06 Integral Lipat Dua - Arisgunaryati's Blog · PDF fileIntegral Lipat Dua. Integral Lipat Dua Z=f ... jumlah Riemann. Jika limit ada, ... Transformasi kartesius ke kutub

Program Perkuliahan Dasar Umum

Sekolah Tinggi Teknologi Telkom

[MA1124] KALKULUS II

Integral Lipat DuaIntegral Lipat Dua


Z=f(x,y)

z 1. Bentuk partisi [a,b] dan [c,d] menjadi n bagian.

2. Pilih pada setiap sub interval pada [xi, xi-1] dan [yi, yi-1]

3. Bentuk jumlah Riemann.

)y,x( kk

Misalkan z = f(x,y) terdefinisi pada R merupakan suatu persegi panjang tertutup, yaitu : R = {(x, y) : a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d}

2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II

2

x

y

b

a

R

c d

∆xk∆yk

3. Bentuk jumlah Riemann.

4. Jika n � ∞ (|P|� 0) diperoleh limit jumlah Riemann.

Jika limit ada, maka z = f(x,y) terintegralkan Riemann pada R, ditulis

∑∑= =

∆n

i

n

ikkk Ayxf

1 1

),(

∑∑= =∞→

∆n

i

n

ikkk

nAyxf

1 1

),(lim

∑∑∫∫= =∞→

∆=n

i

n

ikkk

nR

AyxfdAyxf1 1

),(lim),(

)y,x( kk


Definisi integral lipat dua :

Misalkan f suatu fungsi dua peubah yang terdefinisi pada suatu persegi panjang tertutup R.

∑=

→∆

n

kkkk

PAyxf

10

),(limJika ada, kita katakan f dapat

diintegralkan pada R. Lebih lanjut ∫∫∫∫ = dxdy)y,x(fdA)y,x(f


3

diintegralkan pada R. Lebih lanjut ∫∫∫∫ =RR

dxdy)y,x(fdA)y,x(f

=∫∫R

dAyxf ),( ∑=

→∆

n

kkkk

PAyxf

10

),(lim

yang disebut integral lipat dua f pada R diberikan oleh :

=∫∫R

dydx)y,x(f ∑=→

∆∆n

1kkkkk

0Pyx)y,x(flim

atau

Arti Geometri Integral Lipat DuaArti Geometri Integral Lipat Dua

Jika z = f(x,y) kontinu, f(x,y) ≥ 0 pada persegpanjang R,

maka ∫∫R

dAyxf ),( menyatakan volume benda padat yang

terletak di bawah permukaan permukaan z = f(x,y) dan

di atas R.


4

di atas R.

Menghitung Integral Lipat DuaMenghitung Integral Lipat Dua

Jika f(x,y) ≥ 0 pada R, maka volume dapat dihitung dengan metode irisan sejajar, yaitu:

(i) Sejajar bidang XOZ

z z= f(x,y)

z


5

y

x

ca

b

d

a bx

A(y)

∫=b

a

dxyxfyA ),()(

A(y)

Menghitung Integral Lipat Dua Menghitung Integral Lipat Dua (Lanjutan)(Lanjutan)

∫∫∫ =d

cR

dyyAAdyxf )(),( ∫ ∫

=d

c

b

a

dydxyxf ),( ∫ ∫=d

c

b

a

dydxyxf ),(

Maka

∫∫R

dAyxf ),( ∫ ∫=d

c

b

a

dydxyxf ),(


6

∫∫R

∫ ∫c a

Menghitung Integral Lipat Dua Menghitung Integral Lipat Dua (lanjutan)(lanjutan)

(ii) Sejajar bidang YOZ

z z= f(x,y)

c d

z

A(x)A(x)


7

y

x

ca

b

d

c dy

∫=d

c

dyyxfxA ),()(

Menghitung Integral Lipat Dua Menghitung Integral Lipat Dua (Lanjutan)(Lanjutan)

