7 Bilangan Kompleks

FEBRIZAL, MTBILANGAN KOMPLEKS*

TujuanMahasiswa dapat memahami asal bilangan kompleks dan pangkat j.Mahasiswa mampu menuliskan bilangan kompleks kedalam bentuk grafis.Mahasiswa mengenal bentuk-bentuk bilangan kompleks.Mahasiswa mampu mengoperasikan persamaan bilangan kompeks pada operator penjumlahan, pengurangan perkalian dan pembagian.

*

OutlinePendahuluanPenjumlahan dan Pengurangan Bilangan kompleksPerkalian dan Pembagian Bilangan kompleksKesamaan Bilangan kompleksPernyataan bilangan kompleks secara grafisPenjumlahan bilangan kompleks secara grafisBentuk kutub bilangan kompleksBentuk eksponensial bilangan kompleks*

Pendahuluan (1)Bilangan komplek berasal dari akar-akar persamaan kuadrat yang tidak dapat didefinisikan lebih lanjut. Biasanya akar-akar persamaan kuadrat pada kondisi tersebut dikatakan sebagai bilangan imajiner atau bilangan khayal. Bilangan khayal merupakan kesepakatan para ahli matematika untuk menyelesaikan persamaan yang memiliki akar 1.Dari mana munculnya akar -1?Akar-akar persamaan kuadrat diperoleh dengan rumus abc:

*

Pendahuluan (2)*Sebagai contoh:

Berapa akar dari -64?8 atau -8Bukan kedua-duanya.

Pendahuluan (3)*(-64) tidak dapat dinyatakan dengan bilangan biasa, karena tidak ada bilangan ril yang hasil kuadratnya negatif.Namun kita ketahui bahwa -64 = -1 x 64, sehingga dapat kita tulis:(-64) = (-1 x 64) = (-1) .(64) = 8 (-1), jadi (-64) = 8 (-1)Tentu saja kitas masih dihadapkan dengan (-1), akan tetapi jika kita tuliskan huruf j untuk menyatakan (-1), maka(-64) = 8j

Pendahuluan (4)*Jadi sekarang kita mempunyai cara untuk menyelesaikan persamaan kuadrat seperti pada contoh sebelumnya.

Latihan*Carilah akar-akar persamaan kuadrat berikut:

Pangkat j*Dengan mengingat bahwa j menyatakan (-1), marilah kita tinjau beberapa pangkat dari j.j = (-1)j2 = -1j3 = (j2).j = -1.j = -jj4 = (j2)2 = -12 = 1Dari hasil perhitungan terahir, maka untuk setiap kali muncul faktor j4 bisa digantikan dengan faktor 1, sehingga pangkat dari j bisa dibuat menjadi lebih sederhana.

Pangkat j*Contoh:j9 = (j4)2.j = (1)2.j = jj20 = (j4)5 = 15 = 1j30 = (j4)7.j2 = 17.(-1) = 1.(-1) = -1

Latihan*Kerjakanlah:j15 = j6 =j7 =j8 =j42 =j12 =j11 =

Bilangan KompleksDengan menggunakan rumus abc, akar-akar dari persamaan kuadrat x2-6x+34=0 adalah x1 = 3+5j dan x2 = 3-5jHasil yang kita peroleh tersebut terdiri atas dua suku yang terpisah, yaitu 3 dan 5j. Suku-suku ini tidak dapat disederhanakan lebih lanjut karena suku yang kedua buka bilangan ril. Dalam pernyataan seperti x1 = 3+5j, 3 disebut bagian ril dari x5 disebut bagian imajiner dari xGabungan kedua bilangan inilah yang disebut sebagai bilangan kompleks.Jadi, bilangan kompleks = (bagian ril) + (bagian imajiner)*

Penjumlahan dan pengurangan bilangan kompleks*Contoh:

Jadi, secara umum,(a+jb)+(c+jd)=(a+c)+j(b+d)

Latihan*Jika;

Perkalian Bilangan Kompleks*Contoh:(3+j4)(2+j5)Untuk menyelesaikan perkalian ini caranya sama dengan menghitung perkalian (3x+4y)(2x+5y).Caranya yaitu:Kalikan kedua suku yang kiriKalikan kedua suku yang dalamKalikan kedua suku yang luarKalikan kedua suku yang kananSehingga:(3+j4)(2+j5)=6+j8+j15+j2206+j23-20 (karena j2=-1)-14+j23

