120288729 Hidraulica Para Ingenieros

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lasMquinas

Hidrulicas

1HIDRAULICA APLICADA

Cdigo 325, 3 Curso, 1 Semestre, INGENIERA INDUSTRIALrea Mecnica de Fluidos. Dpto. Tecnologa

TEMA 7

INTRODUCCIN A LASMQUINAS

HIDRAULICAS

HIDRAULICA APLICADACdigo 325

3 Curso, INGENIERA INDUSTRIAL

Curso 2004/05


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lasMquinas

Hidrulicas



1.1.- Introduccin a las Bombas Centrfugas

1.2.- Clasif icacin de las mquinas de fluidos1.2.1.- Introduccin: generalidades

1.2.2.- Algunos tipos de bombas

1.2.3.- Clasificacin de las turbobmbas hidrulicas1.3.- Teorema Fundamental de las Turbomquinas o Teorema de Euler

1.4.- Altura terica aportada por una bomba

1.5.- Derivacin alternativa de la ecuacin fundamental de las turbomquinas

ANEXOS


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1.1.- Introduccin a las Bombas Centrfugas

Este es el esquema tpico de un bomba centrfuga.

EntradaCaudal

SalidaCaudal

Brida deAspiracin

Brida deImpulsin

El sistema de funcionamiento esbastante sencillo. El caudal entra a la bomba atravs de la brida de aspiracin. Pasa a travs delrodete, dispositivo con aspas que se mueve sobre

su eje gracias al motor al que est acoplado. Elrodete le comunica energa centrfuga al fluido,siendo expulsado hacia la voluta, especie decaracol que recoge el caudal que sale del rodete,el cual lo conduce hacia la brida de impulsin,

salida de la bomba.


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EntradaCaudal Eje

SalidaCaudal

Esquema de una bomba centrfugamonobloc tpica.

Motor: Elctrico o Diessel

Rodete

Motor: Elctrico o Diessel


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Veamos que hace la bomba de forma breve: El fluido entra por la brida de impulsin, y sale por lade aspiracin. Si aplicamos Bernoulli:

impimpimpbombaaspaspasp zgVpHz

gVp ++=+++

.2.2

22

Dasp

Dimp

Qentrada

Qsalida

z[ ]aspimpaspimpaspimp

bomba zzg

V

g

VppH +

+

=

.2.2

22

La diferencia de cotas entre laentrada y la salida es muy pequea,y casi la podemos despreciar

0

Obviamente el caudal a la entrada es el mismoque a la salida, y si los dimetros de aspiracin eimpulsin son parecidos, las velocidades delfluido en esos puntos tambin lo sern, por lo quela diferencia la podramos despreciar en un primermomento.

+

=

g

V

g

VppH aspimpaspimpbomba .2.2

22

0bomba

aspimp Hpp

+=


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O lo que es lo mismo, toda la energa de bombeo, o energa que entrega labomba al fluido, ste lo invierte, o la almacena, en forma de presin a la

salida de la bomba.

bombaaspimp H

pp+=

Por tanto, las bombas lo que hacen es aumentar la energa en forma de presin del fluido.Consumen Energa de la red, energa elctrica normalmente, y entregan energa al fluido, el cual laalmacena en forma de presin.

Energaconsumidade la red

Perdidasen el motorElctrico

PerdidasMecnicas( en el eje )

Perdidas Hidrulicas( Rozamiento,turbulencias, Choques,etc.. )

Energa

Hidrulica tilEntregada alFluido


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Cul es la potencia

necesaria para elevar ellquido de la tubera ?

( ) HQHAVPAVFVP imphimpimppotencia ........ ====

Por tanto, la potencia til que posee el fluido a la salida de la bomba ser: HQPutil ..=

La potencia elctrica que toma de la red ser ( si el motor es trifsico ): cos...3 IUPelectrica=

As, el rendimiento de la bomba, ser la relacin entre la potencia til que le entregamos al fluido y lapotencia elctrica que tomamos de la red, y que pagamos:

electrica

tilP

P=

HQ

Pelectrica

..

