Top Banner

of 36

Angular Momentum

Jul 09, 2015

Download

Documents

Melda Sari
Welcome message from author
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript

Momentum sudut adalah sebuah besaran yang berguna dalam menggambarkan keadaan rotasi sistem fisik. ( Untuk benda tegar berotasi mengelilingi sumbu simetri (misalnya sirip sebuah kipas langit-langit), momentum sudut dapat dinyatakan sebagai produk dari tubuh momen inersia (A ukuran objek penolakan terhadap perubahan dalam tingkat rotasi) dan dengan kecepatan sudut ( ). ). Dengan cara ini, momentum sudut kadang-kadang digambarkan sebagai analog rotasi momentum linier. Momentum sudut kekal dalam suatu sistem di mana tidak ada eksternal bersih torsi, dan konservasi membantu menjelaskan banyak fenomena yang beragam. Sebagai contoh, peningkatan kecepatan rotasi pemain skat keindahan yang berputar sebagai lengan skater dikontrak adalah konsekuensi dari kekekalan momentum sudut. Yang sangat tinggi tingkat rotasi bintang neutron juga dapat dijelaskan dari segi konservasi momentum sudut. Selain itu, konservasi momentum sudut memiliki banyak aplikasi dalam fisika dan teknik (misalnya gyrocompass). ( Secara formal, momentum sudut dari sebuah titik benda didefinisikan sebagai perkalian silang dari vektor posisi objek dan momentum linier vektor ( ). ). Momentum sudut adalah sebuah pseudovector yang besarnya ditentukan oleh L = r m v sin di mana adalah sudut antara posisi objek vektor dan kecepatan vektor. Arah momentum sudut dapat ditentukan dengan menerapkan aturan tangan kanan. Momentum sudut sistem partikel (misalnya benda tegar) adalah jumlah dari momentum sudut dari partikel individu.

Momentum sudut mekanika klasik

Hubungan antara gaya (F), torsi (), dan momentum vektor (p dan L) dalam sistem yang berputar

DefinisiMomentum sudut L dari suatu partikel terhadap asal-usul tertentu didefinisikan sebagai:

di mana r adalah vektor posisi partikel relatif terhadap titik asal, p adalah momentum linear dari partikel, dan menunjukkan produk salib. Seperti yang terlihat dari definisi, satuan SI turunan dari momentum sudut adalah newton meter detik (N m / s atau kg m 2 s -1) atau joule detik. Karena produk salib, L adalah pseudovector tegak lurus terhadap kedua vektor radial r dan vektor momentum p dan diberikan tanda oleh aturan tangan kanan. Untuk sebuah benda dengan massa yang tetap berotasi pada sumbu simetri tetap, momentum sudut dinyatakan sebagai produk dari momen inersia benda dan kecepatan sudut vektor:

dimana I adalah momen inersia dari benda (pada umumnya, sebuah tensor kuantitas), dan adalah kecepatan sudut. Momentum sudut juga dikenal sebagai momen dari momentum.

Momentum sudut dari sebuah kumpulan partikelJika suatu sistem terdiri dari beberapa partikel, momentum sudut total tentang asal dapat diperoleh dengan menambahkan (atau mengintegrasikan) semua momentum sudut dari partikel konstituen. Momentum sudut juga dapat dihitung dengan mengalikan perpindahan kuadrat dari r, massa dari partikel dan kecepatan sudut.

Momentum sudut di pusat bingkai massa

Hal ini sangat sering nyaman untuk mempertimbangkan momentum sudut dari partikel koleksi tentang pusat massa, karena ini sangat menyederhanakan matematika. Momentum sudut partikel koleksi adalah jumlah dari momentum sudut setiap partikel:

dimana R i adalah i jarak partikel dari titik acuan, m i adalah massa, dan V i adalah kecepatan. Pusat massa ditentukan oleh:

di mana massa total semua partikel diberikan oleh

Maka kecepatan pusat massa adalah

sebagai perpindahan partikel i dari pusat massa, dan terhadap pusat massa, maka kita harus dan juga

sebagai kecepatan partikel i

dan sehingga total momentum sudut

Istilah pertama adalah momentum sudut pusat massa. Ini adalah satu momentum sudut yang sama akan mendapatkan jika hanya ada satu partikel dengan massa M bergerak dengan kecepatan V yang terletak di pusat massa. Istilah kedua adalah momentum sudut yang merupakan hasil dari partikel-partikel bergerak relatif terhadap pusat massa mereka.

Istilah kedua ini lebih jauh dapat disederhanakan jika membentuk partikel-partikel benda tegar, dalam hal ini berputar muncul. Hasilnya analog diperoleh untuk distribusi kontinu materi.

Fixed sumbu rotasiUntuk berbagai aplikasi di mana salah hanya prihatin sekitar satu sumbu rotasi, itu cukup untuk membuang sifat pseudovector momentum sudut, dan memperlakukannya seperti skalar adalah positif di mana ketika itu yang sesuai dengan rotasi berlawanan arah jarum jam, dan negatif searah jarum jam. Untuk melakukan hal ini, hanya mengambil definisi produk salib dan membuang vektor satuan, sehingga momentum sudut menjadi:

di mana r, p adalah sudut antara r dan p diukur dari r ke p; perbedaan penting karena tanpa itu, tanda salib produk akan bermakna. Dari di atas, adalah mungkin untuk merumuskan definisi untuk salah satu dari berikut ini:

disebut pengungkit jarak lengan p. Cara termudah untuk konsep ini adalah untuk mempertimbangkan jarak lengan momen untuk jarak dari asal ke baris yang p perjalanan bersama. Dengan definisi ini, perlu untuk mempertimbangkan arah p (menunjuk searah jarum jam atau berlawanan arah jarum jam) untuk mengetahui tanda L. Sama dengan:

adalah komponen p yang tegak lurus terhadap r Seperti di atas, tanda ditentukan berdasarkan rasa rotasi. Untuk sebuah benda dengan massa yang tetap berotasi pada sumbu simetri tetap, momentum sudut dinyatakan sebagai produk dari momen inersia benda dan kecepatan sudut vektor:

dimana I adalah momen inersia dari benda (pada umumnya, sebuah tensor kuantitas) dan adalah kecepatan sudut. Ketika energi kinetik K dari tubuh yang berputar secara besar-besaran diberikan oleh K=I2/2K=I2/2 adalah sebanding dengan kuadrat dari kecepatan sudut.

Hukum kekekalan momentum sudut

torsi yang disebabkan oleh dua kekuatan yang berlawanan F g dan - F g menyebabkan perubahan momentum sudut L dalam arah yang torsi (karena torsi adalah turunan terhadap waktu dari momentum sudut). Hal ini menyebabkan bagian atas untuk presesi. Dalam sistem tertutup momentum sudut adalah konstan. Hukum konservasi ini secara matematis berikut dari arah simetri kontinu ruang (tidak ada arah dalam ruang yang berbeda dari arah lain). Lihat teorema Noether. [1] Turunan waktu dari momentum sudut disebut torsi:

(Salib-produk dari kecepatan dan momentum adalah nol, karena vektor ini adalah sejajar.) Jadi memerlukan sistem yang akan "tertutup" di sini adalah secara matematis setara dengan nol torsi eksternal yang bekerja pada sistem:

di mana e x t adalah setiap torsi diterapkan pada sistem partikel. Diasumsikan bahwa kekuatan interaksi internal taat hukum ketiga Newton tentang gerak dalam bentuk yang kuat, yaitu, bahwa kekuatan-kekuatan antara partikel adalah sama dan berlawanan dan bertindak di sepanjang garis antara partikel. Dalam orbit, momentum sudut didistribusikan antara putaran planet itu sendiri dan momentum sudut dari orbitnya: ;;

Jika sebuah planet yang ditemukan berputar lebih lambat dari yang diharapkan, maka para astronom curiga bahwa planet tersebut disertai dengan satelit, karena momentum sudut total dibagi antara planet dan satelit agar dapat dilestarikan. Konservasi momentum sudut digunakan secara luas dalam menganalisis apa yang disebut sebagai kekuatan sentral gerakan. Jika gaya total pada beberapa tubuh selalu diarahkan ke beberapa titik, pusat, maka tidak ada torsi pada tubuh sehubungan dengan pusat, sehingga momentum sudut tubuh tentang pusat konstan. Momentum sudut konstan sangat berguna ketika berhadapan dengan orbit dari planet-planet dan satelit, dan juga ketika menganalisis Model Bohr dari atom. Konservasi momentum sudut menjelaskan percepatan sudut pemain ski es saat dia membawa tangan dan kaki dekat dengan sumbu vertikal rotasi. Dengan membawa bagian dari massa tubuhnya lebih dekat ke sumbu dia menurunkan tubuhnya momen inersia. Karena momentum sudut adalah konstan dalam ketiadaan torsi eksternal, kecepatan sudut (kecepatan rotasi) dari skater telah meningkat. Fenomena yang sama hasil di putaran sangat cepat kompak bintang (seperti katai putih, bintang neutron dan lubang hitam) ketika mereka terbentuk dari jauh lebih besar dan bintang-bintang berputar lebih lambat (memang, mengurangi ukuran objek 10 4 kali menyebabkan peningkatan dari kecepatan sudut dengan faktor 10 8). Kekekalan momentum sudut dalam sistem Bumi-Bulan hasil dalam transfer momentum sudut dari Bumi ke Bulan (karena pasang torsi Bulan diberikan di Bumi). Hal ini pada gilirannya mengakibatkan pelambatan laju rotasi bumi (pada sekitar 42 nsec / hari), dan dalam peningkatan bertahap dari jari-jari orbit Bulan (di ~ 4.5 cm / tahun rate).

