8ab IIStatistik Deskriptip - Elearning System · Rata-rata adalah salah satu contoh dari statistik. ... yang menghasilkan bentuk simetris dimana nilai mean, median dan modus berada

8ab II StatistikDeskriptip

KAT A KUNCI

Diagram Frekuensi yaitu diagram batang yang menggambarkan banyaknya observasi darisetiap kategori.Mean yaitu suatu nilai yang didapat dari penjumlahan semua nilai pengamatan dibagi denganjumlah pengamatan (sama dengan rata-rata).Median merupakan nilai tengah dari suatu deretan angka yang teratur baik dari atas maupundari bawah.

Deviasi Standar adalah akar pangkat dua dari varian.Varian merupakan ukuran penyimpangan dari suatu rangkaian pengamatan. Simbol darivarian adalah (J2 (sigma kuadrat).

PENGGUNAANNILAISENTRAL: MEAN,MEDIAN,MODUSJika anda dihadapkan pada sejumlah data yang cukup banyak, maka akan sulit untuk

mengerti data itujika tidak meringkasnya. Misalnya anda sedang mengurus penjualan pizza,dan anda hams mengikuti pola penjualan harian beberapa jenis piza yang berlainan.Anggaplah anda telah melakukan observasi dan memperoleh informasi penjualan harianpizza peperoni selama 9 hari:

40 56 38 63 59 52 49 46

MEAN

Deretan informasi di atas disebut data kasar (raw data). Dari data kasar tersebut dapatdihitung nilai rata-ratanya. Untuk menghitung nilai rata-rata kita hanya menjumlahkanseluruh nilai observasi dibagi dengan jumlah observasi. Nilai rata-rata disebut juga mean.Nilai rata-rata dapat dihitung sebagai berikut:

40 + 36 + 38 + 63 + 59 + 52 + 49 + 46 441-- =49.0

9 9

5

- - -

- - -

Jadi nilai rata-rata atau mean dari penjualan pizza pepperoni adalah 49 per hari.Kita dapat menurunkan fonnula dari mean atau rata-rata. Anggaplah n sebagai jumlah

observasi, misalnya Xl' X2'...,Xn.Angka di bawah dan di samping X disebut subscript. Kitamenggunakan lambang X (X bar) sebagai simbul rata-rata. Fonnuasli itu dapat ditulis:

X=n

Rata-rata adalah salah satu contoh dari statistik.

Kitapun dapat menghemat penulisan fonnula rata-rata yaitu dengan menggunakannotasi penjumlahan. Untuk notasi penjumlahan kita menggunakan huruf besar Yunanisigma: W.Wx berarti "menjumlahkan seluruh nilai X". Rata-rata dapat ditulis sebagaiberikut:

X =(WX)/n

Kadang-kadang lambang penjumlahan ditulis sebagai berikut:

n~=x.":"j I 1

Arti dari penulisan ini adalah kita mulai menjumlahkan nilai X dari i=i sampai i=n.

MEDIAN

Median adalah titik tengah dari deretan data yang telah diurutkan. Untuk menghitungmedian kita harns meletakkan data dalam suatu aturan/urutan dari yang terbesar ke yangterkecil atau sebaliknya. Di bawah ini adalah contoh deretan angka dari infonnasi penjualanharian pizza pepperoni:

Dari urutan ini nilai median adalah 49(jika daftar data terlalu panjang, dapat menggunakankomputer untuk membuat urutan tersebut. Urutan tidak hanya dari atas ke bawah tapi bisa juasebaliknya).

6

1. 63 6. 46

2. 59 7. 40

3. 56 8. 38

4. 49 9. 38

5. 49

Jika jumlah observasi merupakan angka yang ganjil akan mudah untuk mendapatkansatu nilai tengah. Bagaimana bila jumlah observasi menunjukkan angka yang genap?Anggaplah kita mempunyai delapan data observasi penjualan harian pizza Mushroom:

1. 532. 523. 494. 48

5. 476. 467. 448. 41

Kita telah menempatkan data dalarn suatu uruan yang teratur, narnun di sini kita tidakmenemukan satu nilai tengtah. Dalarn hal ini nilai median sarna dengan nilai antara dua angkayang terletak paling dekat dengan bagian tengah. Dalarn soal ini dua angka yang paling dekatdengan bagian tengah adalah 47 dan 48 (nilai keempat dan kelima), dengan demikian medianadalah nilai yang berada di tengah nilai 47 dan 48 atau 47.5. Andajuga dapat menemukan mediandengan mencari rata-ratanilai duaangka yang berada paling dekat dengan bagian tengah itu yaitu:

47.5 =(47 + 48)/2

Seperti juga rata-rata medianjuga merupakan ukuran nilai sentral dari sebuah distribusi.Kadang-kadang median lebih baik dalarn mengukur nilai sentral daripada mean. Misalnya,informasi penjualan harian bacon/pineappple pizza selama 9 hari adalah sebagai berikut:

36 35 37 29 36 340 35 36

Dari informasi tersebut dapat dilihat bahwa ada satu hari pengiriman pizza yang banyak.Jika nilai sentral dihitung dengan menggunakan nilai rata-rata (mean) hasilnya:

623=69.22

4

Dari hasil tersebut dapat kita lihat ternyata tidak satupun dari kenyataan yang mendekatiangka 69.22.Bagaimana bila kitamenggunakan median?Langkahpertarna adalahmenyusuninformasi itu secara teratur:

kemudian tentukan mediannya. Lihatlah bahwa pengukuran nilai sentral dengan mediandalarnhal ini lebihbanyakdaripada mean karena lebih mewakilinilai sebenarnya yang terjadisetiap hari.

