5. Turunan

PendahuluanMetode Beda Hingga

Ekstrapolasi RichardsonTurunan Parsial

PAM 252 Metode Numerik

Bab 5 Turunan Numerik

Mahdhivan Syafwan

Jurusan Matematika FMIPA Universitas Andalas

Semester Genap 2013/2014

1 Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Turunan Numerik



PermasalahanMotivasi

Permasalahan

Bagaimana menghitung hampiran dari f ′(x)?

Bagaimana menghitung hampiran dari f ′′(x), f ′′′(x), ...f (n)(x)?

Bagaimana menghitung hampiran dari turunan parsial, misalnya∂f (x , t)/∂x?




PermasalahanMotivasi

Motivasi

Banyak sekali fenomena alam yang dimodelkan olehpersamaan matematika yang melibatkan turunan (persamaandiferensial). Contoh: ...

Untuk masalah-masalah yang lebih realistis, modelmatematika (persamaan diferensial) yang dihasilkansulit/tidak ada penyelesaian eksaknya.

Dengan demikian diperlukan pendekatan numerik untukmenyelesaikan persamaan diferensial tersebut dengan mencarihampiran turunannya terlebih dahulu.




Dasar Teori dan Konstruksi AwalJenis Beda Hingga dan RumusnyaTurunan Tingkat Tinggi

Teorema Taylor

Teorema Taylor

Misalkan n ∈ N, I = [a, b], dan f : I → R sedemikian sehingga f danturunannya f ′, f ′′, ..., f (n) kontinu pada I dan f (n+1) ada pada (a, b). Jikax̃ ∈ I , maka untuk sebarang x ∈ I terdapat titik c di antara x dan x̃

sedemikian sehingga

f (x) = f (x̃) + f ′(x̃)(x − x̃) +f ′′(x̃)

2!(x − x̃)2

+ · · ·+f (n)(x̃)

n!(x − x̃)n +

f (n+1)(c)

(n + 1)!(x − x̃)n+1. (1)

Bukti detailnya akan diberikan pada kuliah Analisis Riil.





Teorema Taylor

Pers. (1) dapat juga ditulis dengan [tunjukkan!]

f (x + h) = f (x) + hf ′(x) +h2

2!f ′′(x) + · · ·+

hn

n!f (n)(x)

+hn+1

(n + 1)!f (n+1)(x + θh), 0 < θ < 1. (2)

Untuk selanjutnya ditulis hn+1

(n+1)! f(n+1)(x + θh) = O(hn+1) dan

suku ini disebut galat pemotongan orde hn+1.

Perhatikan bahwa untuk h ≪ 1, galat O(hn+1) → 0 bilamanan → ∞





Konstruksi awal metode beda hingga

Salah satu metode yang biasa digunakan untuk menghitunghampiran turunan adalah metode beda hingga (finitedifference).

Pada metode ini, variabel domain x dipartisi atas sejumlahtitik partisi dengan lebar selang yang sama.

Misalkan x ∈ [a, b] dipartisi atas N + 1 titik partisi denganlebar selang h. Dengan demikian titik-titik partisinya adalah

xi = a+ ih, i = 0, 1, ...,N.

Dalam hal ini x0 = a dan xN = b.

Selanjutnya nilai fungsi di masing-masing titik partisi ditulisfi = f (xi ).





Ilustrasi untuk N = 6





Jenis beda hingga

Ada tiga jenis beda hingga yang biasa digunakan:

1 Beda maju (forward difference)Hampiran menggunakan informasi di titik xi dan beberapatitik di kanannya, yaitu xi+1, xi+2, ....

2 Beda mundur (back difference)Hampiran menggunakan informasi di titik xi dan beberapatitik di kirinya, yaitu ..., xi−2, xi−1.

3 Beda pusat/tengah (central difference)Hampiran menggunakan informasi di titik xi dan beberapatitik di kiri dan kanannya secara simetris (sama banyak).





Beda maju

Dari pers. (2) dapat ditulis

f (x + h) = f (x) + hf ′(x) +O(h2),

atau

f ′(x) =f (x + h)− f (x)

h+O(h).

Jadi rumus beda maju untuk f ′(x) diberikan oleh

f ′(x) ≈f (x + h)− f (x)

h,

dengan galat O(h). Dalam notasi partisi, ekspresi di atas dapatditulis

f ′i ≈fi+1 − fi

h,





Beda mundur

Dari pers. (2) dapat ditulis

f (x − h) = f (x)− hf ′(x) +O(h2),

atau

f ′(x) =f (x)− f (x − h)

h+O(h).

Jadi rumus beda mundur untuk f ′(x) diberikan oleh

f ′(x) ≈f (x)− f (x − h)

h,

dengan galat O(h). Dalam notasi partisi, ekspresi di atas dapatditulis

f ′i ≈fi − fi−1

h,





Beda pusat

Perhatikan bahwa

f (x + h) = f (x) + hf ′(x) +h2

2!f ′′(x) +O(h3),

f (x − h) = f (x)− hf ′(x) +h2

2!f ′′(x) +O(h3).