=Es decir, la potencia consumida por la bomba ser:

Donde el rendimiento ser un parmetro de la bomba que el fabricante nos dar en forma de curva,en funcin del caudal que trasiega.


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De forma preliminar vamos a intentar entender el comportamiento de la bomba. Supongamosque no existen ningn tipo de prdidas en la bomba. As toda la energa que extraemos de la red se la

comunicamos a la bomba. Esto es debido a que el motor elctrico mantiene las rpmconstantes, por tanto,la energa disponible para el fluido se mantiene de alguna manera constante. Si pasa poco lquido, laenerga que le daremos al fluido por unida de volumen ser mayor que si pasa mucho fluido por la bomba.Por tanto, es de esperar que el comportamiento de la bomba sea de una forma parecida a esta:

Si por la bomba pasa Q1, la bomba le da energaal fluido el cual la almacena en forma de presin,

correspondindole una altura H1, si pasa mscaudal, Q2, la misma energa se reparte entrems y por tanto, a cada unidad de caudal lecorresponde menos energa, por lo que laenerga almacena es menor, y por tanto sale de

la bomba con menos presin ( altura ), H2.


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La bomba no sabe cuanto caudal ha de trasegar, quien marca el caudal es la instalacin sobrela que va montada la bomba. Supongamos que tenemos la instalacin de la figura

Curva Resistiva de la Instalacin, HA

La bomba si la colocamos es la instalacin

anterior, tendr su punto de funcionamientoen H0,Q0. Que como vemos depende de lafriccin, la vlvula y la cota.


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Matemticamente esto se expresa como:

Curva Motriz2.. QCQBAHbomba ++=

Curva Resistiva de la instalacin.22 .. QrQrZH valvulafriccinA ++=

As, si queremos un caudal en concreto, lo que hemos de hacer es variar la curva

resistiva, y para eso est la vlvula que en funcin de su gradode abertura introducir una resistenciau otra. As, si por ejemplo cerramos la vlvula aumentando la resistencia hidrulica de la misma, elsistema reducir el caudal, Q1, y aumentando la altura, H1, que proporciona la bomba.


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Partes pr incipales de las Bombas Centrfugas

ImpulsinDifusor

Impulsin

Aspiracin

Aspiracin

RodeteCmara Espiral o Caracol o Voluta


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Rodete

Voluta oCaracol

Lineade flujo

Punto de entrada al rodeteBOMBA CENTRFUGA SIN DIFUSOR


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EL aumento de energa se refleja a la salida del rodete como un aumento del momento cintico. SI queremoscomunicar mucha energa al fluido, y por tanto una mayor presin, la velocidad absoluta a la salida del rodete

ser muy grande. Al pasar este fluido con alta velocidad por la voluta, se producirn muchas perdidas de energapor friccin ya que estas dependen de la velocidad al cuadrado. Para evitarlo, se coloca entre el rodete y lavoluta unos labes fijos que reducen la velocidad de salida aumentando la presin ( transforma energa cinticaen potencial, no se pierde ), con lo que se reduce las perdidas posteriores en el paso por el caracol.

DIFUSOR

RODETE

CARACOL

CARCASAIMPULSIN

ASPIRACIN


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1.2.- Clasif icacin de las mquinas de fluidos

1.2.1.- Introduccin: generalidades

Las bombas son mquinas de fluidos, es decir, dispositivos que transforman energa: TURBINAS : Mquinas de fluidos absorben energa del fluido que trasiegan.

BOMBAS : Mquinas de fluidos que comunican energa al fluido que trasiegan.

La primera gran clasificacin de las mquinas de fluidos es atendiendo a su principio de funcionamiento:

MQUINAS DE DESPLAZAMIENTO POSITIVO: Mquinas en las que el fluido es trasegado de formadiscreta, es decir, el fluido se encierra en un volumen, desde la aspiracin hasta la descarga, aplicndole

una serie de trasformaciones trasformacin.

TURBOMQUINAS: Mquinas en las que el intercambio de energa es debido a la variacin del

momento cintico al pasar por la mquina. El intercambio se hacede forma continuo.


