01 PELUANG

PROBABILITAS

Rudi Salam

Menetapkan Probabilitas

• Untuk memperkenalkan probabilitas, perludidefinisikan dulu istilah eksperimen random

• Eksperimen random merupakan suatutindakan atau proses yang mengarah ke satuatau beberapa kemungkinan outcome.

Menetapkan Probabilitas

Experimen Outcomes

Melempar koin Muka, Belakang

Nilai Ujian Angka: 0, 1, 2, ..., 100

Waktu merakit waktu > 0 detik

Nilai Mutu E, D, C, B, A, A+

Menetapkan Probabilitas

Langkah pertama dalam menetapkan probabilitas adalah dengan membuat daftardari outcome. Outcome yang terdaftar harus exhaustive, yang berarti bahwa semua outcome yang mungkin harus disertakan. Selain itu, outcome harus mutually exclusive, yang berarti bahwa tidak ada dua outcomedapat terjadi pada waktu yang sama.

Menetapkan Probabilitas

Buat daftar outcome dari percobaan random

Daftar harus exhaustive, i.e. Semua outcome yang mungkin harus disertakan.

Die roll {1,2,3,4,5} Die roll {1,2,3,4,5,6}

Daftar harusmutually exclusive, i.e. Tidak ada duaoutcome dapat terjadi dalam waktu yang sama:

Die roll { odd number or even number }     Die roll { number less than 4 or even number }

Ruang Sampel

Sample space atau ruang sampel dari eksperimenrandom adalah daftar semua outcome yang mungkindari eksperimen. Outcomes harus exhaustive danmutually exclusive. Ruang sampel dinyatakan dengan S.

Outcome dinyatakan dengan O1, O2, …, Ok

Dengan menggunakan notasi dari teori himpunan, ruang sampel dan outcome‐nya dapat dinyatakanseperti berikut

S = {O1, O2, …, Ok}

Syarat Probabilitas

Diketahui ruang sampel S = {O1, O2, …, Ok}, probabilitas yang ditetapkan ke outcome harusmemenuhi syarat berikut:

1) The probability of any outcome is between 0and 1.  i.e. 0 ≤ P(Oi) ≤ 1 for each i, and

2) The sum of the probabilities of all the outcomes equals 1. i.e. P(O1) + P(O2) + … + P(Ok) = 1

P(Oi) represents the probability of outcome i

Pendekatan Perhitungan PeluangAda tiga pendekatan untuk menetapkan peluang, P(Oi), ke suatu outcome, Oi, yaitu:

Pendekatan klasik: make certain assumptions (such as equally likely, independence) about situation.

Frekuensi relatif: assigning probabilities based on experimentation or historical data.

Pendekatan subjektif: Assigning probabilities based on the assignor’s judgment.

Pendekatan Klasik

Jika suatu experiment mempunyai nkemungkinan outcome, metode ini akanmenetapkan peluang 1/n ke tiap‐tiap outcome.

Experimen:   Rolling sebuah daduRuang Sample:   S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}Probabilitas:   Tiap titik sampel mempunyai

1/6 kesempatan untuk muncul.

Pendekatan Klasik

Experiment:  Rolling 2 daduRuang Sample:  S = {2, 3, …, 12}Probability Examples:

P(2) = 1/36

P(7) = 6/36

P(10) = 3/36

1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6 7

2 3 4 5 6 7 8

3 4 5 6 7 8 9

4 5 6 7 8 9 10

5 6 7 8 9 10 11

6 7 8 9 10 11 12

What are the underlying, unstated assumptions??

Pendekatan Frekuensi Relatif

Toko Komputer Bits & Bytes mencatat jumlah desktop computer yang terjual selama sebulan (30 hari):

Contoh,10 hari dari 302 desktops terjual.