Momentum sudut dalam mekanika relativistikModern (akhir abad ke-20) teori fisika, momentum sudut digambarkan dengan menggunakan formalisme yang berbeda. Dalam formalisme ini, momentum sudut adalah 2-bentuk biaya Noether dikaitkan dengan rotasi konstanan (Sebagai hasilnya, momentum sudut tidak kekal spacetimes melengkung umum, kecuali jika hal itu terjadi untuk menjadi asimtotik rotationally invarian). Untuk sistem partikel titik tanpa momentum sudut intrinsik, ternyata menjadi

(Di sini, produk baji digunakan.).

Momentum sudut dalam mekanika kuantumDalam mekanika kuantum, momentum sudut terkuantisasi - yaitu, tidak dapat bervariasi secara terus menerus, tetapi hanya dalam "lompatan kuantum" antara nilai-nilai tertentu

yang diperbolehkan. Sudut orbit momentum sebuah partikel subatom, yang disebabkan oleh gerakannya melalui ruang, selalu keseluruhan nomor kelipatan . ("h-bar," yang dikenal sebagai mengurangi konstanta Planck), yang didefinisikan sebagai konstanta Planck dibagi 2. Selain itu, eksperimen menunjukkan bahwa sebagian besar partikelpartikel subatomik memiliki permanen, built-in momentum sudut, yang bukan disebabkan oleh gerakan mereka melalui ruang. Ini spin momentum sudut datang dalam satuan . . For example, an electron standing at rest has an angular momentum of .. Sebagai contoh, sebuah elektron diam berdiri memiliki momentum sudut

Definisi dasarDefinisi klasik momentum sudut sebagai tergantung pada angka enam: r x, r r z, p x, p y, dan p z. . Menerjemahkan ini ke mekanika kuantum, maka prinsip y, ketidakpastian Heisenberg mengatakan kepada kita bahwa tidak mungkin untuk semua enam angka-angka ini diukur presisi bersamaan dengan sewenang-wenang. Oleh karena itu, ada batas untuk apa yang dapat diketahui atau diukur tentang momentum sudut partikel. Ternyata bahwa yang terbaik yang dapat dilakukan adalah mengukur secara simultan baik vektor momentum sudut yang besarnya dan komponen sepanjang satu sumbu. Secara matematis, momentum sudut pada mekanika kuantum didefinisikan seperti momentum - bukan sebagai kuantitas tetapi sebagai operator pada fungsi gelombang:

dimana r dan p adalah posisi dan momentum operator masing-masing. Secara khusus, untuk satu partikel yang tidak memiliki muatan listrik dan tidak berputar, maka operator momentum sudut dapat ditulis dalam posisi sebagai dasar

di mana adalah operator diferensial vektor "Del" (juga disebut "nabla"). Momentum sudut orbital ini operator yang paling sering ditemui bentuk momentum sudut operator, meskipun bukan satu-satunya. Ini memenuhi berikut hubungan pergantian kanonik: ,, mana LMN adalah (antisymmetric) simbol Levi-Civita. Berikut ini

Sejak,

maka, misalnya,

Penambahan momentum sudut terkuantisasiUntuk detail lebih lanjut tentang topik ini, lihat Clebsch-Gordan koefisien. Diberi dikuantisasi momentum sudut total angular momenta yang merupakan jumlah and dan ,,

dari dua individu momentum sudut terkuantisasi

pada nomor kuantum j dikaitkan dengan besarnya dapat berkisar dari | l 1 - l 2 | untuk l 1 + l 2 in integer langkah-langkah di mana l 1 dan l 2 adalah bilangan kuantum yang sesuai dengan besarnya momentum sudut individu.

Momentum sudut sebagai generator dari rotasiJika adalah sudut di sekitar sumbu tertentu, misalnya sudut sekitar azimuthal sumbu z, maka momentum sudut sepanjang sumbu ini adalah generator dari rotasi sekeliling sumbu ini:

Yang eigenfunctions L z Oleh karena itu, harus merupakan bilangan bulat.

, .Dan sejak memiliki periode 2, m aku

Untuk sebuah partikel dengan spin S, ini hanya memperhitungkan ketergantungan sudut lokasi partikel, misalnya orbitnya dalam sebuah atom. Oleh karena itu, dikenal sebagai momentum sudut orbital. Namun, ketika salah satu sistem berputar, satu juga mengubah spin. Oleh karena itu, total momentum sudut, yang penuh generator dari rotasi, adalah J i = L i + S i Menjadi momentum sudut, J pergantian yang sama memenuhi hubungan sebagai L, seperti yang akan dijelaskan di bawah ini. yaitu

dari yang berikut

Bertindak dengan J pada fungsi gelombang sebuah partikel menghasilkan rotasi: adalah fungsi gelombang berputar di sekitar sumbu z oleh sudut . Untuk rotasi oleh infinitesmal sudut d , yang sudah diputar fungsi gelombang adalah + i d J z . Hal ini juga berlaku bagi sekitar setiap sumbu rotasi. Dalam momentum partikel bermuatan mendapat sumbangan dari medan elektromagnetik, dan momentum sudut L dan J berubah dengan sendirinya. Jika Hamiltonian adalah invarian rotasi di bawah, seperti dalam masalah bola simetris, maka menurut Teorema Noether, itu commutes dengan momentum sudut total. Sehingga total momentum sudut adalah sebuah kuantitas yang kekal

Karena momentum sudut dari putaran generator, maka hubungan pergantian mengikuti hubungan pergantian dari generator dari tiga-dimensi kelompok rotasi SO (3). Inilah sebabnya mengapa J selalu memenuhi hubungan pergantian ini. Dalam d dimensi, momentum sudut akan memuaskan hubungan pergantian yang sama sebagai generator dari dimensi d-kelompok rotasi SO (d). Generator dari SU (2) dapat memiliki setengah-integer eigennilai, dan sebagainya dapat m j. Memang untuk fermion dengan spin S dan momentum sudut total J adalah setengahbilangan bulat. Sebenarnya ini adalah kasus yang paling umum: j dan m j adalah baik bilangan bulat atau setengah-bilangan bulat. Secara teknis, ini karena penutup universal dari SO (3) adalah isomorfis untuk SU (2), dan representasi dari yang terakhir diketahui sepenuhnya. J i menjangkau aljabar Lie dan J 2 adalah Casimir invarian, dan dapat ditunjukkan bahwa jika eigennilai of J z dan J 2 adalah m j dan j (j +1) kemudian m j dan j keduanya adalah bilangan bulat kelipatan dari satu-setengah. j adalah non-negatif dan m j mengambil nilai antara-j dan j.

Kaitannya dengan harmonik sferis

Operator momentum sudut biasanya terjadi ketika memecahkan masalah dengan simetri bola di koordinat bola. Kemudian, momentum sudut dalam ruang representasi adalah:

Ketika pemecahan untuk menemukan eigenstates dari operator ini, kita mendapatkan berikut

di mana

adalah harmonik bola.

Momentum sudut dalam elektrodinamikaSaat menjelaskan gerak partikel bermuatan di hadapan sebuah medan elektromagnetik, yang "momentum kinetik" p tidak invarian gauge. As a consequence, the canonical angular momentum Akibatnya, kanonik momentum sudut is not gauge invariant either. invarian gauge tidak baik. Instead, the momentum that is physical, the so-called canonical momentum , is Sebaliknya, momentum yang fisik, yang disebut kanonik momentum, adalah

where e is the electric charge , c the speed of light and A the vector potential . dimana e adalah muatan listrik, c kecepatan cahaya dan A yang vektor potensial. Thus, for example, the Hamiltonian of a charged particle of mass m in an electromagnetic field is then Jadi, misalnya, Hamiltonian dari partikel bermuatan massa m dalam medan elektromagnetik ini kemudian

where is the scalar potential . di mana adalah skalar potensial. This is the Hamiltonian that gives the Lorentz force law . Ini adalah Hamiltonian yang memberikan hukum gaya Lorentz. The gauge-invariant angular momentum, or "kinetic angular

momentum" is given by Invarian gauge-momentum sudut, atau "kinetik momentum sudut" diberikan oleh

The interplay with quantum mechanics is discussed further in the article on canonical commutation relations . Interaksi dengan mekanika kuantum dibahas lebih lanjut dalam artikel mengenai hubungan pergantian kanonik.

[ edit ] See also [Sunting] Lihat pulaLook up angular momentum in Wiktionary , the free dictionary. Lihat momentum sudut di Wiktionary, ensiklopedia kamus. Wikibooks has a book on the topic of Wikibooks memiliki buku mengenai topik Rotational Motion Rotasi Motion

Angular momentum coupling Momentum sudut kopel Areal velocity Areal kecepatan Control moment gyroscope Control saat giroskop Falling cat problem Falling masalah kucing Moment of inertia Momen inersia Noether's theorem Teorema Noether Rigid rotor Kaku rotor Rotational energy Energi rotasi Spatial quantization Spasial kuantisasi Yrast Yrast

[ edit ] Footnotes [Sunting] Catatan kaki1. ^ "The classical theory of fields", LD Landau and EM Lifshitz( Oxford, Butterworth-Heinemann, 1995) ISBN 0750627689 ^ "Teori klasik ladang", LD Landau dan EM Lifshitz (Oxford, Butterworth-Heinemann, 1995) ISBN 0750627689

[ edit ] References [Sunting] Referensi

Cohen-Tannoudji, Claude; Diu, Bernard; Lalo, Franck (1977) Quantum Mechanics . Cohen-Tannoudji, Claude; Diu, Bernard; Laloe, Franck (1977) Quantum Mechanics. John Wiley & Sons. John Wiley & Sons. EU Condon and GH Shortley (1935) The Theory of Atomic Spectra . EU Condon dan GH Shortley (1935) The Theory of Atomic Spectra. Cambridge University