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Otra gran divisin en la clasificacin de las mquinas de fluidos ser atendiendo al tipo de fluido

que trasiegan, y sobre todo, a variacin de la densidad del fluido en el interior de la mquina. As podemosdistinguir:

Mquinas Hidrulicas: El fluido no experimenta cambios en su densidad en su paso por la mquina.

Bombas, ventiladores, turbinas hidrulicas

Mquinas Trmicas: El fluido experimenta cambios en su densidad en su paso por la mquina

Turbinas de vapor y gas, turbocompresores

As, nosotros dedicaremos la mayor parte de nuestro tiempo a lasTURBOBMBASHIDRULICAS, algo de tiempo a las BOMBAS HIDRULICAS DE DESPLAZAMIENTO POSITIVO, y slo

se comentar el funcionamiento y principales aplicaciones de las TURBINAS HIDRULICAS. Lo relativo alas TURBINAS TRMICAS queda fuera del mbito de esta asignatura.


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Descripcin general de una Bomba

1. Parte elctrica: Motor y conexiones.

Motor de induccin o de jaula de ardilla, de potencia superior a lasolicitud ms desfavorable.


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lasMquinasHidrulicas



2.- Parte mecnica: Eje y rodamientos y sellos.

Muy simplificada al tratarse de un equipo compacto.

Eje y rodamientos sometidos a menos esfuerzos.


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Sellos: es vital en una bomba sumergible.

El ms apropiado es la junta mecnica.


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2.- Parte mecnica: Cmara de aceite para la lubricacin y refrigeracin de la junta mecnica.


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3.- Parte Hidrulica: Voluta, impulsor y anillos de desgaste.


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Existen muchas formas de clasificarlo


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A parte de esta existen un gran nmero declasificaciones alternativas. En la literaturaanglosajona es muy comn este tipo declasificacin, en la que se llaman bombasdinmicas o cinemticas a las turbobombas,

y se llaman bombas centrfugas al conjuntode bombas radiales, centrfugas yhelicocentrfugas


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1.2.3.- Clasificacin de las turbobmbas hidrulicas

Existe una gran cantidad de clasificaciones para las bombas hidrulicas. La ms popular es la que lasclasifica en funcin de la direccin del fluido en el rodete:

Radial o Centrfugo Helicocentrfugo o Mixo

RADIAL o CENTRFUGA:

Toda partcula de fluido recorre una

trayectoria situada en un plano normal aleje de giro.

AXIAL:

Las partculas recorren trayectoriassituadas en superficies cilndricascoaxiales al eje de giro

HELICOCENTRFUGAS:

Las partculas recorren trayectoriassituadas sobre superficies cnicas o de

revolucin no desarrollables


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Introduccina




CentrifugaRadial

Axial


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Tema7:

Introduccina




Radial

Axial


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Tema7:

IntroduccinalasMquinasHidrulicas



Segn la disposicin:

CAMARASECA

SUMERGIBLES

Cmara Seca:


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Tema7:




Cmara Seca:

VERTICAL

HORIZONTAL

Sumergibles


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Tema7:




Sumergibles

1.- De pozo profundo. 2.- De Voluta. 3.- De hlice.

Sumergibles: De pozo


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IntroduccinalasMquina

sHidrulicas



Sumergibles: De pozo

1.- De eje largo. 2.- De motor

sumergible

Sumergibles: Con Voluta


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sHidrulicas



Sumergibles: Con Voluta

1.- De motor exterior. 2.- De motor sumergible:

Sumergibles: de Hlice


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Tema7:


sHidrulicas



Sumergibles: de Hlice

1.- De motor exterior.

2.- De motor sumergible:


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Tema7:


sHidrulicas



Segn el tipo de eje:

MONOBLOC: Cuando el eje es nico para el motor y la bomba DE EJE LIBRE: Cuando la bomba y el motor tiene su propio eje, y se unen mediante algn

mecanismo para que la bomba sea arrastrada por el motor.

Eje Libre

Acoplamiento

entre ejes

Monobloc

Eje Comn


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Tema7:


sHidrulicas



Segn el Nmero de rodetes:

MONOCELULAR ( monostage): Cuando slo tiene un rodete MULTICELULAR ( multistage): Cuando tiene una serie de rodetes acoplados.

