Alin 03 Vektor Di r2 Dan r3 (Pertemuan 7-9.5)

8/17/2019 Alin 03 Vektor Di r2 Dan r3 (Pertemuan 7-9.5)

1/42

BAB 3 VEKTOR DI R2 DAN R3

Dr. Ir. AbdSurhim, M


2/42

KERANGKA PEMBAHASAN

1.Defnii "e#$%r di R& dan R'

&.Hail Kali S(alar

'.Hail Kali Silan)*.Gari dan Bidan) di R'


3/42

3.1 DEFINISI VEKTOR DI RDAN R3Notasi dan Operasi

Vektor besaran yang mempunyai arah

Notasi vektor

Notasipanjang vektor adalah

Vektor satuan Vektor dengan panjang atau norm

sama dengan satu

( )321321

3

2

1

,,ˆˆˆ ccck c jcic

c

c

c

c =++=

=

=

3

2

1

c

c

c

c

2

3

2

2

2

1 cccc ++=


4/42

"EKT+R GE+METRI

"e#$%r memili#i Arah

Bearan

"e#$%r -u)a memili#i E#%r e#$%r $i$i# a/al, mial A

0-un) e#$%r $i$i# $erminal a#hir2,mial B

N%$ain3a e#$%r 3an) memili#i$i$i# a/al A dan $i$i# a#hir B

"e#$%r


5/42

OPERASI VEKTOR

1.Penjumlahan antar vektor (pada ruang yang sam

2.Perkalian vektor

a)dengan scalar

b)dengan vektor lain

Hasil kali titik (Dot Product)

Hasil kali silang (Cross Product)


6/42

PENJUMLAHAN VEKTOR

Misalkan dan adalah vektor – vektor

didefinisikan

yang berada di ruang yang sama, maka vektor

maka

u

v vu +

u

u v

vu +


7/42

PERKALIAN VEKTOR DENGAN SKALAR

Perkalian vektor dengan skalark,

didefinisikan sebagai vektor yang panjangnyak kali

panjang vektor dengan arah

Jikak > 0 searah dengan

Jikak < 0

berlawanan arah dengan

u

u2−

u ( )uk

u

u

u


8/42

ANA4ISIS +PERASI "EKT+R

Secara analitis, kedua operasi pada vektor di atas dapatdijelaskan sebagai berikut :

adalah vektor-vektor di ruang yang sama,maka

dan Misalkan

( )3211 ,aaaa = ( )321 ,, bbbb =

( )332211 ,,.1 babababa +++=+

( )332211 ,,.2 babababa −−−=−

( )321 ,,.3 kakakaak =


9/42

R0ANG D0A R&2

K%m5%nen v adalah #%%rdina$ v 1,v &2 di $i$i# a#hir dan di$uli v 6 v 1,v &2

"e#$%r / di$uli w 6 w1,w&2

Keduan3a e#ialen -i#a

v 1 6 /1 dan v & = w&

v + w 6 v 1 7 /1, v & + w&2


10/42

R0ANG TIGA R'2

R' da5a$men-adi R& -i#adila#u#an5er)eeran #e#anan a$au #e#iri


11/42

8+NT+H WARNA RGB REGREEN, B40E2


12/42

8+NT+H


13/42

TRANS4ASI S0MB0

Peramaa$ranlain3


14/42

8+NT+H

Si$em #%%rdina$9 xy di$ranlai#an un$u# mem5er%leh#%%rdina$9 x’y : 3an) aaln3a memili#i #%%rdina$9 xy k,l

1. Ten$u#an #%%rdina$9 x’y : dari $i$i# $erebu$ den)an #%P&,;2

&. Ten$u#an #%%rdina$9 xy dari $i$i# $erebu$ den)an #%%rdina$9 x

S+40SI

'. Peramaan $ranlain3a x’ = 2 – 4 = -2, y’ =

*. Peramaan $ranlain3a x = -1 + 4 = 3, y = 5


15/42

N+RMA "EKT+R

N+RMA "EKT+R u 6 5an-an) e#$%r u dandin%$ai#an den)an

Den)an $e%ri P3$ha)%ra, n%rma e#$%r uudan uu1,u&,u'2

(R2 )

(R3 )

"e#$%r SAT0AN 6 e#$%r 3an) n%rman3a ama de


16/42

8+NT+H AP4IKASIGPS (GLOBAL POSITIONINGSYSTEMS)

