9. Uji Hipotesis, Statdas Apr 11 - personal.fmipa.itb.ac.idpersonal.fmipa.itb.ac.id/utriweni/files/2011/04/9-uji-hipotesis... · Keputusan Kesalahan mungkin terjadi H ... dengan simpangan

Uji HipotesisUji Hipotesis

•UJI  RATAAN•UJIVARIANSI

MA  2081   STAT I ST IKA  DASARUTR IWEN I MUKHAIYAR

APR IL  2011

Pengertiang2

Hi t i d l h t ki Hipotesis adalah suatu anggapan yang mungkinbenar atau tidak mengenai satu populasi ataul bih l di ji k blebih yang perlu diuji kebenarannya

Hipotesis adalah suatu anggapan yang mungkinbenar atau tidak mengenai satu populasi ataulebih yang perlu diuji kebenarannya

1. Hipotesis nol (H0) ; pernyataan yang mengandung tanda kesamaan (=, ≤ , atau ≥)

2. Hipotesis tandingan (H1) ; tandingan hipotesis H0, mengandung tanda , >, atau <.

Galat (error)( )3

H0 benar H0 salah

H0 ditolak P(menolak H0 | H0 benar)= galat tipe I = α keputusan benar

H0 tidak k t bP(tidak menolak H0 | H0

l h)0ditolak keputusan benar salah)

= galat tipe II = β

yang dimanfaatkan dalam pokok bahasan ini

Skema Umum Uji Hipotesisj p4

•Hipotesis yang ingin diuji•Memuat suatu kesamaan (=, ≤ atau ≥)

Hipotesis

H0

Memuat suatu kesamaan ( , ≤ atau ≥)•Dapat berupa

- hasil penelitian sebelumnya- informasi dari buku atau- hasil percobaan orang lainp

StatistikH1

hasil percobaan orang lain

•Hipotesis yang ingin dibuktikan•Disebut juga hipotesis alternatif•Memuat suatu perbedaan (≠, > atau <)??? p ( )

Keputusan Kesalahanmungkin terjadi

H0 ditolak H0 tidak ditolak Tipe I

Menolak H padahal

Tipe IIMenerima H padahal

H b

Kesimpulan Kesimpulan

Menolak H0 padahal H0 benar

P(tipe I) = α= tingkat signifikansi

Menerima H0 padahal H0 salah

P(tipe I) = β

H1 benar Tidak cukupbukti untukmenolak H0

Statistik Uji dan Titik KritisStatistik Uji dan Titik Kritis

Statistik uji digunakan untuk menguji hipotesis statistik5

j g g j pyang telah dirumuskan. Notasinya berpadanan denganjenis distribusi yang digunakan. Ti ik k i i b i d h l k d i Titik kritis membatasi daerah penolakan dan penerimaanH0. Diperoleh dari tabel statistik yang bersangkutan.

H0 ditolak jika nilai statistik uji jatuh di daerah kritis H0 ditolak jika nilai statistik uji jatuh di daerah kritis.

daerah kritis = /2

daerah penerimaan H0

daerah penerimaan H0

daerahkritis

daerah kritis = /2

1 -

titik titik 0

titik

1 -

kritis kritis kritisdiperoleh dari tabel statistik

Uji Rataan Satu Populasij p6

1 H s H uji dua arah

1. H0 : = 0 vs H1 : 0

2 H : = vs H : > 2. H0 : 0 vs H1 : > 0

3. H0 : = 0 vs H1 : < 0 0 0 1 0 uji satu arah

0 adalah suatu konstanta yang diketahui

Statistik Uji untuk RataanSatu PopulasiSatu Populasi

K 2 dik t h i

7

1. Kasus σ2 diketahui

0

/

XZ

n

~ N(0,1) Tabel Z (normal baku)

/ n

K 2 id k dik h i

0X 2. Kasus σ2 tidak diketahui

0

/XTs n

~ t(n-1) Tabel t

Daerah Kritis Uji RataanSatu PopulasiSatu Populasi

8

σ2 diketahui σ2 tidak diketahuiσ diketahui σ tidak diketahuiStatistikStatistik ujiuji :: ZZ TT

H0 : = 0 vs H1 : 0 Z < - Zα/2 atau Z > Zα/2 T < - Tα/2 atau T > Tα/2 H0 : 0 vs H1 : 0 α/2 atau α/2 α/2 atau α/2