Mltiples

rodetes


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Tema7:


sHidrulicas



Mltiples rodetes


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Tema7:


sHidrulicas



Segn la configuracin del conjunto labes-discos externos que constituyen el rodete ( impeller ) :

Abierto Semi-abierto

Cerrado

Segn la configuracin del conjunto labes-discos externos que constituyen el rodete ( impeller ) :


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MONOCANALBICANAL

VORTEX ABIERTO

CORTADOR TIPOTORNILLO

1.3.- Teorema Fundamental de las Turbomquinas o Teorema de Euler


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sHidrulicas



q

Podemos partir de la aplicacin de la ecuacin de conservacin del momento angular para unos ejes fijos ( veranexo A para su deduccin )

( ) ( ) ( ) +=++ vcvc A

otrosC

erficie AdVVrdVrdtd

TdgrFr

.

sup ..

( ) ( ) ( ) + = = 12

AdVVrAdVVrAdVVrMvcA

ext

Entendiendo el volumen de control como todo al rotedete, y simplificando, suponiendo la ausencia derozamiento con los labesy estado estacionario, obtendremos:


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El nico par exterior al V.C. Ser el par motor, Mmotor, necesario para mover el rodete con unavelocidad angular .

Podemos suponer que la velocidad del flujo tanto a la entrada como a la salida del rodete esuniforme, es decir, no depende del punto del rea en el que nos situemos.

Con estas dos suposiciones la ecuacin anterior queda como:

( ) ( ) += 22

11. AdVVrAdVVrkMmotor

Teniendo en cuenta los tringulos de velocidades:

Entrada:


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Entrada:

( ) ( )=== 1111

cos.1.cos... dAVdAnVdAnVAdV

rm QvVdAVAdV ....cos..cos.. 11111

====

Salida:

( ) ( ) ( )=== 2222

cos.1.cos... dAVdAnVdAnVAdV

rm QvVdAVAdV ....cos..cos.. 12222

====

( ) ( ) ( ) ( )[ ]1221 ..)..().(. VrVrQQVrQVrkM rrrmotor

=+=

As, la ecuacin anterior queda como:

Aplicando la definicin de producto vectorial de dos vectores:

( )

( ) u

u

vrVrVrVrVr

vrVrVrVrVr

22222222

11111111

.cos..sin..sin..

.cos..sin..sin..

====

====


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Introduccin

alasMquina

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Sustituyendo en la ecuacin queda:

[ ]uurmotor vrvrQkM 1122 ..... = TEOREMA DE EULER BSICO DELAS TURBOMQUINAS

La suposiciones que se han considerado son:

No existen prdidas hidrulicas en el rodete

El rodete tiene un nmero infinito de labes. O lo que es lo mismo todas las trayectorias de laspartculas en el interior del rodete estn perfectamente guiadas y son idnticas

El rgimen es permanente El flujo es incompresible

Vamos ahora a analizar un poco la expresin del teorema de Euler:


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[ ]uurmotor vrvrQkM 1122 ..... =

Si nos fijamos en la velocidad del flujo, V, vemos que sta sepuede descomponer en dos , una componente radial, vm, la cuales obvio que no producir ningn tipo de par, ya que su lnea deaccin pasa por el centro de giro, y una componente vu ,

tangencial, la cual ser la responsable del par producido.Se puede entender que el momento ser proporcional a la distanciade aplicacin, por tanto, queda claro que el momento creado sobreel fluido ser proporcional a r.vu.

El motor de la bomba ha de proporcionar un par al fluidoproporcional a r2.v2u, pero si el fluido a la entrada ya posee un parproporcional a r1.v1u, el motor slo tendr que proporcionarle elresto, es decir la resta de ambas cantidades.

Qr es el caudal que circula por el rodete, es decir el caudal quetrasiega la bomba

[ ]uu vrvr 1122 ..

[ ]

[ ] mNvrQ

ms

mkgm

sm

skg

sm

ms

m

m

kgvrQ

ur

ur

....

..

........