∫∫∫ =b

aR

dxxAAdyxf )(),( ∫ ∫

=b

a

d

c

dxdyyxf ),( ∫ ∫=b

a

d

c

dxdyyxf ),(

Maka

∫∫R

dAyxf ),( ∫ ∫=b

a

d

c

dydxyxf ),(


8

∫∫R

∫ ∫a c

ContohContoh

1. Hitung integral lipat dua berikut ini : ( )∫∫ +R

dAyx 22 2

dimana R = {(x,y) | 0 ≤ x ≤ 6, 0 ≤ y ≤ 4}

Jawab:

( )∫∫ +R

dAyx 22 2 ( )∫ ∫ +=6

0

4

0

22 2 dxdyyx

6 42


9

∫

+=

6

0 0

432

3

2dxyyx

∫

+=6

0

2

3

1284 dxx

0

63

3

128

3

4xx += 544256288 =+=

R

6

4

y

x

ContohContoh

( )∫∫ +R

dAyx 22 2 ( )∫ ∫ +=4

0

6

0

22 2 dydxyx

∫

+=

4

0 0

623 2

3

1dyxyx

Atau,


10

( )∫ +=4

0

21272 dyy

0

43472 xx += 544256288 =+=

ContohContoh

2. Hitung integral lipat dua berikut ini : ( )∫∫ +R

dAyxsin

dimana R = {(x,y) | 0 ≤ x ≤π/2, 0 ≤ y ≤ π/2}Jawab:

( )∫∫ +R

dAyxsin ( )∫ ∫ +=2/

0

2/

0

sinπ π

dxdyyx

2/ 2/π π


11

R

ππππ/2

ππππ/2

y

x

∫

+−=

2/

0 0

2/

)cos(π π

dxyx

( )∫

+

+−=6

0

cos2

cos dxyyπ

2/

0

2/

0 2sinsin

ππ π

+−= yy

( ) 22

sinsin2

sin =

+−

= πππ

LatihanLatihan

∫ ∫+

1

0

1

0

22

. dxdyexya yx

( )∫ ∫−

2

0

1

1

2. dxdyxyb

∫ ∫ +

1

0

2

0

2 1. dxdy

x

yc

1. Hitung


12

2. ( )∫∫R

dydxyxf , untuk fungsi

a. f(x,y)= (x + 2y)2 dengan R = [-1, 2] x [0, 2]

b. f(x,y)= x2 + y2 dengan R = [0, 1] x [0, 1]

c. f(x,y)= y3 cos2x dengan R = [-π/2, π] x [1, 2]

Sifat Integral Lipat DuaSifat Integral Lipat Dua

Misalkan f(x,y) dan g(x,y) terdefinisi di persegipanjang R

1. ( ) ( )∫∫∫∫ =RR

dAyxfkdAyxfk ,,

2. ( ) ( )( ) ( ) ( )∫∫∫∫∫∫ +=+RRR

dAyxgdAyxfdAyxgyxf ,,,,


13

3. Jika R = R1 + R2 , maka

( ) ( ) ( )∫∫∫∫∫∫ +=21

,,,RRR

dAyxfdAyxfdAyxf

4. Jika f(x,y) ≤ g(x,y), maka

( ) ( )∫∫∫∫ ≤RR

dAyxgdAyxf ,,

Integral Lipat Dua atas Daerah Integral Lipat Dua atas Daerah SembarangSembarang

Ada dua tipe

� Tipe I

D = {(x,y) | a ≤ x ≤ b , p(x) ≤ y ≤ q(x) }

� Tipe II

D = {(x,y) | r(y) ≤ x ≤ s(y) , c ≤ y ≤ d }


14

D = {(x,y) | r(y) ≤ x ≤ s(y) , c ≤ y ≤ d }

Tipe ITipe I

Integral lipat dua pada daerah D dapat dihitung sebagai berikut :

D

q(x)

p(x)

y

∫ ∫∫∫ =b xq

dxdyyxfdAyxf

)(

),(),(

x


15

a b x

∫ ∫∫∫ =a xpD

dxdyyxfdAyxf)(

),(),(

D={(x,y)| a≤x≤b, p(x)≤y≤q(x)}

y

Tipe IITipe II

Integral lipat dua pada daerah D dapat dihitung sebagai berikut :

∫ ∫∫∫ =d )y(s

dydx)y,x(fdA)y,x(f

x D

c

d

r (y) s (y)


16

∫ ∫∫∫ =c )y(rD

dydx)y,x(fdA)y,x(f

D={(x,y)|r(y)≤x≤s(y), c≤y≤d}

y

r (y) s (y)

x

Aturan IntegrasiAturan Integrasi

� Urutan pengintegralan dalam integral lipat dua tergantung dari bentuk D (daerah integrasi).