H0 : = 0 vs H1 : > 0 Z > Zα T > Tα

H0 : = 0 vs H1 : < 0 Z < - Zα T < - Tα0 0 1 0

n titik kritis dengan

derajat kebebasan n - 1

Uji Rataan Dua Populasij p9

1 H : - = vs H : -

uji dua arah

1. H0 : 1 - 2 = 0 vs H1 : 1 - 2 0

2. H0 : 1 - 2 = 0 vs H1 : 1 - 2 > 0

3 H H 3. H0 : 1 - 2 = 0 vs H1 : 1 - 2 < 0

uji satu arahuji satu arah

0 adalah suatu konstanta yang diketahui

Statistik Uji untuk RataanDua PopulasiDua Populasi

1. Kasus σ12 dan σ22 diketahui10

1 2 0H 2 2

1 2

X X μZ =

σ σ

2. Kasus σ12 dan σ22 tidak diketahui dan σ12 ≠ σ221 2n n

1 2 0H 2 2

1 2

X X μT =

S S

1 2n n

3. Kasus σ12 dan σ22 tidak diketahui dan σ12 = σ22

1 2 0H

X X μT =

1 1S

dengan2 2

2 1 1 2 2p

1 2

(n 1)S (n 1)SS =n n 2

p1 2

Sn n

Daerah Kritis Uji RataanDua PopulasiDua Populasi

11

σ12, σ2

2

diketahui σ12, σ2

2 tidak diketahui

Statistik uji : Z T

σ12 = σ2

2 σ12 ≠ σ2

2

2

Derajat Kebebasan n1 + n2 - 2

22 21 2

1 22 22 2

1 2

1 1 2 2

S Sn n

v =S S1 1

(n 1) n (n 1) n

H0 : 1 - 2 = 0 vs H1 : 1 - 2 0

Z < - Zα/2 atau Z > Zα/2

T < - Tα/2 atau T > Tα/2

T < - Tα/2 atauT > Tα/2

H : - = vs Z Z T T T TH0 : 1 2 0 vs H1 : 1 - 2 > 0

Z > Zα T > Tα T > Tα

H0 : 1 - 2 = 0 vs H : <

Z < - Zα T < - Tα T < - TαH1 : 1 - 2 < 0

Uji untuk Rataan Berpasanganj p g12

1. H0 : d = 0 vs H1 : d 0 0 d 0 1 d 0

2. H0 : d = 0 vs H1 : d > 0

H H

Statistik uji menyerupai statistik untuk kasus

3. H0 : d = 0 vs H1 : d < 0

Statistik uji menyerupai statistik untuk kasussatu populasi dengan variansi tidak diketahui.

0 ;/d

D μT =S n

d

Contoh 113

Berdasarkan 100 laporan kematian di AS yang Berdasarkan 100 laporan kematian di AS yang diambil secara acak, diperoleh bahwa rata-rata usia saat meninggal adalah 71 8 tahun dengan usia saat meninggal adalah 71.8 tahun dengan simpangan baku 8.9 tahun. Hal ini memberikandugaan bahwa rata rata usia meninggal di ASdugaan bahwa rata-rata usia meninggal di ASlebih dari 70 tahun.

a Nyatakan dugaan tersebut dalam pernyataan a. Nyatakan dugaan tersebut dalam pernyataan hipotesis statistik

b Untuk tingkat signifikansi 5% benarkah dugaan b. Untuk tingkat signifikansi 5% , benarkah dugaan tersebut?

Solusi14

DiketahuiDitanya: X 71.8, s 8.9,0 70, 0,05 ya. Hipotesis statistikb Kesimpulan uji hipotesisb. Kesimpulan uji hipotesisJawab:

k dParameter yang akan diuji : μa. Rumusan hipotesis: pH0: μ = 70H1: μ > 70

© 2008 by UM

H1: μ > 70

15

b 5% 0 05 k titik k iti t 1 66 b. α = 5%=0.05, maka titik kritis t0.05,(99) = 1.66

0 71,8 70 2 02xt 2,028,9

100

t sn

Karena t > t0.05,(99) , maka t berada pada daerah penolakan sehingga keputusannya H0 ditolak.

Jadi dugaan tersebut benar bahwa rata-rata usia meninggal di AS lebih dari 70 tahun meninggal di AS lebih dari 70 tahun.