Press, ISBN 0-521-09209-4 . Cambridge University Press, ISBN 0-521-09209-4. Esp. Esp. chpt. chpt. 3. 3. Edmonds, AR (1957) Angular Momentum in Quantum Mechanics . Edmonds, AR (1957) Momentum sudut dalam Mekanika Kuantum. Princeton University Press, ISBN 0-691-07912-9 . Princeton University Press, ISBN 0-691-07912-9. Jackson, John David (1998) Classical Electrodynamics , 3rd ed. Jackson, John David (1998) Classical Electrodynamics, 3rd ed. John Wiley & Sons. John Wiley & Sons. Serway, Raymond A.; Jewett, John W. (2004). Physics for Scientists and Engineers, 6th ed. . Serway, Raymond A.; Jewett, John W. (2004). Fisika untuk ilmuwan dan Engineers, 6th ed.. Brooks/Cole. ISBN 0-534-40842-7 . Brooks / Cole. ISBN 0-534-40842-7. Thompson, William J. (1994) Angular Momentum: An Illustrated Guide to Rotational Symmetries for Physical Systems . Thompson, William J. (1994) Momentum sudut: An Illustrated Guide to Rotational simetri untuk Sistem Fisik. Wiley. Wiley. ISBN 0-471-55264. ISBN 0-471-55264. Tipler, Paul (2004). Physics for Scientists and Engineers: Mechanics, Oscillations and Waves, Thermodynamics, 5th ed. . Tipler, Paul (2004). Fisika untuk ilmuwan dan Engineers: Mekanika, osilasi dan Gelombang, Termodinamika, 5th ed.. WH Freeman. ISBN 0-7167-0809-4 . WH Freeman. ISBN 0-7167-0809-4.

http://translate.google.co.id/translate? hl=id&sl=en&u=http://en.wikipedia.org/wiki/Angular_momentum&ei=0TIFS4OkDYv6k AWBt9nGCw&sa=X&oi=translate&ct=result&resnum=1&ved=0CAkQ7gEwAA&prev= /search%3Fq%3Dmomentum%2Bangular%26hl%3Did

Bab 5. Conservation of Angular Momentum Konservasi Momentum sudutSure, and maybe the sun won't come up tomorrow. Of course, the sun only appears to go up and down because the earth spins, so the cliche should really refer to the unlikelihood of the earth's stopping its rotation abruptly during the night. "Tentu saja, dan mungkin matahari tidak akan datang besok." Tentu saja, matahari hanya muncul untuk naik dan turun karena bumi berputar, sehingga klise harus benar-benar mengacu pada unlikelihood bumi berhenti rotasi tiba-tiba selama malam. Why can't it stop? Mengapa tidak bisa berhenti? It wouldn't violate conservation of momentum, because the earth's rotation doesn't add anything to its momentum. Tidak akan melanggar kekekalan momentum, karena rotasi bumi tidak menambahkan sesuatu momentum. While California spins in one direction, some equally massive part of India goes the opposite way, canceling its momentum. Sementara California berputar di satu arah, beberapa sama besar bagian dari India pergi ke arah berlawanan, membatalkan momentum. A halt to Earth's rotation would entail a drop in kinetic energy, but that energy could simply be converted into some other form, such as heat. Sebuah menghentikan rotasi bumi akan

memerlukan penurunan energi kinetik, tapi energi itu hanya bisa diubah menjadi bentuk lain, seperti panas. Other examples along these lines are not hard to find. Contoh lain di sepanjang garisgaris ini tidak sulit ditemukan. A hydrogen atom spins at the same rate for billions of years. A high-diver who is rotating when he comes off the board does not need to make any physical effort to continue rotating, and indeed would be unable to stop rotating before he hit the water. Sebuah atom hidrogen berputar dengan kecepatan yang sama selama miliaran tahun. A high-penyelam yang berputar ketika ia datang dari papan tidak perlu melakukan usaha fisik untuk terus berputar, dan memang tidak akan mampu untuk berhenti berputar sebelum menyentuh air. These observations have the hallmarks of a conservation law: Pengamatan ini memiliki keunggulan dari hukum konservasi: A closed system is involved. Nothing is making an effort to twist the earth, the hydrogen atom, or the high-diver. Sebuah sistem tertutup yang terlibat. Tidak ada yang membuat usaha untuk memutar bumi, atom hidrogen, atau penyelam tinggi. They are isolated from rotation-changing influences, ie, they are closed systems. Mereka terisolasi dari pengaruh perubahan rotasi, yaitu, mereka adalah sistem tertutup. Something remains unchanged. There appears to be a numerical quantity for measuring rotational motion such that the total amount of that quantity remains constant in a closed system. Sesuatu yang tetap tidak berubah. Ada tampaknya merupakan kuantitas numerik untuk mengukur gerak rotasi sehingga jumlah total yang kuantitas tetap konstan dalam suatu sistem tertutup. Something can be transferred back and forth without changing the total amount. In figure a , the jumper wants to get his feet out in front of him so he can keep from doing a face plant when he lands. Sesuatu dapat ditransfer ke sana kemari tanpa mengubah jumlah total. Pada sosok seorang, yang pelompat ingin mendapatkan kakinya di depannya, sehingga ia dapat terus melakukan sebuah "wajah tanaman" ketika dia mendarat. Bringing his feet forward would involve a certain quantity of counterclockwise rotation, but he didn't start out with any rotation when he left the ground. Membawa kakinya ke depan akan melibatkan jumlah tertentu berlawanan rotasi, tetapi dia tidak memulai dengan rotasi ketika ia meninggalkan tanah. Suppose we consider counterclockwise as positive and clockwise as negative. Misalkan kita anggap berlawanan searah jarum jam positif dan negatif. The only way his legs can acquire some positive rotation is if some other part of his body picks up an equal amount of negative rotation. Satu-satunya cara kakinya dapat memperoleh beberapa rotasi positif adalah jika beberapa bagian lain tubuhnya mengambil jumlah yang sama rotasi negatif. This is why he swings his arms up behind him, clockwise. Itulah sebabnya mengapa ia ayunan tangannya di belakangnya, searah jarum jam.

a / An early photograph of an old-fashioned long-jump. a / Sebuah foto awal kuno lamalompat. What numerical measure of rotational motion is conserved? Car engines and oldfashioned LP records have speeds of rotation measured in rotations per minute (rpm), but the number of rotations per minute (or per second) is not a conserved quantity. Apa ukuran numerik gerak rotasi adalah kekal? Mobil mesin dan kuno catatan LP memiliki kecepatan rotasi yang diukur dalam rotasi per menit (rpm), tetapi jumlah rotasi per menit (atau per detik) bukan kuantitas yang kekal. A twirling figure skater, for instance, can pull her arms in to increase her rpm's. Sebuah batsman memutar, misalnya, dapat menarik lengannya untuk meningkatkan jumlah rpm's. The first section of this chapter deals with the numerical definition of the quantity of rotation that results in a valid conservation law. Bagian pertama bab ini berkaitan dengan definisi numerik jumlah rotasi yang menghasilkan hukum konservasi yang valid.

5.1 Conservation of Angular Momentum 5,1 Konservasi Momentum sudut

b / An overhead view of a piece of putty being thrown at a door. b / Sebuah pandangan overhead sepotong dilemparkan dempul pada pintu. Even though the putty is neither spinning nor traveling along a curve, we must define it as having some kind of rotation because it is able to make the door rotate. Meskipun bukan dempul berputar atau bepergian sepanjang kurva, kita harus mendefinisikannya memiliki semacam "rotasi" karena mampu membuat pintu berputar.

c / As seen by someone standing at the axis, the putty changes its angular position. c / Seperti yang terlihat oleh orang yang berdiri di sumbu, yang dempul perubahan posisi sudutnya. We therefore define it as having angular momentum. Oleh karena itu mendefinisikannya Kami memiliki momentum sudut.

d / A putty blob thrown directly at the axis has no angular motion, and therefore no angular momentum. d / A dempul gumpalan dilemparkan langsung pada sumbu tidak memiliki sudut gerak, dan karena itu tidak ada momentum sudut. It will not cause the door to rotate. Tidak akan menyebabkan pintu berputar.

e / Only the component of the velocity vector perpendicular to the dashed line should be counted into the definition of angular momentum. e / Hanya komponen vektor kecepatan tegak lurus dengan garis putus-putus harus dihitung ke dalam definisi dari momentum sudut.

f / A figure skater pulls in her arms so that she can execute a spin more rapidly. f / A batsman menarik dalam pelukannya sehingga ia dapat mengeksekusi spin lebih cepat.

