06 vektor-di-r2-dan-r3

MA-1223MA-1223Aljabar LinierAljabar Linier

Vektor di R2 dan R3

VektorVektor Vektor merupakan besaran yang mempunyai arah. Secara geometri Setiap vektor dinyatakan secara geometris sebagai

segmen garis berarah pada bidang atau ruang, dengan notasi garis berpanah. Ekor panah garis tersebut merupakan titik awal vektor, sedangkan ujung panah sebagai titik akhir (ujung) vektor tersebut. (contoh (a))

Vektor-vektor yang mempunyai panjang dan arah yang sama dinamakan ekivalen. (contoh (b))

a

A

B

BAa

(a) (b)

VektorVektorSecara aljabar Misalkan u vektor di R2 u =(u1, u2), dimana u1, u2 ε R Misalkan v vektor di R3 v =(v1, v2, v3), dimana v1,

v2, v3 ε R

u1, u2 disebut komponen u, sedangkan v1, v2, v3 disebut komponen v

Dua vektor dikatakan ekivalen jika dan hanya jika besar dan arahnya sama atau dengan kata lain komponen yang bersesuaian samaMisal: Diketahui u =(u1, u2) dan w =(w1, w2)

u = w u1= w1 dan u2 = w2

Vektor PosisiVektor Posisi Vektor posisi adalah vektor yang berpangkal pada titik

asal koordinat

A=(x1, y1)

O

=(x1, y1) vektor posisi titik A

AO

a

x

y

Penulisan VektorPenulisan Vektor Ada beberapa penulisan vektor antara lain:

= (a1, a2, a3)

+ b2 + b3

1. b = b1

2.

3.

3

2

1

c

c

c

c

kji

a

Operasi VektorOperasi Vektor Penjumlahan

Misal )y,x(u 11

)y,x(w 22

dan vektor di R2, maka

)yy,xx(wu 2121

Secara geometri

wu

w

u

x

y

Operasi Vektor (2)Operasi Vektor (2) Perkalian dengan skalar

Definisi )y,x(u 11

adalah sembarang vektor di R2 dank bilangan riil tak nol (skalar), maka hasil kali

uk

didefinisikan sebagai vektor yang panjangnya |k|kali panjang u

dan arahnya sama seperti arah u

jika k > 0 dan berlawanan arah jika k < 0. u

Operasi Vektor (3)Operasi Vektor (3) Pengurangan

Misal )y,x(u 11

)y,x(w 22

dan vektor di R2, maka

)yy,xx()w(uwu 2121

Secara geometri

wu

w

u

x

y

w

Misal )u,u(u 21

)w,w,w(w 321

dan vektor di R2 dan R3, maka

222

1 uuu

Panjang (Norm) VektorPanjang (Norm) Vektor

panjang (norm) vektor adalahwdanu

222

211 )vu()vu(vu

)v,v(v 21

)u,u(u 21

232

22

1 wwww

Misal dan maka jarak antara dua vektor tersebut adalah

Hasil Kali TitikHasil Kali Titik Hasil kali titik merupakan operasi antara dua buah

vektor yang akan menghasilkan skalar.

maka hasil kali titik dua vektor tersebut didefinisikan sbb

Misal

0b.a

0batau0a0

0b,acosb.ab.a

b

a

dan adalah vektor pada ruang yang sama

dimana sudut yang dibentuk oleh kedua vektor tersebut. (0<<). Sehingga, diperoleh kesimpulan sbb

0b.a

0b.a

1.

2.

3.

sudut tumpul

sudut lancip

=/2, atau b

a

dan salingtegak lurus/ortogonal

ContohContoh Tentukan hasil kali titik dari dua vektor berikut berikut !

a

b

= 2i dan = 2i + 2jJawab :

b

a

a

b

a b

82

1

222

1

Karena tan = 1 , artinya = /4 sehingga

.

=

cos

= 2 .

= 2.

= 4

PerhatikanPerhatikan

a

b

ab

Menurut aturan cosinus , maka :

22112

22

12

22

12

22

12

22

1 ba2ba2bbaabbaab.a2

222abbacosba2

222

211

22

21

22

21 )ab()ab(bbaab.a2

)b,b(b 21

)a,a(a 21

cosba2baab222

Misal dan

2211 babab.a 2211 baba2b.a2

b

a

, ε R2dengan

PerluasanPerluasan

)b,b,b(b 321

)a,a,a(a 321

Misal dan

332211 bababab.a

)b,...,b,b(b n21

)a,...,a,a(a n21

Misal dan

nn2211 ba...babab.a

b

a

, ε R3dengan

b

a, ε Rndengan

22n

22

21 aa...aaa.a

Proyeksi OrtogonalProyeksi Ortogonal

a

a

b

b

Secara geometri, proyeksi ortogonal suatu vektor terhadap vektor lain dapat diilustrasikan sebagai berikut :

Proy

???w

???w

2

1

b

a

1w 21 wwa

2w

1w

= proyeksi ortogonal pada b

a

2w

= komponen yang tegak lurus pada

Proyeksi OrtogonalProyeksi Ortogonal

b.wb.bkb.wbkb.a 22

2

bkb.a

2b

b.ak

Kita punya

bb

b.aw

21

221 wbkwwa

bkw1

Sehingga diperoleh

, k konstanta

bb

b.aaw

22

Panjang proyeksinya

bb

b.ab

b

b.aw

221

b

b.aw1

Hasil kali silangHasil kali silang Hasil kali silang merupakan perkalian antara dua

vektor yang akan menghasilkan suatu vektor baru Definisi. Hasil kali silang

Misalkan dan vektor di R3

Hasil kali silang dan didefinisikan sbb

)u,u,u(u 321)v,v,v(v 321

kvv

uuj

vv

uui

vv

uu

vvv

uuu

kji

vxu21

21

31

31

32

32

321

321

kvuvujvuvuivuvu 122113312332

u v

Sifat hasil kali silangSifat hasil kali silang

2222 v.uvuvxu.3

0)vxu.(v.2 0)vxu.(u.1

Khusus untuk sifat yang ketiga:

2222 v.uvuvxu

222 cosvuv.u

22222 cosvuvu

222 cos1vu

2222 sinvuvxu

sinvuvxu

Luas jajaran genjang

= Alas x tinggi

vxusinvu