karyatulisilmiah.com · Web viewPercobaan pada uang logam dilakukan dengan menggunakan 4 buah uang logam dengan percobaan sebanyak 50x pelemparan uang logam. Sehingga 1x pelemparan

ABSTRAKSI

Statistik merupakan suatu ilmu tentang pengumpulan, penyusunan,

penganalisaan dan penafsiran data dalam bentuk angka untuk tujuan pembuatan suatu

keputusan yang lebih baik di dalam menghadapi ketidakpastian. Singkatnya statistika

adalah ilmu yang berkenaan dengan data..Sebagaian besar konsep dasar statistika

mengasumsikan teori probabilitas. Probabilitas atau peluang adalah cara untuk

mengungkapkan pengetahuan atau kepercayaan bahwa suatu kejadian akan berlaku

atau telah terjadi. Probabilitas suatu kejadian adalah angka yang menunjukkan

kemungkinan terjadinya suatu kejadian. Nilainya diantara 0 dan 1. Kejadian yang

mempunyai nilai 1adalah kejadian yang pasti terjadi atau telah terjadi. Misalnya

matahari yang masih terbit di timur sampai sekarang. Sedangkan kejadian yang

mempunya nilai probabilitas 0 adalah kejadian yang mustahil atau tidak mungkin

terjadi. Misalnya seekor kambing melahirkan seekor sapi. Dalam statistika dikenal pula

dengan konsep probabilitas atau peluang. Probabilitas adalah angka yang menjukkan

kemungkinan terjadinya suatu kejadian dimasa mendatang akan terjadi, peluang ini

hanya memuati nilai antara 0 sampai dengan ~. Konsep statsitika probabilitas biasanya

dinyatakan dengan pecahan seperti : ½ ; ¼ ; ¾ ataupun dalam bentuk desimal seperti:

0,25 ; 0,50 ataupun 0,75. Salah satu contoh yang sering digunakan dalam menerangkan

konsep probabilitas adalah dengan pelemparan mata uang. Jika kita melempar mata

uang, maka kenungkinan sisi gambar untuk muncul sama dengan kemungkinan

munculnya sisi angka. Dengan demikian probabilitas munculnya sisi gambar yaitu ½ atau

0,5 dan demikian pula denga probabilitas sisi angka. Begitu juga denga probabilitas mata

dadu kemungkinan munculnya salah satu angka adalah 1/6. Didalam modul ini diambil

beberapa contoh dalam konsep statistika probabilitas, yaitu dari percobaan pelemparan

dadu, pelemparan uang logam dan pengambilan kelereng. Dar i percobaan-percobaan

tersebut dilakukan beberapa pelemparan untuk mendapatkan hasil yang bervariasi.

Data - data yang telah terkumpul tersebut kemudian diolah sehingga dapat ditampilkan

dan dapat dianalisa serta ditarik kesimpulannya.

5

BAB I

PENDAHULUAN

A. Latar belakang

Sampai saat ini statistika merupakan alat dan juga metode analisis yang

dipakai untuk mengevaluasi data yang pada akhirnya akan diperoleh suatu

kesimpulan berdasarkan sampel yang ada. Dari semua alat analisa, konsep

probailitas merupakan salah satu alat analisis yang mempunyai peran sangat

penting untuk memecahkan masalah dalam kehidupan sehari-hari mulai dari

bidang ilmiah sampai pada masalah-masalah kecil, seperti masuk kantor atau

tidak, kareana awan tebal kemungkinan akan hujan deras dan banjir, dan

sebagainya. Meskipun kejadian-kejadian tersebut tidak pasti, tetapi kita bisa

melihat fakta-fakta yang ada untuk menuju derajat kepastian atau derajat

keyakinan bahwa sesuatu akan terjadi. Derajat atau tingkat kepastian atau

keyakinan dari munculnya hasil percobaan statistik disebut Probabilitas

(Peluang), yang dinyatakan dengan P. Probabilitas sering diterjemahkan

sebagai peluang atau kebolehkejadian, yaitu peristiwa yang didefinisikan

sebagai peluang proses terjadinya sesuatu, baik disengaja (eksperimentasi)

atau tidak.

Pada praktikum ini, akan dipelajari mengenai probabilitas yang

menyatakan suatu nilai kejadian yang dapat terjadi lagi. Konsep probabilitas

ialah suatu bagian ilmu dari statistika yang dapat meramalkan kejadian yang

dapat terjadi lagi di masa mendatang , peluang ini hanya memuat nilai antara 0

sampai dengan 1.

Dalam pembuatan modul konsep probabilitas ini akan dijelaskan beberapa

hal tentang peluang dan bagaimana mencari nilai peluang, diantaranya

peluang irisan dua kejadian, peluang paduan dua kejadian, peluang bersyarat

dan menerapkan konsep kaidah bayes serta menganalisa sampai dengan

menarik kesimpulan dari hasil nilai peluang yang telah didapat.

6

B. Identifikasi masalah

1. Mencari nilai peluang munculnya mata dadu yang dilemparkan.

2. Mencari nilai peluang munculnya permukaan 4 koin yang dilemparkan

secara bersama-sama.

3. Mencari nilai peluang munculnya kelerang yang di ambil.

4. Mencari nilai peluang pengambilan kelereng dengan metode kaidah bayes.

C. Perumusan masalah

Dalam penyusunan Modul II ini data-data yang kami ambil untuk

dianalisa, diolah dan ditampilkan adalah sebagai berikut:

1. Bagaimana melakukan pengolahan data peluang dalam pelemparan mata

dadu, pelemparan uang logam dan pengambilan kelereng ?

2. Bagaimana melakukan pengolahan dan penganalisaan terhadap data-data

yang telah diolah agar, mendapatkan kesimpulan mengenai data-data

tersebut ?