7

1. 340 6. 362. 39 7. 353. 37 8. 354. 36 9. 295. 36

--

Secara umum bila dalam suatu deretan nilai terdapat nilai ekstrim (jauh di atas atau di bawahnilai-nilai yang lain), rata-rata tidak dapat mewakili seluruh niiai yang ada pada deretantersebut. Dalam hal ini median menjadi ukuran bila nilai sentral yang lebih baik dari median.

MODUS

Modul adalah nilai yangpaling seringterjadi. Jika ada nilai yangmuncul berkali-kalidanfrekuensinya paling banyak, maka nilai itu disebut modus. Untuk penjualan pepperoni nilaimodusnya adalah 38,karena angka 38 terjadi dua kali sementaranilai yanglain hanya muncultidak lebih dari satu kali saja. Untuk penjualan bacon/pineapple sebagai modul adalah 36,karena 36 muncul tiga kali. Untuk penjualan mushroom pizza tidak ada nilai modusnyakarena tidak ada satupunnilai yang terjadi lebih dari satu kali. Banyakjuga muncul distribusiyang menghasilkan bentuk simetris dimana nilai mean, median dan modus berada di tengah,di tempat yang sarna, tetapi adajuga distribusi yang mempunyai nilai modus lebih dari satu.Distribusi yang mempunyai dua modus disebut diomodal distribution.

YANG HARDS DIINGA T

1. Notasi penjumlahan: hurns besar Yunani sigma, W, berarti "Jumlahkan semua nilai."

n

Misalnya : L. XI=Xl + X2 + ...+ Xni=l

2. Pengukuran nilai sentral:

nmean (rata-rata) = X =

median: bila angka-angka sudah diatur dalam suatu susunan yang teratur yaitu dari yangterbesar ke yang terkecil atau sebaliknya, nilai median adalah nilai yang berada persisdi tengah deretan angka tersebut.modus: nilai dalarn suatu deretan yang frekuensi terjadinya paling banyak.

PENGUKURANPENYIMPANGAN:VARIANDAN DEVIASISTANDAR

Akan sangat membantu bila kita juga mempunyai jalan untuk mengukur penjualanharian yang tidak dapat diperkirakan. Kita akan menggunakan simpangan atau bentanganuntuk menunjukkan tingkat penyebaran dari nilai rata-ratanya. Jika total penjualan pizzasudah pasti setiap harinya, maka tidak ada simpangan/bentangan. Disisi lain jika andamenjua1400 pizza dalam setengah waktu dan 'nolpizza (tidak menjual satu pizza pun) padasetengah waktu yang lain maka nilai rata-ratanya adalah sarna yaitu 400 tetapi tingkatsimpangannya besar. Salah satu jalan untuk mengukur simpangan secara mudah adalahmencari perbedaan antara niali tertinggi dengan nilai terkecil / terendah. Cara ini disebut

8

X.In

=L.;; I n

._--range (jangkauan). Range penjualan pepperoni adalah: 6-38=25. Untuk bacon/pineapllejangkaunnya adalah 340-29=311. Range rnenggambarkan bentangan antara nilai tertinggidengan nilai terendah, tetapi tidak tepat untuk rnengukur bentangan keseluruhan distribusi.Range tidak rnernberikaninformasi apapun. Selain nilai tertinggi dan nilai terendah. Berikutini adalah deretan angka yang rnernpunyai range (jangkauan) sarna.

tetapi tampak jelas bahwa penyebaran keseluruhan dari deret b lebih besar dari penyebaranderet a.

Ada satu rnasalah dalam range yang rnernpunyai pengaruh besar dengan adanya nilaiyang sangat besar atau sangat keci!.Pernecahan rnasalah tersebut dengan interquaritle range(atau IQR).

Langkah-Iangkah untuk rnenghitung IQR:1. letakan deretan angka dalam susunan yang teratur.2. dapatkan nilai yang terletak pada 3/4bagian dari deret itu (disebutthird quartile atau 75th

percentile).3. dapatkan angkayang terletak pada 1/4bagian dari deret itu (disebutfIrstquatile atau 25th

percentile).4. kernudian carilah selisih dari kedua nilai tersebut.

Contoh: 1. 500 5. 399 9. 3002. 480 6.371 10. 2773.460 7.370 11.2004.405 8.360 12.103

13.9714.9615. 7016.66

Oalam deret itu ada 16 angka, rnaka fIrst quartile dari deret itu adalah angka ke 4 (nilainya405) dan third quartile adalah angka ke 12 (nilainya 103). Maka besarnya IQR adalah 405 -103 =302. Oalam soal ini besarnya range adalah 500 -66 =434.

