6. Energi Dan Potensial

7/28/2019 6. Energi Dan Potensial

1/46

4.1 Energi yang Dibutuhkan untuk Menggerakkan

Muatan Titik dalam Medan Listrik

Dalam suatu ruang yang dipengaruhi oleh medan

listrik E dari suatu sumber, maka sebuah muatan

Q akan mengalami gaya sebesar

EQFE

Bab 4. Energi dan Potensial


2/46

Gaya ini bekerja terus menerus sehingga untuk

mempertahankan muatan tersebut pada posisinya,maka komponen gaya yang harus diatasi adalah

sebesar gaya yang bekerja tersebut ( ) tetapi

dengan arah yang berlawanan ;

FEL = Gaya lawan untuk mempertahankan Q pada posisinya

LLEEL a.EQa.FF

Energi dan Potensial

EQFE


3/46

Sedang kerja diferensial untuk menggerakkan

Q sejauh jarak diferensial dL adalah :

Atau secara matematis


.dLa.EQldiferensiaKerja L

.dLa.EQdW L Jadi kerja total yang dibutuhkan untuk menggerakkan

suatu muatan dalam medan E sejauh jarak yang

berhingga adalah

akhir

awal

dL.EQW


4/46

4.2 Integral Garis

Integral garis dibutuhkan untuk analisis vektordimana perkalian kopmponen dalam tanda

integral menghasilkan nilai yang berubah seiring

dengan posisi dalam jalur integralnya. Hal ini

sangat sering ditemui dalam analisis medan

listrik, karena pada umumnya medan listrik tidak

homogen tetapi membentuk suatu fungsi baik

terhadap waktu maupun ruang.



5/46

Contoh operasi integral garis

Sebuah muatan 2 Coulomb akan digerakkan

dari titik B(1, 0, 1) ke titik A(0,8 0,6 1) ruang

dimana muatan ini akan digerakkan dipengaruhi

oleh medan listrik yang tidak

homogen :E = y ax + x ay + 2 az

Catatan : Medan ini tidak homogen olehkarena terlihat bahwa besar dan

arahnya pada setia titik (x,y,z) tidak

sama



6/46

Jalur integral adalah :

1. melalui busur lingkaran denganpersamaan x2+y2 = 1 z=0

2. garis lurus yang menghubungkan

kedua titik tersebut

Hitunglah usaha yang diperlukan untukmembawa muatan tesebut melalui kedua jalurtersebut !



7/46

Komentar

Soal ini memperlihatkan bahwa

1. Medan yang tidak homogen oleh karena nilainya yang

berubah menurut posisi koordinat (dalam koord

cartesian)

2. Arah dL yang berubah, ditunjukkan dengan bentuk

persamaan jalur integral (berbentuk lingkaran)

3. Perkalian titik antara E dan dL yang nilainya tidak

sama pada setiap jalur integral



8/46

Jawab

1. Melalui busur lingkaran dengan persamaan

x2+y2 = 1 z=0


akhir

awal

dL.EQW

dalam koordinat cartesian, dL = dx ax + dy ay + dz

az maka :

1)0,6(0,8

1)0(1

zyxzyx )adzadya).(dxa2axa(y2W

1

1

0,6

0

0,8

1

dz2dyx2dxy2W


9/46

Selanjutnya, oleh karena variabel integrasi

belum sesuai, maka dari persamaan lintasan,

diperoleh ;


2x-1y

2y-1x

02 0,6

0

2

0,8

1

2 dyy-1dxx-12W

0,60

20,8

1

2y-1x-1x

Joule96,0


10/46

2. Melalui garis lurus yang menghubungkan A dan B

dalam hal ini terlebih dahulu haruslah dibuat persamaangaris tersebut.

Dengan menggunakan hubungan aljabar untuk

memperoleh persamaan garis lurus, maka diperoleh

y = -3 ( x - 1 ) dan z = 1

Jadi


1

1

0,6

0

0,8

1

dzdyxdxy2W 22

0,6

0

0,8

1

dy)3

y-1(dx1)-x( 26

Joule96,0


11/46

Contoh lain :

operasi integral garis dalam koordinat tabung.

