v v o v l v o - UNUD

Jurusan Teknik Mesin Universitas Udayana2 0 1 5

Aliran FluidaInternal dan Eksternal

Aliran

Fluida

Interna

l dan Ek

sternal

Ainul G

hurri

2015

Ainul Ghurri Ph.D.

i

Aliran Fluida

Internal dan Eksternal

Ainul GhurriPh.D.

Hak Cipta 2015 oleh Jurusan Teknik Mesin –

Universitas Udayana.Dilarang mereproduksi

dan mendistribusi bagian dari publikasi ini

dalam bentuk maupun media apapun tanpa

seijin Jurusan Teknik Mesin – Universitas

Udayana.

Dipublikasikan dan didistribusikan oleh Jurusan Teknik Mesin – Universitas

Udayana, Kampus Bukit Jimbaran, Bali 80362, Indonesia.

ii

KATA PENGANTAR

Puji dan syukur kami panjatkan kehadirat Tuhan Yang Maha Esa karena berkat ide,

pengetahuan dan kekuatan yang diberikanNYA maka penulisan buku diktat “Aliran Fluida

Internal dan Eksternal” ini dapat terselesaikan.

Diktat ini bisa dikatakan merupakan kumpulan dari penggalan-penggalam materi kuliah

mekanika fluida khususnya Mekanika Fluida 2, yang disusun dari berbagai sumber materi

antara lain buku teks, handbook, jurnal ilmiah dan diperkaya denganhasil penelitian. Pada

bagian materi presentasi/handout meskipun pada dasarnya merupakan versi untuk

pemaparan dalam perkuliahan, namun kadang-kadang juga merupakan bagian yang

memperkaya isi diktat.

Diktat ini masih jauh dari ideal, baik secara materi maupun dalam detail penjelasan dan

perincian sub-babnya. Kami berharap dapat melaksanakan pembaruan dalam waktu dekat di

masa mendatang. Kami berterima kasih kepada dosen-dosen dalam grup pembelajaran

Mekanika Fluida, dan kepada pihak jurusan yang telah membantu penerbitan diktat ini.

Terakhir, semoga diktat ini memberi manfaat terutama bagi mahasiswa sebagai materi

pembuka cakrawala pengetahuan tentang mekanika fluida baik secara teori dan praktis.

Denpasar, 23 Desember 2015

Penulis, Ainul Ghurri Ph.D.

iii

DAFTAR ISI

Kata Pengantar ii

Daftar Isi iii

Bab 1 Analisis Dimensional dan Keserupaan Dinamik

1.1. Keserupaan Dimensional dan Dinamik 1

1.2. Teori BUCKINGHAM PI 3

1.3. Prosedur Menentukan Grup Non-Dimensional (π) 4

Bab 2 Aliran Internal

2.1. Pengertian 11

2.2. Penerapan Fully Developed Laminar Flow 12

2.3. Perubahan Energi Aliran Dalam Pipa Sirkular 19

2.4. Perhitungan Head loss 20

2.5. Penyelesaian Problem-Problem Aliran Dalam Pipa 21

2.6. Pengukuran Aliran 27

Bab 3 Aliran Eksternal

3.1. Pengertian 34

3.2. Ketebalan Lapisan Batas (Boundary layer) 34

3.3. Persamaan Integral Momentum 37

3.4. Pressure Gradient Dalam Viscous – Boundary Layer Flows 39

3.5. Aliran Fluida Melalui Benda Penghalang (Fluid flow about bluff bodies) 40

iv

3.6. Contoh-Contoh Pemanfaatan Gaya Angkat dan Gaya Hambat 43

Bab 4 Aliran Fluida Kompresibel

4.1. Review Termodinamika 45

4.2. Kecepatan Suara 47

4.3. Tipe-Tipe Aliran &Mach Cone 49

4.4. Keadaan Referensi: Local Isentropic Stagnation Properties 50

4.5. Aliran Fluida Kompresibel 1-Dimensi 52

4.6. Aliran Dalam Saluran Berpenampang Konstan Dengan Gaya Gesek 59

4.7. Aliran Dalam Saluran Berpenampang Konstan Dengan Pertukaran Kalor 60

4.8. Normal Shock (Gelombang Kejut Normal/Tegak Lurus) 62

Handout/Materi Presentasi Perkuliahan [92 hal]

