126535044 Metodos Numericos Para Ingenieros PDF

Mtodos numricos para ingenierosQuinta edicin

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Mtodos numricos para ingenierosQuinta edicin

Steven C. Chapra Raymond P. Canale Decano de Computacin e Ingeniera Profesor emrito de Ingeniera Civil Tufts University University of Michigan

REVISIN TCNICA: M.C. Juan Carlos del Valle Sotelo Catedrtico del Departamento de Fsica y Matemticas ITESM, campus Estado de Mxico

MXICO BOGOT BUENOS AIRES CARACAS GUATEMALA LISBOA MADRID NUEVA YORK SAN JUAN SANTIAGO AUCKLAND LONDRES MILN

MONTREAL NUEVA DELHI SAN FRANCISCO SINGAPUR SAN LUIS SIDNEY TORONTO

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Director Higher Education: Miguel ngel Toledo CastellanosDirector editorial: Ricardo A. del Bosque AlaynEditor sponsor: Pablo E. Roig VzquezEditora de desarrollo: Lorena Campa RojasSupervisor de produccin: Zeferino Garca Garca

Traduccin: Javier Enrquez Brito Ma. del Carmen Roa Hano

MTODOS NUMRICOS PARA INGENIEROSQuinta edicin

Prohibida la reproduccin total o parcial de esta obra,por cualquier medio, sin la autorizacin escrita del editor.

DERECHOS RESERVADOS 2007 respecto a la quinta edicin en espaol porMcGRAW-HILL/INTERAMERICANA EDITORES, S.A. DE C.V.A Subsidiary of The McGraw-Hill Companies, Inc.

Edi cio Punta Santa FeProlongacin Paseo de la Reforma 1015, Torre APiso 17, Colonia Desarrollo Santa Fe, Delegacin lvaro ObregnC.P. 01376, Mxico, D. F.Miembro de la Cmara Nacional de la Industria Editorial Mexicana, Reg. Nm. 736

Crditos de las fotografas de portada: Jack Novack / SuperStock.

MATLABTM es una marca registrada de The MathWorks, Inc.

ISBN-13: 978-970-10-6114-5ISBN-10: 970-10-6114-4(ISBN: 970-10-3965-3 edicin anterior)

Traducido de la quinta edicin en ingls de la obra NUMERICAL METHODS FOR ENGINEERS, FIFTH EDITION. Copyright 2006 by The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. ISBN: 0-07-291873-X

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Impreso en Mxico Printed in Mexico

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AMargaret y Gabriel Chapra

Helen y Chester Canale

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CONTENIDO

PREFACIO xvii

ACERCA DE LOS AUTORES xxiii

PARTE UNO

PT1.1 Motivacin 3PT1.2 Antecedentes matemticos 5PT1.3 Orientacin 8

CAPTULO 1Modelos matemticos y solucin de problemas en ingeniera 11

1.1 Un modelo matemtico simple 111.2 Leyes de conservacin e ingeniera 19Problemas 22

CAPTULO 2Programacin y software 26

2.1 Paquetes y programacin 262.2 Programacin estructurada 282.3 Programacin modular 372.4 Excel 382.5 MATLAB 422.6 Otros lenguajes y bibliotecas 47Problemas 48

CAPTULO 3Aproximaciones y errores de redondeo 53

3.1 Cifras signi cativas 543.2 Exactitud y precisin 563.3 De niciones de error 573.4 Errores de redondeo 60Problemas 76

MODELOS,COMPUTADORASY ANLISIS DEL ERROR 3

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viii CONTENIDO

CAPTULO 4Errores de truncamiento y la serie de Taylor 78

4.1 La serie de Taylor 784.2 Propagacin del error 954.3 Error numrico total 994.4 Equivocaciones, errores de formulacin e incertidumbre en los datos 101Problemas 103

EPLOGO: PARTE UNO 105

PT1.4 Alternativas 105PT1.5 Relaciones y frmulas importantes 108PT1.6 Mtodos avanzados y referencias adicionales 108

PARTE DOS


CAPTULO 5Mtodos cerrados 120

5.1 Mtodos gr cos 1205.2 El mtodo de biseccin 1245.3 Mtodo de la falsa posicin 1315.4 Bsquedas por incrementos y determinacin de valores iniciales 138Problemas 139

CAPTULO 6Mtodos abiertos 142

6.1 Iteracin simple de punto jo 1436.2 Mtodo de Newton-Raphson 1486.3 El mtodo de la secante 1546.4 Races mltiples 1596.5 Sistemas de ecuaciones no lineales 162Problemas 167

CAPTULO 7Races de polinomios 170

7.1 Polinomios en la ciencia y en la ingeniera 1707.2 Clculos con polinomios 1737.3 Mtodos convencionales 1777.4 Mtodo de Mller 1777.5 Mtodo de Bairstow 1817.6 Otros mtodos 187

RACES DE ECUACIONES 113

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CONTENIDO ix

7.7 Localizacin de races con bibliotecas y paquetes de software 187Problemas 197

CAPTULO 8Estudio de casos: races de ecuaciones 1998.1 Leyes de los gases ideales y no ideales (ingeniera qumica y bioqumica) 1998.2 Flujo en un canal abierto (ingeniera civil e ingeniera ambiental) 2028.3 Diseo de un circuito elctrico (ingeniera elctrica) 2068.4 Anlisis de vibraciones (ingeniera mecnica e ingeniera aeronutica) 209Problemas 216

EPLOGO: PARTE DOS 227PT2.4 Alternativas 227PT2.5 Relaciones y frmulas importantes 228PT2.6 Mtodos avanzados y referencias adicionales 228

PARTE TRES


CAPTULO 9Eliminacin de Gauss 2479.1 Solucin de sistemas pequeos de ecuaciones 2479.2 Eliminacin de Gauss simple 2549.3 Di cultades en los mtodos de eliminacin 2619.4 Tcnicas para mejorar las soluciones 2679.5 Sistemas complejos 2759.6 Sistemas de ecuaciones no lineales 2759.7 Gauss-Jordan 2779.8 Resumen 279Problemas 279

CAPTULO 10Descomposicin LU e inversin de matrices 28210.1 Descomposicin LU 28210.2 La matriz inversa 29210.3 Anlisis del error y condicin del sistema 297Problemas 303

CAPTULO 11Matrices especiales y el mtodo de Gauss-Seidel 30511.1 Matrices especiales 30511.2 Gauss-Seidel 310

ECUACIONESALGEBRAICASLINEALES 233

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x CONTENIDO

11.3 Ecuaciones algebraicas lineales con bibliotecas y paquetes de software 317Problemas 324

CAPTULO 12Estudio de casos: ecuaciones algebraicas lineales 327

12.1 Anlisis en estado estacionario de un sistema de reactores(ingeniera qumica/bioingeniera) 327

12.2 Anlisis de una armadura estticamente determinada (ingeniera civil/ambiental) 330

12.3 Corrientes y voltajes en circuitos con resistores (ingeniera elctrica) 33412.4 Sistemas masa-resorte (ingeniera mecnica/aeronutica) 336Problemas 339

EPLOGO: PARTE TRES 349


PARTE CUATRO


CAPTULO 13Optimizacin unidimensional no restringida 363

13.1 Bsqueda de la seccin dorada 36413.2 Interpolacin cuadrtica 37113.3 Mtodo de Newton 373Problemas 375

CAPTULO 14Optimizacin multidimensional no restringida 377

14.1 Mtodos directos 37814.2 Mtodos con gradiente 382Problemas 396

CAPTULO 15Optimizacin restringida 398

15.1 Programacin lineal 39815.2 Optimizacin restringida no lineal 40915.3 Optimizacin con bibliotecas y paquetes de software 410Problemas 422

OPTIMIZACIN353

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CONTENIDO xi

CAPTULO 16Aplicaciones en ingeniera: optimizacin 424

16.1 Diseo de un tanque con el menor costo (ingeniera qumica/bioingeniera) 424

16.2 Mnimo costo para el tratamiento de aguas residuales (ingeniera civil/ambiental) 429

16.3 Mxima transferencia de potencia en un circuito (ingeniera elctrica) 43316.4 Diseo de una bicicleta de montaa (ingeniera mecnica/aeronutica) 436Problemas 440

EPLOGO: PARTE CUATRO 447PT4.4 Alternativas 447PT4.5 Referencias adicionales 448

PARTE CINCO


CAPTULO 17Regresin por mnimos cuadrados 466

17.1 Regresin lineal 46617.2 Regresin polinomial 48217.3 Regresin lineal mltiple 48617.4 Mnimos cuadrados lineales en general 48917.5 Regresin no lineal 495Problemas 499

CAPTULO 18Interpolacin 503

18.1 Interpolacin polinomial de Newton en diferencias divididas 50318.2 Polinomios de interpolacin de Lagrange 51618.3 Coe cientes de un polinomio de interpolacin 52018.4 Interpolacin inversa 52118.5 Comentarios adicionales 52218.6 Interpolacin mediante trazadores (splines) 525Problemas 537

CAPTULO 19Aproximacin de Fourier 539

19.1 Ajuste de curvas con funciones sinusoidales 54019.2 Serie de Fourier continua 54619.3 Dominios de frecuencia y de tiempo 551

AJUSTEDE CURVAS 451

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xii CONTENIDO

19.4 Integral y transformada de Fourier 55419.5 Transformada discreta de Fourier (TDF) 55619.6 Transformada rpida de Fourier 55819.7 El espectro de potencia 56519.8 Ajuste de curvas con bibliotecas y paquetes de software 566Problemas 575

CAPTULO 20Estudio de casos: ajuste de curvas 578

20.1 Regresin lineal y modelos de poblacin (ingeniera qumica/bioingeniera) 578

20.2 Uso de trazadores para estimar la transferencia de calor (ingeniera civil/ambiental) 582

20.3 Anlisis de Fourier (ingeniera elctrica) 58420.4 Anlisis de datos experimentales (ingeniera mecnica/aeronutica) 585Problemas 587

EPLOGO: PARTE CINCO


PARTE SEIS


CAPTULO 21Frmulas de integracin de Newton-Cotes 619

21.1 La regla del trapecio 62121.2 Reglas de Simpson 63121.3 Integracin con segmentos desiguales 64021.4 Frmulas de integracin abierta 64321.5 Integrales mltiples 643Problemas 645

CAPTULO 22Integracin de ecuaciones 648

22.1 Algoritmos de Newton-Cotes para ecuaciones 64822.2 Integracin de Romberg 64922.3 Cuadratura de Gauss 65522.4 Integrales impropias 663Problemas 666

DIFERENCIACINE INTEGRACIN NUMRICAS 603

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CONTENIDO xiii

CAPTULO 23Diferenciacin numrica 668

23.1 Frmulas de diferenciacin con alta exactitud 66823.2 Extrapolacin de Richardson 67223.3 Derivadas de datos irregularmente espaciados 67323.4 Derivadas e integrales para datos con errores 67423.5 Integracin/diferenciacin numricas con bibliotecas y paquetes de software 676Problemas 679

