Ringkasan Materi dan Soal-soal Matematika Kelas XI IPA Semester 2 Penyusun : Tri Rusdiyono, S.Pd. http://berbagimedia.wordpress.com D E F I N I S I Jika diketahui fungsi x f y , maka turunan fungsi x f dilambangkan dengan x f ' , atau ' y , atau x d y d , atau x d f d , didefinisikan sebagai berikut : h x f h x f x f h 0 lim ' Tentukan turunan dari fungsi berikut ini dengan menggunakan definisi turunan fungsi : 1. 2 5 x x f 2. 7 8 4 2 x x x f 1. 2 5 x x f dan 2 5 5 2 5 h x h x h x f 5 5 lim 2 5 2 5 5 lim lim ' 0 0 0 h h h x h x h x f h x f x f h h h Jadi : 5 ' x f 2. 7 8 4 2 x x x f dan 7 8 8 2 2 2 4 7 8 2 4 h x h hx x h x h x h x f 7 8 8 4 8 4 2 2 h x h hx x h x x h x h hx x h x f h x f x f h h 7 8 4 7 8 8 4 8 4 lim lim ' 2 2 2 0 0 8 8 8 0 . 4 8 8 4 8 lim 8 4 8 lim 8 4 8 lim 0 0 2 0 x x h x h h x h h h h hx h h h Jadi : 8 8 ' x x f
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
Ringkasan Materi dan Soal-soal Matematika Kelas XI IPA Semester 2
Penyusun : Tri Rusdiyono, S.Pd.
http://berbagimedia.wordpress.com
D E F I N I S I
Jika diketahui fungsi xfy , maka turunan fungsi xf dilambangkan dengan xf ' , atau
'y , atau xd
yd , atau
xd
fd , didefinisikan sebagai berikut :
h
xfhxfxf
h
0lim'
Tentukan turunan dari fungsi berikut ini dengan menggunakan definisi turunan fungsi :
1. 25 xxf 2. 784 2 xxxf
1. 25 xxf dan 25525 hxhxhxf
55
lim25255
limlim'000
h
h
h
xhx
h
xfhxfxf
hhh
Jadi : 5' xf
2. 784 2 xxxf dan 7882224782
4
hxhhxxhxhxhxf
788484 22 hxhhxx
h
xxhxhhxx
h
xfhxfxf
hh
784788484limlim'
222
00
8880.48848lim848
lim848
lim00
2
0
xxhx
h
hxh
h
hhhx
hhh
Jadi : 88' xxf
Ringkasan Materi dan Soal-soal Matematika Kelas XI IPA Semester 2
Penyusun : Tri Rusdiyono, S.Pd.
http://berbagimedia.wordpress.com
Tentukan turunan dari fungsi berikut ini dengan menggunakan definisi turunan fungsi :
1. 1412 xxf
2. xxf 36
3. 163 2 xxxf
4. 25216 xxxf
A . TEOREMA-TEOREMA TURUNAN FUNGSI Teorema I :
Jika xf = C , maka xf ' = 0 .
Teorema II :
Jika xf = x , maka xf ' = 1 .
Teorema III :
Jika nxaxf , dengan a dan n bilangan riil , maka 1' nxnaxf
Teorema IV :
Jika xvxuxf , maka xvxuxf '''
Tentukan turunan fungsi-fungsi berikut ini :
1. 1000xf
2. 83 xxf
3. xxf
4. 56
1
xxf
5. 3
1
xxf
6. 43
2
xxf
7. 123105 24 xxxxf
8. 532 2 xxxf
9. x
xxxf
152
10. 246 xxf
Ringkasan Materi dan Soal-soal Matematika Kelas XI IPA Semester 2
Ringkasan Materi dan Soal-soal Matematika Kelas XI IPA Semester 2
Penyusun : Tri Rusdiyono, S.Pd.
http://berbagimedia.wordpress.com
Tentukan turunan dari fungsi-fungsi berikut :
1. xxxf sin31cos2
2. xxxf 2sin.3cos
3. xx
xxf
cossin
sin
4. xx
xxxf
cossin
cossin
5. xxxf tan.3sin
6. xxf 3cos
7. xxxf cos.sin2
8. 3 2sin xxf
B . TURUNAN KEDUA SUATU FUNGSI Jika diketahui fungsi xfy , dan turunan pertama fungsi xf dilambangkan dengan
xf ' , atau 'y , atau xd
yd , atau
xd
fd , maka turunan kedua fungsi xf dilambangkan
dengan xf '' , atau ''y , atau 2
2
xd
yd , atau
2
2
xd
fd .