D. Pembatasan masalah

1. Mengolah perhitungan data peluang dalam pelemparan dadu, pelemparan

koin, dan pengambilan kelereng.

2. Pelemparan mata dadu dengan melakukan 2x percobaan. Yang pertama

dengan melakukan percobaan pelemparan sebanyak 55x dan yang kedua

pelemparan sebanyak 70x.

3. Pelemparan uang logam. Percobaan pada uang logam dilakukan dengan

menggunakan 4 buah uang logam dengan percobaan sebanyak 50x

pelemparan uang logam. Sehingga 1x pelemparan didapatkan 4 peluang.

Yaitu peluang yang sama untuk angka dan gambar.

4. Pengambilan kelereng. Kelereng yang digunakan pada percobaan ini ada

menggunakan 3 warna kelereng, yaitu Merah, Kuning dan Hijau. Dan ada

7

beberapa kelereng yang diberi tanda. Sehingga peluang yang ada semakin

sempit. Pada percobaan ini dilakukan 2x, yaitu 25x pengambilan dan 35x

pengambilan.

E. Tujuan penelitian

1. Memahami konsep dasar probabilitas.

2. Memahami peluang irisan dua kejadian, peluang gabungan serta peluang

bersyarat.

3. Memahami pengaruh probabilitas dalam menentukan hasil dari setiap

percobaan yang dilakukan.

F. Sistematika penulisan

BAB I. PENDAHULUAN

Berisi tentang latar belakang, identifikasi masalah, perumusan

masalah, pembatasan masalah, tujuan penelitian, dan sistematika

penulisan dalam modul probabilitas. Agar penjelasan dapat dengan

mudah dimengerti bagi pembaca.

BAB II. LANDASAN TEORI

Memuat teori-teori yang berhubungan dengan konsep probabilitas.

juga terdapat pembahasan penuyusunan data hingga penggunaan

perhitungan yang sesuai dengan ketetapan perhitungan dalam

konsep probabilitas.

BAB III. METODOLOGI PENELITIAN

Dalam bab ini menyampaikan kerangka alur dalam memecahkan

suatu masalah, penjelasan secara umum bagaimanakah langkah

pemecahan persoalan dengan menggunakan metode yang

digunakan.

8

BAB IV. PENGUMPULAN DAN PENGOLAHAN DATA HASIL

PENELITIAN

Pada bab ini disajikan data hasil penelitian yang diperoleh dari

suatu data peluang dan kemudian akan diproses serta akan diolah

lebih lanjut sebagai dasar pada pembahasan masalah.

BAB V. ANALISA

Berisikan pembahasan/penganalisaan terhadap hasil yang diperoleh

dari pengolahan data yang untuk memperoleh penyelesaian dari

masalah yang ada.

BAB VI. KESIMPULAN

Berisi tentang kesimpulan hasil pembahasan atau hasil tujuan

penelitian yang diperoleh dan berisi saran-saran untuk

perkembangan selanjutnya.

9

BAB II

PEMBAHASAN

A. Pengertian Probabilitas

Secara umum probabilitas merupakan peluang bahwa sesuatu akan

terjadi.Secara lengkap probabilitas didefinisikan sebagai berikut :

“Probabilitas” ialah suatu nilai yang digunakan untuk mengukur

tingkat terjadinya suatu kejadian acak.”

Dalam mempelajari probabilitas, ada tiga kata kunci yang harus

diketahui:

1. Eksperimen,

2. Hasil (outcome)

3. Kejadian atau peristiwa (event)

Contoh :

Dari eksperimen pelemparan sebuah koin. Hasil (outcome) dari

pelemparan sebuah koin tersebut adalah “MUKA” atau

“BELAKANG”.

Kumpulan dari beberapa hasil tersebut dikenal sebagai kejadian

(event).

Probabilitas biasanya dinyatakan dengan bilangan desimal (seperti

0,50 ; 0,25 atau 0,70) atau bilangan pecahan (seperti ).

Nilai dari probabilitas berkisar antara 0 dan 1. Semakin dekat nilai

probabilitas ke nilai 0, semakin kecil kemungkinan suatu kejadian akan

terjadi.

Sebaliknya semakin dekat nilai probabilitas ke nilai 1 semakin

besar peluang suatu kejadian akan terjadi.

10

B. Pendekatan Perhitungan Probabilitas

Ada dua pendekatan dalam menghitung probabilitas yaitu

pendekatan yang bersifat objektif dan subjektif. Probabilitas objektif

dibagi menjadi dua, yaitu:

1. Pendekatan Klasik

Probabilitas diartikan sebagai hasil bagi dari banyaknya

peristiwa yang dimaksud dengan seluruh peristiwa yang mungkin

menurut pendekatan klasik, probabilitas dirumuskan :

keterangan :

P(A) = probabilitas terjadinya kejadian A.

x = peristiwa yang dimaksud.

n = banyaknya peristiwa.

Contoh :

Dua buah dadu dilempar ke atas secara bersamaan.

Tentukan probabilitas munculnya angka berjumlah 5.

Penyelesaian :

Hasil yang dimaksud (x) = 4, yaitu (1,4), (4,1), (2,3). (3,2)

Hasil yang mungkin (n) = 36, yaitu (1,1), (1,2), (1,3). ….., (6,5),

(6,6).

2. Konsep Frekuensi Relatif

Menurut pendekatan frekuensi relatif, probabilitas diartikan

sebagai proporsi waktu terjadinya suatu peristiwa dalam jangka

panjang, jika kondisi stabil atau frekuensi relatif dari suatu

peristiwa dalam sejumlah besar percobaan.

Nilai probabilitas ditentukan melalui percobaan, sehingga

nilai probabilitas itu merupakan limit dari frekuensi relatif

peristiwa tersebut.