YANG HARUS DIINGA T

1. Oistribusi dari deretan angka-angka dapatditunjukkan secarakhusus dengan rnenghitungquartiles dan percentiles:quartiles: fIrst quartile adalah angka yang berada dalam deretan angka pada posisi diseperernpat bagian dari deret itu; third quartile adalah angka yang berada dalam deretanangka pada posisi di tiga perernpat bagian dari deret itu.percentiles: angka yang berada pada posisi ke p% dari deret tersebut.

9

- - --

a b

500 500250 490250 480250 20250 10

0 0

2. Range: nilai tertinggi dikurangi nilai terendah.interquartile range: nilai third quartile dikurangi dengan nilai first quartile.Kita masih membutuhkan perhitungan simpangan yang dihitung dengan menggunakan

seluruh angka dalam deret itu. Kita lihat kembali penjualan pepperoni dim ana rata-ratapenjualannya adalah 49. Hal ini sangat membantu untuk menemukan seberapa jauh simpanganangka-angka penjualan itu dari nilai rata-ratanya (yaitu 49). Untuk mendapatkan simpangankita mengurangi 49 dengan masing-masing angka penjualan dan kemudian memberinya nilaiabsulut (ditandai dengan dua garis vertikal: II).

Secara sederhana kita dapat menghitung rata-rata jaraknya:

9 + 7 + 11 + 11 + 14 + 10 + 3 + 0 + 3

9

68

9= 7.556

Jumlah itu disebut deviasi absolut rata-rata (mean absolute deviation). Secara umumdapatdiforrnulasikansebagaiberikut:

L .=11Xi - X Im=

n n

VARIAN

Deviasi absolut rata-rata sangat baik untuk mengukur simpangan, karena hal inimenjelaskan pada kita jarak rata-rata dari tiap angka pada deretan angka dengan rata-ratanya

10

Penjualan Pepperoni Jarak dari rata-rata

40 9 = I 40 - 49 I56 7 = I 56 - 49 I38 11= I 38 - 49 I38 11 = I 38 - 49 I63 14 = I 63 - 49 I59 10= I 59 - 49 I52 3 = I 52 - 49 I49 o = I 49 - 49 I46 3 = I 46 - 49 I

(mean). Tetapi untuk beberapa tujuan lebih baikmengkuadratkan setiap deviasi dankemudianambil rata-rata dari keseluruhan deviasi kuadrat. Angka ini disebut varian. Untuk menghitungvarian dari penjualan pepperoni, mula-mula kita menjumlahkan kuadrat masing-masingdeviasi:

(40-49)2 + (56-49)2 + (38-49)2 + (38-49)2 + (63-349)2+ (59-49)2 + (52-49)2 + (49-49)2 + (46-49)2=92 + 72 + 112+ 1F + 142+ 102+ 32 + 02 + 32= 81 + 49 + 121 + 121 + 196 + 100 + 9 + 0 + 9=686

Kemudian kita membagi angka yang dihasilkan tadi dengan 9 karena ada 9 data dalamdaftar:

686vanan = =76,222

9

Varian sering dilambangkan dengan (X2 (sigma kuadrat). Kita juga sering menuliskanvar(x) untuk menyatakan varian dari x. Formula varian secara umum adalah:

var(x) = cr2 =n

n

=n

Formula yang lebih sederhana untuk menghitung varian:

var(x) = x2 - X2

X selalu berarti rata-rata (mean); X 2berarti kuadrat dari rata-rata. Sebagai contoh adalah

penjualan pepperoni. X =49 dan x2 =492 =2401. x2 juga berarti rata-rata dari kuadrat setiapnilai x. Dalam kasus kita:

9

11

---- ----

- - ---

-1600 + 3136 + 1444 + 1444 + 3969 + 3969 + 3481 + 2704 + 2401 + 211

=9

22295= =2,477.222

9

Dengan demikian variannya adalah:

var(x) = X 2 - X 2 = 2477.222 - 2401 = 76.222

Di sini nampak bahwa hasilnya sarna dengan perhitungan terdahulu.

DEVIASI STANDAR

Varian adalah ukuran yang baik untuk simpangan, tetapi mempunyai satu kekuranganutarna yaitu: sukar untuk menginterpretasikan nilai dari varian. Apakah nilai varian sebesar76.222 menunjukkan penyebaran yang besar atau kecil? Seringkali lebih baik menggunakanakar kuadrat dari varian yang disebut deviasi standar.

deviasi standar x =cr=--J var(x)

=

deviasi standar x =n

n

Dalam kasus kita deviasi standarnya adalah 76,222 =8,731 pizza. Deviasi standar xdiukur dengan satuan yang sarna dengan satuan untuk mengukur x.

Jika kita ingin mengetahui apakah simpangan terhadap rata-rata relatifbesar atau tidak,kita dapat menghitung koefisien variasinya :

deviasi standar crKoefisien Variasi = =

mean x

Untuk pizza pepperoni, koefisien variasinya 8,731149= 0,178 = 17,8%.