h / Example 3 . h / Contoh 3. A view of the earth-moon system from above the north pole. Pemandangan bulan bumi-sistem dari atas kutub utara. All distances have been highly distorted for legibility. Semua jarak sudah sangat menyimpang untuk keterbacaan. The earth's rotation is counterclockwise from this point of view (arrow). Rotasi bumi adalah berlawanan arah jarum jam dari sudut pandang ini (tanda panah). The moon's gravity creates a bulge on the side near it, because its gravitational pull is stronger there, and an anti-bulge on the far side, since its gravity there is weaker. Gravitasi bulan membuat tonjolan di dekat samping itu, karena tarikan gravitasi lebih kuat di sana, dan "anti-tonjolan" di seberang, sejak gravitasi ada lemah. For simplicity, let's focus on the tidal bulge closer to the moon. Untuk mempermudah, mari kita fokus pada tonjolan pasang surut lebih dekat ke bulan. Its frictional force is trying to slow down the earth's rotation, so its force on the earth's solid crust is toward the bottom of the figure. Its gaya gesekan sedang mencoba untuk memperlambat rotasi bumi, jadi gaya pada kerak bumi padat adalah menuju bagian bawah gambar. By Newton's third law, the crust must thus make a force on the bulge which is toward the top of the figure. Oleh hukum ketiga Newton, kerak harus demikian membuat gaya pada tonjolan yang menuju bagian atas

gambar. This causes the bulge to be pulled forward at a slight angle, and the bulge's gravity therefore pulls the moon forward, accelerating its orbital motion about the earth and flinging it outward. Hal ini menyebabkan tonjolan harus ditarik maju di sudut kecil, dan karena itu gravitasi tonjolan menarik bulan ke depan, mempercepat gerak orbitnya tentang bumi dan melemparkannya ke luar. When most people think of rotation, they think of a solid object like a wheel rotating in a circle around a fixed point. Ketika kebanyakan orang berpikir rotasi, mereka berpikir tentang sebuah benda padat seperti roda yang berputar dalam sebuah lingkaran di sekitar titik tetap. Examples of this type of rotation, called rigid rotation or rigid-body rotation, include a spinning top, a seated child's swinging leg, and a helicopter's spinning propeller. Contoh jenis rotasi ini, yang disebut rotasi kaku atau kaku tubuh rotasi, termasuk berputar atas, seorang anak duduk berayun kaki, dan helikopter berputar balingbaling. Rotation, however, is a much more general phenomenon, and includes noncircular examples such as a comet in an elliptical orbit around the sun, or a cyclone, in which the core completes a circle more quickly than the outer parts. Rotasi, bagaimanapun, adalah sebuah fenomena yang jauh lebih umum, dan termasuk noncircular contoh seperti sebuah komet dalam orbit elips mengelilingi matahari, atau angin topan, di mana inti lingkaran menyelesaikan lebih cepat daripada bagian luar. If there is a numerical measure of rotational motion that is a conserved quantity, then it must include nonrigid cases like these, since nonrigid rotation can be traded back and forth with rigid rotation. Jika ada ukuran numerik gerak rotasi yang merupakan kuantitas yang kekal, maka harus menyertakan nonrigid kasus-kasus seperti ini, karena dapat nonrigid diperdagangkan rotasi bolak-balik dengan rotasi kaku. For instance, there is a trick for finding out if an egg is raw or hardboiled. Sebagai contoh, ada trik untuk mencari tahu apakah sebuah telur mentah atau hardboiled. If you spin a hardboiled egg and then stop it briefly with your finger, it stops dead. Jika Anda berputar hardboiled telur dan kemudian menghentikannya sebentar dengan jari Anda, berhenti mati. But if you do the same with a raw egg, it springs back into rotation because the soft interior was still swirling around within the momentarily motionless shell. Namun, jika Anda melakukan hal yang sama dengan telur mentah, itu akan kembali ke rotasi karena interior lembut masih berputar-putar di dalam tempurung bergerak sesaat. The pattern of flow of the liquid part is presumably very complex and nonuniform due to the asymmetric shape of the egg and the different consistencies of the yolk and the white, but there is apparently some way to describe the liquid's total amount of rotation with a single number, of which some percentage is given back to the shell when you release it. Pola aliran cairan bagian mungkin sangat rumit dan tidak seragam karena bentuk asimetris telur dan konsistensi yang berbeda dari kuning telur dan putih, tetapi tampaknya ada beberapa cara untuk menggambarkan jumlah total cairan rotasi dengan satu nomor, di mana beberapa persentase diberikan kembali ke shell ketika Anda melepaskannya. The best strategy is to devise a way of defining the amount of rotation of a single small part of a system. Strategi terbaik adalah menemukan cara untuk mendefinisikan jumlah rotasi dari satu bagian kecil dari sebuah sistem. The amount of rotation of a system such as a cyclone will then be defined as the total of all the contributions from its many small

parts. Jumlah rotasi sistem seperti badai kemudian akan didefinisikan sebagai jumlah total semua kontribusi dari berbagai komponen kecil. The quest for a conserved quantity of rotation even requires us to broaden the rotation concept to include cases where the motion doesn't repeat or even curve around. Pencarian untuk sebuah kuantitas yang kekal bahkan rotasi mengharuskan kita untuk memperluas konsep rotasi untuk memasukkan kasus-kasus dimana gerakan tidak mengulang atau bahkan kurva sekitar. If you throw a piece of putty at a door, the door will recoil and start rotating. Jika Anda melemparkan sepotong dempul pada pintu, pintu akan mundur dan mulai berputar. The putty was traveling straight, not in a circle, but if there is to be a general conservation law that can cover this situation, it appears that we must describe the putty as having had some rotation, which it then gave up to the door. Dempul sedang melakukan perjalanan yang lurus, bukan dalam lingkaran, namun apabila ada menjadi hukum konservasi umum yang dapat mencakup situasi ini, tampak bahwa kita harus menggambarkan dempul memiliki memiliki beberapa "rotasi," yang kemudian menyerah kepada pintu. The best way of thinking about it is to attribute rotation to any moving object or part of an object that changes its angle in relation to the axis of rotation. In the putty-and-door example, the hinge of the door is the natural point to think of as an axis, and the putty changes its angle as seen by someone standing at the hinge. Cara terbaik untuk berpikir tentang hal ini adalah untuk atribut rotasi untuk setiap objek bergerak atau bagian dari sebuah objek yang mengubah sudut dalam kaitannya dengan sumbu rotasi. Dalam dempul-dan-pintu contoh, engsel pintu adalah titik alami memikirkan sebagai sumbu, dan perubahan dempul sudutnya seperti yang terlihat oleh orang yang berdiri di engsel. For this reason, the conserved quantity we are investigating is called angular momentum. The symbol for angular momentum can't be a or m , since those are used for acceleration and mass, so the symbol L is arbitrarily chosen instead. Untuk alasan ini, kuantitas yang kekal kita menyelidiki disebut momentum sudut. Simbol untuk momentum sudut tidak bisa menjadi atau m, karena mereka digunakan untuk percepatan dan massa, sehingga simbol L adalah bukan dipilih secara sewenang-wenang. Imagine a 1-kg blob of putty, thrown at the door at a speed of 1 m/s, which hits the door at a distance of 1 m from the hinge. Bayangkan 1 kg segumpal dempul, dilemparkan di pintu pada kecepatan 1 m / s, yang hits pintu pada jarak 1 m dari engsel. We define this blob to have 1 unit of angular momentum. Kita mendefinisikan gumpalan ini memiliki 1 unit momentum sudut. When it hits the door, the door will recoil and start rotating. We can use the speed at which the door recoils as a measure of the angular momentum the blob brought in. 1 Ketika dia menabrak pintu, maka pintu akan mundur dan mulai berputar. Kita dapat menggunakan kecepatan di mana pintu mundur sebagai ukuran momentum sudut gumpalan dibawa masuk 1 Experiments show, not surprisingly, that a 2-kg blob thrown in the same way makes the door rotate twice as fast, so the angular momentum of the putty blob must be proportional to mass, Percobaan menunjukkan, tidak mengherankan, bahwa gumpalan 2-kg dilempar dengan cara yang sama membuat pintu berputar dua kali lebih cepat, sehingga momentum sudut gumpalan dempul harus sebanding dengan massa,

L m . L m. Similarly, experiments show that doubling the velocity of the blob will have a doubling effect on the result, so its angular momentum must be proportional to its velocity as well, Demikian pula, eksperimen menunjukkan bahwa dua kali lipat kecepatan gumpalan akan memiliki pengaruh ganda pada hasil, sehingga momentum sudutnya harus sebanding dengan kecepatan juga, L mv . L mv. You have undoubtedly had the experience of approaching a closed door with one of those bar-shaped handles on it and pushing on the wrong side, the side close to the hinges. Anda telah pasti memiliki pengalaman mendekati pintu tertutup dengan salah satu pegangan berbentuk bar di atasnya dan mendorong di sisi yang salah, dekat sisi engsel. You feel like an idiot, because you have so little leverage that you can hardly budge the door. Anda merasa seperti orang idiot, karena Anda telah begitu sedikit pengaruh yang hampir tidak dapat bergerak pintu. The same would be true with the putty blob. Hal yang sama akan berlaku dengan gumpalan dempul. Experiments would show that the amount of rotation the blob can give to the door is proportional to the distance, r , from the axis of rotation, so angular momentum must also be proportional to r , Percobaan akan menunjukkan bahwa jumlah rotasi gumpalan dapat memberikan ke pintu sebanding dengan jarak, r, dari sumbu rotasi, sehingga momentum sudut juga harus sebanding dengan r, L mvr . L MVR. We are almost done, but there is one missing ingredient. Kita hampir selesai, tapi ada satu unsur hilang. We know on grounds of symmetry that a putty ball thrown directly inward toward the hinge will have no angular momentum to give to the door. Kita tahu atas dasar bahwa dempul simetri bola yang dilempar langsung ke dalam menuju engsel tidak akan mempunyai momentum sudut untuk memberikan ke pintu. After all, there would not even be any way to decide whether the ball's rotation was clockwise or counterclockwise in this situation. Lagi pula, tidak akan ada bahkan dengan cara apapun untuk memutuskan apakah rotasi bola itu searah atau berlawanan dalam situasi ini. It is therefore only the component of the blob's velocity vector perpendicular to the door that should be counted in its angular momentum, Oleh karena itu, hanya komponen dari vektor kecepatan gumpalan tegak lurus ke pintu yang harus dihitung dalam momentum sudut, L = m v r . L = m v r. More generally, v should be thought of as the component of the object's velocity vector that is perpendicular to the line joining the object to the axis of rotation. Lebih umum, v harus dianggap sebagai komponen dari vektor kecepatan benda yang tegak lurus terhadap garis yang menghubungkan objek dengan sumbu rotasi.

