9metode Luasan Bidang Momen

8/17/2019 9metode Luasan Bidang Momen

1/32

METODE LUASAN BIDANG MOMEN(MOMENT AREA METHOD)

)AB balokmomen bidangluasan(1

z EI

=θ

Sudut lentur :

Lenturan :

AB) balokmomen bidang(luasan1

' x z EI

B B =−=δ

1


2/32

a1-b1-b2-a2 = luasan bid momenelemen balok m-n = dsO = pusat kelengkungan m-nr = jari-jari kelengkungan balokm-ndθ = sudut yg dibentuk oleh grs

singgung di m dan n

BALOK LEN!" #AN#$A%"A& B$#AN% &O&EN

2


3/32

Dari pembahasan terdahulu telah dibuktikan bahwa :

ds z EI

M ds

r d == 1θ (1)

Untuk elemen kecil ds = dx, sehingga :

dx z EI

M d =θ (2)

'


4/32

Bila dx dijalankan dari B, diper!leh sudut antara

garis singgung di dan B :

dx

B

A

M

z EI ∫ = 1

θ (")

dimana :

balokABmomen bidangluasan=∫ dx B

A

M

(


5/32

#adi : sudut antara garis singgung di dan B = luasan

bidang m!men bal!k B dibagi $%&

#arak B'B = jarak ertikal dari titik B sampai garis

singgung melalui (grs* B)

)


6/32

#arak ertikal dibawah titik B antara grs* singgung melalui

m'n :

dx B

A

xM z EI

B B ∫ =− 1' (+)

Bila pers* () diatas dijalankan dari B :

dx z EI

M x xd =θ ()

*


7/32

-ers* (+) dapat dijabarkan sebagai berikut :

dx

B

A

M B

A Mdx

B

A

xMdx

z EI B B ∫

∫

∫ =− 1'

Dimana :

x B

A

Mdx

B

A

xMdx

=

∫

∫

adalah jarak pusat berat luasan bidang m!men diukur dari

sisi B +


8/32

Dari perhitungan diatas, maka :

AB) balokmomen bidang(luasan1

' x z EI

B B =−=δ (.)

Dalam perhitungan s!al's!al lenturan akan lebih

sederhana apabila e/ek tiap'tiap beban dicari sendiri'

sendiri dengan menentukan luasan bidang m!men serta jarak pusat beratn0a terhadap titik tersebut

,


9/32

345 67

(8!ment area meth!ds)

1) 6uatu bal!k B dengan panjang 7 dijepit di dan

mendapat beban terpusat - pada ujung B (lihat

gambar )

0B = 9

B

-

x

7m

n

4entukan : sudut lentur dan lenturan di ujung bal!k


10/32

-en0elesaian :

1.

-!t!ngan m'n berjarak x dari (jepitan) sudut lentur di

= , sehingga garis singgung di berimpit dgn sumbu x*

6udut lentur di B

dibentuk !leh grs singgung di dan diB, maka :

EI

PL

dx x L P

EI

dx x L M

EI

L L

B

x x

2

)(1

)(1

2

00

=

−=−= ∫ ∫ ==

θ


11/32

7enturan di B :

11

EI PL

dx x L P EI

dx x L M EI

Y L

x

L

x B

3

)(1

)(1

3

0

2

0

=

−=−= ∫ ∫ ==

6!al diatas dapat diselesaikan dgn* 8et!de 7uasan Bidang8!men Bending dari bal!k B sbb :


12/32

;ambar luasan bidang m!men bending dgn ; sbg pusat

beratn0a :

12

0B = 9

B

-

x

7

m

n

a b

c

;-7

77


13/32

7uas bidang m!men = luasan abc = -72


14/32

2) 6uatu bal!k B dengan panjang 7 dijepit di dan

mendapat beban terpusat - pada ujung B (lihat gambar )

1(

0B = 9

B

-

x1

7

m

n

p

n

x

4entukan :6udut lentur dan lenturan pada penampang m'n 0g

berjarak x dari


15/32

-en0elesaian :

1)

mbil sembarang penampang p' dgn jarak = x1 dari *

8!men bending pada penampang p' adalah :

)( 1 x L P M −=6udut lentur pada penampang m'n :

−−=

−−−=

−==

∫

∫ ∫

=

==

2

22

110

1

110

10

1

1

)(1

2

)()(

1

)(11

L

x L

EI

PL

x Ld x L P EI

dx x L P EI

Mdx EI

z

x

x z

x

x z

x

x z

θ


16/32

7enturan pada penampang m'n :