From this we can constructthe probabilities of an event(i.e. the # of desktop sold on a given day)…

Desktops Sold # of Days

0 1

1 2

2 10

3 12

4 5

Pendekatan Frekuensi Relatif

“There is a 40% chance Bits & Bytes will sell 3 desktops on any given day”

Desktops Sold # of Days Desktops Sold

0 1 1/30 = .03

1 2 2/30 = .07

2 10 10/30 = .33

3 12 12/30 = .40

4 5 5/30 = .17

∑ = 1.00

Pendekatan Subjektif“Dalam pendekatan subjektif, peluang didefinisikansebagai derajat kepercayaan bahwa terjadinya suatuevent dapat terpenuhi”

E.g. Ramalan cuaca “Probability of Precipitation”“Peluang presipitasi” (or P.O.P.) didefinisikan dengan carayang berbeda oleh forecaster yang berbeda, tetapi padadasarnya merupakan peluang subjektif berdasarkanobservasi yang telah dilakukan yang dikombinasikandengan kondisi cuaca sekarang.

POP 60% – based on current conditions, there is a 60% chance of rain (say).

Kejadian dan Peluang

Suatu outcome individual dari ruang sample dinamakan simple event, sementara

Suatu eventmerupakan sekumpulan atauhimpunan satu atau lebih simple event dalam ruangsample.

Melantunkan sebuah dadu: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}Simple event: angka “3” akan munculEvent: suatu angka genap (satu dari 2, 4, atau 6) akan muncul

Kejadian dan Peluang

Peluang dari suatu event adalah penjumlahanpeluang dari event sederhana yang mendukungeven tersebut.

E.g. (asumsi dadu seimbang) S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} danP(1) = P(2) = P(3) = P(4) = P(5) = P(6) = 1/6

Maka:P(Genap) = P(2) + P(4) + P(6) = 1/6 + 1/6 + 1/6 = 3/6 = 1/2 

Interpretasi Peluang

Salah satu cara menginterpretasikan peluang adalah:

Jika suatu experimen random diulang sampai takterhingga, frekuensi relatif untuk sembarang outcome tertentu adalah peluang dari outcome tersebut.

Misalnya, dengan menggunakan pendekatan klasik, peluang muncul muka dalam pelantunan sebuah koinyang seimbang adalah 0,5. Peluang diinterpretasikansebagai frekuensi relatif jangka panjang dari muka jikakoin dilantunkan sampai tak terhingga.

Peluang Gabungan, Marjinal, Bersyarat

We study methods to determine probabilities of events that result from combining other events in various ways. 

There are several types of combinations and relationships between events: Complement of an event Intersection of two events Union of two events

Interseksi

Contoh 1Kenapa beberapa manajer reksa dana lebih sukses dariyang lain? Salah satu faktor yang mungkin adalah di manamanajer mendapatkan gelar MBA‐nya. Tabel berikutmembandingkan kinerja reksa dana terhadap peringkatsekolah di mana manajer mendapatkan gelar MBA.

Venn Diagrams

Mutual fund outperforms the market

Mutual fund doesn’t outperform the market

Top 20 MBA program .11 .29

Not top 20 MBA program .06 .54

E.g. This is the probability that a mutual fund outperforms AND the manager was in a top-20 MBA program; it’s a joint probability.

Contoh 1

Sebagai alternatif, dapat dibuat notasi singkat untukmewakili event:

A1 = Fund manager graduated from a top‐20 MBA programA2 = Fund manager did not graduate from a top‐20 MBA programB1 = Fund outperforms the market B2 = Fund does not outperform the market

E.g. P(A2 and B1) = .06= peluang reksa dana menguasai market danmanajernya bukan berasal dari sekolah top‐20.

B1 B2

A1 .11 .29

A2 .06 .54

Peluang Marjinal

Marginal probabilities are computed by adding across rows and down columns; that is they are calculated in the margins of the table:

B1 B2 P(Ai)

A1 .11 .29 .40

A2 .06 .54 .60

P(Bj) .17 .83 1.00

P(B1) = .11 + .06

P(A2) = .06 + .54

“what’s the probability a fundoutperforms the market?”

“what’s the probability a fundmanager isn’t from a top school?”

BOTH margins must add to 1(useful error check)

Peluang Bersyarat

Conditional probability digunakan untuk menentukanbagaimana dua even berhubungan; yaitu, peluang satueven given terjadinya even yang lain yang berhubungandapat ditentukan.