We find that this equation agrees with the definition of the original putty blob as having one unit of angular momentum, and we can now see that the units of angular momentum are (kgm/s)m, ie, kgm 2 /s. This gives us a way of calculating the angular momentum of any material object or any system consisting of material objects: Kami menemukan bahwa persamaan ini setuju dengan definisi asli gumpalan dempul memiliki satu unit momentum sudut, dan kita sekarang dapat melihat bahwa satuan momentum sudut adalah (kg m / s) m, yaitu, kg m 2 / s. Ini memberi kita cara menghitung momentum sudut objek material apapun sistem atau objek material yang terdiri dari:

momentum sudut suatu objek materialThe angular momentum of a moving particle is Momentum sudut partikel yang bergerak L = mv r , L = mv r, where m is its mass, v is the component of its velocity vector perpendicular to the line joining it to the axis of rotation, and r is its distance from the axis. Positive and negative signs are used to describe opposite directions of rotation. di mana m adalah massa, v adalah komponen dari vektor kecepatan tegak lurus terhadap garis yang menghubungkan ke sumbu rotasi, dan r adalah jarak dari sumbu. Positif dan tanda-tanda negatif digunakan untuk menjelaskan arah yang berlawanan rotasi. The angular momentum of a finite-sized object or a system of many objects is found by dividing it up into many small parts, applying the equation to each part, and adding to find the total amount of angular momentum. Momentum sudut-ukuran yang terbatas objek atau sistem banyak benda yang ditemukan dengan membaginya menjadi banyak bagian-bagian kecil, menerapkan persamaan untuk setiap bagian, dan menambahkan untuk menemukan jumlah total momentum sudut. Note that r is not necessarily the radius of a circle. Perlu diketahui bahwa belum tentu r adalah jari-jari lingkaran. (As implied by the qualifiers, matter isn't the only thing that can have angular momentum. Light can also have angular momentum, and the above equation would not apply to light.) (Seperti yang tersirat dalam kualifikasi, materi bukan satu-satunya hal yang dapat memiliki momentum sudut. Cahaya juga dapat memiliki momentum sudut, dan persamaan di atas tidak berlaku untuk cahaya.) Conservation of angular momentum has been verified over and over again by experiment, and is now believed to be one of the three most fundamental principles of physics, along with conservation of energy and momentum. Kekekalan momentum sudut telah diverifikasi berulang kali dengan eksperimen, dan sekarang dipercaya menjadi salah satu dari tiga prinsip-prinsip yang paling fundamental fisika, bersama dengan kekekalan energi dan momentum.

Example 1: A figure skater pulls her arms in Contoh 1: Sebuah batsman menarik tangan di

When a figure skater is twirling, there is very little friction between her and the ice, so she is essentially a closed system, and her angular momentum is conserved. Ketika seorang pemain skat keindahan adalah memutar-mutar, ada sedikit gesekan antara dia dan es, jadi dia pada dasarnya adalah sebuah sistem tertutup, dan momentum sudut kekal. If she pulls her arms in, she is decreasing r for all the atoms in her arms. Jika ia menarik tangannya dalam, dia menurun r untuk semua atom dalam pelukannya. It would violate conservation of angular momentum if she then continued rotating at the same speed, ie, taking the same amount of time for each revolution, because her arms' contributions to her angular momentum would have decreased, and no other part of her would have increased its angular momentum. Ini akan melanggar kekekalan momentum sudut jika ia kemudian melanjutkan berputar pada kecepatan yang sama, yaitu, mengambil jumlah waktu yang sama untuk setiap revolusi, karena lengannya kontribusi ke momentum sudut akan berkurang, dan tidak ada bagian lain dari dirinya akan memiliki meningkatkan momentum sudut. This is impossible because it would violate conservation of angular momentum. Ini tidak mungkin karena akan melanggar kekekalan momentum sudut. If her total angular momentum is to remain constant, the decrease in r for her arms must be compensated for by an overall increase in her rate of rotation. Jika momentum sudut total nya adalah tetap konstan, penurunan r untuk pelukannya harus dikompensasi oleh peningkatan secara keseluruhan di tingkat rotasi. That is, by pulling her arms in, she substantially reduces the time for each rotation. Yaitu, dengan menarik lengannya dalam, ia secara substansial mengurangi waktu untuk setiap rotasi.

g / Example 2 . g / Contoh 2.

Example 2: Changing the axis Contoh 2: Mengganti sumbuAn object's angular momentum can be different depending on the axis about which it rotates. Sebuah momentum sudut benda dapat berbeda tergantung pada sumbu tentang yang berputar. Figure g shows shows two double-exposure photographs a viola player tipping the bow in order to cross from one string to another. Gambar g menunjukkan

menunjukkan dua double-exposure foto pemain biola tip busur untuk menyeberang dari satu string yang lain. Much more angular momentum is required when playing near the bow's handle, called the frog, as in the panel on the right; not only are most of the atoms in the bow at greater distances, r , from the axis of rotation, but the ones in the tip also have more momentum, p . Momentum sudut lebih diperlukan pada saat bermain di dekat haluan pegangan, yang disebut katak, seperti pada panel di sebelah kanan, bukan hanya sebagian besar atom di haluan pada jarak yang lebih besar, r, dari sumbu rotasi, tetapi yang di ujung juga memiliki lebih banyak momentum, p. It is difficult for the player to quickly transfer a large angular momentum into the bow, and then transfer it back out just as quickly. Sulit bagi pemain untuk segera mentransfer momentum sudut yang besar ke haluan, dan kemudian mentransfer kembali keluar dengan cepat. (In the language of section 5.4 , large torques are required.) This is one of the reasons that string players tend to stay near the middle of the bow as much as possible. (Dalam bahasa bagian 5,4, torsi besar diperlukan.) Ini adalah salah satu alasan bahwa pemain string cenderung tinggal di dekat bagian tengah busur sebanyak mungkin.

Example 3: Earth's slowing rotation and the receding moon Contoh 3: memperlambat rotasi bumi dan bulan yang surutAs noted in chapter 1, the earth's rotation is actually slowing down very gradually, with the kinetic energy being dissipated as heat by friction between the land and the tidal bulges raised in the seas by the earth's gravity. Seperti tercantum dalam Bab 1, rotasi bumi sebenarnya sangat melambat secara bertahap, dengan energi kinetik yang dihamburkan sebagai panas oleh gesekan antara tanah dan mengangkat tonjolan pasang surut di laut oleh gravitasi bumi. Does this mean that angular momentum is not really perfectly conserved? Apakah ini berarti bahwa momentum sudut tidak benar-benar sempurna kekal? No, it just means that the earth is not quite a closed system by itself. Tidak, itu hanya berarti bahwa bumi tidak cukup sistem tertutup dengan sendirinya. If we consider the earth and moon as a system, then the angular momentum lost by the earth must be gained by the moon somehow. Jika kita mempertimbangkan bumi dan bulan sebagai sebuah sistem, maka momentum sudut yang hilang oleh bumi harus diperoleh dengan bulan entah bagaimana. In fact very precise measurements of the distance between the earth and the moon have been carried out by bouncing laser beams off of a mirror left there by astronauts, and these measurements show that the moon is receding from the earth at a rate of 4 centimeters per year! Pada kenyataannya pengukuran sangat tepat jarak antara bumi dan bulan telah dilakukan oleh sinar laser memantul dari cermin ditinggalkan di sana oleh astronot, dan pengukuran ini menunjukkan bahwa bulan ini adalah menjauh dari bumi dengan kecepatan 4 cm per tahun! The moon's greater value of r means that it has a greater angular momentum, and the increase turns out to be exactly the amount lost by the earth. Bulan yang lebih besar nilai r berarti bahwa makin besar momentum sudut, dan peningkatan ternyata persis jumlah yang hilang oleh bumi. In the days of the dinosaurs, the days were significantly shorter, and the moon was closer and appeared bigger in the sky. Pada zaman dinosaurus, hari-hari secara signifikan lebih pendek, dan bulan lebih dekat dan muncul lebih besar di langit. But what force is causing the moon to speed up, drawing it out into a larger orbit? Tapi apa yang menyebabkan gaya adalah bulan untuk mempercepat, menariknya ke orbit yang

lebih besar? It is the gravitational forces of the earth's tidal bulges. Ini adalah gaya gravitasi bumi tonjolan pasang surut. The effect is described qualitatively in the caption of the figure. Efek dijelaskan secara kualitatif dalam caption gambar. The result would obviously be extremely difficult to calculate directly, and this is one of those situations where a conservation law allows us to make precise quantitative statements about the outcome of a process when the calculation of the process itself would be prohibitively complex. Hasilnya jelas akan sangat sulit untuk menghitung secara langsung, dan ini adalah salah satu situasi di mana hukum konservasi memungkinkan kita untuk membuat pernyataan kuantitatif yang tepat tentang hasil dari suatu proses ketika proses perhitungan sendiri akan prohibitively kompleks.

Pembatasan untuk rotasi dalam pesawatIs angular momentum a vector, or a scalar? Momentum sudut adalah sebuah vektor, atau skalar? It does have a direction in space, but it's a direction of rotation, not a straight-line direction like the directions of vectors such as velocity or force. Itu memang memiliki arah dalam ruang, tetapi itu adalah arah rotasi, bukan garis lurus arah seperti arah vektor seperti kecepatan atau kekuatan. It turns out that there is a way of defining angular momentum as a vector, but in this book the examples will be confined to a single plane of rotation, ie, effectively two-dimensional situations. Ternyata ada cara untuk mendefinisikan momentum sudut sebagai vektor, tapi dalam buku ini contoh akan terbatas pada satu bidang rotasi, yaitu dua dimensi secara efektif situasi. In this special case, we can choose to visualize the plane of rotation from one side or the other, and to define clockwise and counterclockwise rotation as having opposite signs of angular momentum. Dalam kasus khusus ini, kita dapat memilih untuk memvisualisasikan rotasi pesawat dari satu sisi atau yang lain, dan untuk menentukan rotasi searah jarum jam dan berlawanan memiliki tanda yang berlawanan dari momentum sudut.

