13/03/2014 13:12 MA-1223 Aljabar Linear 1

Aljabar Linear Elementer

MA1223

3 SKS

Silabus :

Bab I Matriks dan Operasinya

Bab II Determinan Matriks

Bab III Sistem Persamaan Linear

Bab IV Vektor di Bidang dan di Ruang

Bab V Ruang Vektor

Bab VI Ruang Hasil Kali Dalam

Bab VII Transformasi Linear

Bab VIII Ruang Eigen

13/03/2014 13:12 MA-1223 Aljabar Linear 2

RUANG VEKTOR

Sub Pokok Bahasan

Ruang Vektor Umum

Subruang

Basis dan Dimensi

Basis Subruang

Beberapa Aplikasi Ruang Vektor

Beberapa metode optimasi

Sistem Kontrol

Operation Research

dan lain-lain

13/03/2014 13:12 MA-1223 Aljabar Linear 3

Ruang Vektor Umum

Misalkan dan k, l Riil

V dinamakan ruang vektor jika terpenuhi aksioma :

1. V tertutup terhadap operasi penjumlahan

Untuk setiap

2.

3.

4. Terdapat sehingga untuk setiap

berlaku

5. Untuk setiap terdapat sehingga

Vwvu ,,

Vvu maka, Vvu

vu uv

wvuwvu

uuu 00

V0 Vu

Vu u

0 uuuu

13/03/2014 13:12 MA-1223 Aljabar Linear 4

6. V tertutup thd operasi perkalian dengan skalar.

Untuk setiap dan k Riil maka

7.

8.

9.

10.

Vu Vuk

vkukvuk

ulukulk

ukluklulk

uu .1

13/03/2014 13:12 MA-1223 Aljabar Linear 5

Contoh :

1. Himpunan vektor Euclides dengan operasi standar

(operasi penjumlahan dan operasi perkalian dengan

skalar).

Notasi : Rn (Ruang Euclides orde n)

2. Himpunan matriks berukuran m x n

dengan operasi standar (penjumlahan matriks

dan perkalian matriks dengan skalar),

Notasi : Mmxn (Ruang Matriks mxn)

3. Himpunan polinom pangkat n dengan operasi standar.

Notasi : Pn (Ruang Polinom orde n)

13/03/2014 13:12 MA-1223 Aljabar Linear 6

Ruang Euclides orde n

Operasi-Operasi pada ruang vektor Euclides:

Penjumlahan

Perkalian dengan skalar Riil sebarang (k)

Perkalian Titik (Euclidean inner product)

Panjang vektor didefinisikan oleh :

Jarak antara dua vektor didefinisikan oleh :

nn vuvuvuvu ...,,, 2211

nkukukuuk ,...,, 21

nnvuvuvuvu ...2211

21

uuu

vuvud , 22222

11 ... nn vuvuvu

22

2

2

1 ... nuuu

13/03/2014 13:12 MA-1223 Aljabar Linear 7

Contoh :

Diketahui dan Tentukan panjang vektor dan jarak antara kedua

vektor tersebut

Jawab:

Panjang vektor :

Jarak kedua vektor

3,2,1,1u 1,1,2,2v

vuvud ,

21

uuu 1532112222

101122 2222 v

2222 13122121

7

2111 2222

13/03/2014 13:12 MA-1223 Aljabar Linear 8

Misalkan W merupakan subhimpunan dari sebuah

ruang vektor V

W dinamakan subruang (subspace) V

jika W juga merupakan ruang vektor

yang tertutup terhadap operasi penjumlahan dan

perkalian dengan skalar.

Syarat W disebut subruang dari V adalah :

1. W { }

2. W V

3. Jika maka

4. Jika dan k Riil maka

Wvu , Wvu

Wu Wuk

13/03/2014 13:12 MA-1223 Aljabar Linear 9

Contoh :

Tunjukan bahwa himpunan W yang berisi semua

matriks orde 2x2 dimana setiap unsur diagonalnya

adalah nol merupakan subruang dari ruang vektor

matriks 2x2

Jawab :

2. Jelas bahwa W M2x2

3. Ambil sembarang matriks A, B W

Tulis

dan

maka00

001. WO

W

0

0

2

1

a

aA

0

0

2

1

b

bB

13/03/2014 13:12 MA-1223 Aljabar Linear 10

Perhatikan bahwa :

Ini menunjukan bahwa

4. Ambil sembarang matriks A W dan k Riil

maka

Ini menunjukan bahwa

Jadi, W merupakan Subruang dari M2x2.

