolak hipotesis bahwa laju pembakaran bahan bakar sama untuk

ketiga sistem peluru kendali itu., dengan kata lain terima H0. Jadi ketiga sistem peluru

kendali mempunyai median yang sama.

8.8 Koefisien Korelasi Peringkat/ Rank Spearman

Ada kalanya ingin diketahui korelasi antara dua variabel tidak berdasarkan pada

pasangan data dimana nilai sebenarnya diketahui, tetapi menggunakan urutan-urutan nilai

tertentu atau biasa disebut Rank. Teknik korelasi ini digunakan untuk variabel dengan data

bertipe ordinal dan tidak berdistribusi normal, dimana korelasi spearman rank ini masuk

dalam statistika nonparametrik. Selain itu dengan menggunakan teknik ini tidak lagi harus

diasumsikan bahwa hubungan yang mendasari variabel yang satu dengan variabel yang lain

harus linier.

Koefisien korelasi Sperman rank (rs) dapat dihitung dengan menggunakan rumus :

r s=1−6∑i=1

n

(d ¿¿ i)2

n(n2−1)¿

Dengan:

d i=disparitas /selisih tiap pasang rank

n=banyaknya pasangan data

Dalam prakteknya, rumus diatas tetap digunakan meskipun terdapat nilai-nilai yang sama

diantara pengamatan-pengamatan x atau y. Untuk pengamatan-pengamatan demikian ini

peringkatnya diberikan seperti dalam uji peringkat bertanda Wilcoxon, yaitu dengan merata-

ratakan peringkat yang diberikan seandainya ada pengamatan yang sama.

Nilai rs biasanya dekat dengan nilai r yang diperoleh berdasarkan pengukuran numerik dan

ditafsirkan secara sama pula. Nilai rs dapat terjadi dari – 1 sampai +1. Nilai +1 atau -1

menunjukkan adanya hubungan yang sempurna antara X dan Y, tanda plus dapat diartikan

bahwa pemberian peringkat itu sejalan, sedangkan tanda minus berarti bahwa pemberian

peringkat itu bertolak belakang. Bila rs dekat dengan nol, dapat disimpulkan bahwa kedua

peubah tidak berkorelasi.

Ada beberapa keuntungan penggunaan rs dibandingkan dengan penggunaan r. Sebagai

contoh, tidak lagi harus mengasumsikan bahwa hubungan yang mendasari antara X dan Y

harus linear. Ini berarti bila datanya menunjukkan adanya hubungan yang kurvilinear, maka

korelasi peringkat cenderung lebih dapat dipercaya daripada korelasi biasa. Keuntungan

kedua adalah tidak perlu mengasumsikan bahwa sebaran bagi X dan Y adalah normal.

Untuk melakukan uji nyata bagi koefisien korelasi peringkat, harus diketahui sebaran bagi

nilai-nilai rs dibawah asumsi X dan Y bebas. Nilai kritis untuk α = 0.05, 0.025, 0.01, dan

0.005 telah dihitung dan diberikan dalam Tabel A.22. Tabel ini dibuat menyerupai tabel nilai

kritis bagi sebaran t, kecuali bahwa kolom paling kiri berisi banyaknya pasangan

pengamatan dan bukan derajat bebas. Karena sebaran nilai-nilai rs setangkup terhadap rs = 0,

maka nilai rs yang memberikan luas daerah sebesar α disebelah kanannya. Bila hipotesis

alternatifnya dua-arah, daerah kritis sebesar α dibagi dua sama besar di kedua ekor

sebarannya. Bila hipotesis alternatifnya negatif, maka daerah kritisnya jatuh seluruhnya di

ekor kiri sebaran, dan bila hipotesis alternatifnya positif, daerah kritisnya jatuh seluruhnya di

ekor kanan sebarannya.

Contoh 9

Hitunglah koefisien korelasi antara hasil produksi departemen A dengan departemen B

menggunakan teknik korelasi Spearman Rank!