CAPTULO 24Estudio de casos: integracin y diferenciacin numricas 682

24.1 Integracin para determinar la cantidad total de calor (ingeniera qumica/bioingeniera) 682

24.2 Fuerza efectiva sobre el mstil de un bote de vela de carreras (ingeniera civil/ambiental) 684

24.3 Raz media cuadrtica de la corriente mediante integracin numrica (ingeniera elctrica) 687

24.4 Integracin numrica para calcular el trabajo (ingeniera mecnica/aeronutica) 689

Problemas 693

EPLOGO: PARTE SEIS 704PT6.4 Alternativas 704PT6.5 Relaciones y frmulas importantes 705PT6.6 Mtodos avanzados y referencias adicionales 705

PARTE SIETE


CAPTULO 25Mtodos de Runge-Kutta 719

25.1 Mtodo de Euler 72025.2 Mejoras del mtodo de Euler 73225.3 Mtodos de Runge-Kutta 74025.4 Sistemas de ecuaciones 75125.5 Mtodos adaptativos de Runge-Kutta 756Problemas 764

CAPTULO 26Mtodos rgidos y de pasos mltiples 767

26.1 Rigidez 76726.2 Mtodos de pasos mltiples 771Problemas 792

ECUACIONESDIFERENCIALESORDINARIAS 709

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xiv CONTENIDO

CAPTULO 27Problemas de valores en la frontera y de valores propios 79427.1 Mtodos generales para problemas de valores en la frontera 79527.2 Problemas de valores propios 80127.3 EDO y valores propios con bibliotecas y paquetes de software 814Problemas 822

CAPTULO 28Estudio de casos: ecuaciones diferenciales ordinarias 82528.1 Uso de las EDO para analizar la respuesta transitoria de un reactor

(ingeniera qumica/bioingeniera) 82528.2 Modelos depredador-presa y caos (ingeniera civil/ambiental) 83128.3 Simulacin de la corriente transitoria en un circuito elctrico

(ingeniera elctrica) 83728.4 El pndulo oscilante (ingeniera mecnica/aeronutica) 842Problemas 846

EPLOGO: PARTE SIETE 854PT7.4 Alternativas 854PT7.5 Relaciones y frmulas importantes 855PT7.6 Mtodos avanzados y referencias adicionales 855

PARTE OCHO

PT8.1 Motivacin 859PT8.2 Orientacin 862

CAPTULO 29Diferencias nitas: ecuaciones elpticas 86629.1 La ecuacin de Laplace 86629.2 Tcnica de solucin 86829.3 Condiciones en la frontera 87529.4 El mtodo del volumen de control 88129.5 Software para resolver ecuaciones elpticas 884Problemas 885

CAPTULO 30Diferencias nitas: ecuaciones parablicas 88730.1 La ecuacin de conduccin de calor 88730.2 Mtodos explcitos 88830.3 Un mtodo implcito simple 89330.4 El mtodo de Crank-Nicolson 89630.5 Ecuaciones parablicas en dos dimensiones espaciales 899Problemas 903

ECUACIONESDIFERENCIALESPARCIALES 859

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CONTENIDO xv

CAPTULO 31Mtodo del elemento nito 90531.1 El enfoque general 90631.2 Aplicacin del elemento nito en una dimensin 91031.3 Problemas bidimensionales 91931.4 Resolucin de EDP con bibliotecas y paquetes de software 923Problemas 930

CAPTULO 32Estudio de casos: ecuaciones diferenciales parciales 93332.1 Balance de masa unidimensional de un reactor (ingeniera qumica/

bioingeniera) 93332.2 De exiones de una placa (ingeniera civil/ambiental) 93832.3 Problemas de campo electrosttico bidimensional (ingeniera elctrica) 94032.4 Solucin por elemento nito de una serie de resortes (ingeniera mecnica/

aeronutica) 943Problemas 947

EPLOGO: PARTE OCHO 949PT8.3 Alternativas 949PT8.4 Relaciones y frmulas importantes 949PT8.5 Mtodos avanzados y referencias adicionales 950

APNDICE A: LA SERIE DE FOURIER 951

APNDICE B: EMPECEMOS CON MATLAB 953

BIBLIOGRAFA 961

NDICE 965

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PREFACIO

Han pasado veinte aos desde que se public la primera edicin de este libro. Durante ese periodo, nuestro escepticismo acerca de que los mtodos numricos y las compu tadoras tendran un papel prominente en el currculo de la ingeniera particularmente en sus etapas tempranas ha sido rebasado por mucho. Hoy da, muchas universidades ofre-cen cursos para estudiantes de nuevo ingreso, de segundo ao e intermedios, tanto de introduccin a la computacin como de mtodos numricos. Adems, muchos de nues-tros colegas integran problemas orientados a la computacin con otros cursos en todos los niveles del currculo. As, esta nueva edicin an se basa en la premisa fundamental de que debe darse a los estudiantes de ingeniera una introduccin profunda y temprana a los mtodos numricos. En consecuencia, aunque la nueva edicin expande sus alcan-ces, tratamos de mantener muchas de las caractersticas que hicieron accesible la prime-ra edicin tanto para estudiantes principiantes como avanzados. stas incluyen las siguientes:

Orientado a problemas. Los estudiantes de ingeniera aprenden mejor cuando estn motivados por la solucin de problemas, lo cual es especialmente cierto en el caso de las matemticas y de la computacin. Por tal razn, presentamos los mto-dos numricos desde la perspectiva de la solucin de problemas.

Pedagoga orientada al estudiante. Hemos presentado varios detalles para lograr que el libro sea tan accesible para el estudiante como sea posible. stos comprenden la organizacin general, el uso de introducciones y eplogos para consolidar los temas principales, as como un amplio uso de ejemplos desarrollados y estudios de casos de las reas principales de la ingeniera. Hemos puesto especial cuidado en que nuestras explicaciones sean claras y en que tengan una orientacin prctica.

Mtodo de la caja clara. Aunque hacemos especial nfasis en la solucin de problemas, creemos que sera autolimitante para el ingeniero abordar los algoritmos numricos como una caja negra. Por lo tanto, hemos presentado suficiente teora para permitir al usuario comprender los conceptos bsicos que estn detrs de los mtodos. En especial hacemos hincapi en la teora relacionada con el anlisis del error, las limitaciones de los mtodos y las alternativas entre mtodos.

Orientado al uso de computadoras personales. La primera vez que escribimos este libro haba un gran abismo entre el mundo de las grandes computadoras de antao y el mundo interactivo de las PC. Hoy, conforme el desarrollo de las compu-tadoras personales ha aumentado, las diferencias han desaparecido. Es decir, este libro enfatiza la visualizacin y los clculos interactivos, que son el rasgo distintivo de las computadoras personales.

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PREFACIO xvii

Capacitacin al estudiante. Por supuesto que presentamos al estudiante las capa-cidades para resolver problemas con paquetes como Excel y MATLAB. Sin embar-go, tambin se les ensea a los estudiantes cmo desarrollar programas sencillos y bien estructurados para aumentar sus capacidades bsicas en dichos ambientes. Este conocimiento le permite programar en lenguajes como Fortran 90, C y C++. Creemos que el avance de la programacin en computadora representa el currculum oculto de la ingeniera. Debido a las restricciones, muchos ingenieros no se conforman con las herramientas limitadas y tienen que escribir sus propios cdigos. Actualmente se utilizan macros o archivos M. Este libro est diseado para implementar lo anterior.

Adems de estos cinco principios, la mejora ms significativa en la quinta edicin es una revisin profunda y una expansin de las series de problemas al final de cada captulo. La mayor parte de ellos han sido modificados de manera que permitan distin-tas soluciones numricas a los de ediciones anteriores. Adems, se ha incluido una va-riedad de problemas nuevos. Al igual que en las ediciones previas, se incluyen problemas tanto matemticos como aplicados a todas las ramas de la ingeniera. En todos los casos, nuestro intento es brindarles a los estudiantes ejercicios que les permitan revisar su comprensin e ilustrar de qu manera los mtodos numricos pueden ayudarlos para una mejor resolucin de los problemas.

Como siempre, nuestro objetivo principal es proporcionarle al estudiante una intro-duccin slida a los mtodos numricos. Consideramos que aquellos que estn motivados y que puedan disfrutar los mtodos numricos, la computacin y las matemticas, al final se convertirn en mejores ingenieros. Si nuestro libro fomenta un entusiasmo ge-nuino por estas materias, entonces consideraremos que nuestro esfuerzo habr tenido xito.

Agradecimientos. Queremos agradecer a nuestros amigos de McGraw-Hill. En par ticu-lar a Amanda Green, Suzanne Jeans y Peggy Selle, quienes brindaron una atmsfera positiva y de apoyo para la creacin de esta edicin. Como siempre, Beatrice Sussman realiz un trabajo magistral en la edicin y copiado del manuscrito, y Michael Ryder hizo contribuciones superiores durante la produccin del libro. Agradecemos en especial a los profesores Wally Grant, Olga Pierrakos, Amber Phillips, Justin Griffee y Kevin Mace (Virginia Tech), y a la profesora Theresa Good (Texas A&M), quien a lo largo de los aos ha aportado problemas para nuestro libro. Al igual que en ediciones anteriores, David Clough (University of Colorado) y Jerry Stedinger (Cornell University) compar-tieron con generosidad sus puntos de vista y sugerencias. Otras sugerencias tiles tambin provinieron de Bill Philpot (Cornell University), Jim Guilkey (University of Utah), Dong-Il Seo (Chungnam National University, Corea), y Raymundo Cordero y Karim Muci (ITESM, Mxico). La edicin actual tambin se benefici de las revisiones y su-gerencias que hicieron los colegas siguientes:

Ella M. Atkins, University of MarylandBetty Barr, University of HoustonFlorin Bobaru, University of Nebraska-LincolnKen W. Bosworth, Idaho State UniversityAnthony Cahill, Texas A&M UniversityRaymond C. Y. Chin, Indiana University-Purdue, Indianapolis

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xviii PREFACIO

Jason Clark, University of California, BerkeleyJohn Collings, University of North DakotaAyodeji Demuren, Old Dominion UniversityCassiano R. E. de Oliveira, Georgia Institute of TechnologySubhadeep Gan, University of CincinnatiAaron S. Goldstein, Virginia Polytechnic Institute and State UniversityGregory L. Griffin, Louisiana State UniversityWalter Haisler, Texas A&M UniversityDon Hardcastle, Baylor UniversityScott L. Hendricks, Virginia Polytechnic Institute and State UniversityDavid J. Horntrop, New Jersey Institute of TechnologyTribikram Kundu, University of ArizonaHysuk Lee, Clemson UniversityJichun Li, University of Nevada, Las VegasJeffrey S. Marshall, University of IowaGeorge Novacky, University of PittsburghDmitry Pelinovsky, McMaster UniversitySiva Parameswaran, Texas Technical UniversityGreg P. Semeraro, Rochester Institute of TechnologyJerry Sergent, Faifield UniversityDipendra K. Sinha, San Francisco State UniversityScott A. Socolofsky, Texas A&M UniversityRobert E. Spall, Utah State UniversityJohn C. Strikwerda, University of Wisconsin-MadisonKarsten E. Thompson, Louisiana State UniversityKumar Vemaganti, University of CincinnatiPeter Wolfe, University of MarylandYale Yurttas, Texas A&M UniversityNader Zamani, University of WindsorViktoria Zoltay, Tufts University

Debemos hacer nfasis en que si bien recibimos consejos tiles de las personas mencionadas, somos responsables de cualesquiera inexactitudes o errores que se encuen-tren en esta edicin. Por favor, haga contacto con Steven Chapra por correo electrnico en caso de que detecte algn error en esta edicin.