Contoh 216

S t b dil k k t k b di k k Suatu percobaan dilakukan untuk membandingkan keausan yang diakibatkan oleh gosokan, dari dua bahan yang dilapisi. Dua belaspotong bahan 1 diuji dengan memasukan tiap potong bahan ke dalampotong bahan 1 diuji dengan memasukan tiap potong bahan ke dalammesin pengukur aus. Sepuluh potong bahan 2 diuji dengan cara yang sama. Dalam tiap hal, diamati dalamnya keausan. Sampel bahan 1 memberikan rata-rata keausan (sesudah disandi) sebanyak 85 satuandengan simpangan baku sampel 4, sedangkan sampel bahan 2 memberikan rata rata keausan sebanyak 81 dengan simpangan bakumemberikan rata-rata keausan sebanyak 81 dengan simpangan bakusampel 5. Dapatkah disimpulkan, pada taraf keberartian 5%, bahwarata-rata keausan bahan 1 melampaui rata-rata keausan bahan 2 lebihb p b bdari dua satuan? Anggaplah kedua populasi berdistribusi hampirnormal dengan variansi yang sama.

Solusi 17

Misalkan μ dan μ masing masing menyatakanMisalkan μ1 dan μ2 masing-masing menyatakanrata-rata populasi bahan 1 dan populasi bahan 2. Variansi populasi kedua bahan tidak diketahui, Variansi populasi kedua bahan tidak diketahui, yang diketahui adalah variansi sampel. Diasumsikan variansi populasi kedua bahanp padalah sama. Rumusan hipotesis yang diuji adalah:H0 : μ1 - μ2 = 2H1 : μ1 - μ2 > 2

18

Ti k t k b ti 0 05 Tingkat keberartian, α = 0.05

1 1 185, s 4, n = 1281 s 5 n 10

xx

Kita gunakan statistik uji untuk variansi kedua populasi takdiketahui tapi dianggap sama yaitu

2 2 2=81, s =5, n =10 x

diketahui tapi dianggap sama, yaitu

dengan dengan 1 2 0x x μ 2 21 1 2 21 1 (11)(16) (9)(25) 4 478(n )s (n )s

dengan dengan 1 2 0

1 2

1 1H

p

μt =

sn n

1 1 2 2

1 2

(11)(16) (9)(25) 4.4782 12 10 2p

(n )s (n )ss =n n

Maka diperoleh : 1 2 0 (85 81) 2 1.04

1 1 4.478 (1/12) (1/10)H

x x μt =

s

1 2

ps n n

19

St ti tik ji t b di t ib i t t d t d d j t Statistik uji t berdistribusi t-student dengan derajatkebebasan n1+n2-2 = 12 +10 - 2= 20, sehingga titikkritisnya adalah t0 05 20 = 1.725.kritisnya adalah t0.05,20 1.725.

Karena t < 1.725, maka H0 tidak ditolak. Tidak dapatdisimpulkan bahwa rata-rata keausan bahan 1 melampauidisimpulkan bahwa rata-rata keausan bahan 1 melampauirata-rata keausan bahan 2 lebih dari 2 satuan.

Contoh 3 (data berpasangan)3 ( p g )20

P d t h 1976 J A W ik h b t Pada tahun 1976, J.A. Weson memeriksa pengaruh obatsuccinylcholine terhadap kadar peredaran hormon

d d l d h S l d h d i li androgen dalam darah. Sampel darah dari rusa liar yang hidup bebas diambil melalui urat nadi leher segerasetelah succinylcholine disuntikkan pada otot rusa Rusasetelah succinylcholine disuntikkan pada otot rusa. Rusakemudian diambil lagi darahnya kira-kira 30 menitsetelah suntikan dan kemudian rusa tersebut dilepaskan setelah suntikan dan kemudian rusa tersebut dilepaskan. Kadar androgen pada waktu ditangkap dan 30 menitkemudian diukur dalam nanogram per ml (ng/ml) kemudian diukur dalam nanogram per ml (ng/ml) untuk 15 rusa. Data terdapat pada tabel berikut

N0 Kadar androgen (ng/ml) Kadar androgen (ng/ml) Selisih (di)sesaat setelah disuntik 30 menit setelah disuntik

12

2.765 18

7.023 10

4.262 082

34

5.182.683.05

3.105.443.99

-2.082.760.94

567

4.107.056.60

5.2110.2613.91

1.113.217.317

89

6.604.797.39

13.9118.537.91

8

7.3113.740.52

101112

7.3011.783.90

4.8511.103.74

-2.45-0.68-0.16

131415

26.0067.4817 04

94.0394.0341 70

68.0326.5524 6615 17.04 41.70 24.66

21

22

Anggap populasi androden sesaat setelahsuntikan dan 30 menit kemudian berdistribusinormal. Ujilah, pada tingkat keberartian 5%,apakah konsentrasi androgen berubah setelahditunggu 30 menit.