Tentukan turunan kedua dari fungsi-fungsi berikut :
1. 1041287 2345 xxxxxxf
2. 84
6
x
xxf
3. 82 12 xxf
4. xxxf 2cos.sin2
1. 1041287 2345 xxxxxxf
42433235' 234 xxxxxf
24696140'' 23 xxxxf
2. 84
6
x
xxf
646416
32
646416
24484
84
6484.1'
222
xxxx
xx
x
xxxf
2222
2
646416
20481024
646416
32.6432646416.0''
xx
x
xx
xxxxf
3. 82 12 xxf
7272 12324.128' xxxxxf
622726272 12896123232.4.1271232'' xxxxxxxxf
3296012896326412896123212 26222622262 xxxxxxxx
4. xxxf 2cos.sin2
xxxxxxxxxf 232 sin.cos4cos2sin2sin.cos2cos.cos2'
xxxxxxxxf cos.sin2.cos4sin.sin4sin.cos3.2'' 22
xxxxxxf sincos8sin4cossin6'' 232
Ringkasan Materi dan Soal-soal Matematika Kelas XI IPA Semester 2
Penyusun : Tri Rusdiyono, S.Pd.
http://berbagimedia.wordpress.com
Tentukan turunan kedua dari fungsi berikut :
1. 3 2xxf
2. 14416485 234 xxxxxf
3. xxxxf 12326 2
4. 63
4
xxf
5. 123 97 xxf
6. xxf 3sin
7. xxxf sin12
8. xxxf cos.sin4
9. x
xxxf
sin
cos
10. 12cos 23 xxf
Ringkasan Materi dan Soal-soal Matematika Kelas XI IPA Semester 2
Penyusun : Tri Rusdiyono, S.Pd.
http://berbagimedia.wordpress.com
O
PENERAPAN TURUNAN FUNGSI
C . TAFSIRAN GEOMETRIS DARI TURUNAN FUNGSI
Diketahui titik xfxA , dan titik hxfhxB , terletak pada kurva fungsi xf .
Gradien dari garis AB adalah
h
xfhxfmAB
.
Jika nilai h bertambah kecil , maka titik B bergerak mendekati titik A sepanjang kurva fungsi
xf .
Jika nilai h mendekati nol , maka titik B akan berimpit dengan titik A , akibatnya garis AB
menjadi garis singgung pada kurva fungsi xf di titik A , dan gradien garis AB berubah
menjadi gradien garis singgung pada kurva fungsi xf di titik A .
Jadi gradien garis singgung pada kurva fungsi xf adalah :
xf
h
xfhxfm
h'lim
0
1. Tentukan persamaan garis singgung pada kurva fungsi 10123 4 xxxfy yang
melalui titik ( 1 , 5 )
2. Tentukan persamaan garis singgung pada kurva fungsi 32 684 xxxfy di titik
dengan absis 2 3. Tentukan koordinat titik singgung dari garis 492 yx , yang menyinggung kurva
fungsi 1304 xxy
1. 10123 4 xxxfy maka 1212' 3 xym
untuk 1x :
241231.12 m
Persamaan garis singgung melalui titik ( 1 , 5 ) dan bergradien 24 adalah :
1924124511 xyxyxxmyy
2. 32 684 xxxfy maka 21816' xxym
untuk 2x :
4072322.182.16 2 m
12483242.62.842 32 fy jadi titik singgungnya ( 2 , 5 )
Ringkasan Materi dan Soal-soal Matematika Kelas XI IPA Semester 2
Penyusun : Tri Rusdiyono, S.Pd.
http://berbagimedia.wordpress.com
Persamaan garis singgung melalui titik ( 1 , 5 ) dan bergradien 24 adalah :
1924124511 xyxyxxmyy
3. Gradien garis 492 yx adalah 2m
Dari 1304 xxy , maka 3034' xym
Jadi 23034' xym , maka 28324 33 xxx
Untuk 2x , 451601612.3024
y
Jadi titik singgungnya adalah ( 2 , 45 ).