12

Berikut ini ada beberapa hal yang menarik untuk disebutkan:

I. Paling tidak 75% dari angka-angka dalam daftar berada dalam dua deviasi standar darirata-rata. Dengan rata-rata sebesar 49 dan deviasi standar sebesar 8,731, kita dapatmenghitung dua deviasi standar dibawah rata-rata (mean) yaitu : 49 - 2 x 8,731 = 49-17,462 = 31,538 dan dua deviasi standar di atas rata-rata yaitu : 49 + 2 x 8,731 = 49 +17,462= 566,462. Kemudian kita akan tabu bahwa 75% dari penjualan pepperoni harianberada di antara 31,538 dan 66,462.

2. Secara umum proporsi angka dalam tabel antara k deviasi standar dari rata-rata palingtidak 1 - 1/k2. Hasil ini dikenal dengan Teori Chebyshev.

Teori Chebyshev diterapkan pada setiap daftar kemungkinan angka. Jika anda inginmengetahui lebihjauh distribusi dari angka-angka tersebut, anda dapat membuat pemyataanyang lebih pasti. Secara khusus, bila angka-angka tersebut mengikuti suatu pola umum,distribusinya disebut distribusi normal, kemudian 68 persen dari angka-angka akan beradadalam satu deviasi standar dari rata-ratadan 95 persen dari angka-angka ituberada dalam duadeviasi standar dari rata-rata.

cr2dan crdisebut varian populasi dan deviasi standar populasi. Sekarang anggaplahkita ingin mengetahui penj~alan harian pizza pepperoni untuk satu tahun, tetapi kita telahmelakukan observasi hanya 9 hari secara acak. Dalam kasus ini kita tidak mengetahui nilaisesungguhnya dari rata-rata (mean) ataupun deviasi standar dari penjualan pizza dalam satutahun. Tetapi kita akan memperkirakan bahwa rata-rata dari sampel mendekati nilai rata-ratadari populasi, dan kita akan memperkirakan varian sampel (samplevariance) akanmendekatinilai varian dari populasi. Akar kuadrat dari varian sampel disebut deviasi standar sampel.

Ada dua formula yang berbeda untuk menghitung varian dari sampel :cara 1 :

varian sampel =S.2 =n

=n

deviasi standar sampel

13

-- -

cara2

varian sampel =s/ =n-l

n

=n-l

devisastandar= S2 =

Catatan : cara 2 sarna dengan cara 1kecuali pada pembagiannya, pada cara 1adalah n danpada cara 2 adalah n-1.

Bila nilai n besar, maka tidak ada perbedaan yang berarti apakab kita membagi dengan

n atau dengan n-1, sehingga dalarn kasus ini nilai S(2akan dekat dengan nilai st

Dalam kasus peppperoni kita tabu S(2=76.222 dan s( =8.731. Sedangkan besamya nilais/ dan S2:

ns 2(s/ = :-= 85.750

n-1

YANG HARUS DIINGAT

1.Deviasi absolut rata-rata =

n

2. JikaandamempunyaidaftarangkasebanyakN (XI'x2'...,xN),makadata inimenunjukkanpopulasi secara keseluruhan.

N

L.;=1 (xi-x)2

var(x) = 0'2=N

14

=N

cr = ...J var (x) = ...J X2 - X2

3. Jika anda mempunyai daftar angka sejumlah n (Xl' X2' ..., Xn)maka data ini akanmewakilinya sampel.Varian Sampel, cara 1:

n

Li=l (Xi -x)2

S)2 =

= S 22n

Deviasi Standar Sampel, cara 1 :

s =)

Varian Sampel, cara 2 :

n

S22=n-l

n_ - S2I

n-l

n

=

n-l

15

- --- -

Deviasi Standar Sampel, cara 2 :

n

n-l

n

n-l

DIAGRAM FREKUENSI

Masalah akan menjadi lebih rumit bila kita dihadapkan pada deretan angka yangpanjang. Misalnya kita hams mengatur kelompok marching band. Kita ingin mengetahuitinggi (dalam inci) anggota marching band:

64,65,68,67,67,64,69,66,66,66,68,71,67,67,70,65,65,66,70,64,67,68,66,68,64,65,67,66,69,68,65,69,68,67,68,67,67,67,66,66.

Bilakitahams membuatdaftar secarakeseluruhan,makakitadihadapkan padapekerjaanyang berat. Untuk membantu menyederhanakan daftar yaitu dengan menghitung jumlahorang pada tiap-tiap ukuran tinggi dan membuat tabel seperti berikut ini:

Jumlah individu pada masing-masing ukuran tinggi disebut frekuensi dari tinggitersebut, sehinggatabeldi atasdisebuttabel frekuensi.Perhatikanlahbahwa kitamendapatkangambaran yang lebihjelas tentang distribusi tinggi melalui tabel frekuensi daripada dari tabelyang belum disederhanakan.

16

Tinggi Frekuensi

64 365 566 867 1168 769 370 271 1

Kita dapat memperoleh gambaran yang juga jelas dengan menggambarkan tabel frekuensiyang disebut dengan diagram frekuensi atau histogram (lihat gambar 2-1).