Kurangkan persamaan atas dengan persamaan bawah, diperoleh

f ′(x) =f (x + h)− f (x − h)

2h+O(h2).

Jadi rumus beda pusat untuk f ′(x) diberikan oleh

f ′(x) ≈f (x + h)− f (x − h)

2h,

dengan galat O(h2). Dalam notasi partisi, ekspresi di atas dapat ditulis

f ′i ≈fi+1 − fi−1

2h,





Catatan (1)

Dalam hal galat yang dihasilkan, beda pusat lebih baikdaripada beda maju dan beda mundur.

Namun untuk beberapa kasus tertentu (misalnya padamasalah nilai batas), beda maju atau beda mundur lebih tepatdigunakan daripada beda pusat.

Untuk memperkecil galat atau meningkatkan orde ketelitian,tambahkan deret Taylor untuk titik-titik sebelum atausesudahnya dua tingkat atau lebih, dan eliminasi suku-sukuyang sesuai.

Semakin banyak ’keterlibatan’ titik-titik sebelum dansesudahnya, semakin kecil galat yang dihasilkan. Tetapi halitu harus dibayar dengan semakin berat beban komputasi yangdibutuhkan.





Catatan (2)

Sebagai contoh, beda maju untuk f ′(x) dengan galat O(h2) dapatdiformulasi dengan menggunakan kedua persamaan

f (x + h) = f (x) + hf ′(x) +h2

2!f ′′(x) +O(h3),

f (x + 2h) = f (x) + 2hf ′(x) +4h2

2!f ′′(x) +O(h3),

dan eliminasi f ′′(x), sehingga diperoleh [tunjukkan!]

f ′(x) =−3f (x) + 4f (x + h)− f (x + 2h)

2h+O(h2).

Koefisien rumus beda hingga untuk beberapa orde ketelitian dapatdilihat di http://en.wikipedia.org/wiki/Finite difference coefficient

Ada beberapa metode alternatif untuk memformulasi hampiranturunan dengan ketelitian yang lebih tinggi tetapi dengan bebankomputasi yang lebih ringan, salah satunya adalah metode spektral(tidak dipelajari dalam kuliah ini).





Beda hingga untuk turunan tingkat tinggi

Hampiran turunan tingkat tinggi dari f (x), yaitu f ′′, f ′′′, f (4), dstdapat dicari dengan menambahkan deret Taylor untuk titik-titiksebelum atau sesudahnya dua tingkat atau lebih, danmengikutsertakan suku-suku turunan yang lebih tinggi, sertamengeliminasi suku-suku yang sesuai.

Sebagai contoh, beda pusat untuk f ′′(x) diformulasi denganmenggunakan kedua persamaan

f (x + h) = f (x) + hf ′(x) +h2

2!f ′′(x) +

h3

3!f ′′′(x) +O(h4),

f (x − h) = f (x)− hf ′(x) +h2

2!f ′′(x)−

h3

3!f ′′′(x) +O(h4),

dan eliminasi f ′(x), sehingga diperoleh [tunjukkan!]

f ′′(x) =f (x + h)− 2f (x) + f (x − h)

h2+O(h2).





Catatan (3)

Sama halnya pada turunan pertama, hampiran turunan tingkattinggi dapat ditingkatkan orde ketelitiannya dengan memperbanyak’keterlibatan’ titik-titik sebelum dan sesudahnya, namun hal itumengakibatkan semakin berat beban komputasi yang dibutuhkan(metode alternatif untuk mengatasi hal ini tidak dipelajari di kuliahini).

Secara umum, algoritma untuk membangkitkan rumus beda hingga(maju, mundur, dan pusat) untuk turunan ke-n dari f (x) dan untukorde ketelitan ke-m diberikan oleh Bengt Fornberg [Fornberg, Bengt(1988), Generation of Finite Difference Formulas on Arbitrarily

Spaced Grids, Mathematics of Computation 51 (184): 699706].Beberapa di antaranya dapat dilihat dihttp://en.wikipedia.org/wiki/Finite difference coefficient.




Motivasi dan DefinisiTeorema dan Penerapan

Ekstrapolasi Richardson - motivasi

Hampiran turunan beda pusat dengan orde O(h2) adalah

f ′(x) ≈f (x + h)− f (x − h)

2h

Hampiran turunan beda pusat dengan orde O(h4) adalah ...

Hampiran turunan beda pusat dengan orde O(h2n) adalah ...

Apakah ada cara sistematis (iteratif) untuk memperoleh rumushampiran turunan beda pusat dengan orde O(h2n) ?





Ekstrapolasi Richardson - ide

Hampiran turunan beda pusat dengan orde O(h2):

Untuk selang h adalah

f ′(x) = D0(h)−h2f ′′′(x)

6+O(h4),

dengan D0(h) =f (x+h)−f (x−h)

2h .

Untuk selang 2h adalah

f ′(x) = D0(2h)−4h2f ′′′(x)

6+O(h4),

dengan D0(2h) =f (x+2h)−f (x−2h)

4h ,

Eliminasi suku yang memuat f ′′′(x), diperoleh [tunjukkan!]

f ′(x) = D1(h) +O(h4),

dengan D1(h) =f (x−2h)−8f (x−h)+8f (x+h)−f (x+2h)

12h .