Peluang bersyarat dituliskan sebagai P (A|B) dan dibaca“peluang A given B” dan dihitung dengan:

Peluang Bersyarat

Again, the probability of an event given that another event has occurred is called a conditional probability…

Note how “A given B” and “B given A” are related…

Peluang Bersyarat

Contoh 2 • What’s the probability that a fund will outperform the market given that the manager graduated from a top‐20 MBA program?

Recall:A1 = Fund manager graduated from a top‐20 MBA programA2 = Fund manager did not graduate from a top‐20 MBA programB1 = Fund outperforms the market B2 = Fund does not outperform the market

Thus, we want to know “what is P(B1 | A1) ?”

Peluang Bersyarat

We want to calculate P(B1 | A1)

Thus, there is a 27.5% chance that that a fund will outperform the market given that the manager graduated from a top‐20 MBA program.

B1 B2 P(Ai)

A1 .11 .29 .40

A2 .06 .54 .60

P(Bj) .17 .83 1.00

IndependensiSalah satu tujuan penghitungan peluang bersyarat adalahuntuk menentukan apakah dua even saling berhubungan.

Secara khusus, Ingin diketahui apakah even tersebutsaling independent, yaitu, jika peluang satu even tidakdipengaruhi oleh terjadinya even yang lain.

Dua even A dan B dikatakan independent jikaP(A|B) = P(A)

orP(B|A) = P(B)

IndependensiFor example, we saw that

P(B1 | A1) = .275

The marginal probability for B1 is: P(B1) = 0.17

Since P(B1|A1) ≠ P(B1), B1 and A1 are not independentevents.

Stated another way, they are dependent. That is, the probability of one event (B1) is affected by the occurrence of the other event (A1).

Union

Union dari dua kejadian A dan B merupakan himpunanbagian S, yang terdiri dari elemen‐elemen anggota S yang menjadi anggota A saja, B saja, atau menjadi anggota A dan B sekaligus. Dinyatakan sebagai:

A or B

Konsep ini dapat digunakan untuk menjawab pertanyaanseperti:

Tentukan peluang reksa dana menguasai pasar ataumanajer lulus dari sekolah top‐20 MBA.

Union

Determine the probability that a fund outperforms (B1)or the manager graduated from a top‐20 MBA program (A1).

A1 or B1 occurs whenever: A1 and B1 occurs, A1 and B2 occurs, or A2 and B1 occurs 

B1 B2 P(Ai)

A1 .11 .29 .40

A2 .06 .54 .60

P(Bj) .17 .83 1.00

P(A1 or B1) = .11 + .06 + .29 = .46

Union

Determine the probability that a fund outperforms (B1)or the manager graduated from a top‐20 MBA program (A1).

B1 B2 P(Ai)

A1 .11 .29 .40

A2 .06 .54 .60

P(Bj) .17 .83 1.00

P(A1 or B1) = .11 + .06 + .29 = .46

B1

A1

Alternatif Lain

Take 100% and subtract off “when doesn’t A1 or B1occur”? 

i.e. pada A2 dan B2

B1 B2 P(Ai)

A1 .11 .29 .40

A2 .06 .54 .60

P(Bj) .17 .83 1.00

B1

A1

P(A1 or B1) = 1 – P(A2 and B2) = 1 – .54 = .46

Soal 1

Tuliskan anggota tiap ruang sampel berikut:a. Himpunan bilangan bulat antara 1 dan 50 

yang habis dibagi 8b. Himpunan T={x|x2 + 4x – 5 = 0}c. Himpunan hasil bila sebuah mata uang

dilantunkan sampai belakang muncul atausampai 3 muka muncul

d. Himpunan T={x|x benua}e. Himpunan T={x|2x – 4 ≥ 0 dan x < 1}

Soal 2

Dua dadu dilantun, satu berwarna merahsedangkan yang satu lagi hijau, dan hasilnyadicatat. Bila x menyatakan hasil pada dadu hijaudan y pada dadu merah, nyatakanlah ruangsampel Ta. Dengan menuliskan unsur (x,y)b. Dengan menggunakan cara aturan