Gambar 2-1

o 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74

TInggi

Tinggi tiap-tiap batang menunjukkanjumlah individu yang memiliki tinggi seperti yangditunjukkan oleh letak batang.

Kita juga dapat menggunakan informasi dari tabel frekuensi untuk menghitung rata-rata.Kita dapat menghitung total keseluruhan tinggi seperti berikut :

M+M+M+~+~+~+~+~+~+~+~+~+~+~+~+~+~+~+~+~+~+~+~+~+~+~+~+~+~+~+~+~+~+~+~+~+~+W+W+71=2676

Setelah anda perhatikan angka-angka tersebut, anda akan mengerti cara yang mudah,yaitu kita hanya mengalihkan masing-masing ukuran tinggi dengan frekuensinya, danmenjumlahkan hasil perkalian seluruhnya. Berikut ini adalah cara mengerjakannya:

17

-- -

12

II

10

9

8'"

7c"=6"""

u:: 5

4

3

2

Bila total tinggi adalah 2676 dan anggota berjumlah 40 orang, maka kita dapatmenghitung rata-rata tingginya yaitu 66~9.

Andaikan kita mempunyai daftar angka yang berisi nilai-nilai yang berbeda-bedasebanyak m (XI' x2' ,.., xm).Anggaplah f1 adalah frekuensi dari XI'Misalnya XI=64 dan fl =3, maka fl mewakili frekuensi dari XIdan n adalah total jumlah observasi yang sarna dengan:

Kemudian rata-rata dapat dihitung dengan formula sebagai berikut :

rata-rata =n

m~ f.x.~i=l 11

=n

Kita juga dapat menghitung median dari data tabel frekuensi. Jika ada40 orang, makatinggi median adalah nilai tengah dari tinggi orang ke 20 dan ke 21. Dari tabel frekuensi kitadapat melihat bahwa 27 orang mempunyai tinggikurang atau sarna dengan 67 inci, dan 24orang mempunyai tinggi lebih atau sarna dengan 67, Dengan demikian baik orang ke 20maupun ke 21 mempunyai tinggi 67 inci, dan inilah mediannya.

Kita tahu bahwa 50% dari anggota marching band mempunyai tinggi kurang atau sarnadengan 67, Kita juga ingin mengetahui berapa persen orang yang mempunyai tinggi kurangatau sarna dengan 65, Dari tabel frekuensi kita dapat menghitung bahwa 8 orang berada dalamkategori ini, jadi 8/40 = 20% anggota marching band mempunyai tinggi kurang atau sarnadengan 65. Perhitungan ini adalah contoh yang umum dari konsep perseratus (percentiles).

18

Tinggi Frekuensi Tinggi x Frekuensi

64 3 19265 5 32566 8 52367 11 72368 7 47669 3 20770 2 14071 1 71

Jumlah 2676

Kita dapat menghitung banyaknya perseratus yang berbeda-beda dari sekumpulan angka.Misalnya perseratus ke 25 adalah angka yang berada pada urutan ke 25% dari deretan angkatersebut, perseratus ke 60 adalah angka yang berada pada urutan ke 60% dari deretan angkatersebut dan seterusnya.

Varian dari tinggi anggota marching band dapat kita hitung dengan menggunakaninformasi frekuensi dari salah satu formula berikut:

n~ - 2""i=1 fi (Xi-X)

var(x) =n

n

n

L. I f. x.21= I I

=

Dalam kasus kita, kita mempunyai varian 1.69 dan deviasi standar 1.64.

DATA DIKELOMPOKKAN

Sekarang kita akan menganalisa pendapatan kotor yang disesuaikan untuk dapatmenggambarkanpajakyangdapatditarikpada tabun 1980.Tentukita tidak inginmelihatsuatudaftar yang berisi 93616278 nilai pendapatan kotor yang berbeda. Kita juga tidak inginmembuatdaftarfrekuensiuntuksetiapkemungkinannilaipendapatan,walaupunkitamemerlukaninformasi dalam bentuk tabel frekuensi. Bagian dari model tabel frekuensi adalah sepertiberikut ini.

Dalam hal ini kita tidak benar-benar memperhatikan berapa orang yang mempunyaipendapatan Rp 10000.02 yang mungkin saja berbeda dengan berpendapatan Rp 10000.03.

19

--

Pendapatan Frekuensi

Rp 10000.00 3210000.01 2910000.02 4310000.03 1710000.04 25

--

Yang kita inginkan adalah data yang disajikan dalam tabel frekuensi dimana datadikelompokkan menurut kategori yang lebih luas. Data seperti ini disebut data yangdikelompokkan. Berikut ini adalah tabel frekuensi dari data yang dikelompokkan:

Bila ada seseorang yang berpendapatan persis Rp 10000.00 dimana dia akan ditempatkan?Kita akan menempatkan orang tersebut pada kelas 10 -11 ribuan, jadi secara teknis semuakelas harns diatur dengan ini: 10 ribu dan lebih besar dari 10 ribu tetapi kurang dari 11 ribu,dan seterusnya.