11

Menurut pendekatan frekuensi relatif, probabilitas dirumuskan :

keterangan :

P(Xi) = probabilitas peristiwa i.

Fi = frekuensi peristiwa i.

n = banyaknya peristiwa yang bersangkutan.

Contoh :

Dari hasil ujian statistik, 65 mahasiswa STMIK MDP, didapat

nilai-nilai sebagai berikut.

X F

5,0 11

6,5 14

7,4 13

8,3 15

8,8 7

9,5 5

x = nilai statistik.

Tentukan probabilitas salah seorang mahasiswa yang nilai

statistiknya 8,3.

Penyelesaian :

Frekuensi mahasiswa dengan nilai 8,3 (f) = 15

Jumlah mahasiswa (n) = 65.

3. Probabilitas Subjektif

Menurut pendekatan subjektif, probabilitas diartikan sebagai

tingkat kepercayaan individu yang didasarkan pada peristiwa

masa lalu yang berupa terkaan saja.

Contoh :

Seorang direktur akan memilih seorang supervisor dari

empat orang calon yang telah lulus ujian saringan. Keempat

calon tersebut sama pintar, sama lincah, dan semuanya dapat

12

dipercaya. Probabilitas tertinggi (kemungkinan diterima)

menjadi supervisor ditentukan secara subjektif oleh sang

direktur.

Dari pengertian-pengertian tersebut, dapat disusun suatu

pengertian umum mengenai probabilitas, yaitu sebagai berikut

Probabilitas adalah suatu indeks atau nilai yang digunakan untuk

menentukan tingkat terjadinya suatu kejadian yang bersifat

random (acak).

Oleh karena probabilitas merupakan suatu indeks atau nilai

maka probabilitas memiliki batas-batas yaitu mulai dari 0

sampai dengan 1 ( 0 £ P £ 1).

a. Jika P = 0, disebut probabilitas kemustahilan, artinya kejadian

atau peristiwa tersebut tidak akan terjadi.

b. Jika P = 1, disebut probabilitas kepastian, artinya kejadian

atau peristiwa tersebut pasti terjadi.

c. Jika 0 < P < 1, disebut probabilitas kemungkinan, artinya

kejadian atau peristiwa tersebut dapat atau tidak dapat terjadi.

C. Beberapa Aturan Dasar Probabilitas

Aturan Penjumlahan :

Untuk menerapkan aturan penjumlahan ini, harus dilihat jenis

kejadiannya apakah bersifat saling meniadakan atau tidak saling

meniadakan.

1. Kejadian Saling Meniadakan :

Dua peristiwa atau lebih disebut saling meniadakan jika

kedua atau lebih peristiwa itu tidak dapat terjadi pada saat

yang bersamaan. Jika peristiwa A dan B saling meniadakan,

probabilitas terjadinya peristiwa tersebut adalah

P(A atau B) = P(A) + P(B) atau

P(A ¨ B) = P(A) + P(B)

13

Contoh :

Sebuah dadu dilemparkan ke atas, peritiwanya adalah

A = peristiwa mata dadu 4 muncul.

B = peristiwa mata dadu lebih kecil dari 3 muncul.

Tentukan probabilitas dari kejadian berikut !

- Mata dadu 4 atau lebih kecil dari 3 muncul!

Penyelesaian :

P(A) = 1/6 P(B) = 2/6

P(A atau B) = P(A) + P(B) = 1/6 + 2/6 = 0,5

P(B) = 14/36

P(A B) = 0

P(A atau B) = P(A) + P(B) – P(A ˙ B)

= 1/36 + 14/36 – 0

= 0,42

Aturan Perkalian :

Dalam konsep probabilitas, aturan perkalian diterapkan secara

berbeda menurut jenis kejadiannya. Ada dua jenis kejadian dalam hal

ini, yaitu kejadian tak bebas dan kejadian bebas.

1. Kejadian Tak Bebas

Dua peristiwa atau lebih disebut kejadian tidak bebas

apabila peristiwa yang satu dipengaruhi atau tergantung pada

peritiwa lainnya. Probabilitas peristiwa tidak saling bebas dapat

pula dibedakan atas tiga macam, yaitu probabilitas bersyarat,

gabungan, dan marjinal.

a. Probabilitas Bersyarat :

Probabilitas bersyarat peristiwa tidak saling bebas

adalah probabilitas terjadinya suatu peristiwa dengan syarat

peristiwa lain harus terjadi dan peristiwa-peristiwa tersebut

saling mempengaruhi.

14

Jika peristiwa B bersyarat terhadap A, probabilitas

terjadinya periwtiwa tersebut adalah P(B/A) dibaca

probabilitas terjadinya B dengan syarat peristiwa A terjadi.

Contoh :

Sebuah kotak berisikan 11 bola dengan rincian :

5 buah bola putih bertanda +

1 buah bola putih bertanda –

3 buah bola kuning bertanda +

2 buah bola kuning bertanda –

Seseorang mengambil sebuah bola kuning dari kotak

- Berapa probabilitas bola itu bertanda +?

Penyelesaian :

Misalkan : A = bola kuning

B+ = bola bertanda positif

B- = bola bertanda negatif.

P(A) = 5/11

P(B+A) = 3/1

b. Probabilitas Gabungan :

Probabilitas gabungan peritiwa tidak saling bebas

adalah probabilitas terjadinya dua atau lebih peristiwa

secara berurutan (bersamaan) dan peristiwa-peristiwa itu

saling mempengaruhi.

Jika dua peristiwa A dan B gubungan, probabilitas

terjadinya peristiwa tersebut adalah P(A dan B) = P(A ˙ B)

= P(A) x P(B/A)

Jika tiga buah peristiwa A, B, dan C gabungan, probabilitas

terjadinya adalah P(A ˙ B ˙ C) = P(A) x P(B/A) x P(C/A ˙

B)

15

Contoh :

Dari satu set kartu bridge berturut-turut diambil

kartu itu sebanyak 2 kali secara acak. Hitunglah

probabilitasnya kartu king (A) pada pengambilan pertama

dan as(B) pada pengambilan kedua, jika kartu pada

pengambilan pertama tidak dikembalikan !

