1 2 j j n n SISTIM PERSAMAAN LINIER a a a a b x x x x CRAMER DESKRIPSI : CARA ANALITIS DIMANA X 1 X n AKAN DIHITUNG DENGAN DETERMINANNYA. PENYELESAIAN : UNTUK n = 3, METODE ELEMINASI

SISTIM PERSAMAAN LINIER

BENTUK UMUM

PERMASALAHAN

CARI X1 Xn SEDEMIKIAN RUPA SEHINGGA PERSAMAAN DIATAS

TERPENUHI SECARA SIMULTAN ?

BENTUK TERBATAS n = 3

nnnnjj n2n21n1

inn ijj i22 i11 i

nnjj21

nnjj21

xxxx

xxxx

xxxx

xxxx

baaaa

baaaa

baaaa

baaaa

2222221

1111211

3333231

2232221

1131211

baaa

baaa

baaa

321

321

321

xxx

xxx

xxx

aij , bi = KONSTANTA

Xj = VAR.YG DICARI

i = BARIS

j = KOLOM

10/2/2008 Kuliah Sarjana Teknik Sipil FTUB

METODE CRAMERDESKRIPSI : CARA ANALITIS DIMANA X1 Xn AKAN DIHITUNG DENGAN DETERMINANNYA.

PENYELESAIAN : UNTUK n = 3,

METODE ELEMINASI GAUSSDESKRIPSI : CARA SEMI NUMERIK DIMANA X1 Xn AKAN DIHITUNG MELALUI PROSEDUR BERIKUT :

A

Ax1

333231

232221

131211

33323

23222

13121

1

aaa

aaa

aaa

aab

aab

aab U/ X2 GANTI KOLOM 2

PEMBILANG DGN RUAS

KANAN.

U/ X3 GANTI KOLOM 3

PEMBILANG DGN RUAS

KANAN.


PENYELESAIAN : UNTUK n = 3,

BILA a11 0 FAKTOR PENGALI m1 = a21 / a11

BILA a11 = 0 PERMUTASIKAN / PERTUKARKAN LEBIH DULU

BARIS YG MENGANDUNG a11 0.

TRANSFORMASI ELEMENTER BARIS 2 DIKURANGKAN DGN

[ BARIS 1 DIKALIKAN DGN m1 ] :

ANALOOG UNTUK ELIMINASI a31 DAN a32 !!!

HASIL TRIANGGULASI ATAS :

22322

1213231222

'''

)()()(0

baa

bbaaaa

32

13121

xx

mxmxm

SISTIM PERSAMAAN

LINIER ( SEGIEMPAT )TRANSFORMASI ELEMENTER

SISTIM TRIANGGULASI

ATAS ( SEGITIGA ATAS )

333

22322

1131211

""

'''

ba

baa

baaa

3

32

321

x

xx

xxx

DEFINISIKAN FAKTOR PENGALI U/ MENGELIMINASIKAN

ELEMEN-ELEMEN KOLOM DIBAWAH DIAGONAL


HASIL PENYELESAIAN AKHIR :

KELEMAHAN :

TRANSFORMASI ELEMENTER MENGANDUNG BANYAK OPERASI

ARITMATIKA BILA n >>> MAKA OPERASI ARITMATIKA >>>

SEHINGGA KESALAHAN >>> !!!

METODE ITERASI GAUSS-SEIDEL

DESKRIPSI : CARA NUMERIK PENUH DIMANA X1 Xn AKAN

DIHITUNG MELALUI PROSEDUR BERIKUT :

11

13121

22

232

33

33

'

''

"

"

a

aab

a

ab

a

b 321

323

xx x

x xx

SISTIM PERSAMAAN

LINIER

BENTUK RUMUS

ITERASI

ITERASI S / D : X(k) X(k-1) DGN

KETELITIAN TERTENTU

PENYELESAIAN PDKT AWAL

Xj(0) , j = 1,2,3 … . . n


RUMUS ITERASI : U/ n = 3,

ASUMSI : a11 0 , a22 0 , a33 0 DAN k = ITERASI

PROSES ITERASI :

ITERASI 1 DIAMBIL P.P.A X1(0), X2

(0) DAN X3(0) :

N1,2,...,j(k)

2

(k)

1

(k)

3

1)-(k

3

(k)

1

(k)

2

1)-(k

3

1)-(k

2

(k)

1

xx x

xx x

x-x- 1

x

32313

33

23212

22

13121

11

1

1

aaba

aaba

aaba

xx x

xx x

x-x- 1

x

(1)

2

(1)

1

(1)

3

(0)

3

(1)

1

(1)

2

(0)

3

(0)

2

(1)

1

32313

33

23212

22

13121

11

1

1

aaba

aaba

aaba


ITERASI 2 DIAMBIL X1(1), X2

(1) DAN X3(1) :