1. Tentukan persamaan garis singgung pada fungsi berikut :
a. 2542 23 xxxy , melalui titik ( 2 ,9 )
b. 10812 4 xxy , melalui titik ( 1 , 6 )
c. 1326 23 xxy , melalui titik ( 1 , 5 )
d. 12
18
xy , melalui titik ( 5 , 2 )
e. xy , melalui titik ( 16 , 4 )
2. Tentukan persamaan garis singgung pada fungsi berikut :
a. 864 2 xxy di titik dengan absis 3 .
b. 152 23 xxxy di titik dengan absis 4 .
c. 245 23 xxy di titik dengan absis 1 .
d. 423 xxy di titik dengan absis 2 .
e. 136 234 xxxxy di titik dengan absis 1.
3. Tentukan koordinat titik singgung dari garis pada kurva berikut :
a. 12946 xy pada kurva fungsi 123 xxy
b. 284 xy pada kurva fungsi 4052 23 xxy
c. 10033 xy pada kurva fungsi 103 234 xxxy
d. 16048 xy pada kurva fungsi 43 64 xxy
Ringkasan Materi dan Soal-soal Matematika Kelas XI IPA Semester 2
Penyusun : Tri Rusdiyono, S.Pd.
http://berbagimedia.wordpress.com
+ − +
−6 8 x
D . FUNGSI NAIK DAN FUNGSI TURUN
Fungsi xfy naik pada interval bxa
dan dxc . Pada interval tersebut gradien garis
singgung pada kurva bergradien positif, jadi
0' xfm .
Fungsi xfy turun pada interval bxa .
Pada interval tersebut gradien garis singgung pada
kurva bergradien negatif, jadi 0' xfm .
Untuk bx dan cx gradien garis singgung bernilai nol, dikatakan fungsi memiliki nilai
stasioner. Jadi syarat stasioner suatu fungsi adalah 0' xfm
Kesimpulan :
Diketahui fungsi xf :
1. Fungsi xf naik pada suatu interval jika 0' xf pada interval tersebut.
2. Fungsi xf turun pada suatu interval jika 0' xf pada interval tersebut.
3. Fungsi xf mempunyai titik stasioner untuk 0' xf .
Tentukan interval di mana fungsi berikut naik atau turun :
1. 461443 23 xxxxf 2. 8072154 23 xxxxf
1. 461443 23 xxxxf
Syarat stasioner 0' xf
04823
014463014463' 2
22
xx
xxxxxf
6atau806804822 xxxxxx
Untuk 7x : 45144421471447.67.37'2
f
Untuk 0x : 1441440.60.30' 2 f
Untuk 9x : 45144542431449.69.39' 2 f
Kesimpulan :
Fungsi xf naik pada interval 6x dan 8x .
Fungsi xf turun pada interval 86 x .
2. 8072154 23 xxxxf
Syarat stasioner 0' xf
0723012' 2 xxxf
6
0723012 2
xx
01252 2 xx
0432 xx
4atau2
3 xx
x
Ringkasan Materi dan Soal-soal Matematika Kelas XI IPA Semester 2
Penyusun : Tri Rusdiyono, S.Pd.
http://berbagimedia.wordpress.com
− + −
− 4 x
Untuk 2x : 36726048722.302.12'2
xf
Untuk 0x : 72720.300.120' 2 f
Untuk 5x : 7872150300725.305.12' 2 xf
Kesimpulan :
Fungsi xf naik pada interval 42
3 x
Fungsi xf turun pada interval 2
3x dan 4x .
Tentukan interval di mana fungsi berikut naik atau turun :
1. 385 23 xxxxf
2. 5723 xxxxf
3. 133 23 xxxxf
4. 493 23 xxxxf
5. 9156 23 xxxxf
6. 1198 23 xxxxf
7. 6202 23 xxxxf
8. 1164 234 xxxxf
9. 234 882 xxxxf
10. 34 86 xxxf
Ringkasan Materi dan Soal-soal Matematika Kelas XI IPA Semester 2
Penyusun : Tri Rusdiyono, S.Pd.
http://berbagimedia.wordpress.com
x
E . TITIK STASIONER DAN JENISNYA Titik stasioner pada fungsi xf diperoleh untuk ax jika 0' af .
Koordinat dari titik stasioner tersebut adalah : afa , .