Por ltimo, queremos agradecer a nuestras familias, amigos y estudiantes por su paciencia y apoyo constantes. En particular, a Cynthia Chapra y Claire Canale, quienes siempre estn presentes brindando comprensin, puntos de vista y amor.

STEVEN C. CHAPRAMedford, [email protected]

RAYMOND P. CANALELake Leelanau, Michigan

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PREFACIO xix

Agradecemos en especial la valiosa contribucin de los siguientes asesores tcnicos para la presente edicin en espaol:

Abel Valdez Ramrez, ESIQIE, Instituto Politcnico Nacional, ZacatencoAlejandra Gonzlez, ITESM, campus MonterreyFernando Vera Badillo, Universidad La Salle, campus Ciudad de MxicoJaime Salazar Tamez, ITESM, campus TolucaJess Estrada Madueo, Instituto Tecnolgico de CuliacnJess Ramn Villarreal Madrid, Instituto Tecnolgico de CuliacnJos Juan Surez Lpez, ESIME, Instituto Politcnico Nacional, CulhuacnLeonel Magaa Mendoza, Instituto Tecnolgico de MoreliaMara de los ngeles Contreras Flores, Universidad Autnoma del Estado de Mxico,

campus TolucaMario Medina Valdez, Universidad Autnoma Metropolitana - IztapalapaOlga Lpez, ITESM, campus Estado de MxicoReynaldo Gmez, Universidad de Guadalajara

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xx CONTENIDO

VISITA GUIADA

Para ofrecer un panorama de los mtodos numricos, hemos organizado el texto en partes, y presentamos informacin unificadora a travs de elementos de Motivacin, Antecedentes Matemticos, Orienta-cin y Eplogo.

Cada captulo contiene problemas de tarea nuevos y revisados. El ochenta por ciento de los problemas son nuevos o se han modifi-cado. El texto incluye problemas de desafo de todas las disciplinas de la ingeniera.

Hay secciones del texto, as como problemas de tarea, dedicadas a implantar mtodos numricos con el software de Microsoft Excel y con el de TheMathWorks, Inc. MATLAB.

xx

PT3.1

Motivacin

PT3.2Antecedentesmatemticos PT3.3

Orientacin

9.1Sistemaspequeos

9.2Eliminacin de Gauss simplePARTE 3

Ecuacionesalgebraicas

lineales

PT3.6Mtodos

avanzados

EPLOGOCAPTULO 9Eliminacin

de Gauss

PT3.5Frmulas

importantes

PT3.4

Alternativas

12.4Ingenieramecnica

12.3Ingenieraelctrica

12.2Ingeniera

civil 12.1Ingenieraqumica 11.3

Bibliotecasy paquetes

11.2Gauss-Seidel

11.1Matrices

especiales

CAPTULO 10DescomposicinLU e inversin

de matrices

CAPTULO 11Matrices

especialesy el mtodo deGauss-Seidel

CAPTULO 12Estudio de

casos

10.3Anlisis del error

y condicin del sistema

10.2La matriz inversa

10.1Descomposicin

LU

9.7Gauss-Jordan

9.6Sistemas

no lineales

9.5Sistemas

complejos

9.4Soluciones

9.3Dificultades

PROBLEMAS 339

Ingeniera Qumica/Bioingeniera12.1 Lleve a cabo el mismo clculo que en la seccin 12.1, pero cambie c01 a 40 y c03 a 10. Tambin cambie los flujos siguientes: Q01 = 6, Q12 = 4, Q24 = 2 y Q44 = 12.12.2 Si la entrada al reactor 3 de la seccin 12.1, disminuye 25 por ciento, utilice la matriz inversa para calcular el cambio por-centual en la concentracin de los reactores 1 y 4.12.3 Debido a que el sistema que se muestra en la figura 12.3 est en estado estacionario (estable), qu se puede afirmar respecto de los cuatro flujos: Q01, Q03, Q44 y Q55?12.4 Vuelva a calcular las concentraciones para los cinco reac-tores que se muestran en la figura 12.3, si los flujos cambian como sigue:

Q01 = 5 Q31 = 3 Q25 = 2 Q23 = 2Q15 = 4 Q55 = 3 Q54 = 3 Q34 = 7Q12 = 4 Q03 = 8 Q24 = 0 Q44 = 10

12.5 Resuelva el mismo sistema que se especifica en el proble-ma 12.4, pero haga Q12 = Q54 = 0 y Q15 = Q34 = 3. Suponga que las entradas (Q01, Q03) y las salidas (Q44, Q55) son las mismas. Use la conservacin del flujo para volver a calcular los valores de los dems flujos.12.6 En la figura P12.6 se muestran tres reactores conectados por tubos. Como se indica, la tasa de transferencia de produc-tos qumicos a travs de cada tubo es igual a la tasa de flujo (Q, en unidades de metros cbicos por segundo) multiplicada por la concentracin del reactor desde el que se origina el flujo (c, en unidades de miligramos por metro cbico). Si el sistema se

PROBLEMAS

12.7 Con el empleo del mismo enfoque que en la seccin 12.1, determine la concentracin de cloruro en cada uno de los Gran-des Lagos con el uso de la informacin que se muestra en la fi-gura P12.7.12.8 La parte baja del ro Colorado consiste en una serie de cuatro almacenamientos como se ilustra en la figura P12.8. Puede escribirse los balances de masa para cada uno de ellos, lo que da por resultado el conjunto siguiente de ecuaciones alge-braicas lineales simultneas:

13 42 0 0 013 422 12 252 0 0

0 12 252 12 377 00 0 12

.

. .

. .

.. .377 11 797

1

2

3

4

c

c

c

c

=

750 530010230

.

donde el vector del lado derecho consiste en las cargas de cloru-ro hacia cada uno de los cuatro lagos y c1, c2, c3 y c4 = las con-centraciones de cloruro resultantes en los lagos Powell, Mead, Mohave y Havasu, respectivamente.

a) Use la matriz inversa para resolver cules son las concen-traciones en cada uno de los cuatro lagos.

b) En cunto debe reducirse la carga del lago Powell para que la concentracin de cloruro en el lago Havasu sea de 75?

c) Con el uso de la norma columna-suma, calcule el nmero de condicin y diga cuntos dgitos sospechosos se generaran al resolver este sistema. Se debe observar que Solver puede fallar. Su xito depende de 1. la condicin del

sistema de ecuaciones y/o 2. la calidad de los valores iniciales. El resultado satisfactorio del ejemplo anterior no est garantizado. A pesar de esto, se puede encontrar a Solver bastante til para hacer de l una buena opcin en la obtencin rpida de races para un amplio rango de aplicaciones a la ingeniera.

7.7.2 MATLAB

MATLAB es capaz de localizar races en ecuaciones algebraicas y trascendentes, como se muestra en la tabla 7.1. Siendo excelente para la manipulacin y localizacin de races en los polinomios.

La funcin fzero est diseada para localizar la raz de una funcin. Una represen-tacin simplificada de su sintaxis es

fzero(f,X0,opciones)

donde f es la tensin que se va a analizar, x0 es el valor inicial y opciones son los par-metros de optimizacin (stos pueden cambiarse al usar la funcin optimset). Si no se anotan las opciones se emplean los valores por omisin. Observe que se pueden emplear uno o dos valores iniciales, asumiendo que la raz est dentro del intervalo. El siguiente ejemplo ilustra cmo se usa la funcin fzero.

EJEMPLO 7.6 Uso de MATLAB para localizar races

Planteamiento del problema. Utilice la funcin fzero de MATLAB para encontrar las races de

f (x) = x10 1

7.7 LOCALIZACIN DE RACES CON BIBLIOTECAS Y PAQUETES DE SOFTWARE 191

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xxi

El texto presenta numerosos ejemplos resueltos que dan a los estudiantes ilustraciones paso a paso acerca de cmo implantar los mtodos numricos.

Existen 28 estudios de caso de la ingeniera para ayudar a los estudiantes a relacionar los mtodos numricos con los campos principa-les de la ingeniera.

MATERIALES DE APOYOEsta obra cuenta con interesantes complementos que fortalecen los procesos de enseanza-aprendizaje, as como la evaluacin de los mismos, los cuales se otor-gan a profesores que adoptan este texto para sus cursos. Para obtener ms informacin y conocer la poltica de entrega de estos materiales, contacte a su representante McGraw-Hill.

EJEMPLO 11.1 Solucin tridiagonal con el algoritmo de Thomas

Planteamiento del problema. Resuelva el siguiente sistema tridiagonal con el algo-ritmo de Thomas.

2 041

12 04

11

2 041

12 04

40 80 80 8

200 8

1

2

3

4

.

.

.

.

.

.

.

.

=

TTTT

Solucin. Primero, la descomposicin se realiza as:

e2 = 1/2.04 = 0.49

f2 = 2.04 (0.49)(1) = 1.550e3 = 1/1.550 = 0.645

f3 = 2.04 (0.645)(1) = 1.395e4 = 1/1.395 = 0.717

f4 = 2.04 (0.717)(1) = 1.323As, la matriz se transforma en

2 040 49

11 5500 645

11 3950717

11 323

.

.

.

. .

.

11.1 MATRICES ESPECIALES 307

CAPTULO 32Estudio de casos: ecuaciones diferenciales parcialesEl propsito de este captulo es aplicar los mtodos de la parte ocho a problemas prcticos de ingeniera. En la seccin 32.1 se utiliza una EDP parablica para calcular la distribu-cin de una sustancia qumica, dependiente del tiempo a lo largo del eje longitudinal de un reactor rectangular. Este ejemplo ilustra cmo la inestabilidad de una solucin puede deberse a la naturaleza de la EDP, ms que a las propiedades del mtodo numrico.

Las secciones 32.2 y 32.3 presentan aplicaciones de las ecuaciones de Poisson y Laplace a problemas de ingeniera civil y elctrica. Entre otras cuestiones, esto le per-mitir distinguir tanto las similitudes como las diferencias entre los problemas en esas reas de la ingeniera. Adems, se pueden comparar con el problema de la placa calen-tada que ha servido como sistema prototipo en esta parte del libro. La seccin 32.2 trata de la deflexin de una placa cuadrada; mientras que la seccin 32.3 se dedica al clculo de la distribucin del voltaje y el flujo de carga en una superficie bidimensio-nal con un extremo curvado.