Sample Ke-

Hasil Produksi (ton)Departemen A (x) Departemen B (y)

1 141.8 89.72 140.2 74.43 131.8 83.54 132.5 77.85 135.7 85.86 141.2 86.57 143.2 89.48 140.2 89.39 140.8 8810 131.7 82.211 130.8 84.612 135.6 84.413 143.6 86.314 133.2 85.9

Jawab:

Sampel ke- X Y Rank

(x)Rank (y) d i=R ( x )−R ( y) d i

2

1 141.8 89.7 12 14 -2 4

2 140.2 74.4 8.5 1 7.5 56.253 131.8 83.5 3 4 -1 14 132.5 77.8 4 2 2 45 135.7 85.8 7 7 0 06 141.2 86.5 11 10 1 17 143.2 89.4 13 13 0 08 140.2 89.3 8.5 12 -3.5 12.259 140.8 88 10 11 -1 110 131.7 82.2 2 3 -1 111 130.8 84.6 1 6 -5 2512 135.6 84.4 6 5 1 113 143.6 86.3 14 9 5 2514 133.2 85.9 5 8 -3 9∑ 140.5

r s=1− 6 (140,5)14(142−1)

=1− 7002730

=1−0,256=0,744

Yang menunjukkan adanya korelasi positif yang tinggi antara hasil produksi dari departemen A dan hasil produksi dari departemen B.

SOAL-SOAL LATIHAN

1. Dari 12 kali berobat ke dokter, seorang pasien harus menunggu 17, 32, 25, 15, 28, 25, 20,

12, 35, 20, 26, dan 24 menit diruang tunggu. Gunakan uji tanda dengan α = 0.05 untuk

menguji pernyataan dokter itu bahwa secara rata-rata pasiennya tidak menunggu lebih dari

20 menit sebelum dipanggil ke ruang periksa.

2. Data berikut menyatakan lama latihan terbang, dalam jam, yang dijalani 18 calon pilot dari

seorang instruktur sebelum penerbangan solo mereka yang pertama: 9, 12, 13, 12, 10, 11,

18, 16, 13, 14, 11, 15, 12, 9, 13, 14, 11, dan 14. Gunakan uji tanda dengan α =0.02 untuk

menguji pernyataan instruktur tersebut bahwa secara rata-rata calon pilot bimbingannya

berhasil terbang solo setelah 12 jam latihan terbang.

3. Seorang petrugas memeriksa 15 botol selai cap tertentu untuk menetukan persentase bahan

campurannya. Data yang diperoleh adalah sebagai berikut: 2.4, 2.3, 1.7, 1.7, 2.3, 1.2, 1.1,

3.6, 3.1, 1.0, 4.2, 1.6, 2.5, 2.4, dan 2.3. dengan menggunakan hampiran normal bagi sebaran

binom, lakukan uji tanda pada taraf nyata 0.01 untuk menguji hipotesis nol bahwa

presentase bahan campurannya adalah 2.5% lawan alternatifnya bahwa presentase bahan

campuran rata-rata bukan 2.5%.

4. Sebuah perusahaan elektronik internasional sedang mempertimbangkan untuk memberikan

perjalan memberikan liburean berikutnya biayanya bagi para staf eksekutifsenior dan

keluarganya. Untuk menentukan preferensi antara seminggu di Hawaii atau seminggu di

Spanyol, suatu contoh acak 18 staf eksekutif ditanyai pilihannya. Dengan menggunakan

hampiran normal bagi sebaran binom, lakukan uji tanda taraf nyata 0.05 untuk menguji

hipotesis nol bahwa kedua lokasi itu sama- sama disukai lawan alternatifnya bahwa

preferensinya mereka berbeda, bila ternyata 4 diantara 18 yang ditanyai lebih menyukai

Spanyol.

5. Seorang pengusaha cat mengeluh bahwa lamanya mengering cat akrilik produksinya telah

berkurang karena adanya sesuatu bahan kimia yang baru. Untuk menguji pendapat ini, 12

papan kayu dicat, separuh cat lama dan separuh lagi dengan cat baru. Lamanya mengering,

dalam jam, tercatat sebagai berikut:

Papan Lamanya mengering (jam)Cat baru Cat lama

1 6.4 6.62 5.8 5.83 7.4 7.84 5.5 5.75 6.3 6.06 7.8 8.47 8.6 8.88 8.2 8.49 7.0 7.310 4.9 5.811 5.9 5.812 6.5 6.5

Gunakan uji tanda pada taraf nyata 0.05 untuk menguji hipotesis bahwa bahan kimia baru itu tidak lebih dari yang lama dalam menguramgi lamanya mengering cat jenis ini.