Jenis dari titik-titik stasioner tersebut ada beberapa macam , yaitu : 1. Titik Balik Maksimum
Fungsi xf mempunyai titik balik maksimum untuk ax jika :
0' xf , untuk ax
0' xf , untuk ax
0' xf , untuk ax
Koordinat dari titik balik maksimum tersebut adalah : afa ,
.
2. Titik Balik Minimum
Fungsi xf mempunyai titik balik minimum untuk ax jika :
0' xf , untuk ax
0' xf , untuk ax
0' xf , untuk ax
Koordinat dari titik balik minimum tersebut adalah : afa , .
3. Titik Belok
Fungsi xf mempunyai titik belok untuk ax jika :
0' xf , untuk ax
0' xf , untuk ax
0' xf , untuk ax
Atau :
0' xf , untuk ax
0' xf , untuk ax
0' xf , untuk ax
Koordinat dari titik belok tersebut adalah : afa , .
Cara di atas dipakai untuk menentukan jenis titik stasioner dengan menggunakan Uji Turunan Pertama.
x
x
Ringkasan Materi dan Soal-soal Matematika Kelas XI IPA Semester 2
Penyusun : Tri Rusdiyono, S.Pd.
http://berbagimedia.wordpress.com
0 3 x
− − +
Selain cara uji turunan pertama , jenis titik stasioner dapat juga ditentukan dengan cara Uji Turunan Kedua sebagai berikut :
Diketahui fungsi xf . Fungsi xf mempunyai titik stasioner di ax ,maka jenisnya adalah :
1. titik balik maksimum , jika 0'' af
2. titik balik minimum , jika 0'' af
3. jika 0'' af , maka jenisnya tidak dapat ditentukan dengan pasti , untuk menentukan
jenisnya kembali dipakai uji turunan pertama. Tetapi jika xf fungsi sukubanyak akan
diperoleh titik belok. 1. Tentukan koordinat titik stasioner dan jenisnya dari fungsi berikut ini, dengan uji turunan
pertama :
a. 2010892 23 xxxxf b. 34 123 xxxf
2. Tentukan koordinat titik stasioner dan jenisnya dari fungsi 648428 23 xxxxf , dengan
uji turunan kedua !
1 a. 2010892 23 xxxxf
Syarat stasioner 0' xf
0108186' 2 xxxf
03601836
0108186 22
xxxxxx
3atau6 xx
Untuk 4x : 6010872961084.184.64'2
f
Untuk 0x : 1081080.180.60' 2 f
Untuk 7x : 601081262941087.187.67' 2 f
Jadi , Untuk 3x diperoleh titik balik maksimum .
169203248154203.1083.93.2323
f
Koordinat titik balik maksimumnya adalah : 169,3
Untuk 6x diperoleh titik balik minimum .
56020648324432206.1086.96.26 23 f
Koordinat titik balik minimumnya adalah : 560,6
b. 34 123 xxxf
Syarat stasioner 0' xf
03612' 23 xxxf
3atau0031203612 223 xxxxxx
Untuk 1x : 4836121.361.121'23
f
Untuk 1x : 2436121.361.121' 23 f
Untuk 4x : 2472961084.184.64' 2 f
−3 6 x
+ − +
Ringkasan Materi dan Soal-soal Matematika Kelas XI IPA Semester 2
Penyusun : Tri Rusdiyono, S.Pd.
http://berbagimedia.wordpress.com
Jadi , Untuk 0x diperoleh titik belok .
00.120.30 34 f
Koordinat titik beloknya adalah : 0,0
Untuk 3x diperoleh titik balik minimum .
813242433.123.33 34 f
Koordinat titik balik minimumnya adalah : 81,3
2. 648428 23 xxxxf
Syarat stasioner 0' xf
0488424' 2 xxxf
0412047212
0488424 22
xxxxxx
4atau2
1 xx
8448'' xxf
Untuk 2
1x : 0108842484
2
1.48
2
1''
f
Jadi , untuk 2
1x diperoleh titik balik minimum .
6244
2116
2
1.48
4
1.42
8
1.86
2
148
2
142
2
18
2
123
f
4
311
4
1517
Koordinat titik balik minimum :
4
311,
2
1
Untuk 4x : 010884192844.484'' f
Jadi , untuk 4x diperoleh titik balik maksimum .