Discussion Question Diskusi Question Conservation of plain old momentum, p , can be thought of as the greatly expanded and modified descendant of Galileo's original principle of inertia, that no force is required to keep an object in motion. Konservasi tua polos momentum, p, dapat dianggap sebagai sangat diperluas dan dimodifikasi keturunan asli Galileo prinsip inersia, bahwa tidak ada gaya yang dibutuhkan untuk menjaga sebuah benda bergerak. The principle of inertia is counterintuitive, and there are many situations in which it appears superficially that a force is needed to maintain motion, as maintained by Aristotle. Prinsip inersia adalah berlawanan dengan intuisi, dan ada banyak situasi di mana tampak dangkal bahwa gaya yang diperlukan untuk mempertahankan gerakan, seperti yang dikelola oleh Aristoteles. Think of a situation in which conservation of angular momentum, L , also seems to be violated, making it seem incorrectly that something external must act on a closed system to keep its angular momentum from running down. Pikirkan situasi di mana kekekalan momentum sudut, L, tampaknya juga dilanggar, sehingga tampaknya tidak benar bahwa ada sesuatu yang eksternal harus bekerja pada sebuah sistem tertutup untuk menjaga momentum sudut dari "mengalir turun."

5.2 Angular Momentum In Planetary Motion Dalam Momentum sudut 5,2 Planetary Motion

i / The planet's angular momentum is related to the rate at which it sweeps out area. i / The momentum sudut planet ini terkait dengan tingkat di mana gelombang itu bergulung keluar daerah.

Discussion question A . Pertanyaan diskusi A. We now discuss the application of conservation of angular momentum to planetary motion, both because of its intrinsic importance and because it is a good way to develop a visual intuition for angular momentum. Kita sekarang membahas penerapan kekekalan momentum sudut pada gerak planet, baik karena pentingnya intrinsik dan karena itu adalah cara yang baik untuk mengembangkan intuisi visual untuk momentum sudut. Kepler's law of equal areas states that the area swept out by a planet in a certain length of time is always the same. Hukum Kepler luas area yang sama menyatakan bahwa daerah menyapu oleh sebuah planet dalam jangka waktu tertentu selalu sama. Angular momentum had not been invented in Kepler's time, and he did not even know the most

basic physical facts about the forces at work. Momentum sudut belum ditemukan dalam waktu Kepler, dan ia bahkan tidak tahu fisik yang paling dasar fakta-fakta tentang kekuatan-kekuatan di tempat kerja. He thought of this law as an entirely empirical and unexpectedly simple way of summarizing his data, a rule that succeeded in describing and predicting how the planets sped up and slowed down in their elliptical paths. Dia menganggap hukum ini sebagai yang sama sekali tak terduga empiris dan cara sederhana untuk meringkas data nya, sebuah aturan yang berhasil dalam menggambarkan dan memprediksi bagaimana planet-planet melaju dan melambat di jalur elips. It is now fairly simple, however, to show that the equal area law amounts to a statement that the planet's angular momentum stays constant. Sekarang cukup sederhana, bagaimanapun, untuk menunjukkan bahwa hukum daerah yang sama jumlah untuk pernyataan bahwa momentum sudut planet tetap konstan. There is no simple geometrical rule for the area of a pie wedge cut out of an ellipse, but if we consider a very short time interval, as shown in figure i , the shaded shape swept out by the planet is very nearly a triangle. Tidak ada aturan geometris sederhana untuk wilayah irisan kue dipotong dari sebuah elips, tetapi jika kita mempertimbangkan interval waktu sangat singkat, seperti yang ditunjukkan pada Gambar i, menyapu bentuk yang diarsir oleh planet ini sangat mendekati sebuah segitiga. We do know how to compute the area of a triangle. Kita tahu bagaimana untuk menghitung luas segitiga. It is one half the product of the base and the height: Ini adalah satu setengah produk dasar dan ketinggian:

We wish to relate this to angular momentum, which contains the variables r and v . Kami ingin menghubungkan hal ini dengan momentum sudut, yang berisi variabel r dan v . If we consider the sun to be the axis of rotation, then the variable r is identical to the base of the triangle, r = b . Jika kita menganggap matahari sebagai sumbu rotasi, maka r adalah variabel identik dengan dasar segitiga, r = b. Referring to the magnified portion of the figure, v can be related to h , because the two right triangles are similar: Merujuk kepada porsi diperbesar gambar, v dapat dikaitkan dengan h, karena dua segitiga sikusiku adalah sama:

The area can thus be rewritten as Daerah dengan demikian dapat ditulis kembali sebagai

The distance traveled equals | v | t , so this simplifies to Jarak yang ditempuh sama dengan | v | t, jadi ini untuk menyederhanakan

We have found the following relationship between angular momentum and the rate at which area is swept out: Kami telah menemukan hubungan berikut antara momentum sudut dan tingkat di mana menyapu keluar daerah adalah:

The factor of 2 in front is simply a matter of convention, since any conserved quantity would be an equally valid conserved quantity if you multiplied it by a constant. Faktor 2 di depan hanya masalah konvensi, karena kuantitas yang kekal pun akan berlaku yang sama kuantitas yang kekal jika Anda dikalikan dengan sebuah konstanta. The factor of m was not relevant to Kepler, who did not know the planets' masses, and who was only describing the motion of one planet at a time. Faktor m tidak relevan dengan Kepler, yang tidak tahu planet massa, dan yang hanya menggambarkan gerakan satu planet pada satu waktu. We thus find that Kepler's equal-area law is equivalent to a statement that the planet's angular momentum remains constant. Dengan demikian kita menemukan bahwa Kepler daerah sama-hukum yang setara dengan pernyataan bahwa momentum sudut planet tetap konstan. But wait, why should it remain constant? Tapi tunggu, mengapa harus itu tetap konstan? --- the planet is not a closed system, since it is being acted on by the sun's gravitational force. --- Planet bukanlah sebuah sistem tertutup, karena sedang bertindak pada oleh gaya gravitasi matahari. There are two valid answers. The first is that it is actually the total angular momentum of the sun plus the planet that is conserved. Ada dua jawaban yang valid. Yang pertama adalah bahwa sebenarnya total momentum sudut matahari ditambah planet yang kekal. The sun, however, is millions of times more massive than the typical planet, so it accelerates very little in response to the planet's gravitational force. Matahari, bagaimanapun, adalah jutaan kali lebih besar daripada planet yang khas, sehingga sangat sedikit mempercepat respon terhadap gaya gravitasi planet. It is thus a good approximation to say that the sun doesn't move at all, so that no angular momentum is transferred between it and the planet. Dengan demikian pendekatan yang baik untuk mengatakan bahwa matahari tidak bergerak sama sekali, sehingga tidak ada momentum sudut akan ditransfer antara itu dan planet. The second answer is that to change the planet's angular momentum requires not just a force but a force applied in a certain way. Jawaban kedua adalah bahwa untuk mengubah momentum sudut planet memerlukan bukan hanya sebuah gaya tapi gaya yang diberikan dengan cara tertentu. In section 5.4 we discuss the transfer of angular momentum by a force, but the basic idea here is that a force directly in toward the axis does not change the angular momentum. Pada bagian 5,4 kita membahas transfer momentum sudut oleh suatu kekuatan, tetapi ide dasar di sini adalah bahwa sebuah gaya secara langsung dalam arah sumbu tidak mengubah momentum sudut.

Discussion Questions Pertanyaan Diskusi Suppose an object is simply traveling in a straight line at constant speed. Misalkan suatu objek hanya bepergian dalam garis lurus dengan kecepatan konstan. If we pick

some point not on the line and call it the axis of rotation, is area swept out by the object at a constant rate? Jika kita tidak mengambil beberapa titik pada garis dan menyebutnya sumbu rotasi, adalah daerah yang disapu oleh objek pada laju konstan? Would it matter if we chose a different axis? Apakah berpengaruh jika kita memilih sumbu yang berbeda? The figure is a strobe photo of a pendulum bob, taken from underneath the pendulum looking straight up. Angka adalah foto strobo pendulum bob, diambil dari bawah bandul menatap lurus ke atas. The black string can't be seen in the photograph. String hitam tidak dapat dilihat dalam foto. The bob was given a slight sideways push when it was released, so it did not swing in a plane. Si bob diberi sedikit menyamping mendorong ketika dirilis, jadi tidak ayunan di pesawat. The bright spot marks the center, ie, the position the bob would have if it hung straight down at us. Menandai titik terang pusat, yaitu, posisi tali akan jika itu tergantung lurus ke arah kami. Does the bob's angular momentum appear to remain constant if we consider the center to be the axis of rotation? Apakah momentum sudut bob itu tampaknya tetap konstan jika kita mempertimbangkan pusat menjadi sumbu rotasi? What if we choose a different axis? Bagaimana jika kita memilih sumbu yang berbeda?

Discussion question B . Pertanyaan diskusi B

5,3 Dua Teorema Tentang Momentum sudut

j / Example 4 . j / Contoh 4.

k / Everyone has a strong tendency to think of the diver as rotating about his own center of mass. k / Setiap orang memiliki kecenderungan kuat untuk berpikir tentang penyelam sebagai berputar tentang pusat massa sendiri. However, he is flying in an arc, and he also has angular momentum because of this motion. Namun, ia terbang di busur, dan ia juga memiliki momentum sudut karena gerakan ini.

l / This rigid object has angular momentum both because it is spinning about its center of mass and because it is moving through space. l / kaku ini objek memiliki momentum sudut, baik karena berputar tentang pusat massa dan karena itu bergerak melalui ruang.

m / Example 8 . m / Contoh 8.