Bab 1

ANALISIS DIMENSIONAL

dan KESERUPAAN DINAMIK

Dalam bidang keteknikan, metode penyelesaian atau pemecahan masalah pada umumnya

mempergunakan tiga metode meliputi:

1. Analitis

Pendekatan ini merupakan pendekatan secara teoritis dan matematis. Pendekatan ini banyak

melibatkan asumsi-asumsi yang sebenarnya merupakan faktor signifikan. Contoh: analisis

control volume dan persamaan Fluida Sempurna yang mengabaikan gravitasi atau friksi

(karena tidak terjangkau oleh pendekatan teoritis).

2. Empiris atau Eksperimental

Pendekatan ini lebih menitikberatkan pada pengukuran, pengumpulan data lalu dianalisis

mempergunakan persamaan yang ada, baik persamaan teoritis maupun empiris.

3. Kombinasi antara Analitis-Empiris.

4.1. Keserupaan Dimensional dan Dinamik

Problem-problem dalam Mekanika Fluida, dan engineering pada umumnya melibatkan geometri dan

parameter-parameter aliran yang kompleks sehingga menimbulkan kesulitan pengujian

eksperimental, meliputi:

� Banyaknya variabel atau parameter yang harus dikontrol.

� Pelaksanaan pengujian harus memiliki keserupaan dinamik (keserupaan model dan keadaan

aliran) antara model yang diuji dengan prototipe benda uji.

Keserupaan dinamik berarti:

1. Terdapat keserupaan geometris.

2. Perbandingan tekanan-tekanan dinamik pada titik-titik yang berkesesuaian adalah konstan.

3. Garis-garis alirannya secara geometris serupa.

Ilustrasi

Anda diminta menganalisis gaya hambat drag sebuah profil bola yang ditempatkan dalam

sebuah aliran yang uniform. Berapa banyak eksperimen yang harus dilakukan untuk

menentukan gaya hambat tersebut? Untuk menjawab pertanyaan tersebut, kita harus

mengidentifikasi parameter-parameter penting yang mempengaruhi gaya hambat.

Gaya hambat sebuah objek/benda tergantung pada parameter-parameter berikut: dimensi

bola (dinyatakan sebagai diameter, D); kecepatan alir fluida,V; viskositas, µ; dan

densitas, ρρρρ. Gaya hambat, F, kita rumuskan sebagai berikut:

F = f (D, V, µ, ρ)

Persamaan atau fungsi tersebut mengandung parameter-parameter yang dapat dikontrol

dan diukur dalam eksperimen laboratorium. Sedangkan parameter lain yang penting

seperti kekasaran permukaan kita abaikan karena menyulitkan dalam

memformulasikannya dalam persamaan.

Sekarang, bayangkan kita akan melakukan serangkaian eksperimen untuk mengetahui

ketergantungan F terhadap D, V, µ, dan ρ. Setelah peralatan percobaan selesai dibuat,

eksperimen segera dimulai. Untuk mendapatkan grafik F vs V pada nilai D, µ, dan ρ yang

tetap, misalnya kita menguji sebanyak 10 nilai V. Untuk mengetahui pengaruh diameter,

D, kita membutuhkan 10 diameter yang berbeda. Jika prosedur ini diberlakukan juga

untuk 10 nilai µ dan ρ secara bergiliran, secara sederhana kita tahu bahwa kita

membutuhkan 104 pengujian yang berbeda. Jika setiap pengujian membutuhkan waktu ½

jam dan kita bekerja 8 jam sehari, secara keseluruhan pengujian membutuhkan waktu 2 ½

tahun. Kita juga mengalami kesulitan dalam mempresentasikan data. Untuk memplotkan

grafik F vs V dengan D sebagai parameter untuk tiap kombinasi µ dan ρ, dibutuhkan 100

grafik. Jadi, untuk mengatasi kerumitan ini apa yang harus dilakukan?