Penyelesaian :

(A) = pengambilan pertama keluar kartu king.

P(A) = 4/52

(B/A) = pengambilan kedua keluar kartu as

P(B/A) = 4/51

P(A ˙ B) = P(A) x P(B/A) = 4/52 x 4/51 = 0,006

c. Probabilitas Marjinal :

Probabilitas marjinal peristiwa tidak saling bebas adalah

probabilitas terjadinya suatu peristiwa yang tidak memiliki

hubungan dengan terjadinya peristiwa lain dan peristiwa tersebut

saling mempengaruhi. Jika dua peristiwa A adalah marjinal,

probabilitas terjadinya peristiwa A tersebut adalah

P(A) = SP(B ˙ A) = SP(Ai) x P(B/Ai), i = 1, 2, 3, …..

Contoh :

Sebuah kotak berisikan 11 bola dengan rincian :

5 buah bola putih bertanda +

1 buah bola putih bertanda –

3 buah bola kuning bertanda +

2 buah bola kuning bertanda –

Tentukan probabilitas memperoleh sebuah bola putih !

16

Penyelesaiannya :

Misalkan : A = bola putih

B+ = bola bertanda positif

B- = bola bertanda negatif

P(B+A) = 5/11

P(B-A) = 1/11

P(A) = P(B+A) + P(B-A) = 5/11 + 1/11 = 6/11

2. Kejadian Bebas :

Dua kejadian atau lebih dikatakan merupakan kejadian bebas

apabila terjadinya kejadian tersebut tidak saling mempengaruhi. Dua

kejadian A dan B dikatakan bebas, kalau kejadian A tidak

mempengaruhi B atau sebaliknya.

Jika A dan B merupakan kejadian bebas, maka P(A/B) = P(A) dan

P(B/A) = P(B)

P(A ˙ B) = P(A) P(B) = P(B) P(A)

Contoh :

Satu mata uang logam Rp. 50 dilemparkan ke atas sebanyak dua

kali. Jika A1 adalah lemparan pertama yang mendapat gambar

burung(B), dan A2 adalah lemparan kedua yang mendapatkan

gambar burung(B), berapakah P(A1+A2)!

Penyelesaian :

Karena pada pelemparan pertama hasilnya tidak mempengaruhi

pelemparan kedua dan P(A1) = P(B) = 0,5 dan P(A2) = P(B) = 0,5,

maka P(A1+A2) =P(A1) P(A2) = P(B) P(B) = 0,5 x 0,5 = 0,25.

Rumus Bayes :

Jika dalam suatu ruang sampel (S) terdapat beberapa peristiwa

saling lepas, yaitu A1, A2, A3, …., A n yang memiliki probabilitas

tidak sama dengan noldan bila ada peritiwa lain (misalkan X) yang

mungkin dapat terjadi pada peristiwa-peristiwa A1, A2, A3, …., A

17

maka probabilitas terjadinya peristiwa-peristiwa A1, A2, A3, ….,A

dengan diketahui peristiwa X tersebut adalah

Contoh :

Tiga kotak masing-masing memiliki dua laci. Didalam laci-laci

tersebut terdapat sebuah bola. Didalam kotak I terdapat bola emas,

dalam kotak II terdapat bola perak, dan dalam kotak III terdapat

bola emas dan perak. Jika diambil sebuah kotak dan isinya bola

emas, berapa probabilitas bahwa laci lain berisi bola perak?

Penyelesaian :

Misalkan :

A1 peristiwa terambil kotak I

A2 peristiwa terambil kotak II

A3 peristiwa terambil kotak III

X peristiwa laci yang dibuka berisi bola emas

Kotak yang memenuhi pertanyaan adalah kotak III (P(A3/X)).

P(A1) = 1/3 P(X/A1) = 1

P(A2) = 1/3 P(X/A2) = 0

P(A3) = 1/3 P(X/A3) = ½

D. Permutasi Dan Kombinasi

Pembicaraan mengenai permutasi dan kombinasi selalu berkaitan

dengan prinsip dasar membilang dan faktorial.

1. Prinsip Dasar Membilang :

Jika kejadian pertama dapat terjadi dalam n 1 cara, kejadian kedua

dalam n 2 cara, demikian seterusnnya, sampai kejadian k dalam n k

cara, maka keseluruhan kejadian dapat terjadi dalam :

n1 x n2 x …x n k cara

18

Contoh :

Seorang pengusaha ingin bepergian dari Jakarta ke Ujungpandang

melalui Surabaya. Jika Jakarta – Surabaya dapat dilalui dengan tiga

cara dan Surabaya – Ujungpandang dapat dilalui dengan dua cara,

ada berapa cara pengusaha tersebut dapat tiba di Ujungpandang

melalui Surabaya?

Penyelesaian :

misalkan :

Dari Jakarta ke Surabaya (n1) = 3 cara.

Dari Surabaya ke Ujung pandang (n2) = 2 cara.

Cara pengusaha tersebut dapat tiba di Ujungpandang melalui

Surabaya adalah :

n1 x n2 = 3 x 2 = 6 cara.

2. Faktorial :

Faktorial adalah perkalian semua bilangan bulat positif (bilangan

asli) terurut mulai dari bilangan 1 sampai dengan bilangan

bersangkutan atau sebaliknya.

Faktorial dilambangkan: “!”.

Jika : n = 1,2, …., maka :

n! = n(n – 1)(n – 2) ….x 2 x 1 = n(n –1)!