Soal 3

Suatu kotak berisi 500 amplop, 75 diantaranyaberisi uang rp. 100, 150 berisi rp. 25, dan 275 berisi rp. 10. sebuah amplop dijual seharga rp. 25. Tuliskanlah ruang sampel untuk ketigamacam jumlah uang dan berilah peluang padatiap titik sampel, kemudian hitunglah peluangbahwa amplop pertama yang dijual berisi uangkurang dari rp. 100

Soal 4Pada suatu percobaan untuk meneliti pengaruhhipertensi pada kebiasaan merokok, dikumpulkan data yang menyangkut 180 orang

Bila seseorang diambil secara acak dari kelompok ini, carilah peluang bahwa orang itua. Menderita hipertensi, bila diketahui dia perokok beratb. Bukan perokok, bila diketahui dia tidak menderita

hipertensi

Bukan Perokok Perokok Sedang Perokok Berat

Hipertensi 21 36 90

Tidak Hipertensi 48 26 19

Aturan dan Pohon Probabilitas

Ada tiga aturan yang bisa digunakan untukmenghitung peluang dari kejadian yang lebihkompleks dari peluang kejadian yang lebihsederhana

The Complement Rule

The Multiplication Rule

The Addition Rule

Aturan KomplemenKomplemen dari kejadian A adalah kejadian yang terjadiketika A tidak terjadi. 

Aturan komplemenmerupakan peluang suatu kejadianTIDAK terjadi. Yaitu:

P(AC) = 1 – P(A)

Contohnya, dalam pelantunan dadu, peluang angka “1” muncul adalah 1/6. Peluang angka lain selain “1” akanmuncul adalah 1 – 1/6 = 5/6.

Aturan Perkalian

Atuan perkalian digunakan untuk menghitung peluang gabungandari dua kejadian. Ini didasarkan dari formula peluang bersyaratyang sudah dipelajari:

Jika kedua sisi dari persamaan dikalikan dengan P(B), maka:

P(A dan B) = P(A | B) • P(B)

Demikian juga, P(A dan B) = P(B | A) • P(A)

Jika A dan B adalah kejadian yang bebas, maka:P(A dan B) = P(A) • P(B)

Contoh 5Suatu kelas statistik terdapat 10 mahasiswa yang terdiridari tujuh laki‐laki dan tiga perempuan. Sang profesor ingin memilih dua mahasiswa secara acak untuk membantunya melakukan proyek penelitian. Berapa peluang bahwa dua mahasiswa yang terpilih adalah perempuan?

Jika A adalah kejadian bahwa mahasiswa pertama adalahperempuan

P(A) = 3/10 = 0,30

Bagaimana dengan mahasiswa yang kedua?

Contoh 5

Jika B adalah kejadian bahwa mahasiwa keduaadalah perempuan

P(B | A) = 2/9 = 0,22

Artinya, peluang memilih mahasiswaperempuan dengan syarat bahwa mahasiswapertama telah terpilih adalah 2 (perempuan) / 9 (sisa mahasiswa) = 2/9

Contoh 5Suatu kelas statistik terdiri dari tujuh laki‐laki dan tiga perempuan. Sang profesor ingin memilih dua mahasiswasecara acak untuk membantunya melakukan proyek penelitian. Berapa peluang bahwa dua lulusan yang terpilih adalah perempuan?

Pertanyaan yang ingin dijawab adalah berapa P(A dan B)?

P(A dan B) = P(A)•P(B|A) = (3/10)(2/9) = 6/90 = 0,067

“There is a 6.7% chance that the professor will choose two female students from her grad class of 10.”

Contoh 6Misalkan professor pada contoh 5 tidak bisa mengajar. Penggantinya akan mengajar dual kelas. Caranya adalahdengan memilih satu siswa secara acak dan menempatkannyadi kelas pertama kemudian dipilih yang kedua. Berapa peluangbahwa kedua siswa yang dipilih adalah wanita?