La seccin 32.4 presenta un anlisis del elemento finito aplicado a una serie de resor-tes. Este problema de mecnica y estructuras ilustra mejor las aplicaciones del elemento finito, que al problema de temperatura usado para analizar el mtodo en el captulo 31.

32.1 BALANCE DE MASA UNIDIMENSIONAL DE UN REACTOR (INGENIERA QUMICA/BIOINGENIERA)

Antecedentes. Los ingenieros qumicos utilizan mucho los reactores idealizados en su trabajo de diseo. En las secciones 12.1 y 28.1 nos concentramos en reactores simples o acoplados bien mezclados, los cuales constituyen ejemplos de sistemas de parmetros localizados (recuerde la seccin PT3.1.2).

FIGURA 32.1Reactor alargado con un solo punto de entrada y salida Un balance

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ACERCA DE LOS AUTORES

Steve Chapra es profesor en el Departamento de Ingeniera Civil y Ambiental de la Universidad de Tufts. Entre sus obras publicadas se encuentran Surface Water-Quality Modeling e Introduction to Computing for Engineers.

El Dr. Chapra obtuvo el grado de Ingeniero por las universidades de Manhattan y de Michigan. Antes de incorporarse a la facultad de Tufts trabaj para la Agencia de Proteccin Ambiental y la Administracin Nacional del Ocano y la Atmsfera, fue profesor asociado en las universidades de Texas A&M y de Colorado. En general, sus investigaciones estn relacionadas con la modelacin de la calidad del agua superficial y la aplicacin de computacin avanzada en la ingeniera ambiental.

Tambin ha recibido gran cantidad de reconocimientos por sus destacadas contri-buciones acadmicas, incluyendo la medalla Rudolph Hering (ASCE en 1993) y el premio al autor distinguido Meriam-Wiley (1987), por parte de la Sociedad Americana para la Educacin en Ingeniera. Se ha reconocido como profesor emrito en las facul-tades de ingeniera de las universidades de Texas A&M (premio Tenneco, 1986) y de Colorado (premio Hitchinson, 1992).

Raymond P. Canale es profesor emrito de la Universidad de Michigan. En sus ms de 20 aos de carrera en la universidad ha impartido numerosos cursos en la reas de computacin, mtodos numricos e ingeniera ambiental. Tambin ha dirigido extensos programas de investigacin en el rea de modelacin matemtica y por computadora de ecosistemas acuticos. Es autor y coautor de varios libros, ha publicado ms de 100 artculos e informes cientficos. Tambin ha diseado y desarrollado software para computadoras personales, con la finalidad de facilitar la educacin en ingeniera y la solucin de problemas en ingeniera. Ha recibido el premio al autor distinguido Meriam-Wiley de la Sociedad Americana para la Educacin en Ingeniera por sus libros y el software desarrollado, as como otros reconocimientos por sus publicaciones tcnicas.

Actualmente, el profesor Canale se dedica a resolver problemas de aplicacin, tra-bajando como consultor y perito en empresas de ingeniera, en la industria e institucio-nes gubernamentales.

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Mtodos numricos para ingenieros

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PARTE UNOPARTE UNO

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MODELOS, COMPUTADORASY ANLISIS DEL ERROR

PT1.1 MOTIVACIN

Los mtodos numricos constituyen tcnicas mediante las cuales es posible formular problemas matemticos, de tal forma que puedan resolverse utilizando operaciones aritmticas. Aunque existen muchos tipos de mtodos numricos, stos comparten una caracterstica comn: invariablemente requieren de un buen nmero de tediosos clculos aritmticos. No es raro que con el desarrollo de computadoras digitales eficientes y rpi-das, el papel de los mtodos numricos en la solucin de problemas en ingeniera haya aumentado de forma considerable en los ltimos aos.

PT1.1.1 Mtodos sin computadora

Adems de proporcionar un aumento en la potencia de clculo, la disponibilidad cre-ciente de las computadoras (en especial de las personales) y su asociacin con los m-todos numricos han influido de manera muy significativa en el proceso de la solucin actual de los problemas en ingeniera. Antes de la era de la computadora los ingenieros slo contaban con tres mtodos para la solucin de problemas:

1. Se encontraban las soluciones de algunos problemas usando mtodos exactos o analticos. Dichas soluciones resultaban tiles y proporcionaban una comprensin excelente del comportamiento de algunos sistemas. No obstante, las soluciones analticas slo pueden encontrarse para una clase limitada de problemas. stos in-cluyen aquellos que pueden aproximarse mediante modelos lineales y tambin aquellos que tienen una geometra simple y de baja dimensin. En consecuencia, las soluciones analticas tienen un valor prctico limitado porque la mayora de los problemas reales son no lineales, e implican formas y procesos complejos.

2. Para analizar el comportamiento de los sistemas se usaban soluciones grficas, las cuales tomaban la forma de grficas o nomogramas; aunque las tcnicas grficas se utilizan a menudo para resolver problemas complejos, los resultados no son muy precisos. Adems, las soluciones grficas (sin la ayuda de una computadora) son en extremo tediosas y difciles de implementar. Finalmente, las tcnicas grficas estn limitadas a los problemas que puedan describirse usando tres dimensiones o menos.

3. Para implementar los mtodos numricos se utilizaban calculadoras y reglas de clcu lo. Aunque en teora dichas aproximaciones deberan ser perfectamente ade-cuadas para resolver problemas complicados, en la prctica se presentan varias di-ficultades debido a que los clculos manuales son lentos y tediosos. Adems, los resultados no son consistentes, ya que surgen equivocaciones cuando se efectan los numerosos clculos de esta manera.

Antes del uso de la computadora se gastaba bastante energa en la tcnica misma de solucin, en lugar de usarla en la definicin del problema y su interpretacin (figu-ra PT1.1a). Esta situacin desafortunada se deba al tiempo y trabajo montono que se requera para obtener resultados numricos con tcnicas que no utilizaban la compu-tadora.


En la actualidad, las computadoras y los mtodos numricos ofrecen una alternati-va para los clculos complicados. Al usar la potencia de la computadora se obtienen soluciones directamente, de esta manera se pueden aproximar los clculos sin tener que recurrir a consideraciones de simplificacin o a tcnicas muy lentas. Aunque las solu-ciones analticas an son muy valiosas, tanto para resolver problemas como para brindar una mayor comprensin, los mtodos numricos representan opciones que aumentan, en forma considerable, la capacidad para enfrentar y resolver los problemas; como resulta-do, se dispone de ms tiempo para aprovechar las habilidades creativas personales. En consecuencia, es posible dar ms importancia a la formulacin de un problema y a la interpretacin de la solucin, as como a su incorporacin al sistema total, o conciencia holstica (figura PT1.1b).

PT1.1.2 Los mtodos numricos y la prctica en ingeniera

Desde finales de la dcada de los cuarenta, la amplia disponibilidad de las computado-ras digitales han llevado a una verdadera explosin en el uso y desarrollo de los mtodos numricos. Al principio, este crecimiento estaba limitado por el costo de procesamien-to de las grandes computadoras (mainframes), por lo que muchos ingenieros seguan usando simples procedimientos analticos en una buena parte de su trabajo. Vale la pena

INTERPRETACIN

La facilidad de calcularpermite pensar holsticamente y

desarrollar la intuicin; es factibleestudiar la sensibilidad y el

comportamiento del sistema

FORMULACIN

Exposicin profundade la relacin del

problema con las leyesfundamentales

SOLUCIN

Mtodo de lacomputadora fcil

de usar

b)

INTERPRETACIN

Anlisis profundo limitado por una

solucin que consume tiempo

FORMULACIN

Leyes fundamentales explicadas

brevemente

SOLUCIN

Mtodos muy elaborados y con frecuencia complicados

para hacer manejable el problema

a)

FIGURA PT1.1Las tres fases en la solucin de problemas en ingeniera en a) la era anterior a las computadoras y b) la era de las computadoras. Los tamaos de los recuadros indican el nivel de importancia que se presenta en cada fase. Las computadoras facilitan la implementacin de tcnicas de solucin y, as, permiten un mayor inters sobre los aspectos creativos en la formulacin de problemas y la interpretacin de los resultados.

4 MODELOS, COMPUTADORAS Y ANLISIS DEL ERROR


mencionar que la reciente evolucin de computadoras personales de bajo costo ha per-mitido el acceso, de mucha gente, a las poderosas capacidades de cmputo. Adems, existen diversas razones por las cuales se deben estudiar los mtodos numricos:

1. Los mtodos numricos son herramientas muy poderosas para la solucin de pro-blemas. Son capaces de manipular sistemas de ecuaciones grandes, manejar no li-nealidades y resolver geometras complicadas, comunes en la prctica de la ingeniera y, a menudo, imposibles de resolver en forma analtica. Por lo tanto, aumentan la habilidad de quien los estudia para resolver problemas.

2. En el transcurso de su carrera, es posible que el lector tenga la oportunidad de uti-lizar paquetes disponibles comercialmente, o programas enlatados que contengan mtodos numricos. El uso eficiente de estos programas depende del buen entendi-miento de la teora bsica en que se basan tales mtodos.

3. Hay muchos problemas que no pueden resolverse con programas enlatados. Si usted es conocedor de los mtodos numricos y es hbil en la programacin de computadoras, entonces tiene la capacidad de disear sus propios programas para resolver los problemas, sin tener que comprar un software costoso.

4. Los mtodos numricos son un vehculo eficiente para aprender a servirse de las computadoras. Es bien sabido que una forma efectiva de aprender programacin consiste en escribir programas para computadora. Debido a que la mayora de los mtodos numricos estn diseados para usarlos en las computadoras, son ideales para tal propsito. Adems, son especialmente adecuados para ilustrar el poder y las limitaciones de las computadoras. Cuando usted desarrolle en forma satisfactoria los mtodos numricos en computadora y los aplique para resolver los problemas que de otra manera resultaran inaccesibles, usted dispondr de una excelente de-mostracin de cmo las computadoras sirven para su desarrollo profesional. Al mismo tiempo, aprender a reconocer y controlar los errores de aproximacin que son inseparables de los clculos numricos a gran escala.

5. Los mtodos numricos son un medio para reforzar su comprensin de las matem-ticas, ya que una de sus funciones es convertir las matemticas superiores en ope-raciones aritmticas bsicas, de esta manera se puede profundizar en los temas que de otro modo resultaran oscuros. Esta perspectiva dar como resultado un aumento de su capacidad de comprensin y entendimiento en la materia.