Perkalian Bilangan Kompleks*Jika Perkaliannya memuat lebih dari dua faktor, maka perkaliannya dilakukan secara bertahap.Contoh: (3+j4)(2-j5)(1-j2)(6+j8-j15-j220)(1-j2)(6-j7+20)(1-j2)(26-j7)(1-j2)26-j7-j52+j21426-j59-14=12-j59

Latihan*Hitunglah(-4-j7)(9-j5)(5-j4)(-6+j8)(a-jb)(c+jd)(7+j6)(8-j12)(-5+j8)(12-j7)(5+j3)(-11-j7)(9+j8)(6-j7)(5+j3)(10+j7)

Perkalian Bilangan Kompleks*Bilangan kompleks konjugatYaitu pasangan bilangan kompleks yang sama namun berbeda tanda hubungnya.Hasil kali dua bilangan kompleks konjugat selalu menghasilkan bilangan ril.Contoh:(5+j8)(5-j8)25+j40-j40-j26425+64 (j2 = -1)89

Perkalian Bilangan Kompleks*Perhatikan langkah berikut:

Jadi, secara umum bisa dikatakan:(a+jb)(a-jb)=a2+b2

Latihan*Berikut ini mana yang merupakan bilangan kompleks konjugat?(4+j5) dan (4-j5)(a+jb) dan (a-jb)(6+j2) dan (2+j6)(5-j3) dan (-5+j3)(-5+j3) dan (-5-j3)Hitunglah perkalian berikut:(4-j3)(4+j3)(4+j7)(4-j7)(a+jb)(a-jb)(x-jy)(x+jy)

Pembagian Bilangan Kompleks*Pembagian bilangan kompleks dengan bilangan ril.Contoh:

Kerjakan:

Pembagian Bilangan Kompleks*Pembagian Bilangan kompleks dengan bilangan kompleksContoh:

Untuk dapat melakukan hal ini, caranya yaitu dengan merubah terlebih dahulu penyebutnya menjadi bilangan rilUntuk merubah penyebut menjadi bilangan ril, bisa dilakukan dengan cara mengalikan penyebutnya dengan konjugatnya.

Pembagian Bilangan Kompleks*Sehingga proses pembagiannya adalah sbb:

Latihan*Jika;

Kesamaan Bilangan Kompleks*Misalkan dua buah bilangan kompleks a+jb dan c+jdJika kedua bilangan tersebut dikatakan sama, maka a+jb=c+jdApabila bilangan ril dan imajinernya kita dekatkan menjadi a-c=j(d-b)Persamaan diatas hanya benar jika kedua ruas bernilai 0a-c=0 sehingga a=c, dan d-b=0 sehingga d=bBerarti, dua buah bilangan kompleks dikatakan sama apabila,Kedua bagian ril nya samaKedua bagaian imajiner nya juga sama

Kesamaan Bilangan Kompleks*Contoh, jika x+jy=5+j4, maka x=5 dan y =4Bagaimana dengan persoalan berikut?(a+b)+j(a-b)=7+j2, tentukan nilai a dan b.Penyelesaian:

Pernyataan Bilangan Kompleks Secara Grafis*Setiap bilangan dapat ditulis dalam bentuk grafis, yaitu ditulis dalam garis bilangan. Untuk bilangan komplek memiliki garis bilangan ganda yaitu kawasan real dan kawasan imajiner.

Pernyataan Bilangan Kompleks Secara Grafis*Pernyataan grafis ini dikenal sebagai diagram Argand.Perhatikan bilangan kompleks berikut ini,

Apakah bisa dinyatakan dalam bentuk grafis?Tentu bisa, uraikan dulu 4 adalah bilangan real positif j6 adalah bilangan imajiner positif

Pernyataan Bilangan Kompleks Secara Grafis*Sehingga diperoleh grafik sebagai berikut:

Pernyataan Bilangan Kompleks Secara Grafis*Jika dibalik, berapakah nilai bilangan kompleks dari grafik berikut??

Nilainya adalah:x=-6-j2

Latihan*

Penjumlahan Bilangan Kompleks secara Grafis*

Pengurangan Bilangan Kompleks secara Grafis*

Latihan*Tentukanlah (4+j2)+(-2+j3)-(-1+j6) dengan diagram Argand

Bentuk Kutub Bilangan Kompleks*Kadang-kadang akan lebih memudahkan jika bilangan kompleks a+jb dinyatakan dalam bentuk lain.Dalam diagram argand, misalkan OP adalah vektor a+jb. Dengan r adalah panjang vektor tersebut dan adalah sudut yang dibentuk oleh OP.

