1 Sistem Bilangan Real - danisuandi.files.wordpress.com · Definisi : T L \ T á ... Q = F= Q T Q x T R = T R = =P=Q T Q F= Sifat -sifat nilai mutlak : 1. TU L T U 2. T E U ... 2

1

1

1. Nilai Mutlak

Tentukan himpunan penyelesaian dari :

1. |2 +

1

𝑥| > 1

Jawab : 𝐻𝑃 = (−∞,−1) ∪ (−1

3,∞) − {0}

2. 𝑥 + 2 ≤

3

|𝑥|

Definisi : |𝑥| = {𝑥, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑥 ≥ 0−𝑥, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑥 < 0

Akibat Definisi :

|𝑥| ≤ 𝑎 ⇌ −𝑎 ≤ 𝑥 ≤ a

|𝑥| ≥ 𝑎 ⇌ 𝑥 ≥ 𝑎 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑥 ≤ −𝑎

Sifat-sifat nilai mutlak :

1. |𝑥𝑦| = |𝑥||𝑦|

2. |𝑥 + 𝑦| ≤ |𝑥| + |𝑦|

3. |𝑥| < |𝑦| ⇌ 𝑥2 < 𝑦2

Sistem Bilangan Real

2

Jawab : 𝐻𝑃 = (−∞, 0) ∪ (0,1]

3. 3|𝑥| ≤ |𝑥 − 1| + 5 Jawab : 𝐻𝑃 = [−3,3]

4. 2 ≤ |𝑥2 − 𝑥| < 6 Jawab : 𝐻𝑃 = [−2,−1] ∪ [2,3]

3

2

1. Tentukan domain dan range dari :

a. 𝑓(𝑥) = 3 + √𝑥

b. 𝑓(𝑥) = √4 − 𝑥2

c. 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 4𝑥 − 1

d. 𝑓(𝑥) =1

𝑥

Definisi : Fungsi dari ℝ ke ℝ adalah suatu aturan yang mengaitkan (memadankan)

setiap 𝑥 ∈ ℝ dengan tepat satu 𝑦 ∈ ℝ.

Fungsi Komposisi :

(𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) ada apabila 𝑅𝑔 ∩ 𝐷𝑓 ≠ ∅

(𝑔 ∘ 𝑓)(𝑥) ada apabila 𝑅𝑓 ∩ 𝐷𝑔 ≠ ∅

𝐷𝑓 ∘ 𝑔 ∶ {𝑥 ∈ 𝐷𝑔| 𝑔(𝑥) ∈ 𝐷𝑓}

𝐷𝑔 ∘ 𝑓 ∶ {𝑥 ∈ 𝐷𝑓| 𝑓(𝑥) ∈ 𝐷𝑔}

𝑅𝑓 ∘ 𝑔 ∶ {𝑦 ∈ 𝑅𝑓| 𝑦 = 𝑓(𝑡), 𝑡 ∈ 𝑅𝑔}

𝑅𝑔 ∘ 𝑓 ∶ {𝑦 ∈ 𝑅𝑔| 𝑦 = 𝑔(𝑡), 𝑡 ∈ 𝑅𝑓}

Fungsi

4

2. Diketahui 𝑓(𝑥) = √𝑥 − 1, 𝑔(𝑥) = 𝑥2. a) Periksa apakah (𝑓 ∘ 𝑔) ada ? b) Jika ada, tentukan (𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥), 𝐷𝑓∘𝑔, 𝑅𝑓∘𝑔!

Jawab : 𝐷𝑔∘𝑓 = (−∞,−1] ∪ [1,∞) 𝑅𝑔∘𝑓 = [0,∞)

3. Diketahui fungsi 𝑓(𝑥) =𝑥

𝑥−1 dan 𝑔(𝑥) = √𝑥 − 3

a) Periksa apakah (𝑔 ∘ 𝑓) ada ? b) Jika ada, tentukan (𝑔 ∘ 𝑓)(𝑥),𝐷𝑔∘𝑓, 𝑅𝑔∘𝑓!

Jawab : 𝐷𝑔∘𝑓 = (1,3

2 ] 𝑅𝑔∘𝑓 = [0,∞)

5

3

1. Limit

Hitung nilai limit berikut (jika ada) :

a. lim𝑥→2

|𝑥−2|

𝑥2−3𝑥+2

b. lim𝑥→0

𝑥2+sin(𝑥)

𝑥+tan(2𝑥)

c. lim𝑛→∞

𝑛2

√𝑛3+𝑛2+1+7

d. lim𝑥→0

cos4𝑥−cos2𝑥

3𝑥2

e. lim𝑥→7

√𝑥2−1

𝑥−1

3

f. lim𝑥→−3

2|𝑥 + 1| + |𝑥|

Suatu lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥) memiliki nilai apabila lim𝑥→𝑎+

𝑓(𝑥) = lim𝑥→𝑎−

𝑓(𝑥)

Limit dan Kekontinuan

6

2. Kekontinuan

1. Misalkan 𝑓(𝑥) =|𝑥−3+𝑎2|+3+𝑎2

8

a) Tentukan lim𝑥→0

𝑓(𝑥). Jika tidak ada jelaskan sebabnya!

b) Gunakan hasil diatas untuk menentukan semua nilai 𝑎, jika ada yang membuat 𝑓 kontinu pada 𝑥 = 0

2. Tentukan konstanta 𝑎 dan 𝑏 agar fungsi

𝑓(𝑥) = {𝑥 + 1 , 𝑥 < 1

𝑎𝑥 + 𝑏 , 1 ≤ 𝑥 < 23𝑥 , 𝑥 ≥ 2

kontinu di ℝ.