6. Suatu program diet baru dikatakan dapat mengurangi bobot seseorang secara rata-rata 4.5

kilogram dalam waktu 2 minggu. Bobot 10 wanita yang mengikuti program diet ini dicatat

sebelum dan sesudah periode 2 minggu, berikut adalah datanya :

Wanita Bobot sebelum Bobot sesudah 1 58.5 60.02 60.3 54.93 61.7 58.14 69.0 62.15 64.0 58.56 62.6 59.97 56.7 54.58 63.6 60.29 68.2 62.310 59.2 58.7

Gunakan uji tanda pada taraf nyata 0.05 untuk menguji hipotesis bahwa diit itu dapat

mengurangi bobot badan seseorang sebanyak 4.5 kilogram, lawan alternatifnya bahwa

pengurangan bobot itu kurang dari 4,5 kilogram.

7. Dua jenis alat untuk mengukur kadar sulfur monoksida di udara hendak dibandingkan.

Berikut ini diberikan hasil pencatatan oleh kedua alat tersebut selama periode 2 minggu:

Hari Sulfur monoksidaAlat A Alat B

1 26.46 25.412 17.46 22.533 16.32 16.324 20.19 27.485 19.84 24.976 20.65 21.777 28.21 28.178 33.94 32.029 29.32 28.9610 19.85 20.4511 28.35 23.6712 22.78 18.9613 21.64 19.8814 18.93 23.44

Dengan menggunakan hampiran normal, kerjakan uji tanda untuk menentukan apakah kedua

alat itu memberikan hasil yang berbeda. Gunakan taraf nyata 0.01.

8. Analisislah data pada soal 1 dengan menggunakan uji peringkat-bertanda Wilcoxon

9. Analisislah data pada soal 2 dengan menggunakan uji peringkat-bertanda Wilcoxon.

10. Bobot badan, dalam kilogram, sepuluh orang sebelum dan sesudah berhenti merokok

tercatat sebagai berikut:

BB sebelum 58 60 62 69 70 64 76 72 66 75BB setelah 60 55 58 65 69 64 70 67 61 70

Gunakan uji peringkat-bertanda Wilcoxon untuk menguji hipotesis, pada taraf nyata 0.05,

bahwa berhenti merokok tidak dapat berpengaruh pada bobot badan seseorang, lawan

alternatifnya bahwa bobot badan seseorang akan bertambah bila ia berhenti merokok.

11. Analisislah data pada soal 5 dengan menggunakan uji peringkat-bertanda Wilcoxon.

12. Kerjakan kembali pada soal 6 dengan menggunakan uji peringkat-bertanda Wilcoxon.

13. Dari sebuah kelas matematika yang terdiri atas 12 siswa dengan kemampuan yang hampir sama, 5 orang diambil secara acak dan diberi pelajaran tambahan oleh guru. Hasil ujian akhir mereka adalah sebagai berikut :

Nilai

Dengan pelajaran tambahan

Tanpa pelajaran tambahan

87 69 78 91 80 85 7875 88 64 82 93 79 67

Gunakan uji jumlah peringkat Wilcoxon dengan α = 0.05 untuk menetukan apakah pelajaran tambahan mempengaruhi nilai.

14. Data berikut menyatakan berapa lama, dalam jam, 3 jenis kalkulator ilmiah dapat digunakan sebelum harus diisi tenaga listrik kembali :

Kalkulator

A B C 4.96.14.34.65.3

5.55.46.25.85.55.24.8

6.46.85.66.56.36.6

Gunakan uji Kruskal-Wallis, pada taraf nyata 0.01, untuk menguji hipotesis bahwa lamanya ketiga kalkulator itu dapat digunakan sebelum harus diisi listrik kembali adalah sama.