Contoh :

Tentukan nilai factorial dari bilangan berikut

a. 5!

b. 3! X 2!

c. 6!/4!

Penyelesaian :

a. 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120

b. 3! X 2! = 3 x 2 x 1 x 2 x 1 = 12

19

3. Permutasi :

a. Pengertian Permutasi :

Permutasi adalah suatu penyusunan atau pengaturan

beberapa objek ke dalam suatu urutan tertentu.

Contoh :

Ada 3 objek, yaitu ABC. Pengaturan objek-objek tersebut ialah

ABC, ACB, BCA, BAC, CAB, CBA yang disebut permutasi. Jadi,

permutasi 3 objek menghasilkan enam pengaturan dengan cara

yang berbeda.

b. Rumus-rumus Permutasi :

Permutasi dari m objek seluruhnya tanpa pengembalian :

mPm = m!

Contoh :

Pada suatu tempat terdapat 4 buku matematika yang berbeda. Buku

itu akan disusun pada sebuah rak buku. Berapa cara susunan yang

mungkin dari buku-buku matematika dapat disusun.

Penyelesaian :

Buku-buku matematika dapat disusun dalam :

4P4 = 4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24 cara.

Permutasi sebanyak x dari m objek tanpa pengembalian :

Contoh :

Dari empat calon pimpinan sebuah perusahaan, misalkan A, B, C,

D hendak dipilih seorang ketua, seorang sekretaris, dan seorang

bendahara.

Berapa cara keempat calon tersebut dipilih?

Penyelesaian :

20

Misalkan :

Dari Jakarta ke Surabaya (n1) = 3 cara.

Dari Surabaya ke Ujungpandang (n2) = 2 cara.

Cara pengusaha tersebut dapat tiba di Ujungpandang melalui

Surabaya adalah :

n1x n2 = 3 x 2 = 6 cara.

4. Kombinasi :

a. Pengertian Kombinasi :

Kombinasi adalah suatu penyusunan beberapa objek tanpa

memperhatikan urutan objek tersebut

Contoh :

Ada 4 objek, yaitu : A, B, C, D. Kombinasi 3 dari objek itu adalah

ABC, ABD, ACD, BCD. Setiap kelompok hanya dibedakan

berdasarkan objek yang diikutsertakan, bukan urutannya. Oleh

karena itu :

ABC = ACB = BAC = BCA = CAB = CBA

ABD = ADB = BAD = BDA = DAB = DBA

ACD = CAD = ADC = CDA = DAC = DCA

BCD = BDC = CBD = CDB = DBC = DCB

b. Rumus-rumus Kombinasi :

Kombinasi x dari m objek yang berbeda :

m! mCx = -------------- ; m ‡ x

(m – x)!.x!

Contoh :

Dari 5 pemain bulu tangkis, yaitu A, B, C, D, dan E hendak dipilih

dua orang untuk pemain ganda. Berapa banyak pemain ganda yang

mungkin terbentuk?

21

Penyelesaian :

M = 5 dan x = 2

5!

5C2 = ---------------- = 10

(5 – 2)! . 2!

E. Manfaat Probabilitas Dalam Penelitian

Manfaat probabilitas dalam kehidupan sehari-hari adalah

membantu kita dalam mengambil suatu keputusan, serta meramalkan

kejadian yang mungkin terjadi. Jika kita tinjau pada saat kita

melakukan penelitian, probabilitas memiliki beberapa fungsi antara

lain;

1. Membantu peneliti dalam pengambilan keputusan yang lebih

tepat. Pengambilan keputusan yang lebih tepat dimagsudkan tidak

ada keputusan yang sudah pasti karena kehidupan mendatang tidak

ada yang pasti kita ketahui dari sekarang, karena informasi yang

didapat tidaklah sempurna. 5:6, sedangkan hasil sensus pada tahun

2010 menunjukan hasil perbandingan jumlah penduduk berjenis

kelamin pria berbanding jumlah penduduk berjenis kelamin wanita

adalah 5:7. Maka pemerintah dapat mengambil keputusan bahwa

setiap tahunnya dari tahun 2000 hingga 2010 jumlah wanita

berkembang lebih pesat daripada jumlah penduduk pria.

F. Menghitung Probabilitas atau Peluang Suatu Kejadian

Jika tadi kita hanya memperhatikan peluang suatu kejadian secara

kualitatip, hanya memperhatikan apakkah kejadian tersebut memiliki

peluang besar akan terjadi atau tidak. Disini kita akan membahas nilai dari

probabilitas suatu kejadian secara kuantitatip. Kita bias melihat apakah

suatu kejadian berpotensi terjadi ataukah tidak.

Misalkan kita memiliki sebuah dadu yang memiliki muka gambar

22

dan angka,jika koin tersebut kita lemparkan keatas secara sembarang,

maka kita memiliki 2 pilihan yang sama besar dan kuat yaitu peluang

munculnya angka dan peluang munculnya gambar. Jika kita perhatikan

secara seksama, pada satu koin hanya terddiri dari satu muka gambar dan

satu muka angka, maka peluang munculnya angka dan gambar adalah

sama kuat yaitu ½. 1 menyatakan hanya satu dari muka pada koin yang

mungkin muncul, entah itu gambar maupun angka sedangkan 2

menyatakan banyaknya kejadian yang mungkin terjadi pada pelemparan

koin, yaitu munculnya gambar + munculnya angka.

Jika kita berbicara tidak lagi 2 kejadian yaitu menyangkut banyak

kejadian yang mungkin terjadi, mengingat dan dari hasil pengumpulan dan

penelitian data diperoleh suatu rumus sebagai berikut. Jika terdapat N

peristiwa, dan n A dari N peristiwa tersebut membentuk kejadian A, maka

probabilitas A adalah :

P(A) = n A/N

Dimana :

n A= banyaknya kejadian

N= kejadian seluruhnya/peristiwa yang mungkin terjadi

Contoh.