� Dalam perhitungannya, kadangkala kita perlu merubah urutan pengintegralan. Hal ini dapat disebabkan dengan perubahan urutan pengintegralan akan memudahkan dalam proses integrasinya.


17

memudahkan dalam proses integrasinya.

� Oleh karena itu, langkah pertama kita harus dapat menggambarkan daerah integrasidaerah integrasi, selanjutnya kita dapat merubah urutan integrasi dengan mengacu pada sketsa daerah integrasi yang sama.

ContohContoh

1. Hitung ( )∫∫R

x dAey2 ,R dibatasi x= y2, y =1, sumbu y

xR

( )∫∫R

x dAey2 ( )∫ ∫=1

0 0

2

2y

x dydxey

y

x = y21

R = {(x,y)| 0 ≤x≤ y2, 0 ≤ y ≤ 1}


18

xR R 0 0

∫=1

00

2

2 dyeyy

x

( )∫ −=1

0

122

dyey y

( ) 2111

0

22

−=−−=−= eeyey

x1

ContohContoh

Atau dibalik urutan pengintegralannya, yaitu:

R

( )∫∫R

x dAey2 ( )∫ ∫=1

0

1

2x

x dxdyey

∫=1

12 dxye

x

x

R = {(x,y)| 0 ≤x≤ 1, √x ≤ y ≤ 1}

y

x = y21


19

R ∫0

x

∫ −=1

0

dyxee xx

( ) 1

0

xxx exee +−=y x1

2)11(2 −=+−−= eee

ContohContoh

∫ ∫4

0

2

2

2

.2 dxdyex

y

Daerah integrasinya R = {(x,y)| 0 ≤x≤ 4, x/2 ≤ y ≤ 2}Jawab:

yDiubah urutan pengintegralannya, yaitu:

R = {(x,y)| 0 ≤x≤ 2y, 0 ≤ y ≤ 2}Sehingga


20

x R

x

y = x/2

4

2

y

Sehingga

∫ ∫4

0

2

2

2

dxdyex

y ∫ ∫=2

0

2

0

2

dydxey

y

142

0

2

−== eey

∫=2

0

2

0

2

dyxeyy

∫=2

0

2

2 dyey y

x=2y

LatihanLatihan

∫ ∫−

3

1

y3

y

y dydxex.13

∫ ∫π

2

0 0

dxdy

xsin

xcosy.2

∫ ∫−

1

0

1

x

y dxdye.52

∫ ∫4

0

13

.6 dydxey

x

∫ ∫ +

1

0

2

02

dxdy1x

y.3

∫ ∫π π

+2

0

2

0

dydx)yxsin(.4


21

0 0 0 y0 0

( )∫ ∫−

+2

0

x4

0

dxdyyx.7

2

∫ ∫π

2

0 0

dxdyxcos

xsiny.8

Integral lipat dalam koordinat kutub/polarIntegral lipat dalam koordinat kutub/polar

Hitung ∫∫+

D

yx dAe22

, D={(x,y)|x2+y2≤4}

Dalam sistem koordinat kartesius, integral ini sulit untuk

diselesaikan.