3586192672512644844248423
f
Koordinat titik balik maksimum : 358,4
Tentukan koordinat titik stasioner dan jenisnya dari fungsi-fungsi berikut :
1. 12159 23 xxxy
2. 2002712 23 xxxy
3. 16453 23 xxxy
4. 2646012 23 xxxy
5. 82114 23 xxxy
6. 30243 23 xxxy
7. 234 108 xxxy
8. 34 4xxy
Ringkasan Materi dan Soal-soal Matematika Kelas XI IPA Semester 2
Penyusun : Tri Rusdiyono, S.Pd.
http://berbagimedia.wordpress.com
2 4 x
+ − +
F . MENGGAMBAR GRAFIK FUNGSI ALJABAR
Langkah-langkah menggambar grafik fungsi xfy , adalah sebagai berikut :
1. Menentukan koordinat titik potong dengan sumbu-sumbu koordinat , yaitu : Koordinat titik potong dengan sumbu x , diperoleh jika y = 0. Koordinat titik potong dengan sumbu y , diperoleh jika x = 0
2. Menentukan letak titik stasioner, dengan syarat 0' xf .
3. Menentukan interval dimana fungsi xfy naik atau turun .
4. Menentukan koordinat titik stasioner dan jenisnya. 5. Menghubungkan titik-titik didapat , sehingga diperoleh suatu kurva mulus. Gambarlah sketsa grafik fungsi berikut :
1. 18249 23 xxxy 2. 34 4xxy
1. 18249 23 xxxy
Titik potong dengan sumbu x jika y = 0 :
018249 23 xxx
0)66)(6( 2 xxx
33atau33atau6 xxx
Jadi, titik potong dengan sumbu x adalah : ( 6 , 0 ) , )0,33( , dan )0,33(
Titik potong dengan sumbu y jika x = 0 :
18180.240.90 23 y , titik potongnya ( 0 , −18 )
Syarat stasioner 0' xf
024183' 2 xxy
6
024183 2
xx
0462 xx
042 xx
4atau2 xx
Untuk 0x : 24240.180.3' 2 y
Untuk 3x :
3245427243.183.3' 2 y
Untuk 5x : 9249075245.185.3' 2 y
Jadi fungsi xf naik pada interval 2x atau 4x
fungsi xf turun pada interval 42 x
Koordinat titik stasioner dan jenisnya : Untuk 2x diperoleh titik balik maksimum :
21848368182.242.92 23 y
Koordinat titik balik maksimum ( 2 , 2 ). Untuk 4x diperoleh titik balik minimum :
2189614464184.244.94 23 y
Koordinat titik balik minimum ( 4 , −2 ).
−18
O
y
x
2
−2
4
2
Ringkasan Materi dan Soal-soal Matematika Kelas XI IPA Semester 2
Penyusun : Tri Rusdiyono, S.Pd.
http://berbagimedia.wordpress.com
0 3 x
− − +
2. 34 4xxy
Titik potong dengan sumbu x jika y = 0 :
04 34 xx
4atau00404 334 xxxxxx
Titik potong dengan sumbu x adalah ( 0 , 0 ) dan ( 4 , 0 ) Titik potong dengan sumbu y jika x = 0 :
00.40 34 y , titik potongnya ( 0 , 0 )
Syarat stasioner 0' xf
23 124' xxy
3atau00340124 223 xxxxxx
Untuk 1x : 161241.121.4'23
y
Untuk 1x : 81241.121.4' 23 y
Untuk 4x : 641922564.124.4' 23 y
Jadi fungsi xf naik pada interval 3x
fungsi xf turun pada interval 0x atau 30 x
Koordinat titik stasioner dan jenisnya : Untuk 0x diperoleh titik belok :
00.40 34 y
Koordinat titik belok ( 0 , 0 ). Untuk 3x diperoleh titik balik minimum :
27108813.43 34 y
Koordinat titik balik minimum ( 3 , −27 ).
Gambarlah grafik fungsi berikut :
1. 196 23 xxxy
2. 344 23 xxxy
3. 5126 23 xxxy
4. xxxy 12123 34
5. 34 4xxy
6. 234 64 xxxy
y
x O
3
−27
Ringkasan Materi dan Soal-soal Matematika Kelas XI IPA Semester 2
Penyusun : Tri Rusdiyono, S.Pd.
http://berbagimedia.wordpress.com
x
G . NILAI MAKSIMUM DAN MINIMUM FUNGSI DALAM INTERVAL TERTUTUP
Diketahui fungsi xf kontinyu pada interval exa , dengan x .