Suatu mata uang logam yang masing-masing sisinya berisi gambar dan

angka dilemparkan secara bebas sebanyak 1 kali.

Berapakah probabilitas munculnya gambar atau angka?

Jawab :

n=1, N=2

P (gambar atau angka)=

P (gambar atau angka)=1/2 atau 50%

Dapat disimpulkan peluang munculnya gambar atau angka adalah sama

besar.

23

Contoh 2.

Berapa peluang munculnya dadu mata satu pada satu kali pelemparan?

Jika kita tinjau pada sebuah dadu hanya memiliki 1 buah mata dadu

bermata 1, sedangkan pada dadu terdapat 6 mata yaitu mata 1 sampai mata

6.

Maka:

P(A) = n A/N = 1/6

Berikut merupakan aturan dalam probabilitas

1. Jika n = 0 makka peluang terjadinya suatu kejadian pada keadaan ini

adalah sebesar P(A) = 0 atau tidak mungkin terjadi.

2. Jika n merupakan semua anggota N maka probabilitasnya adalah satu,

atau kejadian tersebut pasti akan terjadi

3. Probabilitas suatu kejadian memiliki rentangan nilai

4. Jika E menyatakan bukan peristiwa E maka berlaku.

24

STUDI PUSTAKA

STUDI LAPANGAN

PENGUMPULAN DATA

KESIMPULAN

ANALISA

PENGOLAHAN DATA

MULAI

SELESAI

BAB III

METODOLOGI PENELITIAN

A. Flow Chart

25

IDENTIFIKASI MASALAH

B. Keterangan

1. Mulai

Dalam penulisan modul ini mulai merupakan akan memulai suatu penelitian

mulai tahap pertama dan seterusnya sampai selesai.

2. Studi Pustaka

Metode studi pustaka ini dilakukan dengan mencari data atau informasi

tertulis yang bersumber dari buku-buku, modul kuliah, referensi dan

berbagai artikel di internet yang dapat mendukung pembuatan modul ini.

3. Studi Lapangan

Bertempat di Lab.Industri Universitas Indraprasta PGRI dilakukan praktikum

pengumpulan data dengan pelemparan mata dadu sebanyak 45x dan 60x

pelemparan, pelemparan uang logam sebanyak 50x pelemparan, dan

pengambilan kelereng sebanyak 25x dan 35x pengambilan.

4. Identifikasi Masalah

Pada tahap ini dilakukan proses permulaan dari penguasaan masalah

bagaimana kita melihat, menduga, memperkirakan dengan menguraikan

serta menjelaskan apa yang menjadi masalah dan kemudian akan

diselesaikan dalam menentukan kemungkinan suatu kejadian yang bersifat

peluang.

5. Pengumpulan Data

Mengumpulkan data dilakukan untuk memperoleh informasi yang

dibutuhkan dalam rangka mencapai tujuan penelitian berdasarkan data

yang dihasilkan dari pelemparan mata dadu sebanyak 45 dan 60 kali,

26

pelemparan uang logam sebanyak 50 kali, dan pengambilan kelereng

sebanyak 25 dan 35 kali.

6. Pengolahan Data

Pengolahan data tidak hanya berupa perhitungan numeris akan tetapi

dilakukan klarifikasi data unuk mengolah data yang didapat pada proses

pengumpulan data sehingga mendapatkan nilai/informasi yang berguna.

7. Analisa

Pada tahap ini dilakukan penganalisaan lebih lanjut untuk memproses

masalah yang telah di identifikasi agar lebih mudah di pahami yang

bersumber dari bagian sebelumnya.

8. Kesimpulan

Menentukan ringkasan dari semua hasil penelitian dan pengolahan data

sesuai dengan tujuan penelitian yang telah di uraikan sebelumnya yang

berupa pendapat seringkas mungin agar lebih mudah di pahami dan di

mengerti.

9. Selesai

Memeriksa kembali penyusunan modul yang telah di kerjakan dimulai dari

praktikum dengan studi pustaka, studi lapangan mengidentifikasi masalah,

pengumpulan data, pengolahan dan penganalisaan, serta pengambilan

kesimpulan.

BAB V

ANALISA

Dari pengolahan data peluang yang telah dilakukan berdasarkan teori dan

secara praktek dalam pengumpulan data, diperoleh nilai nilai peluang yang benilai

27

di antara 0 sampai dengan 1. Hal ini secara teori dikatakan bahwa nilai peluang

tidak melebihi angka 1, jika nilai peluang melebihi 1 berarti terdapat perhitungan

data peluang yang tidak benar.

A. Pelemparan Dadu

1. Peluang munculnya mata dadu pada percobaan pertama sebanyak 55x

adalah:

a. Mata dadu 1 = 5/55

b. Mata dadu 2 = 8/55

c. Mata dadu 3 = 6/55

d. Mata dadu 4 = 16/55

e. Mata dadu 5 = 9/55

f. Mata dadu 6 = 11/55

2. Peluang munculnya mata dadu pada percobaan kedua sebanyak 70x

adalah:

a. Mata dadu 1 = 7/70

b. Mata dadu 2 = 10/70

c. Mata dadu 3 = 15/70

d. Mata dadu 4 = 12/70

e. Mata dadu 5 = 9/70

f. Mata dadu 6 = 17/70

3. Tabel perbandingan hasil nilai peluang pada dadu.

No Peluang TeoriPraktek

55x 70x

1 P(M) 0,50 0,35 0,44

2 P(N) 0,50 0,64 0,56

3 P(O) 0,50 0,36 0,44

28

4 P(M∩N) 0,17 0,15 0,14

5 P(M∩O) 0,33 0,20 0,31

6 P(N∩O) - - -

7 P(M∪N) 0,83 0,84 0,87

8 P(M∪O) 0,67 0,51 0,59

9 P(N∪O) 1 1 1

10 P(M∩N∩O) - - -

11 P(M∪N∪O) 1 1 1

Dari tabel diatas terlihat perbedaan nilai peluang antara secara teori dan

praktek yang tidak jauh atau nilai peluang pada praktek mendekati nilai

peluang secara teori. Dari tabel tersebut terlihat pada praktek pelemparan

dadu sebanyak 55x dan 70x peluang yang akan muncul kembali (terjadi

lagi) yang paling kecil adalah P(M∩N)