Sistem Koordinat Kutub

Hubungan Kartesius – Kutub


22

θ

rP(r,θ)

x

y

θ=0 (sumbu kutub)

Hubungan Kartesius – Kutubx = r cos θ x2+y2=r2

y = r sin θθ = tan-1(y/x)

22 yxr +=

Transformasi kartesius ke kutubTransformasi kartesius ke kutub

Misalkan z = f(x,y) terdefinisi pada persegipanjang kutub D

D={(r, θ)| a ≤ r ≤ b, α ≤ θ ≤ β}

?),( =∫∫D

dAyxf

θθθθ=ββββ ∆∆∆∆Ak

Pandang satu partisi persegipanjang kutub ∆AkLuas juring lingkaran dengan


23

Sumbu Kutub

∆Akr=b

r=a

θθθθ=ββββ

θθθθ=αααα

D

∆∆∆∆Ak

rk-1

rk∆θ∆θ∆θ∆θ

∆ k

Luas juring lingkaran dengansudut pusat θ adalah ½θr2

∆Ak = ½ rk2 ∆ θ- ½ rk-1

2 ∆θ= ½ (rk

2 - rk-12) ∆θ

= ½ (rk + rk-1) (rk - rk-1)∆θ= r ∆r ∆θ

Jika |P|� 0, maka dA = r dr dθ (|P| panjang diagonal ∆Ak)

Transformasi kartesius ke kutubTransformasi kartesius ke kutub

Sehingga

∫∫∫∫ =pk DD

ddrrrrfdAyxf θθθ )sin,cos(),(

Contoh:


24

1. Hitung ∫∫+

D

yx dAe22

, D={(x,y)|x2+y2≤4}Contoh:

2. Hitung ∫∫D

dAy , D adalah daerah di kuadran I di dalamlingkaran x2+y2=4 dan di luar x2+y2=1

ContohContoh

∫∫+

D

yx dAe22

.1 dengan D = {(x,y)| x2+y2≤ 4}

D adalah daerah di dalam lingkaran dengan pusat (0,0) jari-jari 2. D = {(r,θ)| 0 ≤ r ≤ 2, 0 ≤ θ ≤ 2π}Sehingga

y

Jawab.


25

Sehingga

∫∫+

D

yx dAe22

∫ ∫=π

θ2

0

2

0

2

ddrrer

( )14 −= eπ

∫

=

π

θ2

0

2

0

2

2

1der

∫

−=π

θ2

0

4

2

1

2

1de

2

2

x

D r

θθθθ

ContohContoh

∫∫D

dAy.2 dengan D adalah persegipanjang kutubdi kuadran I di dalam lingkaran x2+y2=4di luar x2+y2=1

D = {(r,θ)| 1 ≤ r ≤ 2, 0 ≤ θ ≤ π/2}Sehingga

∫∫2/ 2π y

D


26

∫∫D

dAr ∫ ∫=2/

0

2

1

sinπ

θθ ddrrr

( )3

7cos

3

7 2/

0=−= πθ

∫

=

2/

0

2

1

3 sin3

1π

θθ dr

( ) ∫−=2/

0

sin183

1π

θθ d

21 x

D

r θθθθ

LatihanLatihan

1. Hitung ∫ ∫−

−−1

0

1

0

22

2

4x

dxdyyx


+1

0

1

0

22

2

)sin(

y

dydxyx

3. Tentukan volume benda pejal di oktan I di bawah


27

3. Tentukan volume benda pejal di oktan I di bawah paraboloid z = x2+y2 dan di dalam tabung x2 + y2 = 9dengan menggunakan koordinat kutub.

D daerah sembarang/umumD daerah sembarang/umum

1. D={(r, θ)| φ1(θ) ≤≤≤≤ r ≤≤≤≤ φ2(θ), α ≤≤≤≤ θ ≤≤≤≤ β}2. D={(r, θ)| a ≤≤≤≤ r ≤≤≤≤ b, ψ1(r) ≤≤≤≤ θ ≤≤≤≤ ψ2(r)}

θθθθ=ββββ θθθθ=ψ2(r)


28

Sumbu Kutub

r=φ2(θ)

r=φ1(θ)

θθθθ=ββββ

θθθθ=αααα

D

Sumbu Kutub

r=b

r=a

θθθθ=ψ2(r)

θθθθ=ψ1(r)D

Tuliskan daerah integrasi dalam Tuliskan daerah integrasi dalam koordinat polarkoordinat polar