Hitunglah usaha yang dibutuhkan untuk membawa

muatan Q dalam medan yang dipengaruhi oleh muatan

yang terdistribusi garis dengan panjang tak berhingga


Jawab

Dalam kasus ini kemungkinan arah integral garis

(gerakan ; dL ) dapat dibagi atas :

arah keluar saja (radial), dimana dz = 0 dan d= 0

arah radial dan vertikal dimana d= ada, d= 0, dz = 0

arah radial dan memutar d= ada, d= ada, dz = 0

arah radial,vertikal dan memutar d=ada, d=ada, dz= ada


12/46

Persamaan medan listrik untuk sebuah muatan

terdistribusi garis :

Maka ;


o

L a.

2

a.EE

akhir

awal

z

o

L adzadad.a.2

QW


13/46

oleh karena perkalian vektor ( dot product ) antara

komponen a . a= 0 dan a . az= 0 maka yangtertinggal dari perkalian dot dalam tanda integral

dari persamaan diatas adalah


b

a

o

L

akhir

awal

o

L

d

2Qad.a.

2QW

abln

2QW

o

L


14/46

Definisi Potensial dan Beda Potensial

Kerja untuk membawa muatan Q dari A ke B

dalam medan listrik E adalah


akhir

awal

dL.EQW

E i d P i l


15/46

4.3 Definisi Potensial dan Beda Potensial

Beda potensial antara titik A dan B adalah

didefinisikan sebagai :

Kerja yang dibutuhkan untuk memindahkan satu

satuan muatan (Coulomb) dari suatu titik ke titik

lainnya( 1 meter) dalam medan listrik E= 1 V/m.


Q

WV

Q

dL.EQ

V

akhir

awal

akhir

awal

dL.E


16/46

Contoh 1

Beda potensial antar titik A dan B dalam ruangkoordiant tabung untuk medan yang ditimbulkan

oleh distribusi muatan garis :


QWV

Qa

bln

2

Q

V o

L

AB

a

b

ln2

V o

L

AB


17/46

Contoh 2

Beda potensial antar titik A dan B dalam ruangkoordiant tabung untuk medan yang ditimbulkan

oleh suatu muatan titik :

dimana medan listrik oleh muatan titik adalah :


A

B

AB dL.EV

r2a

r

QkE


18/46

maka


A

B

rr2ABadr.a

rQkV

A

B

2rdrQk

BA r1

r1Qk

E i d P t i l


19/46

4.4 Medan Potensial Suatu Muatan Titik

Bagian ini membahas sifat-sifat potensial suatu

posisi dalam ruang yang dipengaruhi atau medan

listrik yang ada didalamnya ditimbulkan oleh suatu

muatan titik.

Dari pembahasan yang lalu telah diketahui

bahwa tegangan titik A terhadap B dalam ruang ini

adalah :


BA r

1

r

1Qk

A

B

rr2AB adr.ar

QkV

E i d P i l


20/46

Nilai ini diperoleh dengan menganggap bahwa kedua titik A

dan B berada segaris dalam arah ar dari titik dimana Q

sebagai sumber medan berada ( artinya kedua titik tersebutjika dituliskan posisi koordinatnya dalam koordinat bola,

maka posisi komponen koordinatnya sama kecuali

komponen dalam arah ar,

dL-nya hanya berbentuk dL = dr

ar) : Contoh A (5, 30o, 90o) dan B (7, 30o, 90o)

Pertanyaannya adalah bagaimanakah bentuk / nilai VAB jika

titik A dan B tidak segaris ( ketiga komponen koordinatnyaberbeda, contoh A (5, 30o, 90o) dan B (7, 45o, 60o), se-

hingga dL-nya berbentuk dL = dr ar + r d a+ r sin d a)




21/46

Untuk menjawab ini, kembali ke konsep dasar beda potensial

Dimana dL = dr ar + r d a+ r sin d a).