B. Pelemparan Uang Logam

Nilai peluang pada pelemparan 4 buah uang logam yang diberi nomer 1-4 dan

dilemparkan secara bersama-sama sebanyak 50x adalah sebagai berikut:

No Peluang Hasil Teori Hasil Praktek 50x

1 P(M) 0,50 0,50

2 P(N) 0,50 0,44

3 P(O) 0,50 0,44

29

4 P(P) 0,50 0,44

5 P(M’) 0,50 0,50

6 P(N’) 0,50 0,56

7 P(O’) 0,50 0,56

8 P(P’) 0,50 0,56

9 P(M∩N) 0,25 0,26

10 P(M∩O) 0,25 0,28

11 P(M∩P) 0,25 0,22

12 P(N∩O) 0,25 0,26

13 P(N∩P) 0,25 0,16

14 P(O∩P) 0,25 0,16

15 P(M∩N’) 0,25 0,24

16 P(M∩O’) 0,25 0,22

17 P(M∩P’) 0,25 0,28

18 P(N∩O’) 0,25 0,18

19 P(N∩P’) 0,25 0,28

20 P(O∩P’) 0,25 0,28

21 P(M’∩N’) 0,25 0,32

22 P(M’∩O’) 0,25 0,34

23 P(M’∩P’) 0,25 0,32

24 P(N’∩O’) 0,25 0,38

25 P(N’∩P’) 0,25 0,28

26 P(O’∩P’) 0,25 0,28

27 P(M∩N∩O∩P) 0,06 0,06

28 P(M’∩N’∩O’∩P’) 0,06 0,12

29 P(M∪N) 0,75 0,68

30 P(M∪O) 0,75 0,66

31 P(M∪P) 0,75 0,72

32 P(N∪O) 0,75 0,62

33 P(N∪P) 0,75 0,72

34 P(O∪P) 0,75 0,72

30

35 P(M∪N’) 0,75 0,82

36 P(M∪O’) 0,75 0,84

37 P(M∪P’) 0,75 0,78

38 P(N∪O’) 0,75 0,82

39 P(N∪P’) 0,75 0,72

40 P(O∪P’) 0,75 0,72

41 P(M’∪N’) 0,75 0,74

42 P(M’∪O’) 0,75 0,72

43 P(M’∪P’) 0,75 0,78

44 P(N’∪O’) 0,75 0,74

45 P(N’∪P’) 0,75 0,84

46 P(O’∪P’) 0,75 0,84

47 P(M∪N∪O∪P) 0,94 0,88

48 P(M’∪N’∪O’∪P’) 0,94 0,94

49 P(M|N) 0,50 0,59

50 P(O|M) 0,50 0,64

51 P(P|M) 0,50 0,50

52 P(N|O) 0,50 0,59

53 P(N|P) 0,50 0,36

54 P(O|P) 0,50 0,36

55 P(M|N’) 0,50 0,43

56 P(M|O’) 0,50 0,39

57 P(M|P’) 0,50 0,50

58 P(N|O’) 0,50 0,32

59 P(N|P’) 0,50 0,50

60 P(O|P’) 0,50 0,50

61 P(M’|N’) 0,50 0,57

62 P(M’|O’) 0,50 0,61

63 P(M’|P’) 0,50 0,57

64 P(N’|O’) 0,50 0,68

65 P(N’|P’) 0,50 0,50

31

66 P(O’|P’) 0,50 0,50

Dari tabel diatas dapat ditarik sebuah analisa bahwa secara teoritis nilai

peluang untuk setiap anggota bagian (M,N,O,P,M’,N’,O’,P’) mempunyai nilai

yang sama. Dan secara toritis juga nilai peluang untuk irisan 2 kejadian, irisan 4

kejadian (jenis sama), gabungan 2 kejadian, gabungan 4 kejadian untuk setiap

jenis anggota (angka dan gambar) mempunyai nilai yang sama, begitupun dengan

nilai peluang bersyarat secara teoritis juga mempunyai hasil nilai yang sama.

Namun secara praktek berbeda dengan nilai peluang yang diperoleh secara

teori tetapi tidak mengalami perbedaan yang signifikan, nilai-nilai peluang pada

praktek selalu mendekati nilai peluang pada teori baik pada peluang untuk setiap

anggota bagian, irisan 2 kejadian, irisan 4 kejadian (jenis sama), gabungan 2

kejadian, gabungan 4 kejadian untuk setiap jenis anggota (angka dan gambar),

maupun peluang bersyarat.

Dari hasil hasil nilai peluang pada praktek pelemparan 50x yang diperoleh

dapat diambil sebuah analisa bahwa peluang untuk setiap anggota bagian yang

paling terkecil adalah P(N), P(O), P(P) dengan nilai 0,44 dan yang terbesar

adalah P(N’), P(O’), P(P’) dengan nilai 0,56. Untuk peluang irisan 2 kejadian

yang terkecil adalah P(N∩P) dan P(O∩P) dengan nilai 0,16, sedangkan yang

terbesar adalah P(N’∩O’) dengan nilai 0,38. Untuk peluang irisan 4 kejadian yang

kecil yaitu P(M∩N∩O∩P) dengan nilai 0,06.