Untuk mengatasi hal tersebut diatas maka dipergunakan analisis dimensional untuk

mengurangi jumlah variabel yang dikontrol (mengurangi jumlah pengujian) dan

menghasilkan keserupaan dinamik.

Seluruh data untuk gaya hambat, F, tersebut dapat diplotkan sebagai hubungan fungsional

antara 2 parameter nondimensional dalam bentuk:

=

µρ

ρVD

fDV

F22

Fungsi tersebut memang masih harus diuji secara eksperimental. Akan tetapi kita bisa

mengurangi keharusan melaksanakan 10000 eksperimen menjadi 10 eksperimen saja,

waktu yang dihemat sangat besar, dan kita tidak perlu mencari fluida dengan 10 macam µ

dan ρ, tidak juga harus menggunakan 10 diameter atau kecepatan. Yang kita butuhkan

hanya 10 macam nilai

µρVD

, yang secara sederhana dapat dilakukan dengan

memvariasikan V atau D.

Prosedur untuk mendapatkan fungsi tersebut di atas dibahas dalam Analisis Dimensional

& Keserupaan Dinamik.

Contoh : Mengukur gaya hambat (drag force).

Gaya hambat misalnya pada mobil, gedung, kapal selam, pesawat,dsb dipengaruhi oleh

ukuran obyek (dimensi), kecepatan aliran fluida (V), massa fluida (ρ) dan viskositas fluida (μ).

Permasalahannya ada empat parameter dan pengujian skala penuh yang tidak

memungkinkan. Empat parameter tersebut membentuk satu group bilangan tak berdimensi

yang disebut Bilangan Reynolds.

Re = µ

ρVD

Selanjutnya pelaksanaan pengujian mengacu pada Bilangan Reynolds tersebut, sehingga dua

pengujian yang berbeda bisa menghasilkan keadaan aliran yang serupa (Re yang sama).

Masing-masing disesuaikan dengan fluida, peralatan dan besar ruangan yang dimiliki.

4.2. Teori BUCKINGHAM PI

Teori Buckingham Pi merupakan sebuah pernyataan mengenai hubungan antara sebuah

fungsi yang diekspresikan dalam parameter dimensional dan sebuah fungsi lain yang

diekspresikan dalam fungsi parameter nondimensional. Teori Buckingham PI digunakan

untuk mendapatkan bilangan atau angka nondimensional.

Suatu problem fisik mempunyai “n” parameter; salah satunya merupakan parameter tak

bebas, maka hubungan parameter-parameter tersebut dinyatakan:

q1 = f (q2 , q3,………qn)

dimana; q1 = variabel tak bebas

q2, q3,…..qn = n-1 variabel bebas.

Pernyataan matematis yang ekuivalen:

g (q1, q2, q3,……qn) = 0

dimana: g berbeda dari f

Untuk kasus Drag Force :

Re = f ( D, V, ρ, μ )

g( Re, D, V, ρ, μ )

Teori Buckingham PI menyatakan : Dalam suatu soal fisik dengan n besaran dimana terdapat

m dimensi (kecuali beberapa kasus), maka akan terdapat n-m parameter tanpa dimensi atau

disebut π parameter, yang memenuhi persamaan :

G (π1, π2,………πn-m ) = 0

π = G1 ( π2, π3,……...πn-m )

Hubungan antara parameter π ( bilangan tak berdimensi ) tersebut ditentukan secara

eksperimental, tidak memakai teori Buckingham PI.