1*

−=

+−−=

−−=−=

=

==∫ ∫

62

322

))((1)(1

32

322

01

1111

1110

10

1

11

x Lx

EI

P

x xx Lx Lxx EI P

dx x x x L P EI

dx x x M EI

y

z

x

x z

x

x z

x

x z


17/32


18/32

6udut lentur pada penampang m'n :

1,

−−=

−=

+−=

+=

2

22

2

)(1

2

2

1

2)(

1

)(1

L

x L

EI

PL

x Lx

EI

x Px x x L P

EI

adef luasancdeluasan EI

z

z

z

z

θ


19/32

7enturan pada penampang p!t!ngan m'n :

1

−=

+−=

−+=

+=

622

322

2)(

3

2

2

1

2)(

32)(1

32

332

x Lx

EI

P

x x Lx

EI

P

x x x L P

x x Px

EI

xadef luasan xcdeluasan EI

y

z

z

z

z


20/32

") 6uatu bal!k B dengan panjang 7 dijepit di dan

mendapat beban terpusat - pada jarak c dari (lihat

gambar )

2.

B

-c

7

m

nx

4entukan :

6udut lentur dan lenturan pada penampang m'n 0g

berjarak x dari


21/32

-en0elesaian :

21

B

-c

7

m

nx

-c

c

c


22/32

8!men di :

22

Pc M A =

Bid* 8!men dari bal!k B ditunjukkan pada gambar diatas*

7uas bid* 8!men = luas aed = ? -c2

6udut lentur pd* penampang p!t!ng m'n = sudut lentur

pd* -enampang di , 0aitu :

( ) z z EI

Pcaed luasan EI 21

2

== θ


23/32

7enturan pada penampang m'n :

2'

( )

−=

−=

−=

32

231

3

1

2

2

c

x EI

Pc

Pcc x EI

aed luasanc

x EI

y

z

z

z


24/32

7enturan pada penampang m'n dapat juga dihitung dgn*

cara sbb :

2(

( )

( ) ( )

( )

−=

−+

=

−+

=

−+=

32

23

23

21

2

22

2

c x

EI

Pc

EI

Pcc x

Pc

EI

c EI

Pcc xaed luasan

c

EI

C dilentur sudut c xC di Lenturan y

z

z z

z z


25/32

) 6uatu bal!k B dengan panjang 7 dijepit di dan

mendapat beban merata (lihat gambar )

2)

0B = 9

B

7

m

nx

4entukan :

6udut lentur dan lenturan pada ujung B


26/32

-en0elesaian :

2*

0B = 9

B

7

m

nx

x dx

( ) q x L M 2

2

1

−=

ab

c

2

2

1

qL


27/32

8!men bending pada penampang m'n :

2+

( ) q x L M 2

2

1

−=7uas bidang m!men pada bl!k B ∫

==

L

x Mdx0

6udut lentur di B :

( )∫ ∫ ==

−== L

x z

L

x z B dx x Lq EI

Mdx EI 00

2

2

111θ

z z B EI

qL L

L L

EI

q

632

33

33 =

−+=θ


28/32

7enturan di B :

2,

( )

( ) ( )

( ) ( ) z x z

x z

x z

EI qL x Ld x L

EI

dx x Lq x L EI

Mdx x L EI

y

L

L

L

B

81

211

1

4

3

2

0

0

0

=−−−=

−−=

−=

∫

∫

∫

=

=

=


29/32

+) 6uatu bal!k B dengan panjang 7 dijepit di dan

mendapat beban k!pel 8 di B (lihat gambar )

2

0B = 9

B

7

0

x

h

4entukan :a)6udut lentur dan lenturan pada ujung B

b)7enturan maksimum 0g* 4erjadi bila tegangan kerja 0g

diijinkan = σ@


30/32

-en0elesaian :

'.

0B = 9

B

7

0

x

h

a b

d c

7


31/32

6udut lentur di B :

'1

( ) z z

B EI

MLabcd Luasan

EI −==

1θ

7enturan di B :

( ) z z

B EI

MLabcd Luasan

L

EI y

22

1 2−=

=

>) 6udut lentur dan lenturan di B bertanda negati/ karena bal!k

melentur keatas akibat k!pel 8, sedangkan arah lenturan 0 diambil

p!siti/ ke bawah


32/32

9metode Luasan Bidang Momen

Documents