With plain old momentum, p , we had the freedom to work in any inertial frame of reference we liked. Dengan momentum tua polos, p, kita memiliki kebebasan untuk bekerja dalam kerangka acuan inersia kami sukai. The same object could have different values of momentum in two different frames, if the frames were not at rest with respect to each other. Objek yang sama bisa memiliki nilai yang berbeda momentum dalam dua bingkai yang berbeda, jika frame tidak diam terhadap satu sama lain. Conservation of momentum, however, would be true in either frame. Kekekalan momentum, bagaimanapun, akan menjadi kenyataan dalam kedua bingkai. As long as we employed a single frame consistently throughout a calculation, everything would work. Selama kita bekerja satu bingkai secara konsisten di seluruh perhitungan, semuanya akan bekerja. The same is true for angular momentum, and in addition there is an ambiguity that arises from the definition of an axis of rotation. Hal yang sama berlaku untuk momentum sudut, dan di samping ada ambiguitas yang muncul dari definisi sumbu rotasi. For a wheel, the natural choice of an axis of rotation is obviously the axle, but what about an egg rotating on its side? Untuk roda, pilihan alami sumbu rotasi jelas as roda, tapi bagaimana dengan telur berputar di pihaknya? The egg has an asymmetric shape, and thus no clearly defined geometric center. Telur memiliki bentuk asimetris, dan dengan demikian tidak ada pusat geometris yang didefinisikan dengan jelas. A similar issue arises for a cyclone, which does not even have a sharply defined shape, or for a complicated machine with many gears. The following theorem, the first of two presented in this section without proof, explains how to deal with this issue. Although I have put descriptive titles above both theorems, they have no generally accepted names. Masalah serupa juga muncul karena angin topan, yang bahkan tidak memiliki bentuk yang ditetapkan tajam, atau untuk mesin yang rumit dengan banyak gigi. Teorema berikut, yang pertama dari dua yang disajikan dalam bagian ini tanpa bukti, menjelaskan bagaimana menangani masalah ini. Walaupun saya telah meletakkan judul deskriptif teorema kedua di atas, mereka tidak memiliki nama-nama yang diterima secara umum.

the choice of axis theorem pilihan teorema sumbuIt is entirely arbitrary what point one defines as the axis for purposes of calculating angular momentum. Sangat sewenang-wenang apa koma satu mendefinisikan sebagai sumbu untuk tujuan menghitung momentum sudut. If a closed system's angular momentum is conserved when calculated with one choice of axis, then it will also be conserved for any other choice. Likewise, any inertial frame of reference may be used. Jika sistem tertutup momentum sudut kekal bila dihitung dengan satu pilihan dari sumbu, maka juga akan dilestarikan untuk pilihan lain. Demikian pula, setiap kerangka acuan inersia dapat digunakan.

Example 4: Colliding asteroids described with different axes Contoh 4: tabrakan asteroid digambarkan dengan sumbu yang berbedaObservers on planets A and B both see the two asteroids colliding. Pengamat di planet A dan B keduanya melihat dua asteroid bertabrakan. The asteroids are of equal mass and their impact speeds are the same. The asteroid adalah dengan massa yang sama kecepatan dan dampaknya adalah sama. Astronomers on each planet decide to define their own

planet as the axis of rotation. Astronom pada setiap planet memutuskan untuk mendefinisikan planet mereka sendiri sebagai sumbu rotasi. Planet A is twice as far from the collision as planet B . Planet A adalah dua kali lebih jauh dari tumbukan sebagai planet B. The asteroids collide and stick. The asteroid bertabrakan dan tongkat. For simplicity, assume planets A and B are both at rest. Untuk mempermudah, asumsikan planet A dan B keduanya beristirahat. With planet A as the axis, the two asteroids have the same amount of angular momentum, but one has positive angular momentum and the other has negative. Dengan planet A sebagai sumbu, kedua asteroid memiliki jumlah yang sama momentum sudut, tetapi satu memiliki momentum sudut positif dan yang lain telah negatif. Before the collision, the total angular momentum is therefore zero. Sebelum tumbukan, momentum sudut total karena itu nol. After the collision, the two asteroids will have stopped moving, and again the total angular momentum is zero. Setelah tumbukan, kedua asteroid akan berhenti bergerak, dan sekali lagi momentum sudut total adalah nol. The total angular momentum both before and after the collision is zero, so angular momentum is conserved if you choose planet A as the axis. Momentum sudut total baik sebelum dan sesudah tumbukan adalah nol, maka momentum sudut kekal jika Anda memilih planet A sebagai sumbu. The only difference with planet B as axis is that r is smaller by a factor of two, so all the angular momenta are halved. Satu-satunya perbedaan dengan planet B sebagai sumbu adalah bahwa r lebih kecil dengan faktor dua, sehingga semua momentum sudut yang dibelah dua. Even though the angular momenta are different than the ones calculated by planet A, angular momentum is still conserved. Meskipun momentum sudut yang berbeda dari yang dihitung oleh planet A, momentum sudut masih kekal. The earth spins on its own axis once a day, but simultaneously travels in its circular oneyear orbit around the sun, so any given part of it traces out a complicated loopy path. Bumi berputar pada porosnya sendiri sekali sehari, tapi secara bersamaan bergerak dalam lingkaran satu tahun mengorbit mengelilingi matahari, sehingga bagian tertentu ini menelusuri sebuah jalan berikal rumit. It would seem difficult to calculate the earth's angular momentum, but it turns out that there is an intuitively appealing shortcut: we can simply add up the angular momentum due to its spin plus that arising from its center of mass's circular motion around the sun. Tampaknya akan sulit untuk menghitung momentum sudut bumi, tapi ternyata ada jalan pintas intuitif menarik: kita dapat dengan mudah menambah momentum sudut karena berputar ditambah yang timbul dari pusat massa gerak melingkar mengelilingi matahari. This is a special case of the following general theorem: Ini adalah kasus khusus dari teorema umum berikut:

the spin theorem Teorema spinAn object's angular momentum with respect to some outside axis A can be found by adding up two parts: Sebuah momentum sudut benda terhadap sumbu dari luar A dapat ditemukan dengan menambahkan dua bagian: (1) The first part is the object's angular momentum found by using its own center of mass as the axis, ie, the angular momentum the object has because it is spinning. (1) Bagian

pertama adalah momentum sudut benda yang ditemukan dengan menggunakan pusat sendiri massa sebagai sumbu, yakni momentum sudut objek telah karena berputar. (2) The other part equals the angular momentum that the object would have with respect to the axis A if it had all its mass concentrated at and moving with its center of mass. (2) Bagian lain sama dengan momentum sudut bahwa objek akan berkaitan dengan sumbu A jika semua itu massanya terkonsentrasi pada dan bergerak dengan pusat massa.

Example 5: A system with its center of mass at rest Contoh 5: Sebuah sistem dengan pusat massa diamIn the special case of an object whose center of mass is at rest, the spin theorem implies that the object's angular momentum is the same regardless of what axis we choose. (This is an even stronger statement than the choice of axis theorem, which only guarantees that angular momentum is conserved for any given choice of axis, without specifying that it is the same for all such choices.) Dalam kasus khusus dari objek yang pusat massa adalah diam, teorema spin menyiratkan bahwa momentum sudut benda adalah sama tanpa sumbu apa yang kita pilih. (Ini adalah pernyataan yang lebih kuat daripada pilihan teorema sumbu, yang hanya menjamin bahwa momentum sudut kekal untuk setiap pilihan sumbu, tanpa menentukan bahwa itu adalah sama untuk semua pilihan semacam itu.)

Example 6: Angular momentum of a rigid object Contoh 6: Momentum sudut objek yang kaku A motorcycle wheel has almost all its mass concentrated at the outside. Sebuah sepeda motor roda memiliki hampir semua massanya terkonsentrasi di luar. If the wheel has mass m and radius r , and the time required for one revolution is T , what is the spin part of its angular momentum? Jika roda memiliki massa m dan jari-jari r, dan waktu yang dibutuhkan untuk satu putaran adalah T, apa putaran bagian dari momentum sudut? This is an example of the commonly encountered special case of rigid motion, as opposed to the rotation of a system like a hurricane in which the different parts take different amounts of time to go around. Ini adalah contoh yang umum dijumpai kasus khusus yang kaku gerak, berlawanan dengan rotasi sistem seperti badai di mana bagianbagian yang berbeda mengambil jumlah yang berbeda waktu untuk pergi sekitar. We don't really have to go through a laborious process of adding up contributions from all the many parts of a wheel, because they are all at about the same distance from the axis, and are all moving around the axis at about the same speed. Kita tidak benar-benar harus pergi melalui proses susah payah menambahkan kontribusi dari sekian banyak bagian roda, karena mereka semua pada jarak yang sama dari sumbu, dan semuanya bergerak mengelilingi sumbu pada kecepatan yang sama . The velocity is all perpendicular to the spokes, Kecepatan adalah semua tegak lurus terhadap jari-jari,

and the angular momentum of the wheel about its center is dan momentum sudut dari roda tentang pusat

Note that although the factors of 2 in this expression is peculiar to a wheel with its mass concentrated on the rim, the proportionality to m / T would have been the same for any other rigidly rotating object. Perhatikan bahwa meskipun faktor-faktor 2 dalam ungkapan ini adalah khas untuk sebuah roda dengan massanya terkonsentrasi pada tepi, yang proporsionalitas untuk m / T akan tetap sama selama kaku lainnya memutar objek. Although an object with a noncircular shape does not have a radius, it is also true in general that angular momentum is proportional to the square of the object's size for fixed values of m and T . For instance doubling an object's size doubles both the v and r factors in the contribution of each of its parts to the total angular momentum, resulting in an overall factor of four increase. Meskipun sebuah benda dengan bentuk noncircular tidak memiliki jari-jari, juga benar secara umum bahwa momentum sudut sebanding dengan kuadrat ukuran objek untuk tetap nilai-nilai m dan T. Misalnya menggandakan ukuran objek ganda baik v dan faktor r kontribusi dari masing-masing bagian untuk momentum sudut total yang berakibat pada empat faktor keseluruhan meningkat. The figure shows some examples of angular momenta of various shapes rotating about their centers of mass. Angka menunjukkan beberapa contoh dari momentum sudut dari berbagai bentuk berputar tentang pusat massa mereka. The equations for their angular momenta were derived using calculus, as described in my calculus-based book Simple Nature. Persamaan untuk momentum sudut mereka diturunkan dengan menggunakan kalkulus, seperti yang dijelaskan dalam buku berbasis-kalkulus Simple Alam. Do not memorize these equations! Jangan menghafal persamaan ini!