π bukan variable tak berdimensi bebas, apabila dapat dibentuk oleh

parameter-parameter π lainnya.

5π = 32

12

πππ

; 6π = 2

3

4

3

1

π

π 5π ; 6π tidak bebas!

4.3. Prosedur Menentukan Grup Non-Dimensional (π)

Contoh: Tentukan group tak berdimensi untuk problem gaya hambat ( F ) yang tergantung

pada V, D, ρ, μ.

Data ; F = f ( ρ, V, D, μ ) untuk obyek dengan profil bulat.

1) Susun seluruh variabel yang terlibat.

F V D ρ μ n = 5 variabel.

2) Tulis dimensi-dimensi primer variable di atas.

Dipilih : M L T

3) Tulis seluruh dimensi variabel sesuai dimensi primer yang dipakai.

F V D ρ μ

2t

ML

t

L L

3L

M

Lt

M r = 3 dimensi primer.

4) Pilih “variabel berulang “ dengan jumlah yang sama dengan r dan semua dimensi

primer ada pada variabel berulang.

Variabel berulang : variabel yang digunakan pada perhitungan seluruh π groups.

Variabel-variabel berulang bisa muncul dalam π , jadi jangan salah pilih variabel tak

bebas sebagai variabel berulang.

ρ V D m = r = 3 variabel berulang

5) Susun ( n-m ) persamaan untuk mendapatkan dimensionless groups.

n - m = 2 ; sehingga terdapat 2 group tak berdimensi.

1π→ = FDV cbaρ = ( )

23

t

MLL

t

L

L

M c

ba

= 000 tLM

Tentukan a, b, c berdasar eksponen M, L, t dikedua ruas :

M : a + 1 = 0 a = -1

L : -3a + b + c + 1 = 0 b = -2 1π = 22 DV

F

ρ

t : -b – 2 = 0 c = -2

1π→ =22 DV

F

ρ = F

2

2

2

4 1

LL

t

Ft

L

= 1 atau

= M L t2− M

1− L

3+ t

2 L

2− L

3− = 1

2π→ = µρ fed DV =

Lt

ML

t

L

L

M f

ed

3 =

000 tLM

M : d + 1 = 0 d = -1

L : -3d + e + f – 1 = 0 f = -1 2π = VDρµ

t : -e – 1 = 0 e = -1

2π = VDρµ

= LL

t

Ft

L

L

Ft 12

4

2 = 1

Hubungan fungsional : 1π = f

VDρµ

Fungsi f ditentukan secara eksperimental.

Menentukan π groups jika variabel-variabel dapat dinyatakan dalam sistem dimensi

yang berbeda.

Contoh: Jika sebuah pipa kecil dicelupkan dalam liquid yang tidak mengalir, tegangan

permukaan menyebabkan timbulnya efek kapilaritas yang menyebabkan cairan dalam pipa

naik atau turun terhadap permukaan bebas tergantung sudut kontak antar muka liquid – solid –

gas. Eksperimen menunjukkan ( ∆ h) merupakan fungsi diameter pipa (D) , berat jenis liquid

(γ) , gaya tarik permukaan (σ). Tentukanlah π !

Data : ∆ h = ( D, γ, σ )σ )σ )σ )

1. variabel-variabel ∆ h, D, γ, σ. n = 4

2. dimensi primer M L t dan F L t

3. M L t F L t

∆ h D γ σ ∆ h D γ σ

L L 22tL

M

2t

M L L

3L

F

L

F

r = 3 dimensi primer r = 2 dimensi primer

m ditentukan dengan menghitung nilai determinan matrik dimensional.

∆ h D γ σ ∆ h D γ σ

M 0 0 1 1 F 0 0 1 1

L 1 1 -2 0 L 1 1 -3 1

t 0 0 -2 -2

nilai m = orde matrik yang mempunyai determinan non zero (det ≠ 0) terbesar.