Solusi23

Ini adalah data berpasangan karena masing masing unit Ini adalah data berpasangan karena masing-masing unit percobaan (rusa) memperoleh dua kali pengukuran

Misalkan μ1 dan μ2 masing-masing menyatakan rata-rata konsentrasi androgen sesaat setelah suntikan dan 30 menitgkemudian. Rumusan hipotesis yang diuji adalah

H0 : μ1 = μ2 atau μD = μ1 - μ2 = 0H1 : μ1 ≠ μ2 atau μD = μ1 - μ2 ≠ 0Ti k t i ifik i di k d l h % 0 0Tingkat signifikansi yang digunakan adalah α = 5% = 0.05

24

R t t l d i i l t k li ih Rata-rata sampel dan variansi sampel untuk selisih( di ) adalah,

9 848 d 18 474d

Statistik uji yang digunakan adalah,d9.848 dan s 18.474d

j y g g ,

0

/d dt =s n

Dalam hal ini,/ds n

9.848 0 2.0618.474 / 15

t =

25

St ti tik ji t b di t ib i t t d t d d j t Statistik uji t berdistribusi t-student dengan derajatkebebasan n – 1 = 15 – 1 = 14. Pada tingkatkeberartian 0 05 H ditolak jikakeberartian 0.05, H0 ditolak jika

t < - t0.025,14 = -2.145 atau t > t0.025,14 = 2.145., ,

Karena nilai t = 2.06, maka nilai t tidak berada padadaerah penolakan Dengan demikian H0 tidakdaerah penolakan. Dengan demikian, H0 tidakditolak. Kendati demikian, nilai t = 2.06 mendekatinilai t0 025 14 = 2 145 Jadi perbedaan rata-rata kadarnilai t0.025,14 2.145. Jadi perbedaan rata rata kadarperedaran androgen tidak bisa diabaikan.

Uji Hipotesis Tentang Variansi Satu Populasij p g p26

B t k hi t i l d t di t k Bentuk hipotesis nol dan tandingannya untuk kasus variansi satu populasi adalah

2 2 2 20 0 1 01. H : = vs H :

2 2 2 22 2 2 20 0 1 02. H : = vs H :

2 2 2 20 0 1 03 H : = vs H : 0 0 1 03. H : vs H :

Dengan 02 menyatakan suatu konstanta mengenai

variansi yang diketahui.

27

St ti ti k ji di k t k ji k ti Statistisk uji yang digunakan untuk menguji ketigahipotesis di atas adalah :

222

20

( 1)n s

Jika H0 benar, maka statistik uji tersebut berdistribusikhi k d t d d j t k b bkhi-kuadrat dengan derajat kebebasan n-1.

28

U t k hi t i t l k2 2 2 2H H Untuk hipotesis , tolakH0 pada tingkat keberartian α jika :

2 2 2 20 0 1 0H : = vs H :

2 2 2 22 2 2 2

1 ,( 1) ,( 1)2 2

atau n n

Untuk hipotesis , tolakH0 pada tingkat keberartian α jika

2 2 2 20 0 1 0H : = vs H :

2 2

Untuk hipotesis , tolak

2 21 ,( 1)n

2 2 2 20 0 1 0H : = vs H : p

H0 pada tingkat keberartian α jika0 0 1 0

2 2( 1)n

nilai dari tabeldistribusi chi-square

d d j,( 1)n dengan derajatkebebasan n - 1

Uji Hipotesis Tentang Variansi Dua Populasij p g p29

B t k hi t i l d t di t k ji Bentuk hipotesis nol dan tandingannya untuk ujihipotesis mengenai variansi dua populasi adalah,

2 2 2 20 1 2 1 1 21. H : vs H :

2 2 2 22 2 2 20 1 2 1 1 22. H : vs H :

2 2 2 23 H : vs H :

Dengan σ 2 dan σ 2 masing masing adalah variansi

0 1 2 1 1 23. H : vs H :

Dengan σ12 dan σ2

2 masing-masing adalah variansipopulasi ke-1 dan variansi populasi ke-2

30

St ti ti k ji di k t k ji k ti Statistisk uji yang digunakan untuk menguji ketigahipotesis di atas adalah,

2122

sFs

Jika H0 benar, statistik uji tersebut berdistribusi

2

Fisher dengan derajat kebebasan,v1 = n1 – 1 dan v2 = n2 – 2 1 1 2 2

U t k hi t i t l k H2 2 2 2H HUntuk hipotesis , tolak H0pada tingkat keberartian α jika :