Fungsi 𝑓(𝑥) dikatakan kontinu pada suatu titik 𝑥 = 𝑎, jika :

(i) 𝑓(𝑎) ada

(ii) lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥) ada

(iii) lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎)

7

3.

Dik : 𝑓(𝑥) =

{

𝑎 − 𝑥2; 𝑥 ≤ −12𝑥 − 𝑏; −1 < 𝑥 ≤ 15𝑐 − 3𝑥; 1 < 𝑥 ≤ 2

⟦|41

2|⟧ , 𝑥 > 2

a. Tentukan nilai 𝑎, 𝑏, dan 𝑐 agar 𝑓(𝑥) kontinu dimana mana b. Gambarkan grafiknya

8

4. Diberikan fungsi

𝑓(𝑥) = {−𝑥2 + 2𝑥, 𝑥 < −1

𝑥2 , − 1 ≤ 𝑥 < 12𝑥 + 1, 𝑥 ≥ 1

a. Periksa apakah 𝑓 kontinu di 𝑥 = −1 dan di 𝑥 = 1 b. Gambarkan grafiknya c. Tentukan 𝐷𝑓 dan 𝑅𝑓

9

4 1. Konsep turunan, aturan rantai, dan turunan

implisit

1. Diberikan fungsi

𝑓(𝑥) = {𝑥2 − 1, 𝑥 ≤ −1

𝑥2 + 𝑥, − 1 < 𝑥 ≤ 01 + sin 𝑥, 𝑥 > 0

Periksa apakah 𝑓(𝑥) diferensiabel (mempunyai turunan) di 𝑥 = −1 dan 𝑥 = 0 ?

Definisi Turunan :

𝑓′(𝑐) = lim𝑥→𝑐

𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑐)

𝑥 − 𝑐

Fungsi 𝑓 dikatakan mempunyai turunan (diferensiabel) di 𝑐 atau 𝑓′(𝑐) ada,

jika 𝑓′−(𝑐) = 𝑓′

+(𝑐) dan 𝑓′(𝑐) = 𝑓′

−(𝑐) = 𝑓′

+(𝑐)

Jika 𝑓 diferensiabel di 𝑐, maka 𝑓 kontinu di 𝑐.

Turunan

10

2. Tentukan 𝑦′(𝜋

3, √2) dari fungsi 𝑦2 cos 𝑥 = 1.

3. Tentukan turunan pertama dari fungsi berikut :

a. 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑖𝑛2 (2−2𝑥

1−3𝑥) + tan√2𝑥

b. cos(2𝑥𝑦) + 3𝑥2𝑦2 − 𝑥𝑦 = 0

4. Jika 𝑓(𝑥) = 𝑥|𝑥| − 2𝑥, periksa apakah 𝑓(𝑥) mempunyai turunan di 𝑥 = 0?

11

2. Garis Singgung dan Garis Normal

1. Tentukan Persamaan garis singgung dan persamaan garis normal dari 𝑥𝑦 + 2𝑦 cos(𝑥) = 5, di titik (0,1)

2. Jika diberikan persamaan kurva 3𝑦 + cos(𝑥2𝑦3) + 4𝑥3 = 5, tentukan: a. 𝑦′ dari persamaan kurva tersebut b. Persamaan garis singgung kurva di titik (1,0)

Persamaan Garis Singgung :

𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1)

Persamaan Garis Normal :

𝑦 − 𝑦1 = −1

𝑚(𝑥 − 𝑥1)

12

1. Tentukan himpunan penyelesaian dari :

a. |5−2𝑥

𝑥| ≥ 7 b. 2(𝑥 − 1)2 − |𝑥 − 1| ≤ 1

2. Diketahui 𝑓(𝑥) = √𝑥 + 2 dan 𝑔(𝑥) = 𝑥2 − 1 a. Periksa apakah (𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) ada ? b. Jika ada, tentukan (𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥), 𝐷𝑓∘𝑔 , dan 𝑅𝑓∘𝑔!

L A T I H A N U T S

13

3. Jika 𝑓(𝑥) = {

𝑥2 − 7, 0 < 𝑥 ≤ 𝑘6

𝑥, 𝑥 > 𝑘

Tentukan nilai 𝑘 sehingga 𝑓(𝑥) mempunyai limit!

4. Jika 𝑓(𝑥) = {

𝑥2 + 1; 𝑥 ≤ 2

𝑥2 − 2𝑥 + 5; 𝑥 > 2

a. Periksa apakah 𝑓 kontinu di x=2? b. Apakah fungsi 𝑓 diferensiabel di x=2?

5. Jika diberikan persamaan kurva 𝑦 + cos(𝑥𝑦2) + 3𝑥2 = 4 a. Tentukan 𝑦′ dari persamaan kurva tersebut. b. Tentukan persamaan garis singgung kurva di titik (1,0)