22

2

3

322

=

==

=


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1.4.- Altura terica aportada por una bomba

Del teorema de Euler, podemos extraer la potencia terica de que la bomba ha de proporcionar:

[ ] [ ] [ ]uuruuruurmotormotor vuvuQvrvrQvrvrQMP 112211221122 ................ ====

La potencia comunicada al fluido en su paso por el rodete ser:

Cul es la potencianecesaria para elevar ellquido de la tubera ?

HQHAvP

PAvFvP h.....

...

==

==

= ,, .. tt HQP

[ ] == ,1122 ...... truurmotor HQvuvuQP Sustituyendo:

[ ]g

vuvuH uut

1122,

.. =

ALTURA TERICAPRODUCIDA POR UNABOMBA DE INFINITOSLABES

Como la mayora de bombas estn pensadas para que el flujo entre

de forma radial al rodete, es decir con = 90 , o lo que es lo mismov1u = 0, la altura terica para esta bombas ser:

gvu

H ut22

,.

=

Esevidenteque losparmetrosquecaracterizanunabombasonALTURAyCAUDAL por loquesera


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Es evidente que los parmetros que caracterizan una bomba son ALTURA y CAUDAL, por lo que seraadecuado intentar encontrar una relacin entre ambos parmetros.

2211 == r

m

r

m

Q

v

Q

vEl caudal es quien determina la componente radial vm de la velocidad V:

Mientras que la velocidad angular del rodete es quien marca lavelocidad tangencial u y por tanto la velocidad de arrastre.vu

60

...

60

.2..

60

.2. 2222

DNr

Nrur

Nru

=====

222 cos. vv u=

Si nos fijamos en la figura, el ngulo geomtrico ms fsico es 2,ya que viene marcado por la curvatura de los labes, y es fijo, porlo que es mejor trabajar con este ngulo que con 2 el cual varaen funcin del caudal y la velocidad.

2222

222 cot.

gvu

tgvuv m

mu ==

w2

Sustituyendo en la ecuacin de la altura:


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( ) ( )

rr

t

mmut

QggDN

ND

gQ

ggDNDN

gH

g

gvu

g

u

g

gvuu

g

vuH

=

=

=

==

2

2222

2

2

222

2,

22222222222

,

1cot

60

...

60

..

1cot

60

..

60

...

1

cot..cot...

rt QBNAH .. 2, =

Para una velocidad de rotacin dada N0, podemos determinar en funcindel ngulo de salida de las paletas lo siguiente:

rrt QBguQ

ggDN

guH .1cot

60.. 22

2

2222, =

=

-15

-10

-5

0

5

10

15

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

grados

co

tan

tg

1

N0 Rgimen de Giro Nominal

Si < 90 -> ctg >0 -> B>0-> PENDIENTE NEGATIVA

si Qraumenta, Ht Disminuye

Si > 90 -> ctg B PENDIENTE POSITIVA

si Qraumenta, HtAumenta

V l i i i d l fl id l b b L d l l


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Veamos que ocurre con la potencia terica comunicada al fluido por la bomba. La podemos calcular como:

rrtrt QBNAQHQP ....2

,, ==

Como se puede observar, slo las bombas con los labes con ngulo b2 90

2=90

2


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q

Supongamos que el rodete est parado, y que por tanto el fluidoentra y sale de l con una velocidad w1 y w2 respectivamente.Aplicando el teorema de Bernoulli:

g

wp

g

wp

22

222

211 +=+

Donde p es la presin a la entrada y salida del rodete.

SI el rodete se pone en marcha y gira con velocidad angular constante , lo que har ser aadir al fluido una

energa extra, E, derivada por la fuerza centrfuga en su caminodesde 1 a 2.

gwp

Eg

wp22

222

211 +=++

La fuerza centrfuga se puede determinar como: rmF mc ..2

, =

As, el trabajo que realizar la fuerza centrfuga sobre una partcula que va de 1 a 2 estar determinado por:

2

.

2

.....21

22

21

2222

.

