Top Banner
27

9. Hampiran Numerik Turunan Fungsi

Jun 14, 2015

Download

Documents

cantik02m89
Welcome message from author
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
Page 1: 9. Hampiran Numerik Turunan Fungsi
Page 2: 9. Hampiran Numerik Turunan Fungsi

Hampiran Numerik Turunan Hampiran Numerik Turunan FungsiFungsi

Pertemuan 9

Matakuliah : METODE NUMERIK ITahun : 2008

Page 3: 9. Hampiran Numerik Turunan Fungsi

Bina Nusantara

Hampiran Numerik Turunan FungsiHampiran Numerik Turunan Fungsi

Tujuan:• Menghitung turunan fungsi secara numerik

jika nilai fungsi (data) empirik diketahui X0, X1, X2, …,Xn

• Sebagai penunjang untuk penyelesaian persamaan diferensial pada masalah nilai awal dan nilai batas

Page 4: 9. Hampiran Numerik Turunan Fungsi

Bina Nusantara

Pendekatan Numerik Turunan Fungsi

Suatu fungsi f(x) dapat diekspansikan dengan Deret Taylor di sekitar x=x0

)(!

)()(''

!2

)()('.)()( 0

)(

30

2

00 xfk

xxf

xxfxxfxf k

k

k

∆x = x-x0

)('.)()( 00 xfxxfxf Aproksimasi order 1:

Sisanya menjadi error pemotongan atau O(∆X2)

Page 5: 9. Hampiran Numerik Turunan Fungsi

Bina Nusantara

Page 6: 9. Hampiran Numerik Turunan Fungsi

Bina Nusantara

Page 7: 9. Hampiran Numerik Turunan Fungsi

Bina Nusantara

Page 8: 9. Hampiran Numerik Turunan Fungsi

Bina Nusantara

Page 9: 9. Hampiran Numerik Turunan Fungsi

Bina Nusantara

Page 10: 9. Hampiran Numerik Turunan Fungsi

Bina Nusantara

Page 11: 9. Hampiran Numerik Turunan Fungsi

Bina Nusantara

Page 12: 9. Hampiran Numerik Turunan Fungsi

Bina Nusantara

Page 13: 9. Hampiran Numerik Turunan Fungsi

Bina Nusantara

Page 14: 9. Hampiran Numerik Turunan Fungsi

Bina Nusantara

Page 15: 9. Hampiran Numerik Turunan Fungsi

Bina Nusantara

Page 16: 9. Hampiran Numerik Turunan Fungsi

Bina Nusantara

Page 17: 9. Hampiran Numerik Turunan Fungsi

Bina Nusantara

Page 18: 9. Hampiran Numerik Turunan Fungsi

Bina Nusantara

Page 19: 9. Hampiran Numerik Turunan Fungsi

Bina Nusantara

Finite Difference Approximations• Given a smooth fnc• Consider Taylor expansion

• Forward difference formula (1st order accurate!)

RRCf ,

...2

)()()()(

...2

)()()()(

2

2

hxf

hxfxfhxf

hxf

hxfxfhxf

hxfhxf

xf)()(

)(

Page 20: 9. Hampiran Numerik Turunan Fungsi

Bina Nusantara

• Backward difference formula (2nd formula, 1st order accurate!)

• Centered difference formula (1-2, 2nd order accurate!)

• Centered 2nd order

hhxfhxf

xf2

)()()(

hhxfxf

xf)()(

)(

22

)()(2)()(

h

hxfxfhxfxf

Page 21: 9. Hampiran Numerik Turunan Fungsi

Bina Nusantara

Rumus-rumus hampiran numerik turunan fungsi

1. Hampiran Selisih Maju (Forward-divided-diffrence)

h

xfhxfxf

)()()( 00

0'

h

xfhxfhxfxf

2

)(3)(4)2()( 000

0'

2000

0

)()(2)2()("

h

xfhxfhxfxf

20000

0

)(2)(5)2(4)3()("

h

xfhxfhxfhxfxf

,galat: O(h2)

,galat: O(h)

,galat: O(h2)

,galat: O(h)

Page 22: 9. Hampiran Numerik Turunan Fungsi

Bina Nusantara

2. Hampiran Selisih Mundur (Backward-divided-diffrence)

h

hxfxfxf

)()()( 00

0'

h

hxfhxfxfxf

2

)2()(4)(3)( 000

0'

2000

0

)2()(2)()("

h

hxfhxfxfxf

20000

0

)3()2(4)(5)(2)("

h

hxfhxfhxfxfxf

,galat: O(h2)

,galat: O(h)

,galat: O(h2)

,galat: O(h)

Page 23: 9. Hampiran Numerik Turunan Fungsi

Bina Nusantara

3. Hampiran Selisih Pusat (Centre-divided-diffrence)

h

hxfhxfxf

2

)()()( 00

0'

h

hxfhxfhxfhxfxf

12

)2()(8)(8)2()( 0000

0'

2000

0

)()(2)()("

h

hxfxfhxfxf

200000

0 12

)2()(16)(30)(16)2()("

h

hxfhxfxfhxfhxfxf

,galat: O(h4)

,galat: O(h2)

,galat: O(h4)

,galat: O(h2)

Page 24: 9. Hampiran Numerik Turunan Fungsi

Bina Nusantara

Contoh:

1. Tentukan nilai hampiran turunan pertama fungsi berikut pada x=0.5 dengan ukuran langkah h = 0.25 untuk ketelitian yang maksimum

432 1.015.05.025.02.1)( xxxxxf Jawaban:

x0-2h = 0,…………………f(x0-2h) = 1.2x0-h = 0.25,…………….. f(x0-h) = 1.103516x0 = 0.5; …………….. f(x0) = 0.925x0+h = 0.75,……………..f(x0+h) = 0.6363281x0+2h = 1,…………….. …f(x0+2h) = 0.2

Page 25: 9. Hampiran Numerik Turunan Fungsi

Bina Nusantara

%82.5859375.0

)25.0(2

)925.0(3)6363281.0(42.02

)(3)(4)2()( 000

0'

erelatifgalatdengan

h

xfhxfhxfxf

a. Forward divided diffrence

%77.3.878125.0

)25.0(2

2.1)035156.1(4)925.0(32

)2()(4)(3)( 000

0'

rrelatifgalatdengan

h

hxfhxfxfxf

b. Backward divided diffrence

Page 26: 9. Hampiran Numerik Turunan Fungsi

Bina Nusantara

%0.9125.0

)25.0(12

2.1)035156.1(8)6363281.0(82.012

)2()(8)(8)2()( 0000

0'

rrelatifgalatdengan

h

hxfhxfhxfhxfxf

c. Centre divided diffrence

Page 27: 9. Hampiran Numerik Turunan Fungsi

Bina Nusantara

2. Diberikan data dalam bentuk tabel sebagai berikut:

x f(x)

1.3 3.669

1.5 4.482

1.7 5.474

1.9 6.686

2.1 8.166

2.3 9.974

2.5 12.182

a. Hitung f’(1.7) dengan hampiran galat O(h4)b. Hitung f’(1.4) dengan hampiran selisih pusat dengan galat O(h2)c. Hitung f’(1.3); f”(1.3); f’(1.7) dan f”(1.7)