Kita ingin menghitung rata-rata pendapatan nasional yang disesuaikan. Pada waktu kitamenghitung tinggi rata-rata anggota marching band kita menggunakan rumus berikut ini:

m"" f.x.~i=l I I

x=n

Tetapi untuk data yang dikelompokkan dalam kelas-kelas perhitungan rata-rata menjadilebih rumit. Sebagai contoh, pada tabel dinyatakan bahwa ada 3417185 orang berpendapatanantara Rp 9000 dan Rp 10000. Tetapi kita tidak mengetahui secara pasti distribusi pendapatanpada kelas ini. Mungkin dari 3417185 semuanya berpenghasilan Rp 9000.57 atau mungkinkesemuanya berpenghasilan 9999.71. Kita hanya dapat memperhatikan bahwa pendapatan

20

Pendapatan Kotor Jumlah yang Pendapatan Kotor Jumlah yang

yang disesuaikan dapat ditarik yang disesuikan dapat ditarik(Rp 1000) (Rp 1000)

0 626582 13 - 14 2734286

0-1 3013967 14 - 15 25212211-2 4268874 15 - 20 110830323-4 3925807 20 - 25 9127402

4-5 3735373 25 - 30 6779115

5-6 3841183 30 - 40 7911046

6-7 3783388 40- 50 30342877-8 3787354 50 - 75 2009790

8-9 3540525 75 - 100 5240319 -10 3417185 100 - 200 43404110-11 3204017 200 - 500 9723211 - 12 2927049 500 - 1000 1210512 -13 2892089 > 1000 4112

dari 3417185 orang mungkin tersebar pada interval dari Rp 9000 sampai Rp 10000. Dengandemikian kita dapat mengasumsikan bahwa jika keseluruhan dari 3417185 orang berasaldalam kelas ini, maka kita dapat menemukan bahwa rata-rata pendapatan adalah Rp 9500(nilai tengah dari dua batas interval). Dalam kasus ini IRS menyatakan bahwa pendapatanrata-rata sebenarnya untuk individu-individu pada kelas ini adalah Rp 9495. Jadi asumsi kitatidak terlalu jauh. Secara umum kita tidak mengetahui nilai rata-rata sesungguhnya darisemua nilai dalam suatu kelas. Sehingga kita mengasumsikan bahwa rata-rata adalah nilaitengah antara titik tertinggi dan titik terendah dalam suatu interval. (batas dari interval disebutclass limit dan nilai tengahnya disebut class mark) Jika f1 adalah jumlah observasi dalamkelas i dan xi adalah class mark untuk kelas i, kemudian kita dapat menghitung rata-rata (xbar) dengan formula berikut:

x=n

x=n

Kita dapat menggunakan formula ini untuk menghitung pendapatan rata-rata:

626502 x 0 + 3013967 x 500 + ...

Kita akan melakukan perhitungan sampai pada kelas terakhir:

> 1000000 4112

Pada kelas ini tidak ada batas atasnya. 4112 orang yang berada pada kelas ini mungkinseluruhnya berpendapat 1000001 atau mungkin semuanya berpendapatan 300000oo. Distribusifrekuensi kita tidak memberikan informasi yang cukup untuk dapat memperkirakan berapapendapatan rata-rata dari kelas ini. Tipe kelas seperti ini disebut open-ended class. Open-endedclass dapat terjadi dibagian atas ataupun bagian paling bawah dari data yang dikelompokkan, danini menimbulkan masalah beberapa perhitungan statistik termasuk perhitungan rata-rata. Jikakita tidak mendapatkan nilai rata-rata dari open-ended class, maka kita tidak dapat menghitungrata-ratadari data. Hal yang terbaik yang dapatkitalakukan adalah mengestimasi rata-rata. Untukmasalah kita ini perhitungan rata-rata pendapatan adalah sebagai berikut:

626582 x 0 + 3013967 x 500 + 4268874 x 1500 +...4112 x 2278392

x=93616278

= Rp 17638

21

- ---

--

Hasil ini lebih besar dari nilai sesungguhnya karena rata-rata untuk setiap kelas cenderunglebih rendah dari nilai tengah kelas itu, terutarna untuk kelas yang tinggi.

Kita juga dapat menghitung median dari pendapatan kotor yang telah disesuaikan. Jikatotalpenerimaan93616278,kitaharnsmendapatkanbahwa46808139berasaldaripendapatanyang lebih rendah dan 46808138 berasal dari pendapatan yang lebih tinggi. Kita dapatmelakukannya dengan proses coba-coba (trial and error). Dengan menjumlahkan 626582 +3013967 + 4268874, kita akan mendapatkan bahwa 7909423 orang (atau 8.4% dari total)berpendapat kurang dari Rp2000. Jelaslah bahwa median lebih besar dari Rp2000. Denganperhitungan yang sarna kita akan mendapatkan 44452489 orang (atau 47.5% dari total)berpendapatan dibawah Rp12000dan 47344278 orang (atau50.6%dari total) berpendapatandibawah Rp13000.