Ekstrapolasi Richardson - definisi

Perhatikan bahwa rumus D1(h) pada persamaan sebelumnyasama persis dengan rumus hampiran turunan beda pusat ordeO(h4) yang diperoleh dari deret Taylor. [periksa!]

Metode untuk memperoleh rumus hampiran turunan denganorde yang lebih tinggi dari hampiran dengan orde yang lebihrendah disebut dengan ekstrapolasi.

Metode tersebut dikembangkan oleh Lewis Fry Richardson diawal abad 20, sehingga metode tersebut kemudian dikenaldengan ekstrapolasi Richardson





Ekstrapolasi Richardson - teorema

Teorema Ekstrapolasi Richardson

Misalkan Dk−1(h) dan Dk−1(2h) adalah dua hampiran untuk f ′(x)dengan orde O(h2k ), yaitu

f ′(x) = Dk−1(h) + h2kC (x) +O(h2k+2),

f ′(x) = Dk−1(2h) + 4kh2kC (x) +O(h2k+2).

Maka perbaikan dari hampiran f ′(x) diberikan oleh

f ′(x) = Dk(h) +O(h2k+2) =4kDk−1(h) − Dk−1(2h)

4k − 1+O(h2k+2). (3)

Perhatikan bahwa rumus (3) melibatkan nilai fungsi pada selang yang

semakin menjauh dari x , yaitu menggunakan hampiran pada selang h dan

2h.





Ekstrapolasi Richardson - memperhalus selang partisi

Rumus (3) dapat dimodifikasi dengan memperhalus selang.

Perhalus selang h menjadi h/2, sehingga diperoleh[tunjukkan!]

Dk(h/2) = Dk−1(h/2) +Dk−1(h/2)− Dk−1(h)

4k − 1.

Perhalus selang h/2 menjadi (h/2)/2 = h/22, sehinggadiperoleh

Dk(h/22) = Dk−1(h/2

2) +Dk−1(h/2

2)− Dk−1(h/2)

4k − 1.

Lakukan sampai selang menjadi h/2j , sehingga diperoleh

Dk(h/2j ) = Dk−1(h/2

j ) +Dk−1(h/2

j )− Dk−1(h/2j−1)

4k − 1.





Ekstrapolasi Richardson - penerapan

Dalam notasi indeks, persamaan terakhir dapat ditulis

D(j , k) = D(j , k − 1) +D(j , k − 1)− D(j − 1, k − 1)

4k − 1,

dimana k terkait dengan orde dan j terkait dengan lebar selang.

Jadi, untuk menghitung f ′(x) dengan ekstrapolasi Richardson,mulai dengan lebar selang h kemudian diperhalus menjadisetengahnya, dan seterusnya. Turunan diperoleh pada saat j = k .

Nilai-nilai D(j , k) dapat disusun dalam bentuk matriks segitigabawah:

D(0, 0)D(1, 0) D(1, 1)D(2, 0) D(2, 1) D(2, 2)

......

.... . .

Algoritma?





Ekstrapolasi Richardson - algoritma





Ekstrapolasi Richardson - contoh




Turunan Parsial PertamaTurunan Parsial Kedua (Campuran)

Turunan parsial pertama

Turunan parsial pertama dapat dihitung secara numerikdengan menggunakan metode beda hingga dengan cara yangserupa dengan perhitungan pada turunan biasa.

Misalkan kita ingin menentukan turunan parsial pertamauntuk fungsi dua variabel f (x , y). Dengan menggunakan bedapusat, diperoleh

∂f

∂x≈

f (x +∆x , y)− f (x −∆x , y)

2∆x,

∂f

∂y≈

f (x , y +∆y)− f (x , y −∆y)

2∆y.





Turunan parsial kedua (campuran)

Misalkan kita ingin menentukan turunan parsial dari f (x , y)terhadap x dan y , yaitu

∂2f

∂x∂y=

∂

∂x

(

∂f

∂y

)

.

Bentuk terlebih dahulu ekspresi beda hingga (dalam hal ini bedapusat) untuk turunan parsial terhadap x dari turunan parsialterhadap y , yaitu

∂2f

∂x∂y≈

∂f∂y

(x +∆x , y)− ∂f∂y

f (x −∆x , y)

2∆x.

Selanjutnya turunan parsial ∂f∂y(x ±∆x , y) dapat diaproksimasi oleh

∂f

∂y(x ±∆x , y) ≈

f (x ±∆x , y +∆y)− f (x ±∆x , y −∆y)

2∆y.

Jadi ∂2f

∂x∂y≈ · · ·





Contoh

Hitunglah ∂f /∂x , ∂f /∂y , dan ∂2f /∂x∂y untuk fungsi berikut dix = y = 1 secara (a) analitik, dan (b) numerik dengan∆x = ∆y = 0, 0001.

f (x , y) = 3xy + 3x − x3 − 3y3.


5. Turunan

Documents