Perhatikan gambar ! . Di antara nilai af , bf , cf , df , dan ef , yang terbesar adalah nilai
df dan yang terkecil adalah nilai ef . Maka nilai df menjadi nilai maksimum fungsi xf
pada interval exa , dan ef menjadi nilai minimum fungsi xf pada interval exa .
Langkah-langkah untuk menentukan nilai maksimum dan minimum fungsi xf pada interval
sxr
adalah sebagai berikut :
1. Tentukan letak titik stasioner dari fungsi xf pada interval sxr ( jika ada ).
2. Hitunglah nilai titik stasioner dari fungsi xf pada interval sxr .
3. Hitunglah nilai fungsi pada ujung-ujung interval . 4. Bandingkan nilai fungsi pada titik stasioner dan ujung interval. Pilih yang terbesar menjadi
nilai maksimum , dan yang terkecil menjadi nilai minimum .
Tentukan nilai maksimum dan minimum dari fungsi 21806 23 xxxxf pada interval
1510 x
Diketahui 21806 23 xxxxf pada interval 1510 x
Syarat stasioner 0' xf , 0180123' 2 xxxf
10atau6010606043
0180123 22
xxxxxxxx
Nilai-nilai fungsi pada titik stasioner :
6502108021621626.1806.66623
f
1398218006001000210.18010.61010 23 f
Nilai-nilai fungsi pada ujung-ujung interval :
518210806001000210.18010.6101023
f
6732270013503375215.18015.61515 23 f
Kesimpulan : Nilai maksimum= 650 Nilai minimum = −1398
Ringkasan Materi dan Soal-soal Matematika Kelas XI IPA Semester 2
Penyusun : Tri Rusdiyono, S.Pd.
http://berbagimedia.wordpress.com
Tentukan nilai maksimum dan nilai minimum dari fungsi berikut pada interval yang ditentukan :
1. 435 23 xxxy , pada interval 82 x
2. 842 23 xxxy , pada interval 26 x
3. 1093 23 xxxy , pada interval 35 x
4. 83315 23 xxxy , pada interval 51 x
5. 12366 23 xxxy , pada interval 18 x
6. 234 3 xxxy , pada interval 14 x
7. 34 82 xxy , pada interval 15 x
8. 34 43 xxy , pada interval 62 x
H . SOAL-SOAL NILAI MAKSIMUM DAN MINIMUM FUNGSI Salah satu penerapan dari turunan fungsi adalah untuk menyelesaikan permasalahan yang berhubungan dengan nilai maksimum dan minimum suatu fungsi pada interval tertutup. Langkah-langkah menentukan penyelesaian dari permasalahan tersebut adalah sebagai berikut : 1. Susun model matematika dari permasalahan. 2. Tentukan penyelesaian model. 3. Interpretasikan hasil dari penyelesaian model pada permasalahan semula. 1. Suatu perusahaan minuman ringan akan memasarkan hasil produksi pabriknya dengan
menggunakan kaleng berbentuk tabung silinder. Volume silinder tersebut adalah 16 dm 3. Untuk menghemat bahan, tentukan panjang jari-jari alas dan tinggi tabung tersebut
sedemikian hingga luas permukaan tabung tersebut minimum ! Hitunglah juga luas minimum yang diperoleh ! 2.
Perhatikan gambar ! Tentukan luas maksimum segiempat yang diarsir, jika diketahui panjang AB = 12 cm dan BC = 8 cm
1. Misal : V = volume silinder L = luas permukaan silinder r = jari-jari alas silinder t = tinggi silinder Hubungan antar variabel :
162 trV …………… 1 )
222 rtrL …………… 2 )
Dari 1 ) 2
16
rt
, substitusikan ke persamaan 2 ) , diperoleh :
2122
2
2 232232
216
222 rrrr
rr
rrtrL
r
t
H
G E
F
x
x
x
x
D C
B A
Ringkasan Materi dan Soal-soal Matematika Kelas XI IPA Semester 2
Penyusun : Tri Rusdiyono, S.Pd.
http://berbagimedia.wordpress.com
12 − x
12 − x
8 − x
8 − x
H
G E
F
x
x
x
x
D C
B A
Syarat stasioner 0' L :
0432' 2 rrL
3
33
2
2 283244
320432
rrrr
rrr
Untuk 3
2
r diperoleh
3
3
2
2
3
2
4
4
16
2
1616
rt
Jadi , luas minimum yang diperoleh adalah :
33 23 23 2
2
333
2 242481622
4.