Misal A adalah kejadian bahwa siswa yang terpilih secara acakpada kesempatan pertama adalah perempuan

P(A) = 3/10 = 0,30

Bagaimana dengan kelas yang kedua? 

Contoh 5

Misal B adalah kejadian bahwa siswa keduaadalah perempuan. Jika siswa yang sama padakelas pertama bisa dipilih lagi untuk kelas kedua

P(B | A) = P(B) = 3/10 = 0,30

Contoh 6Berapa peluang bahwa kedua siswa yang terpilihadalah perempuan?

Jadi, yang ingin dijawab adalah pertanyaan: berapaP(A dan B) ?

P(A dan B) = P(A)•P(B) = (3/10)(3/10) = 9/100 = .09

“There is a 9% chance that the replacement professor will choose two female students from his two classes.”

Aturan Penjumlahan

Recall: the addition rule was introduced earlier to provide a way to compute the probability of event A or B or both A and B occurring; i.e. the union of A and B.

P(A atau B) = P(A) + P(B) – P(A dan B)

Why do we subtract the joint probability P(A and B) from the sum of the probabilities of A and B?

P(A atau B) = P(A) + P(B) – P(A dan B)

Aturan Penjumlahan

P(A1) = 0,11 + 0,29 = 0,40P(B1) = 0,11 + 0,06 = 0,17By adding P(A) plus P(B) we add P(A and B) twice. To correct we subtract P(A and B) from P(A) + P(B)

B1 B2 P(Ai)

A1 .11 .29 .40

A2 .06 .54 .60

P(Bj) .17 .83 1.00

P(A1 or B1) = P(A) + P(B) –P(A and B) .40 + .17 - .11 = .46

B1

A1

Aturan Penjumlahan untuk KejadianMutually Exclusive

If and A and B are mutually exclusive the occurrence of one event makes the other one impossible. This means that

P(A dan B) = 0

The addition rule for mutually exclusive events is

P(A atau B) = P(A) + P(B) 

We often use this form when we add some joint probabilities calculated from a probability tree 

Contoh 7Di kota besar, dua surat kabar yang diterbitkan, Sun dan Post. Departemen sirkulasi melaporkan bahwa 22% rumah tangga di kota ini berlangganan Sun dan 35% berlangganan Post. Sebuah survei mengungkapkan bahwa 6% dari seluruh rumah tangga berlangganan kedua surat kabar. Berapa proporsi rumah tangga di kota berlangganan ke salah satu surat kabar?

Artinya, Berapa peluang memilih rumah tangga secararandom yang berlangganan Sun atau Post atau keduanya?

i.e. Berapa P(Sun atau Post) ?

Contoh 7Di kota besar, dua surat kabar yang diterbitkan, Sun dan Post. Departemen sirkulasi melaporkan bahwa 22% rumah tangga di kota ini berlangganan Sun and 35% berlangganan Post. Sebuah survei mengungkapkan bahwa 6% dari seluruh rumah tangga berlangganan kedua surat kabar. Berapa proporsi rumah tangga di kota berlangganan ke salah satu surat kabar?

P(Sun or Post) = P(Sun) + P(Post) – P(Sun and Post)= 0.22 + 0.35 – 0.06 = 0.51

“There is a 51% probability that a randomly selected household subscribes to one or the other or both papers”

Pohon Probabilitas

A probability tree is a simple and effective method of applying the probability rules by representing events in an experiment by lines. The resulting figure resembles a tree.: Recall Example 5

First selection Second selectionThis is P(F), the probability of selecting a female student first

This is P(F|F), the probability of selecting a female student second, given that a female was already chosen first

Pohon Probabilitas

At the ends of the “branches”, we calculate joint probabilities as the product of the individual probabilities on the preceding branches.