GPS men)iden$if#ai #%%rdina$n3a TITIK =t men))una#an i$em e)i$i)a dan men)hem5a$ a$eli$. ?ara# ini dihi$un)#an men))u#e(e5a$an (aha3a e#i$ar ;.*@ -ari9-ari bude$i#2 dan /a#$u in3al ber-alan dari a$eli$$erebu$. Seba)ai (%n$%h, TITIK menerima aa$ t dan a$eli$ men)han$ar#an in3al 5ad

ma#a -ara# 3an) di$em5u$ %leh in3al adala

Sa$eli$ -u)a men)irim#an #%%rdina$n3a =;,3

/a#$u $erebu$, ehin))a

Peramaann3a men-adi

Karena ada e a" #a"e$%" a'


17/42

3.2 ASIL KALI SALAR(PERKALIAN DOT)

Misalkan , adalah vektor pada ruang yang sama, maka hkali titik antara dua vektor:

dengan

: panjang

: panjang

α : sudut keduanya


18/42

Ilustrasi dot product vektor A dan B

α cos B A B A =•


19/42

Contoh 2 :

Tentukan hasil kali titik dari dua vektor

dan

Jawab :

Karena tanα =1 , artinya= 450

= 4

ia ˆ2= jib ˆ2ˆ2 +=

α cosbaba =•

2

182=

Ingataturancosinus


20/42

Ingat aturan cosinus

Perhatikan

a2 =b2 +c2 – 2bc cosα ac

bα

α

a

b

a

b

ab −

α cos2222

babaab −+=−

b−

Selanjutnyadapatditulis


21/42

Selanjutnya dapat ditulis

Ingat bahwa :

=θ cosba

−−+

222

2

1 abba

α cos1. baba =•22

2

2

1

2

....2n

aaaa ++=

22

2

2

1

2

....3n

bbbb +++=

( ) ( ) ( ) 22222112 ....4 nn abababab −++−+−=−

nnnn

nn

ababab

aaabbb

2...22

......

11

22

2

2

1

22

2

2

1

−−−−+++++++=

nbabababa +++=• ...2211


22/42

Perhatikan setiap sukunya, diperoleh hubungan :

Tentukan kembali hasil kali titik dari dua vektor pada contohsebelumnya

=2 (2) + 0 (2)

= 4

Beberapa sifat hasilkali titik :

1.

2.

3.

2211 bababa +=•

nnbabababa +++=• ...2211

abba •=•

( ) ( ) ( )cabacba •+•=+•

( ) Rk bk abak bak ∈•=•=• dimana,


23/42

PROYEKSI ORTOGONAL

Karena

6 ; #aluru2

a proycb

=

a

b

w

cwa += ( ) bcwba •+=•bcbw •+•=

2

bk

bbk

=

•=

bk c = bahwaterlihat

2b

bak

•=

Jadi


24/42

Jadi,

rumus proyeksi diperoleh :

Contoh 4 :

Tentukan proyeksi ortogonal

vektor

terhadap vektor

−−

=

3

4

2

u

−=

4

3

1

v

bb

baaoy

b 2Pr

•=

Jawab:


25/42

Jawab :

−−

=

−−=

−

−+−+−=

−−++

−

•

−−

=

•=

4

3

1

4

3

1

2626

4

3

1

26

)12()12(2

4

3

1

)4(314

3

1

3

4

2

Pr

222

2 v

v

vwwoyv


26/42

?ARAK ANTARA TITIK DANGARIS ?ara# D2 an$ara $i$i# P;=;,3;2 dan )ari a= 7 b3 7 ( 6 ;


27/42

3.3ASIL KALI SILANGHasil kali silang merupakan hasil kali antara dua vektor Ruang (R3) yang menghasilkan vektor yang tegak lurusterhadap kedua vektor yang dikalikan tersebut.