Informasi ini tidak menjelaskan kepada kita berapa nilai median dari pendapatan. Kitamengetahui bahwa pendapatan median berada di atas Rp12000 dan di bawah Rp13000.Dengan demikian kita dapat mempersempit penelitian kita tentang pendapatan mediandengan memperhatikan 2892089 orang yang berpendapatan antara Rp12000 dan Rp13000.Tabel frekuensi tidak menyediakan informasi yang cukup untuk memghitung nilai mediansesungguhnya, jadi sekali lagi kita harns membuat asumsi. Kita mengasumsikan bahwa2892089 orang yang berada dalarn kelas ini didistribusikan secara merata. Dengan kata lainseperempat bagian dari individu-individu tersebut berpendapatan antara Rp12000 sampai12250, seperempat bagian lagi berpendapatan antara 12250 sampai 12500 dan seterusnya.Jika 46808139 orang dari total populasi berpendapatan di bawah pendapatan median, makakita dapat menghitung:

46808139 orang berpendapatan kurang dari median

- 44452489 orang yang berpendapatan kurang dari Rp 12000

=2355650 orang yang berpendapatan di atas Rp 12000 tetapi kurang dari median.

Dengan demikian 2355650/2892089 =81.5% orang yang berpendapatan pada kelaspendapatan antara Rp12000dan Rp13000berada bibawah median, dan kita mengasumsikanbahwa distribusi dari kelas ini merata maka kita dapat menghitung pendapatan mediansebagian berikut:

Rp12000 + 0.815 x 1000 =12815

Berikut ini adalah formula perhitungan median dimana kelas median sudah ditentukan(asumsi distribusi nilai-nilai dalam kelas median tidak diinformasikan):

(N/2 -nL)2

median = XL +nm

dimana XL batas kelas bawah dari kelas median dalarn contoh kita adalah Rp12000

22

N : totaljumlah populasidalamcontohkita 93616278

nm : jumlah kelas median dalam contoh kita 2892089

w : luasnya atau pesarnya kelas median dalam contoh kita Rp1000

Untuk mendapatkan varian dan deviasi standar dari pendapatan, pertama-tama kita

menggunakan di bawah ini untuk menghitung x 2:

m

L. 1f.x2

1::;; 1 1

n

X 2 =1005241180

var(x) =6941270000a =26346

HISTOGRAM

Penggambaran diagram frekuensi dari data pendapatan dapat dilihat pada gambar 2-2.Dari diagram frekuensi pada gambar tersebut dapat terlihat adanya lonjakan yang tajam untukpendapatan di atas Rp15000, tetapi ini tidak berarti bahwa ada begitu banyak orang yangberpendapatan di atas Rp150000 dari pada di bawah Rp150000. Hal ini terjadi karena kelasdi atas Rp15000 lebih lebar daripada kelas di bawah Rp15000. Ada 110883032 orangberpendapatan di bawah Rp 15000 dan 2521221 orang berada di atas % 15000. Diagram yangbenar untuk menggambarkan situasi ini disebut histogram.

Gambar 2-2

o 24 6 8 1012 15 20 25 30 40 50

Pendapatan (ribuan)

23

--

10

9

8- 7'"

6'" 5c""..I<: 4"u:

3

2

l- e--

l-

I- -

I- .-----

I--

l-

I-

l-

I-

l-

I-

'-

Berikutini adalah caramembuathistograrn. Mula-mulacoba W1tukmenggambarkanfrekuensiW1tukdata pendapatan yang mempunyai lebar kelas yang sarna yaitu Rp 1000. Untuk pendapatandati Rp15000 sampai Rpl6000 atau dati Rp16000 sampai Rp17000 dan seterusnya tidak kitaketahuijumlahindividuanya. Tetapi sekali lagikitamengasumsikan bahwasemua pendapatan padakelas antara Rp 15000 dan Rp20000 terdistribusi secara merata, sehingga 1/5bagian berpendapatandati Rp15000 sarnpai RpI6000, 1/5 bagian lagi berpendapatan dati Rpl6000 sampai 17000 danseterusnya. Porsi diagram frekuensi yang barn dapat dilihat pada gambar 2-3.

Gambar 2-3

o 24 6 8 1012 15 20 25 30 40 50

Pendapatan (ribuan)

Anda dapatmelihatbahwa distribusi ini tidak simetris.Lebihbanyakyangberpendapatantinggi daripada yang berpendapatan rendah. Dalam kasus ini distribusi yang dihasilkanmempunyai eior yang panjang di bagian kanan atau dengan kata lain distribusinya miring kekanan. Bila distribusi miring ke kanan maka rata-ratanya akan berada di atas nilai meaianya.Untuk data pendapatan ini kita menemukan bahwa rata-rata adalah Rp17638 dan nilaimedianya adalah Rp12815.

Berikut ini adalah prosedur untuk menggambarkan histogram:

1. Lebar masing-masing segiempat pada diagram hams proporsional dengan lebar kelasyang diwaiili. Sebagaicontoh, padakasus di atas, segiempat yangmewakilikelas denganlebar Rp5000 hams limakali lebih lebar daripada segiempat yang mewakilikelas denganlebih Rpl000.