PT1.2 ANTECEDENTES MATEMTICOS

Cada parte de este libro requiere de algunos conocimientos matemticos, por lo que el material introductorio de cada parte comprende una seccin que incluye los fundamen-tos matemticos. Como la parte uno, que est dedicada a aspectos bsicos sobre las matemticas y la computacin, en esta seccin no se revisar ningn tema matemtico especfico. En vez de ello se presentan los temas del contenido matemtico que se cubren en este libro. stos se resumen en la figura PT1.2 y son:1. Races de ecuaciones (figura PT1.2a). Estos problemas se relacionan con el valor

de una variable o de un parmetro que satisface una ecuacin no lineal. Son espe-cialmente valiosos en proyectos de ingeniera, donde con frecuencia resulta impo-sible despejar de manera analtica los parmetros de las ecuaciones de diseo.

PT1.2 ANTECEDENTES MATEMTICOS 5


2. Sistemas de ecuaciones algebraicas lineales (figura PT1.2b). En esencia, se trata de problemas similares a los de races de ecuaciones, en el sentido de que estn rela-cionados con valores que satisfacen ecuaciones. Sin embargo, en lugar de satisfacer una sola ecuacin, se busca un conjunto de valores que satisfaga simultneamente un conjunto de ecuaciones algebraicas lineales, las cuales surgen en el contexto de

f(x)

x

Raz

x2

x1

Solucin

Mnimo

f(x)

x

Interpolacin

f(x)

x

f(x)

x

Regresin

f(x)

I

a) Parte 2: Races de ecuacionesResuelva f(x) = 0 para x.

c) Parte 4: Optimizacin

b) Parte 3: Sistema de ecuaciones algebraicas lineales

Dadas las as y las cs, resolver

a11x1 + a12x2 = c1a21x1 + a22x2 = c2para las xs.

Determine la x que da el ptimo de f(x).

e) Parte 6: IntegracinI = ab f (x) dxEncuentre el rea bajo la curva.

d) Parte 5: Ajuste de curvas

x

FIGURA PT1.2 Resumen de los mtodos numricos que se consideran en este libro.



una gran variedad de problemas y en todas las disciplinas de la ingeniera. En par-ticular, se originan a partir de modelos matemticos de grandes sistemas de elemen-tos interrelacionados, tal como estructuras, circuitos elctricos y redes de flujo; aunque tambin se llegan a encontrar en otras reas de los mtodos numricos como el ajuste de curvas y las ecuaciones diferenciales.

3. Optimizacin (figura PT1.2c). En estos problemas se trata de determinar el valor o los valores de una variable independiente que corresponden al mejor o al valor ptimo de una funcin. De manera que, como se observa en la figura PT1.2c, la optimizacin considera la identificacin de mximos y mnimos. Tales problemas se presentan comnmente en el contexto del diseo en ingeniera. Tambin surgen en otros mtodos numricos. Nosotros nos ocuparemos de la optimizacin tanto para una sola variable sin restricciones como para varias variables sin restricciones. Tambin describiremos la optimizacin restringida dando especial nfasis a la pro-gramacin lineal.

4. Ajuste de curvas (figura PT1.2d). A menudo se tendr que ajustar curvas a un con-junto de datos representados por puntos. Las tcnicas desarrolladas para tal prop-sito se dividen en dos categoras generales: regresin e interpolacin. La primera se emplea cuando hay un significativo grado de error asociado con los datos; con fre-cuencia los datos experimentales son de este tipo. Para estas situaciones, la estrate-gia es encontrar una curva que represente la tendencia general de los datos, sin necesidad de tocar los puntos individuales. En contraste, la interpolacin se utiliza cuando el objetivo es determinar valores intermedios entre datos que estn, relati-vamente, libres de error. Tal es el caso de la informacin tabulada. En dichas situa-ciones, la estrategia consiste en ajustar una curva directamente mediante los puntos obtenidos como datos y usar la curva para predecir valores intermedios.

5. Integracin (figura PT1.2e). Como hemos representado grficamente, la interpreta-cin de la integracin numrica es la determinacin del rea bajo la curva. La inte-

y

x

g) Parte 8: Ecuaciones diferenciales parcialesDada

determine u como funcin dex y y

= f (x, y)2u

x22u

y2+

t

Pendiente =f(ti, yi)

y

t

ti ti + 1

f ) Parte 7: Ecuaciones diferenciales ordinariasDada

resolver para y como funcin de t.yi + 1 = yi + f (ti , yi ) t

= f (t, y)dydtyt

FIGURA PT1.2(Conclusin)

PT1.2 ANTECEDENTES MATEMTICOS 7


gracin tiene diversas aplicaciones en la prctica de la ingeniera, que van desde la determinacin de los centroides de objetos con formas extraas, hasta el clculo de cantidades totales basadas en conjuntos de medidas discretas. Adems, las frmulas de integracin numrica desempean un papel importante en la solucin de ecua-ciones diferenciales.

6. Ecuaciones diferenciales ordinarias (figura PT1.2f). stas tienen una enorme im-portancia en la prctica de la ingeniera, lo cual se debe a que muchas leyes fsicas estn expresadas en trminos de la razn de cambio de una cantidad, ms que en trminos de la cantidad misma. Entre los ejemplos tenemos desde los modelos de prediccin demogrfica (razn de cambio de la poblacin), hasta la aceleracin de un cuerpo que cae (razn de cambio de la velocidad). Se tratan dos tipos de pro-blemas: problemas con valor inicial y problemas con valores en la frontera. Adems veremos el clculo de valores propios.

7. Ecuaciones diferenciales parciales (figura PT1.2g). Las ecuaciones diferenciales parciales sirven para caracterizar sistemas de ingeniera, en los que el comporta-miento de una cantidad fsica se expresa en trminos de su razn de cambio con respecto a dos o ms variables independientes. Entre los ejemplos tenemos la dis-tribucin de temperatura en estado estacionario sobre una placa caliente (espacio bidimensional) o la temperatura variable con el tiempo de una barra caliente (tiem-po y una dimensin espacial). Para resolver numricamente las ecuaciones diferen-ciales parciales se emplean dos mtodos bastante diferentes. En el presente texto haremos nfasis en los mtodos de las diferencias finitas que aproximan la solucin usando puntos discretos (figura PT1.2g). No obstante, tambin presentaremos una introduccin a los mtodos de elementos finitos, los cuales usan una aproximacin con piezas discretas.

PT1.3 ORIENTACIN

Resulta til esta orientacin antes de proceder a la introduccin de los mtodos num-ricos. Lo que sigue est pensado como una vista general del material contenido en la parte uno. Se incluyen, adems, algunos objetivos como ayuda para concentrar el esfuer-zo del lector en el estudio de los temas.

PT1.3.1 Alcance y presentacin preliminar

La figura PT1.3 es una representacin esquemtica del material contenido en la parte uno. Este diagrama se elabor para ofrecer un panorama global de esta parte del libro. Se considera que un sentido de imagen global resulta importante para desarrollar una verdadera comprensin de los mtodos numricos. Al leer un texto es posible que se pierda uno en los detalles tcnicos. Siempre que el lector perciba que est perdiendo la imagen global vuelva a la figura PT1.3 para orientarse nuevamente. Cada parte de este libro contiene una figura similar.

La figura PT1.3 tambin sirve como una breve revisin inicial del material que se cubre en la parte uno. El captulo 1 est diseado para orientarle en los mtodos num-ricos y para motivarlo mostrndole cmo se utilizan dichas tcnicas, en el proceso de elaborar modelos matemticos aplicados a la ingeniera. El captulo 2 es una introduccin



y un repaso de los aspectos de computacin que estn relacionados con los mtodos numricos y presenta las habilidades de programacin que se deben adquirir para ex-plotar de manera eficiente la siguiente informacin. Los captulos 3 y 4 se ocupan del importante tema del anlisis del error, que debe entenderse bien para el uso efectivo de los mtodos numricos. Adems, se incluye un eplogo que presenta los elementos de juicio que tienen una gran importancia para el uso efectivo de los mtodos numricos.

CAPTULO 1Modelos

matemticos y solucin deproblemas en

ingeniera

PARTE 1Modelos,

computadoras y anlisis del error

CAPTULO 2Programacin

y software

CAPTULO 3Aproximaciones

y erroresde redondeo

CAPTULO 4Errores de

truncamientoy la serie de Taylor

EPLOGO

2.6Otros lenguajes

y bibliotecas

2.5MATLAB

2.4Excel

2.3Programacin

modular

2.2Programacinestructurada

2.1Paquetes y

programacin

PT1.2Antecedentesmatemticos

PT1.6Mtodos

avanzados

PT1.5Frmulas

importantes

4.4Varios tipos

de error

4.3Error numrico

total

4.2Propagacin

del error

4.1La serie

de Taylor

3.4Errores deredondeo

3.1Cifras

significativas

3.3Definiciones

de error

3.2Exactitud

y precisin

PT1.4Alternativas

PT1.3Orientacin

PT1.1Motivacin

1.2Leyes de

conservacin

1.1Un modelo

simple

FIGURA PT1.3Esquema de la organizacin del material en la parte uno: Modelos, computadoras y anlisis del error.

PT1.3 ORIENTACIN 9


PT1.3.2 Metas y objetivos

Objetivos de estudio. Al terminar la parte uno el lector deber estar preparado para aventurarse en los mtodos numricos. En general, habr adquirido una comprensin fundamental de la importancia de las computadoras y del papel que desempean las aproximaciones y los errores en el uso y desarrollo de los mtodos numricos. Adems de estas metas generales, deber dominar cada uno de los objetivos de estudio especficos que se muestran en la tabla PT1.1.

Objetivos de cmputo. Al terminar de estudiar la parte uno, usted deber tener su-ficientes habilidades en computacin para desarrollar su propio software para los mto-dos numricos de este texto. Tambin ser capaz de desarrollar programas de computadora bien estructurados y confiables basndose en seudocdigos, diagramas de flujo u otras formas de algoritmo. Usted deber desarrollar la capacidad de documen-tar sus programas de manera que sean utilizados en forma eficiente por otros usuarios. Por ltimo, adems de sus propios programas, usted deber usar paquetes de software junto con este libro. Paquetes como MATLAB y Excel son los ejemplos de dicho soft-ware. Usted deber estar familiarizado con ellos, ya que ser ms cmodo utilizarlos para resolver despus los problemas numricos de este texto.

TABLA PT1.1 Objetivos especfi cos de estudio de la parte uno.