0

0

0

0

0

0

22

11

2

1

2

1

ba

ba

b

b

a

aBA

WBA

Wka

kakA

0

0

2

1

WkA

13/03/2014 13:12 MA-1223 Aljabar Linear 11

Contoh :

Periksa apakah himpunan D yang berisi semua

matriks orde 2x2 yang determinannya nol

merupakan subruang dari ruang vektor M2x2

Jawab :

00

baA

abB

00

Ambil sembarang matriks A, B W

Pilih a b :

, jelas bahwa det (A) = 0

, jelas bahwa det (A) = 0

13/03/2014 13:12 MA-1223 Aljabar Linear 12

BA

ab

ba

Perhatikan bahwa :

=

Jadi D bukan merupakan subruang

karena tidak tertutup terhadap operasi penjumlahan

Karena a b

Maka det (A + B ) = a2 b2 0

13/03/2014 13:12 MA-1223 Aljabar Linear 13

u

1v 2v nv

nnvkvkvku ...2211

Sebuah vektor

dinamakan kombinasi linear dari vektor vektor

, , ,

jika vektor vektor tersebut

dapat dinyatakan dalam bentuk :

dimana k1, k2, , kn adalah skalar Riil.

13/03/2014 13:12 MA-1223 Aljabar Linear 14

Contoh

u v

a

b

c

Misal = (2, 4, 0), dan

Apakah vektor berikut merupakan kombinasi linear

dari vektor vektor di atas

= (4, 2, 6)

c. = (0, 0, 0)

adalah vektor-vektor di R3.

= (1, 1, 3)

b. = (1, 5, 6)

a.

13/03/2014 13:12 MA-1223 Aljabar Linear 15

6

2

4

3

1-

1

0

4

2

21 kk

6

2

4

3 0

1- 4

1 2

2

1

k

k

a. Tulis

akan diperiksa apakah ada k1, k2,

sehingga kesamaan tersebut dipenuhi.

Ini dapat ditulis menjadi:

Jawab :

avkuk 21

13/03/2014 13:12 MA-1223 Aljabar Linear 16

0 0 0

2 1 0

2 1

~

6 3 0

6- 3- 1

2 1 2121

a u

vua

2

dengan OBE, diperoleh:

Dengan demikian,

merupakan kombinasi linear dari vektor dan

atau

v

13/03/2014 13:12 MA-1223 Aljabar Linear 17

bvkuk

21

6

5

1

3

1-

1

0

4

2

21 kk

6

5

1

3 0

1- 4

1 2

2

1

k

k

b. Tulis :

ini dapat ditulis menjadi:

13/03/2014 13:12 MA-1223 Aljabar Linear 18

3 0 0

2 1 0

1

~

6 3 0

3 3- 0

0 1

~

6 3 0

5 1- 4

1 1 2 212121

dengan OBE dapat kita peroleh :

Baris terakhir pada matriks ini menunjukkan bahwa

SPL tersebut adalah tidak konsisten

(tidak mempunyai solusi).

Jadi, tidak ada nilai k1 dan k2 yang memenuhi

b tidak dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear

dari u dan v

13/03/2014 13:12 MA-1223 Aljabar Linear 19

c. Dengan memilih k1 = 0 dan k2 = 0,

maka dapat ditulis

cvkuk

21

artinya vektor nol merupakan kombinasi linear

dari vektor apapun.

13/03/2014 13:12 MA-1223 Aljabar Linear 20

1v

2v

3v

Himpunan vektor

dikatakan membangun suatu ruang vektor V

jika setiap vektor pada V selalu dapat dinyatakan

sebagai kombinasi linear dari vektor vektor di S.

= (1, 1, 2),

= (1, 0, 1), dan

= (2, 1, 3)

Definisi membangun dan bebas linear

nvvvS ,...,, 21

Contoh :

Tentukan apakah

membangun V???

13/03/2014 13:12 MA-1223 Aljabar Linear 21

3

2

1

3

2

1

312

101

211

u

u

u

k

k

k

Jawab :

misalkan

.

Tulis :

.

Sehingga dapat ditulis dalam bentuk :

Ambil sembarang vektor di R2

332211 vkvkvku

3

2

1

u

u

u

u

13/03/2014 13:12 MA-1223 Aljabar Linear 22

Syarat agar dapat dikatakan kombinasi linear

SPL tersebut harus mempunyai solusi (konsisten)

Dengan OBE diperoleh :

haruslah u3 u2 u1 = 0 Agar SPL itu konsisten

Ini kontradiksi dengan pengambilan vektor sembarang

(unsur unsurnya bebas, tak bersyarat)

Dengan demikian vektor vektor tersebut

tidak membangun R