2

1

uum

rrmdrrmW

r

r

Centr

=

==

P l fl id i l t d l b d l d t t


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Para una el fluido que circula entre dos labescuando el rodete estaquieto, segn Bernoulli tenemos que:

2

222

1

211

2222221

21111

2222221

21111

.2.2

..

.....2

1..

..

.....2

1..

.....21.......

21..

zg

w

g

pz

g

w

g

pQg

QgzQwwAp

Qg

QgzQwwAp

QgzQwwApQgzQwwAp

r

rr

r

rr

rrrr

++=++

++=

++

++=++

Para una el fluido que circula entre dos labescuando el rodete estagirando con velocidad constante , segn Bernoulli tendremos que:

2

222

21

22

1

211

222222

21

22

121111

222222

21

22

121111

.2.2.2

.......2

1

....

..2.....2

1

..

.....2

1....

2.....

2

1..

zg

w

g

p

g

uuz

g

w

g

p

QgQgzQwwAp

QgQ

uu

QgzQwwAp

QgzQwwApQuu

QgzQwwAp

r

rr

r

rrr

rrrrr

++=

+++

++=

+++

++=

+++

gpp

guu

gww 12

21

22

22

21

.2.2

=

+

Como usualmente z2=z1

ppuuww 1221

22

22

21 =

+


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alasMquina

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ggg .2.2+

2

2

2

2

21

2

1

2

1.2.2 pguwpguw +=+

.

.2

121

21 cte

p

g

uw=+

ECUACIN DE BERNOULLI

GENERALIZADA

En el caso en en que existan prdidas por friccin o por choquesen el paso del fluido a travs del rodetetendremos:

122

22

221

21

21

.2.2 h

pg

uwpg

uw++

=+

Perdidas por friccin y choques en

el rodete ( en m.c.a )

Ahora, teniendo en cuenta el triangulo de velocidades tendremos que:

( ) ( )

( )

cos...2

cos...2

cos...2sincos.

sin.cos...2cos.

sin.cos.

222

222

22222

222222

222

vuvuw

vuvuw

vuvuw

vvuvuw

vvuw

=

+=

++=

++=

+=

En el caso de perdidas despreciables en el interior del rodete ( h12 = 0 ):


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Introduccin

alasMquina

sHidrulicas



22222

211112

1

.2

cos...2

.2

cos...2 p

g

vuvp

g

vuv+

=+

uvv 2cos. =

g

vupg

vg

vupg

v

pg vuvpg vuv

uu

uu

2222

21112

1

222

2

2111

2

1

.

.2

.

.2

.2 ..2.2 ..2

+=+

+=+

Segn Bernoulli, este sumatorio es laenerga por unidad de peso que elfluido posee a la entrada del rodete

La energa por unidad de peso que elfluido posee a la salida del rodete

g

vu

g

vup

g

vp

g

v uu 112212

122

2 ..

.2.2

=++

g

vuvuBB uu 112212

.. =

g

vuvuH uut

1122,

.. =

= ,12 tHBB

Energa ganada por el fluido a supaso por el rodete

En el caso en que se consideren perdidas podemos determinar


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Tema7:

Introduccin

alasMquinasHidrulicas



g

vuvuBBH uu

t

1122

12,

.. ==

Si existe friccin en el rodete:

erot hBBH det12, =

Si queremos tener en cuenta tanto los efectos de friccin con el efecto producidopor un nmero finito de labes, englobndolo todo en perdidas en el rodete:

= rzt hBBH 12,

Si se quiere tener en cuenta la existencia de perdidas en la boca de entrada delrodete antes de la seccin 1 y las perdidas producidas despus de la seccin 2,

tanto en el caracol como en difusor, la altura til creada por la bomba ser:

== cdrASPIRACINIMPULSIONu hhhBBBBH 12

A.1.- Relacin entre las velocidades de una partculas tomadas respecto a unsistema de coordenadas fijo y mvil

ANEXOS


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Tema7:

Introduccin




kzjyixr

... ++=De la geometra obtenemos:y definiendo:

dt

kdz

dt

jdy

dt

idxv

dt

kdz

dt

jdy

dt

idxk

dt

dzj

dt

dyi

dt

dx

dt

rdp

.

.