1. Reconocer la diferencia entre soluciones analticas y numricas. 2. Entender cmo las leyes de la conservacin se emplean para desarrollar modelos matemticos de

sistemas fsicos. 3. Defi nir diseo modular y top-down. 4. Defi nir las reglas para la programacin estructurada. 5. Ser capaz de elaborar programas estructurados y modulares en un lenguaje de alto nivel. 6. Saber cmo se traducen los diagramas de fl ujo estructurado y el seudocdigo al cdigo en un

lenguaje de alto nivel. 7. Empezar a familiarizarse con cualquier software que usar junto con este texto. 8. Reconocer la diferencia entre error de truncamiento y error de redondeo. 9. Comprender los conceptos de cifras signifi cativas, exactitud y precisin. 10. Conocer la diferencia entre error relativo verdadero ev, error relativo aproximado ea y error

aceptable es y entender cmo ea y es sirven para terminar un clculo iterativo. 11. Entender cmo se representan los nmeros en las computadoras y cmo tal representacin induce

errores de redondeo. En particular, conocer la diferencia entre precisin simple y extendida. 12. Reconocer cmo la aritmtica de la computadora llega a presentar y amplifi car el error de

redondeo en los clculos. En particular, apreciar el problema de la cancelacin por sustraccin. 13. Saber cmo la serie de Taylor y su residuo se emplean para representar funciones continuas. 14. Conocer la relacin entre diferencias fi nitas divididas y derivadas. 15. Ser capaz de analizar cmo los errores se propagan a travs de las relaciones funcionales. 16. Estar familiarizado con los conceptos de estabilidad y condicin. 17. Familiarizarse con las consideraciones que se describen en el eplogo de la parte uno.



CAPTULO 1

Modelos matemticos y solucin de problemas en ingeniera

El conocimiento y la comprensin son prerrequisitos para la aplicacin eficaz de cualquier herramienta. Si no sabemos cmo funcionan las herramientas, por ejemplo, tendremos serios problemas para reparar un automvil, aunque la caja de herramientas sea de lo ms completa.

sta es una realidad, particularmente cuando se utilizan computadoras para resolver problemas de ingeniera. Aunque las computadoras tienen una gran utilidad, son prc-ticamente intiles si no se comprende el funcionamiento de los sistemas de ingeniera.

Esta comprensin inicialmente es emprica es decir, se adquiere por observacin y experimentacin. Sin embargo, aunque esta informacin obtenida de manera emp-rica resulta esencial, slo estamos a la mitad del camino. Durante muchos aos de ob-servacin y experimentacin, los ingenieros y los cientficos han advertido que ciertos aspectos de sus estudios empricos ocurren una y otra vez. Este comportamiento general puede expresarse como las leyes fundamentales que engloba, en esencia, el conocimien-to acumulado de la experiencia pasada. As, muchos problemas de ingeniera se resuel-ven con el empleo de un doble enfoque: el empirismo y el anlisis terico (figura 1.1).

Debe destacarse que ambos estn estrechamente relacionados. Conforme se obtie-nen nuevas mediciones, las generalizaciones llegan a modificarse o aun a descubrirse otras nuevas. De igual manera, las generalizaciones tienen una gran influencia en la experimentacin y en las observaciones. En lo particular, las generalizaciones sirven para organizar principios que se utilizan para sintetizar los resultados de observaciones y experimentos en un sistema coherente y comprensible, del que se pueden obtener conclusiones. Desde la perspectiva de la solucin de un problema de ingeniera, el sis-tema es an ms til cuando el problema se expresa por medio de un modelo matem-tico.

El primer objetivo de este captulo consiste en introducir al lector a la modelacin matemtica y su papel en la solucin de problemas en ingeniera. Se mostrar tambin la forma en que los mtodos numricos figuran en el proceso.

1.1 UN MODELO MATEMTICO SIMPLE

Un modelo matemtico se define, de manera general, como una formulacin o una ecuacin que expresa las caractersticas esenciales de un sistema fsico o de un proceso en trminos matemticos. En general, el modelo se representa mediante una relacin funcional de la forma:

Variable variables funciones dependiente = f independientes, parmetros, de fuerza (1.1)


12 MODELOS MATEMTICOS Y SOLUCIN DE PROBLEMAS EN INGENIERA

donde la variable dependiente es una caracterstica que generalmente refleja el com-portamiento o estado de un sistema; las variables independientes son, por lo comn, dimensiones tales como tiempo y espacio, a travs de las cuales se determina el com-portamiento del sistema; los parmetros son el reflejo de las propiedades o la composi-cin del sistema; y las funciones de fuerza son influencias externas que actan sobre el sistema.

La expresin matemtica de la ecuacin (1.1) va desde una simple relacin algebrai-ca hasta un enorme y complicado grupo de ecuaciones diferenciales. Por ejemplo, a travs de sus observaciones, Newton formul su segunda ley del movimiento, la cual establece que la razn de cambio del momentum con respecto al tiempo de un cuerpo, es igual a la fuerza resultante que acta sobre l. La expresin matemtica, o el modelo, de la segunda ley es la ya conocida ecuacin

F = ma (1.2)

donde F es la fuerza neta que acta sobre el objeto (N, o kg m/s2), m es la masa del objeto (kg) y a es su aceleracin (m/s2).

Instauracin

Resultadosnumricoso grficos

Modelomatemtico

Definicindel problema

TEORA DATOS

Herramientas para resolver problemas: computadoras,

estadstica, mtodos numricos,grficas, etctera.

Relaciones grupales: programacin, optimizacin,

comunicacin, interaccin pblica, etctera.

FIGURA 1.1Proceso de solucin de problemas en ingeniera.


La segunda ley puede escribirse en el formato de la ecuacin (1.1), dividiendo, simplemente, ambos lados entre m para obtener

aFm

=

(1.3)

donde a es la variable dependiente que refleja el comportamiento del sistema, F es la funcin de fuerza y m es un parmetro que representa una propiedad del sistema. Ob-serve que en este caso especfico no existe variable independiente porque an no se predice cmo vara la aceleracin con respecto al tiempo o al espacio.

La ecuacin (1.3) posee varias de las caractersticas tpicas de los modelos matem-ticos del mundo fsico:

1. Describe un proceso o sistema natural en trminos matemticos. 2. Representa una idealizacin y una simplificacin de la realidad. Es decir, ignora los

detalles insignificantes del proceso natural y se concentra en sus manifestaciones esenciales. Por ende, la segunda ley de Newton no incluye los efectos de la relati-vidad, que tienen una importancia mnima cuando se aplican a objetos y fuerzas que interactan sobre o alrededor de la superficie de la Tierra, a velocidades y en escalas visibles a los seres humanos.

3. Finalmente, conduce a resultados reproducibles y, en consecuencia, llega a emplear-se con la finalidad de predecir. Por ejemplo, dada la fuerza aplicada sobre un objeto de masa conocida, la ecuacin (1.3) se emplea para calcular la aceleracin.

Debido a su forma algebraica sencilla, la solucin de la ecuacin (1.2) se obtiene con facilidad. Sin embargo, es posible que otros modelos matemticos de fenmenos fsicos sean mucho ms complejos y no se resuelvan con exactitud, o que requieran para su solucin de tcnicas matemticas ms sofisticadas que la simple lgebra. Para ilustrar un modelo ms complicado de este tipo, se utiliza la segunda ley de Newton para deter-minar la velocidad final de la cada libre de un cuerpo que se encuentra cerca de la su-perficie de la Tierra. Nuestro cuerpo en cada libre ser el de un paracaidista (figura 1.2). Un modelo para este caso se obtiene expresando la aceleracin como la razn de cambio de la velocidad con respecto al tiempo (dv/dt), y sustituyendo en la ecuacin (1.3). Se tiene

ddt

Fm

v=

(1.4)

donde v es la velocidad (m/s) y t es el tiempo (s). As, la masa multiplicada por la razn de cambio de la velocidad es igual a la fuerza neta que acta sobre el cuerpo. Si la fuer-za neta es positiva, el cuerpo se acelerar. Si es negativa, el cuerpo se desacelerar. Si la fuerza neta es igual a cero, la velocidad del cuerpo permanecer constante.

Ahora expresemos la fuerza neta en trminos de variables y parmetros mensurables. Para un cuerpo que cae a distancias cercanas a la Tierra (figura 1.2), la fuerza total est compuesta por dos fuerzas contrarias: la atraccin hacia abajo debida a la gravedad FD y la fuerza hacia arriba debida a la resistencia del aire FU.

F = FD + FU (1.5)

FIGURA 1.2Representacin esquemtica de las fuerzas que actan sobre un paracaidista en descenso. FD es la fuerza hacia abajo debida a la atraccin de la gravedad. FU es la fuerza hacia arriba debida a la resistencia del aire.

FU

FD

1.1 UN MODELO MATEMTICO SIMPLE 13



Si a la fuerza hacia abajo se le asigna un signo positivo, se usa la segunda ley de Newton para expresar la fuerza debida a la gravedad como

FD = mg (1.6)

donde g es la constante gravitacional, o la aceleracin debida a la gravedad, que es aproximadamente igual a 9.8 m/s2.

La resistencia del aire puede expresarse de varias maneras. Una forma sencilla consiste en suponer que es linealmente proporcional a la velocidad,1 y que acta en di-reccin hacia arriba tal como

FU = cv (1.7)

donde c es una constante de proporcionalidad llamada coeficiente de resistencia o arrastre (kg/s). As, cuanto mayor sea la velocidad de cada, mayor ser la fuerza hacia arriba debida a la resistencia del aire. El parmetro c toma en cuenta las propiedades del objeto que cae, tales como su forma o la aspereza de su superficie, que afectan la resis-tencia del aire. En este caso, c podra ser funcin del tipo de traje o de la orientacin usada por el paracaidista durante la cada libre.

La fuerza total es la diferencia entre las fuerzas hacia abajo y las fuerzas hacia arriba. Por lo tanto, combinando las ecuaciones (1.4) a (1.7), se obtiene

ddt

mg cm

v v=

(1.8)o simplificando el lado derecho de la igualdad,

ddt

g cm

vv=

(1.9)La ecuacin (1.9) es un modelo que relaciona la aceleracin de un cuerpo que cae con las fuerzas que actan sobre l. Se trata de una ecuacin diferencial porque est escrita en trminos de la razn de cambio diferencial (dv/dt) de la variable que nos interesa predecir. Sin embargo, en contraste con la solucin de la segunda ley de Newton en la ecuacin (1.3), la solucin exacta de la ecuacin (1.9) para la velocidad del paracaidista que cae no puede obtenerse mediante simples manipulaciones algebraicas. Siendo ne-cesario emplear tcnicas ms avanzadas, del clculo, para obtener una solucin exacta o analtica. Por ejemplo, si inicialmente el paracaidista est en reposo (v = 0 en t = 0), se utiliza el clculo integral para resolver la ecuacin (1.9), as

v( ) ( )( / )t gmc

e c m t= 1 (1.10)

Note que la ecuacin (1.10) es un ejemplo de la forma general de la ecuacin (1.1), don-de v(t) es la variable dependiente, t es la variable independiente, c y m son parmetros, y g es la funcin de fuerza.

1 De hecho, la relacin es realmente no lineal y podra ser representada mejor por una relacin con potencias

como FU = cv 2. Al nal de este captulo, investigaremos, en un ejercicio, de qu manera in uyen estas no linealidades en el modelo.