15. Empat rokok cap A, B, C, dan D hendak dibandingkan kadar tarnya. Data berikut menunjukkan berapa miligram tar itu ditemukan dalam 16 batang rokok yang dicoba:

Cap A Cap B Cap C Cap D

14101113

16181415

16151412

17201921

Gunakan uji Kruskal-Wallis, pada taraf nyata 0.05, untuk menguji apakah ada beda nilaitengah kadar tar yang nyata antar 4 rokok tersebut.

16. Dalam soal 4 halaman 395-6, gunakan uji Kruskal-Wallis, pada taraf nyata 0.05, untuk menetukan apakah sebaran nilai yang diberikan oleh ketiga dosen itu berbeda nyata.

17. Dalam latihan 7 halaman 396-7, gunakan uji Kruskal-Wallis, pada taraf nyata 0.05, untuk menetukan apakah analisis kimia yang dilakukan oleh keempat labolatorium itu secara rata-rata memberikan hasil yang sama.

18. Suatu contoh acak 15 orang dewasa disuatu kota kecil diambil untuk menduga proporsi mereka yang mendukung calon walikota yang baru. Selain itu dinyatakan pula apakah ia sarjana atau bukan. Dengan melambangkan Y bila responden itu sarjana dan T bila bukan sarjan, diperoleh barisan seperti berikut ini :T T T T Y Y T Y Y T Y T T T TGunakan uji runtunan pada taraf nyata 0.1 untuk menetukan apakah barisan itu menunjang pendapat bahwa contohnya bersifat acak atau tidak.

19. Suatu proses pelapisan-perak digunakan untuk melapisi nampan atau baki. Bila prosesnya terkendali dengan baik, tebal lapisan peraknya bervariasi secara acak mengikuti sebaran normal dengan nilaitengah 0.02 milimiter dan simpangan baku 0.005 milimiter. Misalkan bahwa dari 12 baki yang diperiksa berikutnya tebal lapisan peraknya adalah: 0.019, 0.021, 0.020, 0.019, 0.020, 0.018, 0.023, 0.021, 0.024, 0.022, 0.023, 0.022. gunakan uji runtunan untuk menetukan apakah fluktuasi ketebalan itu masih bersifat acak. Gunakan α = 0.05

20. Gunakan uji runtun pada soal 3 pada halaman 445.

21. Dalam suatu proses produksi, diadakan pemeriksaan secara berkala untuk mengetahui cacat tidaknya barang yang dihasilkan. Berikut ini adalah barisan barang yang cacat C, dan yang yidak cacat T yang dihasilkan oleh proses tersebut:C C T T T C T T C C T T T TT C C C T T C T T T T C T CDengan menggunakan hampiran berdasarkan contoh berukuran besar, lakukan uji runtunan dengan taraf nyata 0.05, untuk menetukan apakah barang yang cacat terjdi secara acak atai tidak

22. Bila data dalam Latihan 6 pada halaman 65 dicatat dari kiri ke kanan sesuai dengan urutan asalnya, gunakan uji runtun dengan α = 0.05 untuk menguji hipotesis bahwa data itu merupakan suatu barisan yang acak.

23. Data berikut adalah nilai kalkulus pada ujian tengah semester dan ujian akhir bagi 10 mahasiswa :

Mahasiswa UTS UAS

L.S.A 84 73W.P.B 98 63R.W.K 91 87J.R.L 72 66J.K.L 86 78D.L.P 93 78B.L.P 80 91D.W.M 0 0M.N.M 92 88R.H.S 87 77

a. Hitunglah koefisiensi korelasi peringkatnyab. Ujilah hipotesis bahwa koefisien korelasi peringkatnya sama dengan nol lawan

alternatifnya bahwa koefisien itu lebih besar dari nol. Gunakan α = 0.025.

24. Untuk bobot badan dan ukuran dada bayi dalam saol 6 pada halaman 378a. Hitunglah koefisien korelasi peringkatnyab. Ujilah hipotesis pada taraf nyata 0.025 bahwa koefisien korelasi peringkatnya

sama dengan nol lawan alternatifnya bahwa koefisien itu lebih besar dari nol.