220

021

110

−−

− 13

11

−−

= 0 – ( )21 −∗ + ( )21 −∗ =0 = -1 + 3 = 2 ≠ 0

22

02

−−

− = 4 ≠ 0 m = 2 m = r

m = 2 → m ≠ r

4. m = 2 ; D, γ sebagai variabel berulang.

5. n – m = 2 group tak berdimensi.

D

∆h

1π = hD ba ∆γ = LtL

ML

b

22

2 1π = hD fe ∆γ = L

L

FL

f

3

= 000 tLF

= 000 tLM

M : b + 0 = 0 F : f = 0

L : a – 2b+1 = 0 L : e – 3f + 1 = 0

t : -2b + 0

b = 0 f = 0

a = -1 e = -1

1π→ =D

h∆ 1π→ =

D

h∆

2π = σγ dcD =222

t

M

tL

ML

c

2π = σγ hgD =

L

F

L

FL

h

g

3

= 000 tLM = 000 tLF

M : d + 1 = 0 F : h + 1 = 0

L : c – 2d = 0 L : g - 2h – 1 = 0

t : -2d – 2 = 0

d = -1 h = -1

c = -2 g = -2

2π→ =γ

σ2D

2π→ =γ

σ2D

1π = ( )2πf

D

h∆=

γσ

2Df

Contoh soal :

Gaya hambat sebuah “sonar transducer” diprediksi berdasarkan data tes wind tunnel.

Prototipe-nya berdiameter 300 mm ditarik dengan kecepatan 5 knot (nautical miles per hour ;

1 nautical mile = 1852 m) didalam air laut pada 50 C. Modelnya berdiameter 150 mm.

Tentukan kecepatan tes yang disyaratkan di udara (dengan fluida udara). Jika gaya hambat

model pada kondisi tes itu adalah 24,8 N. Dan tentukan pula gaya hambat prototype!

Prototipe Model

Re model = Re prototype

Model dan Prototype mempunyai Keserupaan Dinamik

� Air laut pada 5 0C ρ = 1025 3m

kg

ν = 1,4 . 610− 2s

m

Vp = 5 knot = ⋅⋅

h

m18525

3600

h= 2,57

sm

Rep = p

pp DV

ν =

6104,1

3,057,2−⋅

⋅ = 51051,5 ⋅

� Udara standar ρ = 1,23 3mkg

ν = s

m51045,1

−⋅

Rem = Rep = m

mm DV

ν

mV = m

mp

D

νRe

mV = 15,0

1045,11051,5 55 −⋅⋅⋅ =53,3

sm

Dp = 300 mm

Fp

Vp = 5 knot

Sea water 5 oC

Dm = 150 mm

Fm = 24.8 N Vm

Udara

Gaya drag prototipe :

22

ppp

p

DV

F

ρ =

22

mmm

m

DV

F

ρ

Fp = 2

2

2

2

m

p

m

p

m

p

D

D

V

V

ρ

ρ =

2

2

2

2

15,0

3,0

3,53

57,2

23,1

10258,24 ⋅

= 192 N

4.4. Arti Fisik Bilangan Tak Berdimensi

� Reynold Number.

Re = µ

ρVD =

µρVL

= ( ) 2

22

LL

V

LV

µ

ρ

=areastressviscous

areapressuredynamic

⋅⋅

_

_

forcesviscous

forcesinertia

_

_≈

� Mach Number.

M = c

V =

2

2

c

V

ρρ

forcesilitycompressib

forcesinertia

_

_≈

� Froude Number

Fr = gL

V → Fr

2 =

gL

V 2

= 3

22

gL

LV

ρρ

forcesgravity

forcesinertia

_

_≈

� Pressure Coefficient.