EJEMPLO 1.1


Solucin analtica del problema del paracaidista que cae

Planteamiento del problema. Un paracaidista con una masa de 68.1 kg salta de un globo aerosttico fijo. Aplique la ecuacin (1.10) para calcular la velocidad antes de que se abra el paracadas. Considere que el coeficiente de resistencia es igual a 12.5 kg/s.

Solucin. Al sustituir los valores de los parmetros en la ecuacin (1.10) se obtiene

v( ) . ( . ).

( ) . ( )( . / . ) .t e et t= =9 8 68 112 5

1 53 39 112 5 68 1 0 18355

que sirve para calcular la velocidad del paracaidista a diferentes tiempos, tabulando se tiene

t, s v, m/s

0 0.00 2 16.40 4 27.77 6 35.64 8 41.10 10 44.87 12 47.49 53.39

De acuerdo con el modelo, el paracaidista acelera rpidamente (figura 1.3). Se alcanza una velocidad de 44.87 m/s (100.4 mi/h) despus de 10 s. Observe tambin que, despus de un tiempo suficientemente grande, alcanza una velocidad constante llamada velocidad terminal o velocidad lmite de 53.39 m/s (119.4 mi/h). Esta velocidad es constante por-que despus de un tiempo la fuerza de gravedad estar en equilibrio con la resistencia del aire. Entonces, la fuerza total es cero y cesa la aceleracin.

A la ecuacin (1.10) se le llama solucin analtica o exacta ya que satisface con exactitud la ecuacin diferencial original. Por desgracia, hay muchos modelos matem-ticos que no pueden resolverse con exactitud. En muchos de estos casos, la nica alter-nativa consiste en desarrollar una solucin numrica que se aproxime a la solucin exacta.

Como ya se mencion, los mtodos numricos son aquellos en los que se reformula el problema matemtico para lograr resolverlo mediante operaciones aritmticas. Esto puede ilustrarse para el caso de la segunda ley de Newton, observando que a la razn de cambio de la velocidad con respecto al tiempo se puede aproximar mediante (figu-ra 1.4):

ddt t

t t

t ti i

i i

v v v v = +

+

( ) ( )

1

1 (1.11)

donde v y t son diferencias en la velocidad y en el tiempo, respectivamente, calculadas sobre intervalos finitos, v(ti) es la velocidad en el tiempo inicial ti, y v(ti+1) es la veloci-



dad algn tiempo ms tarde ti + l. Observe que dv/dt v/t es aproximado porque t es finito. Recordando los cursos de clculo tenemos que

ddt ttv v

=

lm

0

La ecuacin (1.11) representa el proceso inverso.

00

20

40

4 8 12

t, s

v, m

/s

Velocidad terminal

FIGURA 1.3Solucin analtica al problema del paracaidista que cae segn se calcula en el ejemplo 1.1. La velocidad aumenta con el tiempo y tiende asintticamente a una velocidad terminal.

FIGURA 1.4Uso de una diferencia fi nita para aproximar la primera derivada de v con respecto a t.

v(ti +1)

v(ti )

v

Pendienteverdaderadv/dt

Pendienteaproximada

v

tv(ti +1) v(ti )

ti +1 ti =

ti +1ti t

t


A la ecuacin (1.11) se le denomina una aproximacin en diferencia finita dividida de la derivada en el tiempo ti. Sustituyendo en la ecuacin (1.9), tenemos

v vv

( ) ( )

( )t tt t

g cm

ti i

i ii

+

+

=1

1

Esta ecuacin se reordena para obtener

v v v( ) ( ) ( ) ( )t t g cm

t t ti i i i i+ += +

1 1 (1.12)

Note que el trmino entre corchetes es el lado derecho de la propia ecuacin diferen-cial [ecuacin (1.9)]. Es decir, este trmino nos da un medio para calcular la razn de cambio o la pendiente de v. As, la ecuacin diferencial se ha transformado en una ecua-cin que puede utilizarse para determinar algebraicamente la velocidad en ti+1, usando la pendiente y los valores anteriores de v y t. Si se da un valor inicial para la velocidad en algn tiempo ti, es posible calcular con facilidad la velocidad en un tiempo posterior ti+1. Este nuevo valor de la velocidad en ti+1 sirve para calcular la velocidad en ti+2 y as sucesivamente. Es decir, a cualquier tiempo,

valor nuevo = valor anterior + pendiente tamao del paso

Observe que esta aproximacin formalmente se conoce como mtodo de Euler.

EJEMPLO 1.2 Solucin numrica al problema de la cada de un paracaidista

Planteamiento del problema. Realice el mismo clculo que en el ejemplo 1.1, pero usando la ecuacin (1.12) para obtener la velocidad. Emplee un tamao de paso de 2 s para el clculo.

Solucin. Al empezar con los clculos (ti = 0), la velocidad del paracaidista es igual a cero. Con esta informacin y los valores de los parmetros del ejemplo 1.1, se utiliza la ecuacin (1.12) para calcular la velocidad en ti+l = 2 s:

v = + =0 9 8

12 568 1

0 2 19 60. ..

( ) . m/s

Para el siguiente intervalo (de t = 2 a 4 s), se repite el clculo y se obtiene

v = + =19 60 9 8

12 568 1

19 60 2 32 00. . ..

( . ) . m/s

Se contina con los clculos de manera similar para obtener los valores siguientes:




t, s v, m/s

0 0.00 2 19.60 4 32.00 6 39.85 8 44.82 10 47.97 12 49.96 53.39

Los resultados se muestran grficamente en la figura 1.5, junto con la solucin exacta. Como se puede ver, el mtodo numrico se aproxima bastante a la solucin exac-ta. Sin embargo, debido a que se emplean segmentos de rectas para aproximar una funcin que es una curva continua, hay algunas diferencias entre los dos resultados. Una forma de reducir estas diferencias consiste en usar un tamao de paso menor. Por ejem-plo, si se aplica la ecuacin (1.12) con intervalos de 1 s, se obtendra un error menor, ya que los segmentos de recta estaran un poco ms cerca de la verdadera solucin. Con los clculos manuales, el esfuerzo asociado al usar incrementos cada vez ms pequeos hara poco prcticas tales soluciones numricas. No obstante, con la ayuda de una compu-tadora personal es posible efectuar fcilmente un gran nmero de clculos; por lo tanto, se puede modelar con ms exactitud la velocidad del paracaidista que cae, sin tener que resolver la ecuacin diferencial en forma analtica.

Como se vio en el ejemplo anterior, obtener un resultado numrico ms preciso tiene un costo en trminos del nmero de clculos. Cada divisin a la mitad del tamao de paso para lograr mayor precisin nos lleva a duplicar el nmero de clculos. Como

00

20

40

4 8 12t, s

v, m

/s

Velocidad terminalo lmite

Solucin analtica, exacta

Solucin numrica aproximada

FIGURA 1.5Comparacin de las soluciones numricas y analticas para el problema del paracaidista que cae.


vemos, existe un costo inevitable entre la exactitud y la cantidad de operaciones. Esta relacin es de gran importancia en los mtodos numricos y constituyen un tema rele-vante de este libro. En consecuencia, hemos dedicado el eplogo de la parte uno para ofrecer una introduccin a dicho tipo de relaciones.

1.2 LEYES DE CONSERVACIN E INGENIERA

Aparte de la segunda ley de Newton, existen otros principios importantes en ingeniera. Entre los ms importantes estn las leyes de conservacin. stas son fundamentales en una gran variedad de complicados y poderosos modelos matemticos, las leyes de la conservacin en la ciencia y en la ingeniera conceptualmente son fciles de entender. Puesto que se pueden reducir a

Cambio = incremento decremento (1.13)

ste es precisamente el formato que empleamos al usar la segunda ley de Newton para desarrollar un equilibrio de fuerzas en la cada del paracaidista [ecuacin (1.8)].

Pese a su sencillez, la ecuacin (1.13) representa una de las maneras fundamentales en que las leyes de conservacin se emplean en ingeniera esto es, predecir cambios con respecto al tiempo. Nosotros le daremos a la ecuacin (1.13) el nombre especial de clculo de variable-tiempo (o transitorio).

Adems de la prediccin de cambios, las leyes de la conservacin se aplican tambin en casos en los que no existe cambio. Si el cambio es cero, la ecuacin (1.3) ser

Cambio = 0 = incremento decremento

o bien,

Incremento = decremento (1.14)

As, si no ocurre cambio alguno, el incremento y el decremento debern estar en equi-librio. Este caso, al que tambin se le da una denominacin especial clculo en esta-do estacionario, tiene diversas aplicaciones en ingeniera. Por ejemplo, para el flujo

Tubera 2Flujo de entrada = 80

Tubera 3Flujo de salida = 120

Tubera 4Flujo de salida = ?

Tubera 1Flujo de entrada = 100

FIGURA 1.6Equilibrio del fl ujo de un fl uido incompresible en estado estacionario a travs de tuberas.

1.2 LEYES DE CONSERVACIN E INGENIERA 19



de un fluido incompresible en estado estacionario a travs de tuberas, el flujo de entra-da debe estar en equilibrio con el flujo de salida, esto es

Flujo de entrada = flujo de salida Para la unin de tuberas de la figura 1.6, esta ecuacin de equilibrio se utiliza para calcular el flujo de salida de la cuarta tubera, que debe ser de 60.

Para la cada del paracaidista, las condiciones del estado estacionario deberan corres-ponder al caso en que la fuerza total fuera igual a cero o [ecuacin (1.8) con dv/dt = 0]

mg = cv (1.15)

As, en el estado estacionario, las fuerzas hacia abajo y hacia arriba estn equilibradas, y en la ecuacin (1.15) puede encontrarse la velocidad terminal.

v =mgc

Aunque las ecuaciones (1.13) y (1.14) pueden parecer triviales, stas determinan las dos maneras fundamentales en que las leyes de la conservacin se emplean en ingenie-ra. Como tales, en los captulos siguientes sern parte importante de nuestros esfuerzos por mostrar la relacin entre los mtodos numricos y la ingeniera. Nuestro primer medio para establecer tal relacin son las aplicaciones a la ingeniera que aparecen al final de cada parte del libro.

En la tabla 1.1 se resumen algunos de los modelos sencillos de ingeniera y las leyes de conservacin correspondientes, que constituirn la base de muchas de las aplicaciones a la ingeniera. La mayora de aplicaciones de ingeniera qumica harn nfasis en el balance de masa para el estudio de los reactores. El balance de masa es una consecuen-cia de la conservacin de la masa. ste especifica que, el cambio de masa de un com-puesto qumico en un reactor, depende de la cantidad de masa que entra menos la cantidad de masa que sale.

Las aplicaciones en ingeniera civil y mecnica se enfocan al desarrollo de modelos a partir de la conservacin del momentum. En la ingeniera civil se utilizan fuerzas en equilibrio para el anlisis de estructuras como las armaduras sencillas de la tabla. El mismo principio se aplica en ingeniera mecnica, con la finalidad de analizar el movi-miento transitorio hacia arriba o hacia abajo, o las vibraciones de un automvil.

