2. Koefisien Binomial

7/30/2019 2. Koefisien Binomial

1/13

Page 1 of13

Modul Mengajar PS S-2 Pendidikan Matematika

Hari Kedua:

Koefisien Binomial

Syamsul Rizal

Koefisien Binomial dan Segitiga Pascal

Perhatikan segi tiga Pascal di bawah ini.

(x+y)0 = 1 Koefisien-koefisien 1(x+y)1 = x + y 1 1

(x+y)2

= x2

+ 2xy + y2

1 2 1(x+y)3 = x3+3x2y + 3xy2+y3 1 3 3 1(x+y)4 = x4 + 4x3y + 6x2y2+4xy3+y4 1 4 6 4 1

Terlihat bahwa koefisien-koefisien di atas dapat ditentukan berdasarkan atas koefisien binomial

().

Untuk menjelaskan konsep ini kita melihat dahulu contoh di bawah ini.

(x + y)3.= (x + y)(x + y)(x + y) = (xx +xy + yx + yy)(x + y)

= xxx +xxy +xyx +xyy + yxx + yxy + yyx + yyy= x3 + 3x2 y + 3xy2 + y3.

Tampak bahwa hasil pada baris terakhir koefisen-koefisiennya adalah 1, 3, 3 dan 1.

Perluasan (x + y)3

dapat diselesaikan dengan menggunakan penalaran kombinatorial bukan mengalikan

ketiga suku. Ketika (x + y)3

= (x + y) (x + y) (x + y) diperluas, semua perkalian dari suku dalam jumlah

pertama, suku dalam jumlah kedua, dan suku dalam jumlah ketiga ditambahkan. Suku-suku bentuk x3,

x2y, XY

2, dan y

3timbul. Untuk mendapatkan suku dari bentuk x

3, x harus dipilih di setiap dari jumlah, dan

ini dapat dilakukan hanya dengan satu cara. Dengan demikian, x3

suku dalam perkalian tersebut

memiliki koefisien 1. Untuk mendapatkan suku dari bentuk x2y, x harus dipilih dalam dua dari tiga jumlah

(dan akibatnya y dalam jumlah lainnya). Oleh karena itu, jumlah suku tersebut adalah jumlah2-kombinasi tiga objek, yaitu (). Demikian pula, jumlah segi bentuk XY

2adalah sejumlah cara untuk

memilih satu dari tiga jumlah untuk mendapatkan x (dan akibatnya mengambil y dari masing-masing dua

jumlah lainnya). Hal ini dapat dilakukan dalam () cara. Akhirnya, satu-satunya cara untuk memperolehsuku y

3adalah memilih y untuk masing-masing tiga jumlah dalam produk, dan ini dapat dilakukan dalam

hanya satu cara.

7/30/2019 2. Koefisien Binomial

2/13

Page 2 of13

THE BINOMIAL THEOREM Let x and y be variables, and let n be a nonnegativeinteger. Then(x + y)n = t ( ) xn-jyj

Teorama 1 (Teorema Binomial) Misalkan x dan y adalah variabel-variabel, dan n bilangan nonnegatifsuatu integer. Maka

Contoh:

Gunakan Teorema binomial untuk menyelesaikan soal berikut

(x + y)4= .

Berapakah koefisien x12y13 dari ekspansi/penguraian (x + y)25?

Jawab: Dari Teorema Binomial, koefisiennya dapat ditentukan dengan cara:

Contoh : Berapakah koefisien x14y16 dari ekspansi/penguraian (x + y)30?Jawab:

7/30/2019 2. Koefisien Binomial

3/13

Page 3 of13

Contoh:Berapakah koefisien x12y13 dari ekspansi/penguraian (2x - 3y)25?

Solusi: Pertama, perhatikan bahwa ungkapan ini sama dengan (2x + (-3y))25

. Pada Teorema Binomial, kita

memiliki

Akibatnya, koefisien x12

y13

dalam ekspansi diperoleh ketika j = 13, yaitu,

Teorema Multinomial

Contoh:

1.

2.

7/30/2019 2. Koefisien Binomial

4/13

Page 4 of13

KOMBINASI dengan PENGULANGAN (Combinations with Repetition)

Contoh

7/30/2019 2. Koefisien Binomial

5/13

Page 5 of13

Contoh

7/30/2019 2. Koefisien Binomial

6/13

Page 6 of13

Contoh

7/30/2019 2. Koefisien Binomial

7/13

Page 7 of13

Contoh

Contoh

7/30/2019 2. Koefisien Binomial

8/13

Page 8 of13

7/30/2019 2. Koefisien Binomial

9/13

Page 9 of13

Contoh

7/30/2019 2. Koefisien Binomial

10/13

Page 10 of13

Contoh

7/30/2019 2. Koefisien Binomial

11/13

Page 11 of13

Contoh

7/30/2019 2. Koefisien Binomial

12/13

Page 12 of13

Penentuan Koefisien pada segitiga Pascal dengan Scilab

functionc=combinations_coba(n, r)

c=factorial(n)./(factorial(r)*factorial(n-r))endfunction

Run fungsi di atas

Kemudian kita run program

forn =0:5forj=0:n

c = combinations_coba ( n , j );

mprintf("(%d ,%d )= %2d ",n,j,c);

7/30/2019 2. Koefisien Binomial

13/13

Page 13 of13

end

mprintf("\n");

end

Hasilnya adalah:

-->exec('D:\AAABUAT BUKU SCILAB\PROGRAMS\combinations_coba.sci', -1)

-->exec('D:\AAABUAT BUKU SCILAB\PROGRAMS\Pascal_triangle.sce', -1)(0 ,0 )= 1(1 ,0 )= 1 (1 ,1 )= 1(2 ,0 )= 1 (2 ,1 )= 2 (2 ,2 )= 1(3 ,0 )= 1 (3 ,1 )= 3 (3 ,2 )= 3 (3 ,3 )= 1(4 ,0 )= 1 (4 ,1 )= 4 (4 ,2 )= 6 (4 ,3 )= 4 (4 ,4 )= 1(5 ,0 )= 1 (5 ,1 )= 5 (5 ,2 )= 10 (5 ,3 )= 10 (5 ,4 )= 5 (5 ,5 )= 1

References:

Epp, Susanna S. (2011). Discrete Mathematics with Applications, 4 th Edition, CengageLearning

Lipschutz, S., Lipson, M.L. (2007). Theory and Problems of Discrete Mathematics, Schaum'sOutline, 3rd ed.

Rosen, K. H. (2007). Discrete Mathematics and Its Applications, 6th

Ed., McGraw-Hill