..

.

.... +++=+++++=

rRX

+=

dtrd

Vdtrd

dtRd

dtXd

V ref

+=+==

Ahora podemos definir la velocidad de la partcula

referida al sistema fijo como: Donde es la velocidad del origen de coordenadas delmarco mvil.

refV

sistema de coordenadas fijo y mvil

Donde es la velocidad de la partcula respecto del marcomvil

De la expresin anterior, que relaciona la velocidad de la partcula en los dos marcosde coordenadas, slo que por averiguar una expresin para:

pvdtkd

zdtjd

ydtid

xvVdtXd

V pref

.

.

. ++++==

dt

kd

dt

jd

dt

id

,

,

Clculo dela derivadadel vector unitario :i


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Tema7:

Introduccin




Clculo de la derivada del vector unitario :

Giro respecto al eje z con una velocidad angular wz :

i

( ) ( )j

tj

ttitti

dtid

zttadebido z

).1(

lim

lim

00

=

=

+

=

Giro respecto al eje y con una velocidad angular wy :

( ) ( )k

t

k

t

titti

dt

idy

ttadebido y

).().1(

lim

lim

00

=

=

+=

Giro respecto al ejex conunavelocidadangular w : No tiene ningn efecto sobre el


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Tema7:

Introduccin




Giro respecto al eje x con una velocidad angular wx : No tiene ningn efecto sobre eleje x. Por lo que al combinarlos:

kjdtid

yz ..

=

Para los otros ejes: ji

dt

kdik

dt

jdxyzx ..

..

==

( ) ( ) ( )kxyjzxiyzdtkd

zdtjd

ydtid

x yxxzzy ..........

.

. ++=++

( ) ( ) ( )kxyjzxiyzzyx

kji

r yxxzzykyx .........

++==

rdt

kd

zdt

jd

ydt

id

x

=++ .

.

.

Por tanto, resumiendo tenemos que: rvVV pref

++=

Nota:

Velocidad de la

partcula p respectoC.Mviles

Velocidad del origen

del sistema deC.Mviles respecto aC . Fijas

Velocidad

angular delsistema C.Mviles

Vector Posicin de la partcula Prespecto C. Mviles

Velocidad de la

partcula prespecto C.Fija

A.2.- Ecuacin del momento para un volumen de control con aceleracin arbitraria


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Si la cantidad de momento de un sistema respecto a unos ejes coordenados fijos o

con velocidad constante:P

== ===syssyssyssys MMMM sys

dmadmdtVd

dmVdtd

dtPd

FdmVP ....

rvVV pref

++= Como:

( )r

dt

d

dt

vda

dt

Vd pref

++=

ppp

p vadt

vdrv

dtrd

+=+=

( ) ( )( ) rvrr

dtd

rvrdt

rd

rdt

d

rdt

d

p

p

++=

++=+=

rrvaaa ppref

++++= .2

rrvaaa

++++ 2


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rrvaaa ppref ++++= .2

(1) (2) (3) (4) (5) (6)(1) Aceleracin rectilnea absoluta de una partcula relativa al marco dereferencia fijo

(2) Aceleracin rectilnea absoluta del sistema de coordenadas relativa almarco de referencia fijo

(3) Aceleracin rectilnea rectilnea de una partcula relativa al marco dereferencia en movimiento

(4) Aceleracin de Corilolisdebida al movimiento de una partcula dentro delmarco en movimiento

(5) Aceleracin centrpeta debida a la rotacin del marco en movimiento

(6) Aceleracin tangencial debida a la aceleracin angular dentro del marco enmovimiento

Sustituyendo esta aceleracin en la expresin de la segunda ley:


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[ ] [ ]sysM

pM

p

Mp

Mprefsys

M pprefsys

dtpd

dmvdtd

dmdt

vddmadmrrvaF

dmrrvaaF

syssyssyssys

sys

==== +++

++++=

.....2

..2

Donde es la cantidad de movimiento relativo al marco de coordenadas en movimientop

[ ]sysM

prefsys

dt

pddmrrvaF

sys

= +++ ..2

Ahora, aplicando el Teorema de Arrastre de Reynolds:

( )Advvdvtdt

pd

C CS

ppp

sys

+

=

. ..