Bentuk Kutub Bilangan Kompleks*Maka,r2=a2+b2 r = (a2+b2)tan =b/a = tan-1 b/a.a = r cos dan b = r sin .Karena z = a+jb, maka z dapat dituliskan sebagai:z= r cos + j r sin atauz= r (cos + j sin )Bentuk ini dikenal sebagai bentuk kutub (polar) bilangan kompleks dengan,r = (a2+b2) = tan-1 b/aContoh:Nyatakanlah z = 4+j3 dalam bentuk kutub.

Bentuk Kutub Bilangan Kompleks*PenyelesaianGambarkan terlebih dahulu diagram sketsanya.

r = (42+32) = (16+9)r = 25 = 5 = tan-1 = 36052Sehingga didapat,z= 5(cos 36052 + j sin 36052)

Bentuk Kutub Bilangan Kompleks*Dalam bentuk kutub bilangan kompleks, ada nama khusus untuk r dan .r disebut modulus dari bilangan kompleks z dan biasa disingkat menjadi mod z disebut argumen dari bilangan kompleks z dan disingkat menjadi arg zBentuk kutub bilangan kompleks selalu sama dan hanya berbeda dalam harga r dan saja. Sehingga seringkali digunakan simbol untuk menyatakan bentuk kutub tsb.Sehingga z= 5(cos 36052 + j sin 36052), bisa ditulis sebagai

Latihan*Nyatakan bilangan kompleks berikut dalam bentuk kutub.z= 2+j3z= -3-j4z= -5+j2z= 4-j3z= 6+j3z= -3-j5z= -5+j8z= 7-j3

Bentuk Eksponensial Bilangan Kompleks*Masih ada cara lain untuk menyatakan bilangan kompleks yang harus kita pelajari. Kita akan memperolehnya dengan cara sbb:

Bila kita ambil deret untuk ex dan kita ganti x dengan j, maka akan kita peroleh:

Bentuk Eksponensial Bilangan Kompleks*

Dengan demikian sekarang r(cos + j sin ) dapat ditulis sebagai r.ejBentuk ini yang dikenal sebagai bentuk eksponensial bilangan kompleks.

Bentuk Eksponensial Bilangan Kompleks*Jadi sekarang telah kita kenal tiga cara untuk menyatakan bilangan kompleks. z = a+jbz = r (cos + j sin )z = r.ejIngat bahwa bentuk eksponensial diperoleh dari bentuk kutub.Harga r dalam kedua bentuk sama.Sudut dalam kedua bentuk juga sama, tetapi untuk bentuk eksponensial harus dinyatakan dalam radian.

Bentuk Eksponensial Bilangan Kompleks*contoh:Ubahlah bentuk kutub 5 (cos 60o + j sin 60o) menjadi bentuk eksponensial.Dari 5 (cos 60o + j sin 60o), maka diketahui r = 5 dan = 60o= /3 radian.Sehingga bentuk eksponensialnya adalah: 5ej /3 Sudut NegatifKita ketahui ej = cos + sin Jika kita ganti dengan , maka kita dapatkane-j = cos (-) + j sin (-) = cos j sin

Bentuk Eksponensial Bilangan Kompleks*ContohNyatakan e-j/4 dalam bentuk a+jbJawabane-j/4 = cos /4 j sin /41/2 j 1/21/2 (1 j)

Latihan*Nyatakan bilangan kompleks berikut dalam bentuk eksponensial.z= 8+j3z= -5-j4z= -9+j2z= 4-j7

Nyatakanlah 3ej/3 dalam bentuk a+jbNyatakanlah e1-j/4 dalam bentuk a+jb

Febrizal, MT*Bilangan Kompleks II

Perkalian dan Pembagian Bilangan Kompleks Dalam Bentuk Kutub*Misalkan z1=r1(cos 1 + j sin 1) dan z2=r2(cos 2 + j sin 2)Maka, z1.z2= r1(cos 1 + j sin 1).r2(cos 2 + j sin 2)= r1r2 (cos 1 cos 2 + j sin 1 cos 2 + j cos 1 sin 2 + j2 sin 1 sin 2)Bila suku-sukunya kita susun kembali, dan dengan mengingat bahwa j2 = -1, maka kita perolehz1.z2= r1r2 [(cos 1 cos 2 - sin 1 sin 2) + j (sin 1 cos 2 + cos 1 sin 2)]cos 1 cos 2 - sin 1 sin 2 = cos (1+2)sin 1 cos 2 + cos 1 sin 2 = sin (1+2)Sehingga, z1.z2 = r1.r2 [cos (1+2) + j sin (1+2)]