2 2 2 20 1 2 1 1 2H : vs H :

tF f F f

Untuk hipotesis , tolak H0

1 2 1 21 ,( , ) ,( , )2 2

atau v v v v

F f F f

2 2 2 20 1 2 1 1 2H : vs H : p , 0

pada tingkat keberartian α jika : 0 1 2 1 1 2

F f

Untuk hipotesis , tolak H0d ti k t k b ti jik

1 21 ,( , )v vF f

2 2 2 20 1 2 1 1 2H : vs H :

pada tingkat keberartian α jika :

1 2,( , )v vF f

1 2 1 2 1 2 1 2,( , ) 1 ,( , ) / 2,( , ) 1 / 2,( , ), , , dan v v v v v v v vf f f f adalah nilai-nilaidari tabel distribusi Fisher dengan derajatk b b dkebebasan v1 dan v2

31

Contoh 4432

S t h b t i bil t k b h Suatu perusahaan baterai mobil menyatakan bahwa umur baterainya berdistribusi hampir normal dengan simpangan baku 0 9 tahun Bila sampel acak dengan simpangan baku 0.9 tahun. Bila sampel acak 10 baterai tersebut menghasilkan simpangan baku 1 2 tahun apakah anda setuju bahwa σ > 0 9 tahun? 1.2 tahun, apakah anda setuju bahwa σ > 0.9 tahun? Gunakan taraf kebartian 5%!

Solusi33

H0 : σ2 = 0.81H0 : σ 0.81H1 : σ2 > 0.81α = 0.05

Diketahui simpangan baku sampel, s = 1.2Statistik uji

2( 1) (9)(1 44)22

20

( 1) (9)(1.44) 160.81

n s

Titik kritis adalah

Karena maka H tidak ditolak Simpulkan

2 2, 1 0.05,9 16.919 n

2 20 05 9 Karena , maka H0 tidak ditolak. Simpulkan

bahwa simpangan baku umur baterai tidak melebihi0.9

0.05,9

Contoh 5534

Dalam pengujian keausan kedua bahan di contoh 2, dianggap bahwa kedua variansi

id k dik h i b Ujil h yang tidak diketahui sama besarnya. Ujilah anggapan ini! Gunakan taraf keberartian 0.10.

Solusi 35

Mi lk 2 d 2 d l h i i l i Misalkan σ12 dan σ2

2 adalah variansi populasidari masing-masing keausan bahan 1 danbahan 2 rumusan hipotesis yang akan diujibahan 2. rumusan hipotesis yang akan diujiadalahH : σ 2 = σ 2H0: σ1 = σ2

H1: σ12 ≠ σ2

2

α = 0.10

36

Statistik uji f = s12/ s2

2 = 16 / 25 = 0.64j 1 / 2 / 5 4

H0 ditolak dengan tingkat keberartian α jikaatau f f f f

1 2 1 21 ,( , ) ,( , )2 2

atau

v v v v

f f f f

α = 0.10, v1 = n1 – 1 = 12 – 1 = 11 , dan v2 = n2 – 1 = 10 – 1 = 9., 1 1 , 2 2 9

Maka

0 34f f dan 3 11 f f1 2

0.95,(11.9)1 ,( , )2

0.34

v v

f fdan

1 20.05,(11.9),( , )

2

3.11 v v

f f

Karena maka jangan tolak H f f f Karena , maka jangan tolak H0.

Simpulkan bahwa tidak cukup kenyataan untuk menyatakanbahwa variansinya berbeda

1 2 1 21 ,( , ) ,( , )2 2

v v v vf f f

bahwa variansinya berbeda.

Referensi37

D J L d P k R St ti ti Th E l ti d Devore, J.L. and Peck, R., Statistics – The Exploration and Analysis of Data, USA: Duxbury Press, 1997.

Pasaribu U S 2007 Catatan Kuliah Biostatistika Pasaribu, U.S., 2007, Catatan Kuliah Biostatistika. Wild, C.J. and Seber, G.A.F., Chance Encounters – A first

Course in Data Analysis and Inference USA: John Course in Data Analysis and Inference, USA: John Wiley&Sons,Inc., 2000.

Walpole, Ronald E. Dan Myers, Raymond H., Ilmu Peluang Walpole, Ronald E. Dan Myers, Raymond H., Ilmu Peluang dan Statistika untuk Insinyur dan Ilmuwan, Edisi 4, Bandung: Penerbit ITB, 1995.

Walpole, Ronald E. et.al., Probability & Statistics for Enginerrs & Scientists, Eight edition, New Jersey : Pearson Prentice H ll 2007Hall, 2007.