1 2

1 Terlihat bahwa D adalah lingkaran dengan pusat di (1,0) dan berjari-jari 1 DD

Jadi, (x – 1)2 + y2 = 1

x2 – 2x + 1 + y2 = 1

x2 + y2 = 2x

r2 = 2r cos θ


29

D={(r, θ)| 0 ≤ r ≤ 2 cos θ ,–π /2 ≤ θ ≤ π/2}

r2 = 2r cos θr2 – 2r cos θ =0r (r – 2 cos θ )=0

r = 0 atau r = 2 cos θUntuk batas θ (dari gambar) θ =–π /2 � θ= π/2Sehingga,


θ=π/4

1 2 x

y

D

x = 1 � x = 2

y = 0 � y = 22 xx −

y2 = 2x – x2 x2 + y2 – 2x = 0

(x – 1)2 + y2 = 1

ini merupakan lingkaran pusat (1,0), jari-jari 1


30

D={(r, θ)| sec θ ≤ r ≤ 2 cos θ ,0 ≤ θ ≤ π/4}

ini merupakan lingkaran pusat (1,0), jari-jari 1

Sehingga koordinat polarnya adalah

Untuk batas r dihitung mulai

x = 1 r cos θ = 1 r = sec θ

Untuk batas θ (dari gambar) θ =0 � θ= π/4hingga r = 2 cos θ


1

1

2 Terlihat bahwa D adalah lingkaran dengan pusat di (0,1) dan berjari-jari 1

Jadi, x2 + (y – 1)2 = 1

x2 + y2 – 2y + 1 = 1

x2 + y2 = 2y

r2 = 2r sin θ


31

D={(r, θ)| 0 ≤ r ≤ 2 sin θ ,0 ≤ θ ≤ π}

r2 = 2r sin θr2 – 2r sin θ =0r (r – 2 sin θ )=0

r = 0 atau r = 2 sin θUntuk batas θ (dari gambar) θ =0 � θ= πSehingga,


1

1

x = 0 � x = 1

y = 0 � y = x

Untuk batas r

x = 1 r cos θ = 1 r = sec θUntuk batas θ (dari gambar) θ =0 � θ= π/4

DD


32

D={(r, θ)| 0 ≤ r ≤ sec θ ,0 ≤ θ ≤ π/4}

Sehingga koordinat polarnya adalah

Untuk batas θ (dari gambar) θ =0 � θ= π/4

ContohContoh


+

2

1

xx2

022

2

dydxyx

1

Jawab: Dari soal terlihat batas untuk x dan y:

x = 1 � x = 2

y = 0 � y = 22 xx −


33

y2 = 2x – x2 x2 + y2 – 2x = 0

(x – 1)2 + y2 = 1

ini merupakan lingkaran dengan pusat (1,0), jari-jari 1

θ=π/4

1 2 x

y

D

Koordinat polarnya adalah

D={(r, θ)| sec θ ≤ r ≤ 2 cos θ ,0 ≤ θ ≤ π/4}

Contoh (Lanjutan)Contoh (Lanjutan)

∫ ∫−

+

2

1

2

022

2

1xx

dxdyyx ∫ ∫=

4/

0

cos2

sec

.1

π θ

θ

θddrrr

( )∫=4/

0

cos2

sec

πθ

θθdr ( )∫ −=

4/

0

seccos2π

θθθ d

Sehingga,


34

( ) 4/

0tanseclnsin2

πθθθ +−=

∫0

sec θ0

( ) ( ) ( )( )0tan0secln0sin24

tan4

secln4

sin2 +−−

+

−

= πππ

( )1ln12ln22

1.2 +

+−= ( )12ln2 +−=

LatihanLatihan

1. Hitung ∫∫ θS

ddrr , S daerah dalam lingkaran r = 4 cosθdan di luar r = 2

2. Hitung ∫ ∫1

0

12

x

dydxx

3. Hitung ∫∫ −− dAyx 224 , D daerah kuadran I dari

(dengan koordinat kutub)


35

3. Hitung ∫∫ −−D

dAyx 224 , D daerah kuadran I darilingkaran x2+y2=1 antaray=0 dan y=x

06 Integral Lipat Dua - Arisgunaryati's Blog · PDF fileIntegral Lipat Dua. Integral Lipat Dua Z=f ... jumlah Riemann. Jika limit ada, ... Transformasi kartesius ke kutub

Documents