Por ltimo, las aplicaciones en ingeniera elctrica emplean tanto balances de co-rriente como de energa para modelar circuitos elctricos. El balance de corriente, que resulta de la conservacin de carga, es similar al balance del flujo representado en la figura 1.6. As como el flujo debe equilibrarse en las uniones de tuberas, la corriente elctrica debe estar balanceada o en equilibrio en las uniones de alambres elctricos. El balance de energa especifica que la suma algebraica de los cambios de voltaje alrededor de cualquier malla de un circuito debe ser igual a cero. Las aplicaciones en ingeniera se proponen para ilustrar cmo se emplean actualmente los mtodos numricos en la solu-cin de problemas en ingeniera. Estas aplicaciones nos permitirn examinar la solucin a los problemas prcticos (tabla 1.2) que surgen en el mundo real. Establecer la relacin entre las tcnicas matemticas como los mtodos numricos y la prctica de la ingeniera es un paso decisivo para mostrar su verdadero potencial. Examinar de manera cuidado-sa las aplicaciones a la ingeniera nos ayudar a establecer esta relacin.


Estructura

Ingeniera civil Conservacin delmomentum

Ingenieraqumica

Campo Dispositivo Principio aplicado Expresin matemtica

Conservacinde la masa

Equilibrio de fuerzas:

Ingenieramecnica

Conservacin delmomentumMquina

Equilibrio de fuerzas:

Ingenieraelctrica

Conservacinde la carga

Balance de corriente:

Conservacinde la energa

Balance de voltaje:

Balance de la masa:Reactores Entrada Salida

En un periodomasa = entradas salidas

En cada nodo fuerzas horizontales (FH) = 0 fuerzas verticales (FV) = 0

En cada nodo corriente (i ) = 0

Alrededor de cada malla fems cada de potencial en los resistores = 0 iR = 0

FV

+ FV

+ FH FH

+ i2

i3+ i1+

Circuitoi1R1

i3R3

i2R2

Fuerza hacia arriba

Fuerza hacia abajo

x = 0

m = Fuerza hacia abajo fuerza hacia arribad2x

dt2

TABLA 1.1 Dispositivos y tipos de balances que se usan comnmente en las cuatro grandes reas de la ingeniera. En cada caso se especifi ca la ley de conservacin en que se fundamenta el balance.

1.2 LEYES DE CONSERVACIN E INGENIERA 21



TABLA 1.2 Algunos aspectos prcticos que se investigarn en las aplicacionesa la ingeniera al fi nal de cada parte del libro.

1. No lineal contra lineal. Mucho de la ingeniera clsica depende de la linealizacin que permite soluciones analticas. Aunque esto es con frecuencia apropiado, puede lograrse una mejor comprensin cuando se revisan los problemas no lineales.

2. Grandes sistemas contra pequeos. Sin una computadora, no siempre es posible examinar sistemas en que intervienen ms de tres componentes. Con las computadoras y los mtodos numricos, se pueden examinar en forma ms realista sistemas multicomponentes.

3. No ideal contra ideal. En ingeniera abundan las leyes idealizadas. A menudo, hay alternativas no idealizadas que son ms realistas pero que demandan muchos clculos. La aproximacin numrica llega a facilitar la aplicacin de esas relaciones no ideales.

4. Anlisis de sensibilidad. Debido a que estn involucrados, muchos clculos manuales requieren una gran cantidad de tiempo y esfuerzo para su correcta realizacin. Esto algunas veces desalienta al analista cuando realiza los mltiples clculos que son necesarios al examinar cmo responde un sistema en diferentes condiciones. Tal anlisis de sensibilidad se facilita cuando los mtodos numricos permiten que la computadora asuma la carga de clculo.

5. Diseo. Determinar el comportamiento de un sistema en funcin de sus parmetros es a menudo una proposicin sencilla. Por lo comn, es ms difcil resolver el problema inverso; es decir, determinar los parmetros cuando se especifi ca el comportamiento requerido. Entonces, los mtodos numricos y las computadoras permiten realizar esta tarea de manera efi ciente.

PROBLEMAS

1.1 Aproximadamente, 60% del peso total del cuerpo correspon-de al agua. Si se supone que es posible separarla en seis regiones, los porcentajes seran los que siguen. Al plasma corresponde 4.5% del peso corporal y 7.5% del total del agua en el cuerpo. Los tejidos conectivos densos y los cartlagos ocupan 4.5% del peso total del cuerpo y 7.5% del total de agua. La linfa intersticial equivale a 12% del peso del cuerpo y 20% del total de agua en ste. El agua inaccesible en los huesos es aproximadamente 7.5% del total de agua corporal y 4.5% del peso del cuerpo. Si el agua intracelular equivale a 33% del peso total del cuerpo y el agua transcelular ocupa 2.5% del total de agua en el cuerpo, qu porcentaje del peso total corporal debe corresponder al agua transcelular, y qu porcentaje del total de agua del cuerpo debe ser el del agua intracelular?1.2 Un grupo de 30 estudiantes asiste a clase en un saln que mide 10 m por 8 m por 3 m. Cada estudiante ocupa alrededor de 0.075 m3 y genera cerca de 80 W de calor (1 W = 1 J/s). Calcule el incremento de la temperatura del aire durante los primeros 15 minutos de la clase, si el saln est sellado y aislado por com-pleto. Suponga que la capacidad calorfica del aire, Cu, es de 0.718 kJ/(kg K). Suponga que el aire es un gas ideal a 20 C y 101.325 kPa. Obsrvese que el calor absorbido por el aire Q est relacionado con la masa de aire m, la capacidad calorfica, y el cambio en la temperatura, por medio de la relacin siguiente:

Q m C dT mC T TT

T

= =1

2

2 1v v( )

La masa del aire se obtiene de la ley del gas ideal:

PV m RT=Mwt

donde P es la presin del gas, V es el volumen de ste, Mwt es el peso molecular del gas (para el aire, 28.97 kg/kmol), y R es la constante del gas ideal [8.314 kPa m3/(kmol K)].1.3 Se dispone de la informacin siguiente de una cuenta ban-caria:

Fecha Depsitos Retiros Balance

5/1 1512.33

220.13 327.26 6/1 216.80 378.61 7/1 450.25 106.80 8/1 127.31 350.61 9/1

Utilice la conservacin del efectivo para calcular el balance al 6/1, 7/1, 8/1 y 9/1. Demuestre cada paso del clculo. Este clcu-lo es de estado estacionario o transitorio?1.4 La tasa de flujo volumtrico a travs de un tubo est dado por la ecuacin Q = vA, donde v es la velocidad promedio y A


es el rea de la seccin transversal. Utilice la continuidad volu-mtrica para resolver cul es el rea requerida en el tubo 3.

1.5 En la figura P1.5 se ilustran formas distintas en las que un hombre promedio gana o pierde agua durante el da. Se ingiere un litro en forma de comida, y el cuerpo produce en forma me-tablica 0.3 L. Al respirar aire, el intercambio es de 0.05 L al inhalar, y 0.4 L al exhalar, durante el periodo de un da. El cuer-po tambin pierde 0.2, 1.4, 0.2 y 0.35 L a travs del sudor, la orina, las heces y por la piel, respectivamente. Con objeto de mantener la condicin de estado estacionario, cunta agua debe tomarse por da?

1.6 Para el paracaidista en cada libre con arrastre lineal, supon-ga un primer saltador de 70 kg con coeficiente de arrastre de 12 kg/s. Si un segundo saltador tiene un coeficiente de arrastre de 15 kg/s y una masa de 75 kg, cunto tiempo le tomar alcan-zar la misma velocidad que el primero adquiera en 10 s?1.7 Utilice el clculo para resolver la ecuacin (1.9) para el caso en que la velocidad inicial, v(0) es diferente de cero.1.8 Repita el ejemplo 1.2. Calcule la velocidad en t = 10 s, con un tamao de paso de a) 1 y b) 0.5 s. Puede usted establecer algn enunciado en relacin con los errores de clculo con base en los resultados?

1.9 En vez de la relacin lineal de la ecuacin (1.7), elija mode-lar la fuerza hacia arriba sobre el paracaidista como una relacin de segundo orden,

FU = cv2

donde c = un coeficiente de arrastre de segundo orden (kg/m). a) Con el empleo del clculo, obtenga la solucin de forma

cerrada para el caso en que al inicio el saltador se encuentra en reposo (v = 0 en t = 0).

b) Repita el clculo numrico en el ejemplo 1.2 con los mismos valores de condicin inicial y de parmetros. Utilice un valor de 0.225 kg/m para c.

1.10 Calcule la velocidad de un paracaidista en cada libre con el empleo del mtodo de Euler para el caso en que m = 80 kg y c = 10 kg/s. Lleve a cabo el clculo desde t = 0 hasta t = 20 s con un tamao de paso de 1 s. Use una condicin inicial en que el paracaidista tiene una velocidad hacia arriba de 20 m/s en t = 0. Suponga que el paracadas se abre instantneamente en t = 10 s, de modo que el coeficiente de arrastre sube a 50 kg/s.1.11 En el ejemplo del paracaidista en cada libre, se supuso que la aceleracin debida a la gravedad era un valor constante de 9.8 m/s2. Aunque sta es una buena aproximacin cuando se estu-dian objetos en cada cerca de la superficie de la tierra, la fuerza gravitacional disminuye conforme se acerca al nivel del mar. Una representacin ms general basada en la ley de Newton del inver-so del cuadrado de la atraccin gravitacional, se escribe como

g x g RR x

( ) ( ) ( )= +02

2

donde g(x) = aceleracin gravitacional a una altitud x (en m) medida hacia arriba a partir de la superficie terrestre (m/s2), g(0) = aceleracin gravitacional en la superficie terrestre ( 9.8 m/s2), y R = el radio de la tierra ( 6.37 106 m). a) En forma similar en que se obtuvo la ecuacin (1.9), use

un balance de fuerzas para obtener una ecuacin diferencial para la velocidad como funcin del tiempo que utilice esta representacin ms completa de la gravitacin. Sin embargo, para esta obtencin, suponga como positiva la velocidad hacia arriba.

b) Para el caso en que el arrastre es despreciable, utilice la regla de la cadena para expresar la ecuacin diferencial como funcin de la altitud en lugar del tiempo. Recuerde que la regla de la cadena es

dvdt

dvdx

dxdt

=

c) Use el clculo para obtener la forma cerrada de la solucin donde v = v0 en = 0.

d) Emplee el mtodo de Euler para obtener la solucin num-rica desde x = 0 hasta 100 000 m, con el uso de un paso de

V3,sal = 6 m/sA3 = ?

Q2,sal = 20 m3/sQ1,ent = 40 m3/s

PROBLEMAS 23

Piel

Orina

CUERPO

Comida

Bebida

Heces

Sudo

126535044 Metodos Numericos Para Ingenieros PDF

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