Ev = Cp = 2

21 V

p

ρ

∆

streamfreeofenergykinetic

pressurefreestreampressurelocal

−−

≈___

__

Soal-soal

1. Hasil eksperimen menunjukkan bahwa penurunan tekanan (pressure drop) pada aliran

fluida melalui penyempitan luas penampang aliran (sudden contraction) dapat

diekspresikan sebagai ∆P = p1 – p2 = f(ρ, µ, V, d, D). Anda diminta untuk menyusun dan

mengumpulkan data penelitian. Tentukan bilangan tak berdimensi (nondimensional =

dimensionless) untuk kasus ini.

V D d

1 2

2. Persamaan perpindahan kalor konveksi dinyatakan sebagai berikut

Q = h A ∆T -----------dimana Q = Laju perpindahan panas [(J/s)=Watt]

A = Luas permukaan perpindahan panas (m2)

∆T = Beda temperatur , oC

h = Koefisien perpindahan panas W/(m2.oC)

Bilangan tak berdimensi yang merupakan fungsi h disebut Bilangan Stanton, yang juga

merupakan fungsi densitas fluida yang memindahkan panas ρ (kg/m3), panas jenis

fluida Cp (J/(kg.oC)dan kecepatan aliran fluida V (m/s). Jadi Bilangan Stanton = f(h, ρ,

Cp, V). Tentukan formula Bilangan Stanton tersebut !

3. Ketika diuji dalam air 20 oC (ρ = 998 kg/m

3; µ = 0.001 kg/m.s) berkecepatan alir 2 m/s,

sebuah bola berdiameter 8 cm menerima gaya hambat sebesar 5 N. Berapa kecepatan

fluida dan gaya hambat pada bola (balon) berdiameter 1.5 m yang berada dalam

udara atmosfer (ρ = 1.2255 kg/m3; µ = 1.78 x 10

-5 kg/m.s) yang mempunyai kondisi

dinamik yang sama dengan bola yang diuji ?

Entah anda pikir anda bisa atau anda pikir anda tidak bisa

--- anda sepenuhnya benar.

-- Henry Ford --

Keberhasilan sebuah pengambilan keputusan, lebih tergantung pada sikap si

pengambil keputusan, bukan pada pilihan yang tersedia.

-- G.A.G. --

∆P = p1 – p2 = penurunan tekanan[(N/m2)=Pa]

ρ = densitas fluida (kg/m3)

µ = viskositas absolut [(N.s/m2)=(Pa.s) V = Kecepatan rata-rata fluida (m/s)

D = Diameter pipa kecil (m)

d = Diameter pipa besar (m)

Bab 2

ALIRAN INTERNAL

5.1. Pengertian

Aliran internal adalah aliran fluida dimana tempat aliran fluida dibatasi/dikelilingi

permukaan padat.

Fluida kental (viscous fluid) adalah fluida yang faktor perubahan gradien kecepatan dan

shear stress atau viscous stress-nya tidak diabaikan. Kebalikan viscous fluid adalah

non-viscous atau inviscid fluid.

Fluida inkompresibel adalah fluida yang tidak mengalami perubahan densitas, atau

perubahannya sangat kecil sehingga dapat diabaikan.

Aliran Laminer Berkembang Penuh

Uo r

x U D

Gambar 5.1 Entrance Length dan Fully Developed Region

Perhatikan aliran fluida pada sisi masuk seperti ditunjukkan pada Gambar 2.1 di atas.

Sebelum mengalami kontak dengan permukaan padat fluida memiliki kecepatan seragam

sebesar Uo. Setelah fluida menyentuh dinding saluran maka akan terbentuk boundary layer

akibat adanya efek viscous dan gesekan fluida dengan pipa, sehingga akan terjadi perubahan

profil kecepatan fluida ke arah hilir aliran. Pada jarak tertentu dari titik awal fluida masuk

profil kecepatan aliran akan menjadi tetap. Fluida dalam dalam keadaan demikian dikatakan

telah berkembang penuh (fully developed), sedangkan daerah pada arah hilir dimana fluida

Entrance length (L) Fully developed region (region dimana profil

kecepatan tidak berubah lagi). Boundary layer

telah berkembang penuh disebut fully developed region. Panjang sisi masuk sesuai arah

aliran sampai fully developed region disebut entrance length.