Example 7: The hammer throw Contoh 7: The palu melempar In the men's Olympic hammer throw, a steel ball of radius 6.1 cm is swung on the end of a wire of length 1.22 m. Dalam Olimpiade pria palu melempar, bola baja berjari-jari 6,1 cm berayun di ujung kabel dengan panjang 1,22 m. What fraction of the ball's angular momentum comes from its rotation, as opposed to its motion through space? Berapa bagian dari momentum sudut bola berasal dari rotasi, sebagai lawan melalui ruang geraknya? It's always important to solve problems symbolically first, and plug in numbers only at the end, so let the radius of the ball be b , and the length of the wire itu selalu penting untuk memecahkan masalah secara simbolis pertama, dan memasukkan angka saja di akhir, jadi biarkan jari-jari bola menjadi b, dan panjang kawat . If the time the ball takes to go once around the circle is T , then this is also the time it takes to revolve once around

its own axis. . Jika waktu bola yang diperlukan untuk pergi sekali mengelilingi lingkaran adalah T, maka ini juga merupakan waktu yang diperlukan untuk berputar mengelilingi porosnya sendiri. Its speed is Lajunya , so its angular momentum due to its motion through space is , Sehingga momentum sudutnya karena gerakannya melalui ruang . . Its angular momentum due to its rotation around its own center is (4/5) mb 2 / T . Momentum sudutnya karena rotasi di sekitar pusat sendiri adalah (4 / 5) mb 2 / T. The ratio of these two angular momenta is Rasio dari kedua sudut momentum adalah . . The angular momentum due to the ball's spin is extremely small. Momentum sudut karena spin bola sangat kecil.

Example 8: Toppling a rod Contoh 8: menjatuhkan tongkat A rod of length b and mass m stands upright. Sebuah batang dengan panjang b dan massa m berdiri tegak. We want to strike the rod at the bottom, causing it to fall and land flat. Find the momentum, p , that should be delivered, in terms of m , b , and g . Kami ingin menyerang batang di bagian bawah, menyebabkan ia jatuh dan tanah datar. Carilah momentum, p, yang harus disampaikan, dalam hal m, b, dan g. Can this really be done without having the rod scrape on the floor? Dapatkah ini benar-benar dilakukan tanpa memiliki batang goresan di lantai? This is a nice example of a question that can very nearly be answered based only on units. Ini adalah contoh yang bagus dari sebuah pertanyaan yang dapat dijawab hampir hanya didasarkan pada unit. Since the three variables, m , b , and g , all have different units, they can't be added or subtracted. The only way to combine them mathematically is by multiplication or division. Multiplying one of them by itself is exponentiation, so in general we expect that the answer must be of the form Sejak tiga variabel, m, b, dan g, semua memiliki unit yang berbeda, mereka tidak dapat ditambahkan atau dikurangi. Satusatunya cara untuk menggabungkan mereka secara matematis adalah dengan perkalian atau pembagian. Mengalikan salah satu dari mereka dengan sendirinya adalah exponentiation, sehingga dalam umum kami berharap bahwa jawaban harus dalam bentuk p = A m j b k g l , p = A m j k b g l, where A , j , k , and l are unitless constants. di mana A, j, k, dan l merupakan konstanta unitless. The result has to have units of kgm/s. Hasilnya harus memiliki satuan kg m / s. To get kilograms to the first power, we need Untuk mendapatkan kilogram dengan kekuatan pertama, kita perlu j =1 , j = 1, meters to the first power requires meter kekuasaan pertama memerlukan k + l =1 , k + l = 1, and seconds to the power -1 implies dan detik untuk menunjukkan kekuatan -1

l =1/2 . l = 1 / 2. We find j =1, k =1/2, and l =1/2, so the solution must be of the form Kami menemukan j = 1, k = 1 / 2, dan l = 1 / 2, sehingga solusi harus dalam bentuk

Note that no physics was required! Perhatikan bahwa tidak ada fisika diperlukan! Consideration of units, however, won't help us to find the unitless constant A . Pertimbangan unit, bagaimanapun, tidak akan membantu kita untuk menemukan unitless konstan A. Let t be the time the rod takes to fall, so that (1/2) gt 2 = b /2. If the rod is going to land exactly on its side, then the number of revolutions it completes while in the air must be 1/4, or 3/4, or 5/4, ..., but all the possibilities greater than 1/4 would cause the head of the rod to collide with the floor prematurely. Biarkan t adalah waktu yang diperlukan untuk batang jatuh, sehingga (1 / 2) gt 2 = b / 2. Jika batang akan mendarat tepat di sisinya, maka jumlah putaran itu melengkapi sementara di udara harus 1 / 4, atau 3 / 4, atau 5 / 4, ..., tapi semua kemungkinan yang lebih besar dari 1 / 4 yang menyebabkan kepala batang berbenturan dengan lantai sebelum waktunya. The rod must therefore rotate at a rate that would cause it to complete a full rotation in a time T =4 t , and it has angular momentum L =(/6) mb 2 / T . Batang dengan demikian harus berputar dengan kecepatan yang akan menyebabkan itu untuk menyelesaikan putaran penuh dalam waktu T = 4 t, dan memiliki momentum sudut L = ( / 6) mb 2 / T. The momentum lost by the object striking the rod is p , and by conservation of momentum, this is the amount of momentum, in the horizontal direction, that the rod acquires. Kehilangan momentum oleh objek menyerang batang adalah p, dan kekekalan momentum, ini adalah jumlah momentum, dalam arah horizontal, bahwa batang mengakuisisi. In other words, the rod will fly forward a little. Dengan kata lain, batang akan terbang ke depan sedikit. However, this has no effect on the solution to the problem. Namun, hal ini tidak berpengaruh pada pemecahan masalah. More importantly, the object striking the rod loses angular momentum bp /2, which is also transferred to the rod. Lebih penting lagi, memukul benda kehilangan momentum sudut batang bp / 2, yang juga ditransfer ke batang. Equating this to the expression above for L , we find Menyamakan hal ini dengan ungkapan di atas untuk L, kita menemukan .. Finally, we need to know whether this can really be done without having the foot of the rod scrape on the floor. Akhirnya, kita perlu tahu apakah ini benar-benar dapat dilakukan tanpa memiliki kaki batang goresan di lantai. The figure shows that the answer is no for this rod of finite width, but it appears that the answer would be yes for a sufficiently thin rod. Angka menunjukkan bahwa jawabannya tidak untuk batang fana ini lebar, namun tampak bahwa jawabannya adalah ya untuk batang yang cukup tipis. This is analyzed further in homework problem 28 on page 141. Ini dianalisis lebih lanjut dalam masalah pekerjaan rumah 28 di halaman 141.

Discussion Question Diskusi Question

In the example of the colliding asteroids, suppose planet A was moving toward the top of the page, at the same speed as the bottom asteroid. Dalam contoh dari asteroid bertabrakan, anggaplah planet A bergerak ke arah bagian atas halaman, pada kecepatan yang sama sebagai dasar asteroid. How would planet A's astronomers describe the angular momenta of the asteroids? Bagaimana astronom planet A menggambarkan momentum sudut dari asteroid? Would angular momentum still be conserved? Momentum sudut akan tetap kekal?

RingkasanAngular momentum is a measure of rotational motion which is conserved for a closed system. This book only discusses angular momentum for rotation of material objects in two dimensions. Not all rotation is rigid like that of a wheel or a spinning top. An example of nonrigid rotation is a cyclone, in which the inner parts take less time to complete a revolution than the outer parts. In order to define a measure of rotational motion general enough to include nonrigid rotation, we define the angular momentum of a system by dividing it up into small parts, and adding up all the angular momenta of the small parts, which we think of as tiny particles. We arbitrarily choose some point in space, the axis , and we say that anything that changes its direction relative to that point possesses angular momentum. The angular momentum of a single particle is L = mv r , where v is the component of its velocity perpendicular to the line joining it to the axis, and r is its distance from the axis. Positive and negative signs of angular momentum are used to indicate clockwise and counterclockwise rotation. The choice of axis theorem states that any axis may be used for defining angular momentum. If a system's angular momentum is constant for one choice of axis, then it is also constant for any other choice of axis. The spin theorem states that an object's angular momentum with respect to some outside axis A can be found by adding up two parts: (1) The first part is the object's angular momentum found by using its own center of mass as the axis, ie, the angular momentum the object has because it is spinning. (2) The other part equals the angular momentum that the object would have with respect to the axis A if it had all its mass concentrated at and moving with its center of mass. Torque is the rate of change of angular momentum. The torque a force can produce is a measure of its ability to twist on an object. The relationship between force and torque is

where r is the distance from the axis to the point where the force is applied, and F is the component of the force perpendicular to the line connecting the axis to the point of application. Statics problems can be solved by setting the total force and total torque on an object equal to zero and solving for the unknowns.