First selection Second selectionP(FF)=(3/10)(2/9)

P(FM)=(3/10)(7/9)P(MF)=(7/10)(3/9)

P(MM)=(7/10)(6/9)

Joint probabilities

Pohon Probabilitas

In Example 6 the tree and joint probabilites now look like:

FF

MF

MM

FM

P(FF)=(3/10)(3/10)

P(FM)=(3/10)(7/10)P(MF)=(7/10)(3/10)

P(MM)=(7/10)(7/10)

Pohon Probabilitas

The probabilities associated with any set of branches from one “node” must add up to 1.00

3/9 + 6/9= 9/9 = 1

2/9 + 7/9= 9/9 = 1

3/10 + 7/10= 10/10 = 1

First selection Second selection

Handy way to checkyour work !

Pohon Probabilitas

Note: there is no requirement that the branches splits be binary, nor that the tree only goes two levels deep, or that there be the same number of splits at each sub node…

Contoh 8

Law school grads must pass a bar exam. Suppose pass rate for first‐time test takers is 72%. They can re‐write if they fail and 88% pass their second attempt. What is the probability that a randomly grad passes the bar?

P(Pass) = .72

P(Fail and Pass)=(.28)(.88)=.2464

P(Fail and Fail) = (.28)(.12) = .0336

First exam

Second exam

Contoh 8

What is the probability that a randomly grad passes the bar?“There is almost a 97% chance they will pass the bar”

P(Pass) = P(Pass 1st) + P(Fail 1st and Pass 2nd) = = 0.7200 + 0.2464 = .9664

P(Pass) = .72

P(Fail and Pass)=(.28)(.88)=.2464

P(Fail and Fail) = (.28)(.12) = .0336

First exam

Second exam

Kaidah Bayes

Bayes’ Law is named for Thomas Bayes, an eighteenth century mathematician.

Pada dasarnya, jika diketahui P(B | A),

kaidah Bayes dapat digunakan untuk mendapatkan P(A | B)

P(B|A) P(A|B)

Contoh 9Sebuah survei mahasiswa MBA mengungkapkan bahwa di antara skor GMAT di atas 650, sebanyak 52% mengambil kursus persiapan, sedangkan di antara skor GMAT kurang dari 650 hanya 23% mengambil kursus persiapan.

Pelamar untuk program MBA telah menetapkan bahwa ia membutuhkan skor lebih dari 650 untuk masuk ke program MBA tertentu, tetapi ia merasa bahwa peluang‐nya untuk mendapatkan skor yang tinggi cukup rendah yaitu 10%. Dia sedang mempertimbangkan mengambil kursus persiapan dengan biaya $500. Dia bersedia untuk mengikuti kursuspersiapan jika peluang mendapatkan skor 650 atau menjadidua kali lipat. Apa yang harus ia lakukan?

Contoh 9

Konversi ke notasi statistikMisal A = skor GMAT 650 atau lebih,maka AC = skor GMAT kurang dari 650

Pelamar telah menentukan peluangnyamendapatkan skor GMAT lebih dari 650 (tanpakursus persiapan) adalah 10%, sehingga:

P(A) = 0.10 sehingga P(AC) = 1 – 0.10 = 0.90

Contoh 9

Misal B adalah kejadian “mengambil kursus persiapan”sehingga, BC adalah “tidak mengambil kursus persiapan”

Dari informasi survey, diberitahukan bahwa yang mendapatkan skorGMAT di atas 650, 52% mengikuti kursus persiapan, sehingga:

P(B | A) = 0.52(Peluang menemukan siswa yang mengikuti kursus persiapan dengan syaratskornya di atas 650)

Tapi siswa ingin mengetahui P(A | B), yaitu, berapa peluangmendapatkan skor 650 ke atas dengan syarat mengikuti kursuspersiapan?

Jika peluang ini > 20%, dia akan mengeluarkan $500 untuk kursuspersiapan.

Contoh 9

Yang ingin dicari adalah P(A | B), definisi peluangbersyarat pada pertemuan sebelumnya dapatmembantu

P(A dan B) dan P(B) tidak diketahui nilainya. Hmm.

Mungkin jika dibuatkan pohon probabillitas…

Contoh 9

In order to go fromP(B | A) = 0.52  to P(A | B) = ??

Dibutuhkan Bayes’ Law.   Graphically:

Score ≥ 650 Prep Test

A and B 0.052

A and BC 0.048

AC and B 0.207

AC and BC 0.693

Now we just need P(B) !