DAN SETERUSNYA S / D DIPEROLEH X(k) X(k-1) DAN ITERASI

DIHENTIKAN ATAS DASAR KRITERIA :

RUMUS UMUM ITERASI : U/ ( n X n ),

xx x

xx x

x-x- 1

x

(2)

2

(2)

1

(2)

3

(1)

3

(2)

1

(2)

2

(1)

3

(1)

2

(2)

1

32313

33

23212

22

13121

11

1

1

aaba

aaba

aaba

ketelitian x-xm 1)-(k(k)(k)

N1,2,3,...,kn1,2,3,..., ji ,

(k)

j

n

1ij i i

i j1)(k

j

1-i

1j i i

i j

i i

i1)(k

i

x xxa

a

a

a

a

b


KELEMAHAN :

SANGAT PEKA THD VARIASI ANTAR ELEMEN YG KECIL

SANGAT LAMBAT KONVERGEN BILA DETERMINAN 0

PERLU DIKEMBANGKAN KRITERIA KONVERGENSI !!!

KRITERIA KONVERGENSI

BENTUK MATRIKS

BENTUK UMUM ( DIMENSI n X n ) :

n

ij1,j

i ji i aa

n

j

n

j

2

1

nnnjnn

inijii

nj

nj

x

x

x

x

b

b

b

b

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

2

1

21

21

222221

111211

BXA

atau x iji j ba

ELEMEN DIAGONAL HARUS

DOMINAN !!!

BENTUK SINGKAT :


BENTUK AUGMENTASI : U/ n x n,

BENTUK U/ n = 3 :

PENYELESAIAN DG METODE INVERSI / CRAMER / KOFAKTOR :

[A]-1 = INVERS MATRIKS A, adj [A] = ADJOINT MATRIKS A,

ij = KOFAKTOR DAN Mij = MINOR.

3333231

2232221

1131211

3

2

1

333231

232221

131211

baaa

baaa

baaa

b

b

b

aaa

aaa

aaa

3

2

1

x

x

x

ij

ji

ijji MAadjA

AadjA

BAX

)1(1

1

ji j ba


METODE CROUT ( DEKOMPOSISI MATRIKS )

DESKRIPSI : CARA SEMI NUMERIK DIMANA X1 Xn AKAN DIHITUNG

MELALUI PROSEDUR BERIKUT ,

PENYELESAIAN : U/ 3 x 3,

[ aij : bi ] = [ Lij ][ Tij : ci ]

HITUNG KOEFISIEN

Lij , Tij , Ci

PENYELESAIAN

Xj

TEKNIK INSPEKSI ( HASIL KESAMAAN

RUAS KIRI DAN KANAN )

TEKNIK SUBSTITUSI TERBALIK

PADA [ Tij : CI ]

3

223

11312

333231

2221

11

c 100

c T10

c TT1

LLL

0LL

00L

3333231

2232221

1131211

baaa

baaa

baaa


HASIL PERHITUNGAN KOEFISIEN :

PENYELESAIANNYA :

X3 = C3 X2 = C2 – T23 X3 X1 =C1 – T13 X3 – T12 X2

RUMUS UMUM DAN PENYELESAIAN :

33

2321313

22

1212

11

1

233213313312313231

22

13212312212221

11

13

11

1211

L

)cL-cLc

L

cLc

Lc

TL-TLL TLL L

L

TLT TLL L

L

T L

T L

321

333231

232221

131211

()(

)(

bbb

aaa

aaa

aaa

)1(,...,3,2,11

1

nj n2,3,4,..., i

1-i

1k

kiki

i i

i

n

1jr

rjrjjn2,3,4,..., j , ji

1-i

1k

kjiki j

i i

i j

nn n1,2,3,..., j , jikj

1j-

1k

ikiji j

, cLL

c

xTc x , TLL

T

cx , TLL

b

a

a


METODE CHOLESKI ( MATRIKS SIMETRIS )

DESKRIPSI : CARA SEMI NUMERIK DIMANA X1 Xn AKAN DIHITUNG

MELALUI PROSEDUR BERIKUT :

PENYELESAIAN : U/ 3 x 3,

[ aij : bi ] = [ Uji ][ Uij : ci ]

HITUNG KOEFISIEN

Uij , Ci

PENYELESAIAN

Xj

TEKNIK INSPEKSI ( HASIL KESAMAAN

RUAS KIRI DAN KANAN )

TEKNIK SUBSTITUSI TERBALIK

PADA [ Uij : CI ]

333

22322

1131211

332313

2212

11

c U00

c UU0

c UUU

UUU

0UU

00U

3333231

2232221

1131211

baaa

baaa

baaa


HASIL PERHITUNGAN KOEFISIEN :

PENYELESAIAN :

RUMUS UMUM ( n x n ) :