Perkalian dan Pembagian Bilangan Kompleks Dalam Bentuk Kutub*Untuk mengalikan dua buah bilangan kompleks dalam bentuk kutub, Kalikan kedua r nya.Jumlahkan kedua sudutnya.Tapi dengan syarat tanda hubung bilangan kompleks tersebut harus positif.Contoh

Perkalian dan Pembagian Bilangan Kompleks Dalam Bentuk Kutub*ContohHitunglah perkalian berikut;2(cos 120o + j sin 120o) x 3(cos 20o - j sin 20o)PenyelesaianKarena suku kedua bilangan kompleks tersebut mempunyai tanda hubung negatif, maka perlu dilakukan perubahan terlebih dahulu.2(cos 120o + j sin 120o) x 3(cos [-20o]+ j sin [-20o])2x3 (cos [120o 20o] + j sin [120o 20o])6 (cos 100o + j sin 100o)

Perkalian dan Pembagian Bilangan Kompleks Dalam Bentuk Kutub*Telah kita ketahui bahwa untuk melakukan pembagian bilangan kompleks caranya yaitu dengan mengalikan bilangan kompleks tersebut dengan konjugat dari pembaginya (penyebutnya). Jika hal tersebut kita lakukan juga untuk bilangan kompleks dalam bentuk kutub, maka hasilnya:

Perkalian dan Pembagian Bilangan Kompleks Dalam Bentuk Kutub*

Jadi, aturan untuk bembagian adalah bagikan r nya, dan kurangkan sudutnya.


Contoh lain:

Latihan*

Pangkat dalam Bilangan Kompleks*

Pangkat dalam Bilangan Kompleks*Hasil yang kita peroleh tadi sangat penting, teorema ini dikenal dengan Teorema DeMoivre. Teorema ini mengatakan untuk mencari pangkat n dari suatu bilangan kompleks, kita pangkatkan r nya dengan n dan kita kalikan sudutnya dengan n. Contoh

Latihan*

Pangkat dalam Bilangan Kompleks*Teorema DeMoivre juga berlaku untuk pangkat yang berupa pecahan, yaitu jika kita mencari akar-akar suatu bilangan kompleks.Contoh

Pangkat dalam Bilangan Kompleks*Dari contoh yang sudah kita bahas diatas, maka dapat dikatakan bahwa akar pangkat yang lain dari bilangan kompleks dapat diperoleh dengan cara yaitu:Gunakan teorema DeMoivre untuk memperoleh akar pertama dari n buah akar yang ada.Akar yang lain akan tersebar dalam diagram dengan selang teratur sebesar 360o/n.Jadi sebuah bilangan kompleks memiliki 2 buah akar kuadrat yang dipisahkan oleh sudut sebesar 360o/2 = 180o3 buah akar pangkat tiga yang dipisahkan oleh sudut sebesar 360o/3 = 120o4 buah akar pangkat empat yang dipisahkan oleh sudut sebesar 360o/4 = 90odst

Pangkat dalam Bilangan Kompleks*Meskipun ada 5 buah akar pangkat lima dari suatu bilangan kompleks, kadang-kadang yang diminta hanyalah akar utamnya saja (principal root). Akar utama ini adalah akar yang vektornya paling dekat dengan sumbu OX positif.Dalam beberapa kasus, akar utama ini adalah akar yang pertama, namun bisa juga akar yang terahir.Satu-satunya jalan untuk menentukannya adalah dengan melihat akar mana yang paling dekat dengan sumbu OX positif.Jadi dalam contoh diatas, akar utamanya adalah z5.

Latihan*Tentukan keempat akar pangkat empat dari z = 7(cos 80o + j sin 80o)Gambarkan keempat akarnya dalam diagram ArgandTentukan akar utamanya.Tentukan kelima akar pangkat lima dari z = 10(cos 250o + j sin 250o)Gambarkan kelima akarnya dalam diagram ArgandTentukan akar utamanya.

Penjabaran sin n dan cos n dengan bilangan bulat positif*

Latihan*

Penjabaran sin n dan cos n dalam sinus dan cosinus kelipatan *

Latihan*

Tempat Kedudukan*

Latihan*

7 Bilangan Kompleks

Documents