2.222
rtrL dm2 , diperoleh
jika panjang jari-jari lingkaran alas 3
2
r dm dan tinggi tabung
3
4
t dm
2. Luas segiempat yang diarsir adalah : L = LABCD − LAFE − LFBG − LGCH − LHDE
L = xxxxxxxx .2
1128
2
1.
2
1128
2
18.12
= 222222 22020969620969612896 xxxxxxxxxxx
Syarat stasioner 0' L .
50420' xxL
Jadi luas maksimum diperoleh jika 5x cm , luas maksimum tersebut sama dengan :
50501005.25.20220 22 xxL cm 2
1. Jumlah dua buah bilangan adalah 16. Tentukan hasil kali maksimum dari kedua bilangan tersebut ! 2. Tinggi dari sebuah roket ( dalam meter )setelah diluncurkan selama t sekon dapat
dinyatakan dengan fungsi : 20082 2 ttth .
a. Tentukan waktu t pada saat roket mencapai tinggi maksimum ! b. Hitunglah tinggi maksimum yang dapat dicapai oleh roket tersebut ! 3. Perhatikan gambar berikut :
Panjang sisi-sisi dari persegi ABCD samadengan 4 cm. PR = AP = x cm.
Tentukan luas maksimum dari segitiga PBR , dan tentukan juga nilai x yang menghasilkan nilai maksimum tersebut .
E
B A
x
P
C D R x
Ringkasan Materi dan Soal-soal Matematika Kelas XI IPA Semester 2
Penyusun : Tri Rusdiyono, S.Pd.
http://berbagimedia.wordpress.com
4. Seorang peternak akan membuat lokasi peternakan domba. Lokasi peternakan tersebut
terletak di samping tembok dan berbentuk empat persegi panjang . Bahan-bahan yang tersedia dapat dipakai untuk membuat pagar sepanjang 100 m. Tentukan ukuran peternakan yang dibuat sehingga diperoleh luas peternakan maksimum.
I . ATURAN L’HOPITAL UNTUK MENGHITUNG LIMIT FUNGSI Aturan L’Hopital adalah suatu cara untuk menghitung nilai limit dari suatu fungsi.
Jika diketahui xg
xf
axlim dan jika
0
0
ag
af , maka
xg
xf
xg
xf
axax '
'limlim
.
Tentukan limit fungsi berikut dengan menggunakan aturan L’Hopital :
1. 20
4013lim
2
2
5
xx
xx
x 2.
x
xx
x cos1
sinlim
3
0
1. 20
4013lim
2
2
5
xx
xx
x
Untuk 5x , 0
0
20525
406525
2055
405.135
2
2
Menggunakan teorema L’Hopital :
3
1
9
3
110
1310
15.2
135.2
12
132lim
20
4013lim
52
2
5
x
x
xx
xx
xx
2. x
xx
x cos1
sinlim
3
0 , Untuk 0x ,
0
0
0cos1
0sin03
Menggunakan teorema L’Hopital :
x
xxxx
x
xx
xx sin
cossin3lim
cos1
sinlim
32
0
3
0
Untuk 0x , 0
0
0sin
0cos00sin0.3 32
Kembali menggunakan teorema L’Hopital :
x
xxxxxxxx
x
xxxx
xx cos
sincos3cos3sin6lim
sin
cossin3lim
322
0
32
0
Untuk 0x , 01
0
0cos
0sin00cos0.30cos0.30sin0.6 322
Jadi : 0cos1
sinlim
3
0
x
xx
x
Ringkasan Materi dan Soal-soal Matematika Kelas XI IPA Semester 2
Penyusun : Tri Rusdiyono, S.Pd.
http://berbagimedia.wordpress.com
Tentukan limit-limit fungsi berikut ini, dengan menggunakan aturan L’Hopital :