Oleh karena perkalian titik antara E dan dL dari persamaan

diatas hanya menhasilkan komponen dalam arah

ar, maka persamaan yang diperoleh dapat dituliskan dengan

Hal mana jika diselesaikan akan menghasilkan bentuk ;


A

B

AB dL.EV

A

B

r2ABdL.a

r

QkV

A

B

rr2ABadr.a

r

QkV

BA r

1

r

1Qk

E i d P t i l


22/46

Jadi kesimpulannya adalah ;

Bahwa beda potensial antara dua titik pada suatu

ruang yang medan listriknya ditimbulkan oleh

distribusi muatan titik hanya bergantung pada jarakkedua titik tersebut dari sumber medan listrik

D a n

Tidak bergantung pada lintasan yang dibentuk ataudiambil untuk menghubungkan kedua titik tersebut.


E i d P t i l


23/46

4.5 Potensial Suatu Titik dengan Acuan V =0 di

Dari persamaan potensial VAB ;

Jika dibuat rB= , maka persamaan menjadi :

Dan, oleh karena komponen yang menunjukkan titik B tidak ada lagi,

maka VAB cukup dituliskan dengan VA saja, yang berarti acuantegangan 0 untuk tegangan di titik A ada di takberhingga


BAAB

r

1

r

1QkV

AAB

r

1QkV

AA

r

1QkV

E i d P t i l


24/46

Untuk menentukan potensial suatu titik dengan acuan nol bukan di

tak berhingga, dapat dilakukan langkah berikut ;

Dari persamaan ;

rA diindentifikasi sebagai r dan komponen sebagai tetapan

C1, sehingga ;

Selanjutnya C1 dipilih supaya V= 0 pada jarak r yang kita inginkan.

Kita juga dapat mengambil acuan nol secara langsung dengan

mengambil V = Vo pada r =ro


Br

1Qk

BAAB

r

1

r

1QkV

1Cr

1

QkV

E i d P t i l


25/46

4.5 Medan Potensial Sistem Muatan

Medan potensial Sistem Muatan berarti analisis

bagaimana (persamaan) potensial disekitar suatu sumbermedan listrik dimana sumber tersebut berupa sistem

muatan, yaitu jika muatan yang ada terbentuk menjadi

berbagai jenis distribusi muatan ( muatan garis, muatan

volume ataupun muatan bidang).

Prinsip dasar analisis ini adalah ; menganggap bahwa

sistem muatan merupakan kumpulan dari muatan-

muatan titik yang membentuk sistem muatan tersebut.

Sehingga potensial pada suatu titik disekitar sistem

muatan tersebut adalah merupakan resultan

(penjumlahan) dari potensial yang ditimbulkan oleh tiap-

tiap muatan.




26/46

Jadi sekiranya muatan Q1, Q2, , Qn tersusun sedemikian sehingga

membentuk suatu bangun lain ( garis, atau bidang atau volume),

maka potensial dititik sejauh tertentu dari masing-masing muatan

tersebut dituliskan menjadi ;

Dimana |r-r1|, |r-r2| |r-rn| masing-masing adalah jarak titik yang

ditinjau (yang akan diketahui potensialnya) ke posisi dimana muatan

Q1, Q2,dan Qn berada.

Secara matematis, hal ini dituliskan dengan :


nn

22

11

r-r

1Qk

r-r

1Qk

r-r

1QkV(r) ...

n

1m mm

r-r

1QkV(r)



27/46

Jika Q1, Q2, , Qn dinyatakan sebagaiunsur kecil suatu

distribusi muatan volume malar ( berbentuk Q1 = v1 dV1)

maka persamaan sebelumnya dapat dituliskan dengan :

Dan jika n adalah jumlah tak berhingga yang membentuk

suatu volume total, maka persamaan diatas menjadi

persamaan integral ;


n

nv

2

2v

1

1v

r-r

.dVk...