Sedangkan untuk peluang gabungan 2 kejadian yang terkecil adalah P(N∪O)

dengan nilai 0,62, lalu yang terbesar adalah P(M∪O’), P(N’∪P’), dan P(O’∪P’)

dengan nilai 0,84. Untuk peluang gabungan 4 kejadian dengan jenis yang sama

(angka/gambar) yang kecil adalah peluang untuk gabungan 4 kejadian angka P(M

∪N∪O∪P) dengan nilai 0,88. Selanjutnya untuk peluang bersyarat yang terkecil

adalah P(N|O’) dengan nilai 0,32 dan yang terbesar adalah P(N’|O’) dengan nilai

0,68.

C. Pengambilan Kelereng

Tabel perbandingan hasil

32

No PeluangTeori

15x

Praktek

25x 35x

1 P(KM | T) 0,43 0,30 0,29

2 P(KK | T) 0,29 0,20 0,29

3 P(KH | T) 0,29 0,50 0,43

4 P(KM | TT) 0,25 0,20 0,29

5 P(KK | TT) 0,50 0,47 0,14

6 P(KH | TT) 0,25 0,33 0,57

Dari tabel yang telah disusun untuk perbandingan hasil peluang

pengambilan kelereng secara teori dan paraktek ternyata diperoleh nilai-nilai

peluang yang hampir sama atau mendekati seperti pada P(KK | T), dan P(KM |

TT) dengan nilai peluang antara 0,20 sampai dengan 0,30.

Namun untuk P(KH | T) pada praktek 25x dan 35x nilainya menalami

perbedaan yang sgnifikan dengan teori 15x yaitu 0,29 dan untuk P(KK | TT)

juga mengalami perbedaan nilai hasil peluang yang cukup signifikan, pada

teori 15x dengan nilai 0,50 ,pada paktek 35x dengan nilai 0,14. Begitu juga

untuk P(KH | TT) mengalami perbedaan nilai hasil peluang yang cukup

signifikan, pada teori 15x dengan nilai 0,25, pada praktek 25x dengan nilai

0,33, dan pada praktek 35x dengan nilai 0,57.

D. Pengambilan Kelereng Dengan Teori Bayes

Dalam teori bayes dilakukan pengambilan kelereng sebanyak 30x, lalu untuk

menentukan nilai peluangnya menggunakan nilai peluang jk dengan nilai 1/3.

No Peluang Hasil

1 P(KM) 0,33

2 P(KK) 0,33

3 P(KH) 0,33

4 P(T|KM) 0,20

5 P(T|KK) 0,70

33

6 P(T|KH) 0,80

7 P(TT|KM) 0,60

8 P(TT|KK) 0,50

9 P(TT|KH) 0,20

10 P(T) 0,60

11 P(KM|T) 0,11

12 P(KK|T) 0,39

13 P(KH|T) 0,44

14 P(TT) 0,43

15 P(KM|TT) 0,47

16 P(KK|TT) 0,39

17 P(KH|T) 0,16

Pada perhitungan peluang pengambilan kelereng dengan kaidah bayes digunakan

rumus peluang bersyarat untuk memperoleh hasil nilai peluangnya. Diperoleh

nilai peluang yang terkecil adalah P(KH|T) dan P(KM|TT) dengan nilai 0,16 dan

0,11, dan peluang yang terbesar adalah P(T|KH) dengan nilai 0,80.

BAB VI

KESIMPULAN

1. Probabilitas atau Peluang adalah suatu ukuran tentang kemungkinan suatu

peristiwa (event) akan terjadi di masa mendatang. Probabilitas dapat juga

diartikan sebagai harga angka yang menunjukkan seberapa

besar kemungkinan suatu peristiwa terjadi, diantara keseluruhan peristiwa

yang mungkin terjadi. Probabilitas dilambangkan dengan P.

2. Irisan dua kejadian yaitu kejadian yang mengandung semua unsur persekutuan

kejadian A dan B. dilambangkan dengan A ∩ B . Unsur – unsur dalam

34

himpunan A ∩ B mewakili terjadinya secara sekaligus kejadian A dan B, oleh

karena itu haruslah merupakan unsur – unsur, dan hanya unsur – unsur yang

termasuk dalam A dan B sekaligus. Unsur – unsur itu dapat dirinci ataupun

didefinisikan menurut kaidah A ∩ B={x∨xϵ A dan xϵ B }, sedangkan lambang

∈ berarti “adalah anggota” atau “termasuk dalam.” Dalam diagram venn pada

gambar daerah yang mewakili menyatakan kejadian A ∩ B, Sedangkan

Paduan / gabungan dua kejadian adalah kejadian yang mencangkup semua

unsur atau anggota A dan B atau keduanya .

3. Dalam mempelajari hukum dasar probabilitas berturut-turut akan dibahas

hukum penjumlahan dan hukum perkalian. Perinsip Menghitungnya

mengunakan Permutasi dan kombinasi. Berdasarkan penelitian yang dilakukan

sebelumnya, baik dengan data perhitungan dadu maupun kelereng atau koin,

ketiganya menggunakan rumus yang sama dalam mencari suatu nilai, tetapi

pada data ketiganya masih mempunyai kelebihan dan kekurangan masing-

masing sesuai yang telah diuraikan dalam analisa pada bab v.

DAFTAR PUSTAKA

Bambang Kustituanto dan Rudy Badrudin, Statistika I, Seri Diktat Kuliah,

Penerbit Gunadarma, Jakarta, 1994

http://dokumen.tips/documents/makalah-konsep-dasar-probabilitas.html

Mundiri, Drs. Logika. PT Rajagrafindo Persada. Jakarta, 1994.

35

Suharyadi, & Purwanto S. K. (2007). Statistika: Untuk Ekonomi dan Keuangan

Modern, Edisi 2. Jakarta: Penerbit Salemba Empat.

36