321

321

ˆˆˆ

B B B A A A

k ji

= B x AC =

k B B

A A j

B B

A Ai

B B

A A ˆˆˆ

21

21

31

31

32

32 +−=

Contoh :


28/42

Tentukan ,

dimana

Jawab :

vuw ×=

321

321

ˆˆˆ

vvv

uuuk ji

w =

( )2,2,1 −=u )1,0,3(=v

103

221

ˆˆˆ

−=k ji

( ) +−−= î)2(01.2 ( ) +−− ĵ1.1)2(3 ( ) k ̂2.30.1 −

k ji ˆ6ˆ7ˆ2 −−=


29/42

Beberapa sifat Cross Product :

a.

b.

c. ( )2222

vuvuvu •−=×

( ) 0=• v xuu

( ) 0=• v xuv


30/42

Dari sifat ke-3 diperoleh

α sin, ⋅⋅= vuv xu Jadi

( ) 2222

vuvuvu •−=×

( )222

cosα ⋅⋅−⋅= vuvu

( )α 22222 cos⋅⋅−⋅= vuvu

( )α 222 cos1−⋅= vu

α 222 sin⋅⋅= vu


31/42

Perhatikan ilustrasi berikut :

Luas segitiga yang dibentuk oleh kedua vektor tersebuadalah

α

u

v

α sinv

u

α sinGenjan!ajaran#$as ⋅⋅== vuv xu

vu ×=2

1seitia#$as


32/42

Contoh :

Diketahui titik-titik diruang ( di R³ ) adalah :

A = (1, –1, –2)

B = (4, 1, 0)C = (2, 3, 3)

Dengan menggunakan hasilkali silang, tentukan luas segit ABC !

Jawab :

Tulis

= B – A= (4, 1, 0) – (1, –1, –2)

= (3, 2, 2)

= C – A= (2, 3, 3) – (1, –1, –2)

= (1, 4, 5)

AB

AC


33/42

Luas segitiga ABC yang berimpit di A adalah

AB AC ×%41

223

ˆˆˆ k ji

= k ji ˆ10ˆ13ˆ2 +−=

10016&42

1++= Luas

2732

1=


34/42

ORIENTASI PADA TITIK B = (1,-1,-2) – (4,1,0) = (-3,-2,-2)

= (2,3,3) – (4,1,0) = (-2,2,3)

Sehingga luas segitiga ABC yang berimpit di B adalah

= BA ba −

= BC bc −

=× BC BA

322

223

ˆˆˆ

−

−−−

k ji

jk i ˆ10ˆ13ˆ2 −+−=

== BC x BA2

110016&4

2

1++

2732

1=

INTERPRETASI GE+METRIK DARI DETERMINAN


35/42

INTERPRETASI GE+METRIK DARI DETERMINAN


36/42

B0KTI 1

4ua -a-aran )en-an) e#$%r R& 3an) $erle$di R' adalah * 6 u1,u&,;2 dan + 6 v 1,v &,;2

a#$an3a bah/a , ma#a luan3a men-adi


37/42

B0KTI &

4ua -a-aran )en-an) di ba)ian ala adalah

Tin))in3a adalah 5r%3e#i u $erhada5

"%lumen3a

TERB,KTI

3 -


38/42

3.-GARIS DAN BIDANG D

R3

Dalam )e%me$ri anali$i# ebuah )ari di R& da5a$di5eif#ai den)an memberi#an )radien dan a$$i$i# in$ere5in3a

Miri5 den)an i$u, di R' -u)a da5a$ di5eif#ai de

memberi#an in#lanai #e(enderun)an2 dan a$u$i$i#n3a

In#lanai dari ebuah bidan) un$u# menen$u#ane#$%r bu#an n%l diebu$ NORMAL& an/ TEGAKL,R,S DENGAN BIDANG


39/42

N+RMA49TITIK

Peramaan bidan) 3an) melalui $i$memili#i e#$%r bu#an n%l eba)aiN+RMA4

Bu#$in3a Ti$i# di bidan) $erebu$ me#$%r 3an) +RT+G+NA4 $erhada5ehin))a

Karena , ma#a

Ini diebu$ BENT0K NORMAL0TITIKPERSAMAAN BIDANG

Ben$u# umumn3a


40/42

8+NT+H

Temu#an 5eramaan bidan) melalui $i$i# 1,C2 dan $e)a# luru n 6 *,&,9


41/42

SP4 DA4AM BIDANG R'

?i#a ada ' bidan) R',

ma#a 5eramaanbidan)n3amemben$u# SP4

Kemun)#inan%luin3a


42/42

8+NT+H Temu#an 5eramaan bidan) melalui $i$i# , , dan . S%luin3a

Hailn3a adalah , , , dan

?i#a , ma#a 5eramaann3a adalah

S%lui 4AIN

dan

=

a"a*

Alin 03 Vektor Di r2 Dan r3 (Pertemuan 7-9.5)

Documents