r-r

.dVk

r-r

.dVkV(r) n21

Volume

v

r'-r).dV'(r'kV(r)



28/46

Kalau distribusi muatan tersebut membentuk

distribusi muatan garis, maka bentuk integralpersamaan diatas menjadi ;

Juga, kalau distribusi muatan tersebut membentuk

distribusi muatan bidang, maka bentuk integralmenjadi ;


r'-r

).dL'(r'kV(r) l

Bidang

S

r'-r

).dS'(r'kV(r)



29/46

Contoh Soal

Carilah besarnya potensial V pada suatu titik yang terletak

pada sumbu Z yang ditimbulkan oleh adanya muatan garis

berbentuk cincin.

Cincin muatan tersebut terletak pada bidang z = 0, berpusat di

titik asal dan ber jari-jari ( )sebesar a meter dengan

kerapatan muatan garis l C/m.




30/46

Pembahasan

Dengan menggunakan rumusan ;

Dimana dL = a d

r = z ar

r = a a

|rr| = (a2 + z2)1/2

Diperoleh


r'-r).dL'(r'kV(r) l

22o

l

2

022

o

l

za2

a.

za4

d.a.V(r)



31/46

4.6 Gradien Potensial

Dari pembahasan terdahulu, terlihat bahwa untuk

menentukan potensial disuatu titik dapat

dilakukan dengan dua cara ;

1. Menggunakan integral garis pada persamaan

intensitas medan dimana titik tersebut berada

A

B

AB dL.EV




32/46

2. Menggunakan integral ditribusi muatan yang

menyebabkan timbulnya potensial di suatu

titik


Volume

v

r'-r

).dV'(r'kV(r)

r'-r

).dL'(r'kV(r) l

Bidang

S

r'-r

).dS'(r'kV(r)



33/46

Umumnya kedua cara tersebut secara praktis tergolong

rumit dilakukan oleh karena ;

1. Besarnya intensitas medan sangat jarang diketahui (diukur),

sehingga besarannya tidak diketahui

2. Bentuk distribusi muatan juga tidak diketahui

Jadi, harus ada metode lain yang lebih mudah, yang

menggunakan data-data atau besaran yang dapat diketahui

dan diukur lebih mudah

Metode tersebut adalah sebagai berikut :




34/46

Kita telah mengetahui hubungan :

Hubungan ini digunakan untuk mengetahui potensial V dari

pengetahuan intensitas medan E,

Tetapi ternyata dari kedua besaran tersebut diatas, besaran V lebih

mudah untuk diketahui (diukur), oleh karena itu idenya adalah

apakah dengan menggunakan hubungan sebagaimana rumus diatas,

intensitas medan dapat diperoleh dari pengetahuan akan bentuk /

besarnya V ?

Dengan operasi matematik berikut , ide itu dapat diwujudkan.

A

B

dL.EV




35/46

Bentuk lain dari persamaan :

Adalah

atau dalam bentuk lain perkalian dot

Dari persamaan ini perubahan V terhadap perubahan L

adalah

Dari bentuk persamaan yang diperoleh, maka dV/dLmaksimum ketika Cos = -1 (berlawanan dengan arahmedan E) dan bernilai minimun ketika Cos = 1 ( searah

dengan medan E)

A

B

dL.EV

L.EV


CosLEV

CosEdL

dV



36/46

Persamaan-persamaan yang diuraikan tersebut

menunjukkan bahwa :

1. Besar intensitas medan listrik E sama dengan harga

maksimum laju perubahan potensial terhadap jarak

2. Harga maksimum tersebut diperoleh pada saat arah

pertambahan jarak berlawanan dengan arah E, atau

dengan kata lain arah E berlawanan dengan arahpertambahan potensial yang terbesar.




37/46

Operasi pada V untuk mendapatkan E pada Persamaan-persamaanterdahulu disebut sebagi operasi gradien.