2. Tinggi untuk masing-masing segiempat hams proporsional denganjumlah obyek dalamkelas tersebut dibagi dengan lebar kelasnya. Jadi daerah segiempat.hams proporsionaldengan jumlah obyek yang sesuai dengan kategorisnya. Sebagai contoh, ada 2734286orang berada dalam kategori Rp13000 dan Rp14000, maka tinggi dari segiempat hamsproporsional yaitu 2734286/1000 = 3734.286. Demikian juga untuk 9127402 orangyang berada pada kategori antara Rp20000 dan Rp25000, maka tinggi dari segiempatnyaadalah 9127402/5000 = 1825.48. Dengan kata lain segiempat antara Rp13000 danRp14000 hams 2734.286/1825.48 =1.498 kali tinggi segiempat antara Rp2000 danRp25000.

24

5

4.i:>g

3'"cOJ

2:::>""

J:

GRAFIK LAIN

Ada banyak tipe graftk yang dapat kita tunjukkan di sini. Anggaplah kita mempunyaidata pengambilan harian di bank data ini sudah dikelompokkan:

Kita dapat memplot informasi ini dalam histogram (lihat gambar 2-4).

Gambar 2-4

90

80

70

60

50

40

30

20

10

300 400 500 600 700 800 900 1,000 1,1001,2001,300

Pengambilan

POLIGON FREKUENSI

Dengan informasi yang sama dapat digambar diagram yang disebut poligon frekuensi. Kitamenggunakan batang pada histogram yang mewakili masing-masing kelas, kita menempatkantitik-titik pada nilai tengah masing-masing kelas. Setelah itu kita hubungkan titik-titik itu dengansuatu garis (lihat gambar 2-5).

25

- --

Pengambilan Frekuensi

500 - 600 12600 - 700 36700 - 800 63800 - 900 81

900 - 1000 771000 - 1100 421100 - 1200 24

Gambar2-5

90

80

70

60

50

40

30

20

10

300 400 500 600 700 800 900 1,000 1,100I;ID 1,300

Pengambilan

OGIV

Ada baiknya juga kita menghitung frekuensi kumulatif. Frekuensi kumulatif untukmasing-masing kelas adalah total jumlah observasi pada suatu kelas ataukelas di bawahnya.

GrafIk untuk frekuensi kumulatif disebut ogiv (lihat gambar 2-6)

26

Pengambilan Frekuensi Frekuensi Kumulatif

500 - 600 12 12600 - 700 36 48700 - 800 63 111800 - 900 81 192

900 - 1000 77 2691000 - 1100 42 3111100 -1200 24 335

Gambar 2-6

300 400 500 600 700 800 900 1,000 1,100I,JD 1,300

Pengambilan

DIAGRAM LING KARAN (PIE CHART)

Diagram terbaik dalam menggambarkan total kuantitas yang dibagi kedalam beberapakategori yang berbeda adalah diagram lingkaran (pie chart). Setiap bagian dari diagramlingkaran menunjukkan suatu kategori. Setiap bagian harns proporsional dengan bagian daritotal kategori yang diwailkan. Gambar 2-7 adalah diagram lingkaran yang menggambarkansumber-sumber penerimaan Pemerintah Antah Berantah pada tahun 1984.

Gambar 2-7

Individual income tax 44%

Social insurance36%

27

---

360

330

300

270

240'"

210c"::I'" 180

"-ISO

120

90

60

30

--

YANG HARUS DIINGAT

1. Untuk data yang terlalu banyak, sangatlah sulit untuk membuat daftar secarakeseluruhan.Data tersebut harns kita ringkat dan dibagi ke dalam beberapa kategori dan kemudianhitung semua obyek dalam tiap kategori, hasilnya disebut frekuensi. Jika kita mempunyaim kelompok dan fi adalah frekuensi dari kelompok i, maka formula rata-ratanya (mean)adalah:

m~ f. X."""i:;:;l1 1

mean = =n

m

dimana n =Li=1 adalah jumlah total data observasi dan Xiadalah nilai tengah dari kelas i.2. Data yang dinyatakan dalam bentuk grafIk juga bersifat sangat informatif. Untuk data

yang dikelompokkan, distribusidapat ditunjukkan dengan diagram frekuensi. Frekuensiditunjukkan oleh tingginya batang. Diagram tipe lain adalah poligon frekuensi (yangdibentuk daripenempatan titik-titikpadanilai tengah setiapkategori secaraproporsionaldengan jumlah obyek pada setiap kategori), ogiv (grafIk dari distribusi kumulatit) dandiagramlingkaran(dimanasetiapkategoridiwakilkanolehbagian-bagiandalamlingkaranyang besarnya tergantung pada proporsi obyek-obyek dalam setiap kategori).

ISTILAH-ISTILAH YANG HARUS DIPELAJARIrata-ratabimodalnilai sentral

teori Chebyshevclass limitclass markkoefIsien variasi

dispersidiagram frekuensipoligon frekuensitabel frekuensidata dikelompokkanhistogramjarak antar kuartilmeandeviasi absolut rata-ratamedianmodusdistribusi normal

28

OglVopen-ended classperseratus (percentile)diagram lingkaran (pie chart)deviasi standar populasivarian pupulasiquartilrangedata kasar

deviasi standar sampelvarian sampelkemiringandeviasi standarstatistiksubkripnotasi penjuOllahantailvarian