33

2321313

2

23

2

1333

12

13

22

1212

22

131223

11

12

11

1

2

122211

U

)Uc-Ucc UUU

UU

U

Ucc

U

UUU

UU

U

c UU U

323

13

22312

12211

(

)()(

ba

a

baa

baa

i i

1-i

1k

kkii

i n2,3,4,..., j

i i

1-i

1k

kjkii j

i j

n2,3,4,..., i

i

1k

2

kii ii i

U

cU

c , U

UU

U

, UU

ba

a1

11

31321211

22

32322

33

33

U

xU-xU-c x

U

xUc x

U

cx


X1

X2

( 0,0 )

1

2

1

PENYELESAIANNYA :

CONTOH SOAL :

INTEPRETASI GEOMETRIK M ITERASI SPL 2 X 2 :

1)-(n1,2,3,...,i

i i

n

1ik

kiki

i

nn

nn

, U

xUc

x

U

cx

2 X1 + X2 = 2

X1 – 2 X2 = 2

TITIK POTONG PENYELESAIAN

YANG DICARI !!!

ARAH PERGERAKAN ITERASI MENUJU

TITIK POTONG DUA KURVA KONVERGEN !!!


INVERSI MATRIKS

BENTUK MATRIKS U/ SPL DGN 3 PERSAMAAN :

DALAM BNTK SINGKAT DAN BNTK AUGMENTASI :

PENYELESAIAN :

BILA [ A ] NON SINGULAR ( A 0 ), MAKA :

ATURAN CRAMER ( METODE KOFAKTOR )

A = DETERMINAN [ A ], [ C ]T = ADJOINT [ A ].

3

2

1

3

2

1

333231

232221

131211

x

x

x

b

b

b

aaa

aaa

aaa

bAA BX

Invers Matriks

11

111

X

X

ABA

IAABAAA

T C

AA

11


METODE ELIMINASI GAUSS-JORDAN :

AMBIL :

HASIL PERKALIAN DLM BNTK MATRIKS :

C11 , C12 , . . . , C33 DAPAT DIHITUNG, NAMUN PERHITUNGAN

MENJADI BANYAK !!!

IACCA

ccc

ccc

ccc

CA

333231

232221

131211

1

100

010

001

333231

232221

131211

333231

232221

131211

ccc

ccc

ccc

aaa

aaa

aaa

1

0

0

1

00

000

000

000

33

13

12

11

3331

31

21

11

c

c

c

c

aa

a

a

a


PENYEDERHANAAN DLM BTK AUGMENTASI :

METODE REDUKSI

AMBIL SPL DG 3 PERSAMAAN DLM BTK MATRIKS :

PROSEDUR REDUKSI :

[ Ri ] = MATRIKS PEREDUKSI, DIAMBIL SDRS HASIL PERKALIAN

AKHIR [ RI ] [ A ] = [ I ], DENGAN i = DIMENSI MATRIKS.

333231

232221

131211

333231

232221

131211

100

010

001

100

010

001

ccc

ccc

ccc

aaa

aaa

aaa

CIIA

BA

b

b

b

aaa

aaa

aaa

X

x

x

x

3

2

1

3

2

1

333231

232221

131211

1,2,3i ,X ii BRAR


REDUKSI KOLOM 1 DR [ A ] [ R1 ] DIAMBIL BERIKUT :

HASIL PERKALIAN :

DALAM BENTUK SINGKAT :

BRAR

a

a

a

a

a

R 11

11

31

11

21

11

1 X

10

01

001

3

2

1

1

3

2

1

'

33

'

32

'

23

'

22

'

13

'

12

x

x

x

0

0

1

b

b

b

R

aa

aa

aa

BRA 11 X



HASIL PERKALIAN :

DALAM BENTUK SINGKAT :

BRRAR

a

a

a

a

a

R X 1212

'

22

'

32

'

22

'

22

'

12

2

10

01

0

01

3

2

1

12

3

2

1

"

33

"

23

"

13

x

x

x

00

10

01

b

b

b

RR

a

a

a

BRRA 122 X



HASIL PERKALIAN :

DENGAN DEMIKIAN :

BENTUK UMUM U/ MATRIKS n x n :

BRRRAR

a

a

a

a

a

R 12323

"

33

"

33

"

23

"

33

"

13

3 X

100

10

01

3

2

1

123

3

2

1

x

x

x

100

010

001

b

b

b

RRR

-1

123 RRRA

-1

12n1nn RRRRA 10/2/2008 Kuliah Sarjana Teknik Sipil FTUB

1 2 j j n n SISTIM PERSAMAAN LINIER a a a a b x x x x CRAMER DESKRIPSI : CARA ANALITIS DIMANA X 1 X n AKAN DIHITUNG DENGAN DETERMINANNYA. PENYELESAIAN : UNTUK n = 3, METODE ELEMINASI

Documents