Operasi gradien terhdap suatu medan skalar (anggaplah T)didefinisikan sebagai ;

Denagn aN merupakan vektor satuan yang arahnya normal terhadappermukaan sepotensial, dan arah normalnya dipilh dalam arah

pertambahan harga T.

Dalam kaitannya dengan E dan V,maka hubungan ini dituliskandengan ;


NadN

dTTGradTGradien

VGrad-E Energi dan Potensial


38/46

Operasi Grad V pada koordinat cartesian dituliskan dengan ;

Dan untuk koordinat lain ;

(koord tabung)

(koord bola)


zyx az

Va

y

Va

x

VVGrad

z az

Va

V

1a

VVGrad

r a

Va

V

r

1a

r

VVGrad



39/46

Contoh Operasi Gradien

Suatu medan potensial yang dinyatakan dengan persamaan ;

V = 2x2y 5z. Juga sebuah titik pada ruang yang didentifikasi pada P(-

4, 3, 6)

a. Hitunglah nilai potensial V pada titik P

b. Hitunglah nilai E dan D pada P serta

c. Besarnya kerapatan muatan yang menghasilkan muatan potensial

tersebut




40/46

Pembahasan

Diketahui V = 2x2y 5z

Titik P pada posisi (-4, 3, 6)

Nilai potensial V pada titik P

V(P) = 2(-4)2

(3) 5(6)= 66 Volt




41/46

E pada P (-4, 3, 6);

Persamaan E = -grad V = -V


zyx az

Va

y

Va

x

VVGrad

z

2

y

2

x

2

az

5z)y(2x

ay

5z)y(2x

ax

5z)y(2x

VGrad

V/m57.9

532)48E

V/ma5a32a48E

a5ax2a4xyE

222P

zyxP

zy2

x

(



42/46

Arah E pada P (-4, 3, 6) diberikan dengan ;

g

E

EP,a

PPE

zyx

zyxE

222P

zyxP

a0.086a0,553a0,829

57.9

a5a32a48P,a

V/m57.9532)48E

V/ma5a32a48E

(



43/46

Jika dianggap medan in ada pada ruang hampa, maka

persamaan D-nya adalah

D = o E

Dan Jika nilai D ini di- divergensikan, akan diperolehbesarnya kerapatan muatan volume yang menimbulkan

besaran-besaran E dan D ini, yaitu :

g

2zy

2x pC/ma44,3ax17,71axy-35,4D

3v pC/my-35,4D.Div



44/46

4.7 Kasus DWIKUTUB (DIPOLE)

Dwi kutub listrik atau dipol adalah istilah bagi sepasang

( dua buah muatan titik yang berlawanan tanda ) yangdipisahkan oleh jarak yang sangat kecil dibandingkandengan suatu titik yang akan ditinjau besar medan Emaupun potensial Vnya yang timbul akibat adanyakedua muatan tersebut.

Kondisi seperti ini, merupakan gambaran muatan-muatan yang ada dalam beberapa bahan listrik(dielektrik)

Tinjauan sifat ini akan mendasari konsep metode santirdan memperlihatkan pentingnya konsep potensialdalam analisis medan elektromagnetik.

g



45/46

Gambaran dwikutub

(digambarkan dalam koordinatbola)

Titik yang relatif jauh P

dinyatakan dalam koordinatbola P(r,,=90o)

Titik dimana muatan +Q danQmasing-masing (0, 0, d) dan

(0, 0, - d)

g

P

+Q

-Q

R1

R2

r

y

x

z

d



46/46

Dari pelajaran yang telah lalu, bab 2 dan

bab 4), besarnya E dan V di P dapat

diketahui.

Dan, oleh karena kedua besaran

tersebut, memiliki hubungan ;

dan

maka tentu saja, jika satu besaran telah

diketahui maka besaran yang lain

dapat dicari dengan menggunakan

salah satu dari kedua hubungan

A

B

dL.EV

g

P

+Q

-Q

R1

R2r

y

x

z

d

VGrad-E

6. Energi Dan Potensial

Documents