....

Se obtiene, con una pequea modificacin que:

[ ] ( ) Advvdvt

drrvaFC CS

pppC

prefsys

+

= +++

. ...

.......2

A.3.- La Ecuacin de Cantidad de Movimiento Angular: V.C. Fijo


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El momento Angular de un sistema homogneo se define como:

Para un sistema genrico lo definiremos como:

El principio del Momento Angular para un sistema ser:

Donde es el momento de torsin total sobre el sistema ejercido por lo alrededores

Normalmente las fuerzas de volumen son la gravedad, por lo que podemos escribir:

VrH

=

==

dVrdmVrH

CMsys

...

.

syssys dt

HdT

=

sysT

otrosvolumenerficiesyssys TFrFrFrT

++== sup

( ) otrosC

erficiesyssys TdgrFrFrT

++== .sup ..

Aplicandoel TeoremadeArrastredeReynolds parael clculode lavariacindel


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+=

vcvc A

sis AdVddtd

dtdN

sism Vr

=

Aplicando el Teorema de Arrastre de Reynolds para el clculo de la variacin del

momento angular:

Ahora, introduciendo estas expresiones en la anterior:

( ) ( ) +=

vcvc

A

sis AdVVrdVrdtd

dtHd

( ) ( ) ( ) +=++ vcvc A

otrosC

erficie AdVVrdVrdtdTdgrFr

.sup ..

Se trata de un V.C fijo, y por tanto todas las velocidades y vectores sedeterminan respecto al sistema fijo

A.4.- La Ecuacin de Cantidad de Movimiento Angular: V.C. Rotatorio


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Se va a desarrollar una formulacin para un V.C que gira con el mvil, es decir, para

un sistema de referencia no inercial.

Para un sistema:

Si el origen de coordenadas del sistema mvil coincide

con el del sistema fijo:

( ) +=+=

dVrRdmVrRHCMsys

....

====

dmVrdtd

dtHd

TdVrHRsysMsys

sysC

..0

.

Como la masa de un sistema es fija, podemos introducir la diferencial dentro de la integral:

( ) dmdt

VdrV

dt

rddmVr

dt

ddmVr

dt

dT

syssyssys MMMsys

+==

=

( ) dmardmdtVd

rTdtrd

dtrd

Vdtrd

dtrd

Vdtrd

VVsyssys MM

sysRref =

====+=

=

0

0

Utilizando la deduccin del apartado anterior:

El producto vectorial de un vector por si mismo

siempre vale 0

Recordando la expresin de la aceleracin deducida con anterioridad:

rrvaaa

++++ 2


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Introduccin




( )dmrrvarTsysM

ppsys +++=

.2

rrvaaa ppref ++++= .2

0, ya que coinciden ambos orgenes de coordenadas

( ) ( ) dmdtvdrdmardmrrvrTsyssyssys M

p

Mp

Mpsys ==++

.2

sysM

p

M

p

dt

hddmvr

dt

ddm

dt

vdr

syssys

== Que es la variacin del momento angular

referido nicamente al sistema no inercial (mvil )

( ) otros

C

erficiesys TdgrFrT

++= .

sup ..

Como:

Y utilizando el teorema de arrastre de Reynolds:

( ) ( ) += vcvc A

pppsis Advvrdvr

dt

d

dt

hd

`

Sustituyendo:


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( ) ( ) dthd

dmrrvrTdgrFr sis

M potrosCerficie sys

=++

++ .2...sup

Obtenemos que:

( ) ( )

( ) ( )

+=

++

++

vcvc Appp

C

potros

C

erficie

Advvrdvrdt

d

drrvrTdgrFr

`

.2....

sup

Se trata de un V.C que gira en torno de un eje fijo,un sistema no inercial ( mvil y conaceleracin ) y que coincide con el origen de coordenadas del sistema inercial ( fijo ), y portanto todas las velocidades y vectores se determinan respecto al volumen de control, esdecir, sistema mvil.

120288729 Hidraulica Para Ingenieros

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