25. Hitunglah koefisien korelasi peringkat bagi curah hujan harian dan banyaknya debu yang terbawa dalam Latihan 8 pada halaman 346.

Suatu lembaga konsumen memeriksa sembilan oven-gelombang-mikro untuk menentukan kualitasnya. Hasil peringkat berikut harga ecerannya tercantum dibawah ini:

Pabrik Peringkat Harga (dlm $)

A 6 480B 9 395C 2 575D 8 550E 5 510F 1 545G 7 400H 4 465I 3 420

Apakah ada hubungan yang nyata antara kualitas dan harga oven-gelombang-mikro?

26. Dua juri dalam suatu pawai memberi peringkat pada 8 mobil berhias sebagai berikut:

Mobil Berhias1 2 3 4 5 6 7 8

Juri AJuri B

57

85

44

32

68

21

76

13

a. Hitunglah koefisien korelasi peringkatnya.b. Ujilah hipotesis bahwa koefisien korelasi peringkat populasinya sama dengan nol

lawan hipotesis alternatifnya bahwa koefisien itu lebih besar dari nol. Gunakan α = 0.05

c. Ujilah hipotesis bahwa X dan Y bebas lawan aktewrnatifnya bahwa kedua peubah itu tidak bebas, bila dari suatu contoh n = 50 pasangan pengamatan diperoleh rs = -0.29. gunakan α = 0.05.

27. Dua macam makanan A dan B diberikan kepada ayam secara terpisah untuk jangka waktu tertentu. Ingin diketahui apakah ada perbedaan yang berarti mengenai pertambahan berat daging ayam yang dikarenakan kedua macam makanan itu ataukah tidak. Pertambahan berat badan ayam (dalam ons)pada akhir percobaan adalah sebagai berikut :

Makanan A 3,1 3,0 3,3 2,9 2,6 3,0 3,6 2,7 3,8 4,0 3,4

Makanan B 2,7 2,9 3,4 3,2 3,3 2,9 3,0 3,0 3,6 3,7 3,5

Selidikilah hal tersebut dengan menggunakan uji tanda.

28. Sepuluh pasang suami istri telah menilai perlombaan memasak. Dalam bentuk peringkat, hasilnya diberikan dibawah ini.

Suami 5 8 10 6 9 3 4 7 2 1

Istri 8 5 10 1 7 4 6 9 2 3

Apakah nampak sifat “independen” penilaian yang dilakukan oleh suami istri?

29. Diberikan data berikut :

A 1,32 1,28 1,22 1,23 1,16 1,31 1,06 1,23

B 0,99 1,08 0,98 0,96 0,97 0,98 0,89 1,01

Berikanlah analisisnya dengan menggunakn uji median.

30. Sederetan tanaman telah diperiksa yang menghasilkan urutan :

26, 35, 27, 29, 30, 19, 32, 43, 18, 26, 27, 25, 35, 40,26, 25, 22, 20, 17, berasal dari sebuah populasi dengan median sama dengan 23?

REFERENSI

1. Box,G.E.P , Hunter,Willam, Hunter, J.Stuart : “Statistics For Experimenters”, John Wiley & Sons.1978

2. Draper, N.R : “ Applied Regression Analysis (Second Edition), John Wiley & sons, 19813. Daniel, Wayne.W : “ Applied Nonparametric Statistics, Houghton Mifflin Company,

19784. Hogg, Robert V., and Elliot A. Tanis: “Probability and Statistical Inference”, Pearson

Education, 20065. Ledolter. J, Hogg, Robert V. : “ Applied Statistics fot Engineers and Physical Scientists”,

Pearson Prentice Hall, 2010.6. Walpole, Ronald E., et all: “Probability & Statistics for Engineers & Scientists”, Prentice

Hall, 2007

7. Spiegel, Murray R.: “Seri Buku Schaum: Teori dan Soal-Soal Statistika”, Erlangga (Terjemahan), 1988

ANOVA (ANALISA VARIANS) - Perjalanan Hijrahku Web viewTidak terdapat perbedaan kekuatan antara kedua baja tsb atau dengan kata lain kekuatan lempeng baja X ... kecuali bahwa kolom

Documents