Contoh 9

In order to go fromP(B | A) = 0.52  to P(A | B) = ??

Dibutuhkan Bayes’ Law.   Graphically:

Score ≥ 650 Prep Test

A and B 0.052

A and BC 0.048

AC and B 0.207

AC and BC 0.693

Marginal Prob.P(B) = P(A and B) +P(AC and B) = .259

Contoh 9 ‐ FYI

Thus,

The probability of scoring 650 or better doubles to 20.1% when the prep course is taken.

Terminologi Bayesian

Peluang P(A) dan P(AC) dinamakan prior probabilities karena keduanya menentukanprior pada keputusan tentang pengambilankursus persiapan.

Peluang bersyarat P(A | B) dinamakan posterior probability (or revised probability), karenaprobabilitas prior direvisi setelah keputusanmengenai pengambilan kursus persiapan.

Soal 1

Dari 100 siswa yang diwisuda, 54 belajarmatematika, 69 belajar sejarah, 35 belajarmatematika dan sejarah. Bila seorang siswadipilih secara acak, hitunglah peluangnyaa. Dia belajar matematika atau sejarahb. Dia tidak belajar keduanyac. Dia belajar sejarah tapi tidak matematika

Soal 2

Dari 100 mahasiswa diketahui, 42 ikut kuliahmatematika, 68 ikut kuliah psikologi, 54 ikut kuliahsejarah, 22 ikut kuliah matematika dan sejarah, 25 ikut kuliah matematika dan psikologi, 7 belajarsejarah tetapi tidak matematika maupun psikologi, 10 ikut ketiga kuliah, dan 8 tidak ikut satupun dariketiganya. Bila seorang mahasiswa dipilih secaraacak, cari peluangnya bahwa:a. Seseorang yang ikut psikologi mengambil ketiga

kuliahb. Seseorang yang tidak ikut psikologi mengikuti

sejarah dan matematika

Soal 3

Peluang sebuah kendaraan berplat L lewatjagorawi 0,12; peluang kendaraan truk 0,28; peluangnya truk itu berplat L 0,09. Berapapeluangnya bahwaa. Sebuah truk yang lewat jagorawi berplat L?b. Sebuah kendaraan berplat L lewat jagorawi

adalah truk?c. Sebuah kendaraan yang lewat jagorawi tidak

berplat L atau bukan truk

Soal 4

Seorang pengusaha perumahan mempunyai 8 kunci induk untuk membuka beberapa rumahbaru. Suatu rumah hanya akan dapat dibukadengan satu kunci induk tertentu. Bila 40% darirumah biasanya tidak terkunci, berapakahpeluangnya pengusaha tersebut dapat masuk kesebuah rumah tertentu bila dia mengambil tigakunci induk secara acak sebelum meninggalkankantornya?

Soal 5

Dari suatu daerah diketahui berdasarkanpengalaman masa lalu bahwa peluang memilihseorang dewasa di atas 40 tahun yang kena kanker0,02. Bila peluang seorang dokter dengan tepatmendiagnosa seseorang yang kena kanker sebagaiterserang kanker 0,78 dan peluangnya kelirumendiagnosa seseorang yang tidak kena kankersebagai terserang kanker 0,06, berapakahpeluangnya seseorang didiagnosa sebagai terserangkanker?Berapakah peluang seseorang yang didiagnosaterserang kanker memang kena kanker?

Soal 6

Polisi merencanakan memantau batas kecepatandengan menggunakan perangkap radar di 4 tempatyang berlainan di suatu kota. Radar di setiap tempatT1, T2, T3, dan T4 dioperasikan 40%, 30%, 20%, dan30% dari waktu dan bila seseorang yang ngebut kekantor berpeluang masing‐masing 0,2, 0,1, 0,5, dan0,2 melalui tiap tempat, berapa peluang dia akankena tilang?Bila orang tersebut kena tilang dalam perjalanan kekantor, berapa peluang dia melewati perangkapradar di tempat T2