Untuk aliran laminar:

DDDLngthEntranceLeD

L138230006.0Re06.0,Re06.0 =⋅=⋅⋅=→≈

5.2. Penerapan Fully Developed Laminar Flow

Interest dalam sub-bab ini adalah untuk memperoleh informasi tentang medan kecepatan

aliran untuk perhitungan shear stress (distribusi kecepatan atau profil kecepatan), pressure

drop (penurunan tekanan) & laju alir massa atau laju alir volumetris, untuk beberapa kasus

aliran laminer internal.

5.2.1. Fully developed laminar flow di antara 2 plat paralel tak terhingga

� Kedua plat stasioner (tidak bergerak).

(2

dx

dy

d yx

yx ⋅+τ

τ )

x

⋅∂∂

+−←⋅→⋅∂∂

−22

dx

x

ppp

dx

x

pp yxτ

2

dy

dy

d yx

yx ⋅−τ

τ

τyx = gaya geser dalam arah x, bekerja pada

bidang yang ⊥ y

Gambar 5.2 Distribusi Gaya Permukaan Fluida

Gambar 2.2 menunjukkan fluida di antara 2 plat paralel stasione. Perhatikan sebuah kontrol

volume elemen fluida dengan ukuran tinggi dy dan panjang dx, yang memiliki tekanan p dan

gaya geser τyx . Gaya-gaya permukaan yang bekerja kemudian diuraikan seperti pada Gambar

2.2 sebelah kanan.

Kondisi batas

Pada y = 0 u = 0

y = a u = 0

Panjang plat tak arah z tak terhingga.

2a

a

p � τyx

dx

dy

y Control

volume

Gaya-gaya yang bekerja pada sisi-sisi control volume:

02222

=

⋅++

⋅−−

⋅∂∂

+−

⋅∂∂

− dxdzdy

dy

dyxdxdz

dy

dy

dyxdydz

dx

x

ppdydz

dx

x

pp

yxyx ττ

ττ

0=+∂∂

−dy

d

x

p yxτ atau

x

p

dy

d yx

∂∂

=τ

berlaku untuk semua nilai x & y

=

∂∂

= Cx

p

dy

d yxτ C = konstan

Integrasi τyx = yx

p

∂∂

+ c1

µ. cyx

p

dy

du+

∂∂

= 1

dyc

ydyx

pdu

µµ11

+∂∂

⋅=

u CyC

yx

p++

∂∂

=µµ

12

2

1 y + C2

pada y = 0 , u = 0 ; shg C2 = 0. pada y = a , u = 0 shg

0 = aC

ax

p

µµ12

2

1+

∂∂

C1 = - ½ ax

p

∂∂

sehingga ay

x

py

x

pu

∂∂

−

∂∂

=µµ 2

1

2

1 2

−

∂∂

⋅=a

y

a

y

x

pau

22

2µ

Ini merupakan persamaan untuk menentukan profil kecepatan aliran fluida di

antara 2 plat paralel stasioner.

Distribusi Shear Stress

−

∂∂

=

∂∂

−

∂∂

=+

∂∂

=

2

1

2

11

a

y

x

pa

ax

py

x

pCy

x

p

yx

yx

τ

τ

Laju Alir Volumetris

Untuk kedalaman l pada arah z

( ) 3

0

2

12

1

2

1a

x

pdyayy

x

p

l

Q

dAVQ

a

A

∂∂

−=−

∂∂

=

=

∫

∫

µµ

l

Qsebagai fungsi pressure drop:

l

paa

l

p

l

Q

x

p

l

p

l

pp

⋅∆

=

∆−−=

∂∂

=∆

−=−

µµ 1212

1 33

12

Kecepatan rata-rata

ax

pV

al

la

x

p

A

QV

∂∂

−=

⋅

∂∂

−==

µ

µ

12

1

12

13

Titik kecepatan Maksimum

Kecepatan maksimum terjadi jika

2

012

20

2

2

ay

aa

y

x

pa

y

u

y

u

=

=

−

∂∂

=∂∂

→=∂∂

µ

Pada y = →2

a Va

x

puu

2

3

8

1 2

max =

∂∂

−==µ

Transformasi Koordinat

Pada pembahasan persamaan-persamaan di atas titik asal O(0,0) terletak di pojok kiri bawah

plot. Jika titik asal dipindah ke centerline, kondisi-kondisi batasnya menjadi :

u = 0 pada y’= ½ a

u = 0 pada y = - ½ a

y = y’+ ½ a

−

∂∂

=4

1'

2

2

a

y

x

pau

µ

½

Contoh soal:

Suatu sistem hidroulik beroperasi pada pressure gage 20 MPa, 55oC, menggunakan fluida oli

SAE 10 W, SG = 0.92. Sebuah control valve terdiri dari sebuah piston Φ 25mm, fitted

terhadap silinder dengan clearance radial rata-rata 0.005 mm, tentukan laju alir kebocoran

jika pressure gage pada sisi tekanan rendah piston 1.0 MPa (panjang piston 15mm) µ = 0.018

kg/(m.sec).

asumsi:- laminar flow

- steady

- incompressible

- fully developed ( 3000=a

L)

Lebar clearance sangat kecil sehingga aliran dapat dianggap sebagai aliran diantara 2 plat

paralel; Lebar plat, l = π D

( )

sec/6.57

sec.

.

15

1

018.0

sec.10120005.025

1212

3

6333

mmQ

N

mkg

mm

mmmmm

L

pDaQ

=

×××⋅−×××=∆

=π

µπ

Cek bilangan Re:

0375.0Re

/147.0

2 =⋅⋅⋅

==

===

µρ

µρ

πaVOHSGoilaV

smDa

Q

A

QV

Laminer, artinya penggunaan rumus di atas sudah memenuhi syarat.

� Plat bagian atas bergerak dengan kecepatan konstan U.

y

x

O

-½

y’/2

1

y

x

a

∂

∂−

=

x

pa

u

u

u

µ8

2max

P1 = 20 MPa (gage)

P2 = 1 MPa (gage)

a = 0.005 mm L = 15 mm

p � τyx dy

dx

Control volume

a

U

0>∂∂x

p

Distribusi Kecepatan

−

∂∂

+=a

y

a

y

x

pa

a

UyU

µ2

2

Jika x

p

∂∂

= 0 maka U linier terhadap y

Distribusi Tegangan Geser

−∂∂

+=

−

∂∂

+=2

112

2 2

2

a

y

x

pa

a

U

aa

y

x

pa

a

Uyx µµτ

Laju Alir Volumetris

3

12

1

2a

x

pUa

l

Q

∂∂

−=µ

Kecepatan Rata-rata

2

3

12

1

2

12

1

2a

x

pU

al

ax

paV

A

QV

∂∂

−=⋅

∂∂

−⋅

==µ

µ

Titik Kecepatan Maksimum

Kecepatan maksimum terjadi jika

∂∂

−=→→

=

−+=

x

p

U

aypada

aa

ya

a

U

dy

du

µ

µ

1

2

2

012

2 2

2

Bentuk profil kecepatan dan kecepatan maksimum yang mungkin, ditunjukkan pada gambar

berikut ini:

1.0

U

y

x

0 u/U 3.0

0=∂∂x

p a

y

0<∂∂x

p

a

Contoh :

Sebuah journal bearing poros engkol, dilumasi oli mesin SAE 30 pada 210 oF (99

oC); µ = 9.6

x 10-3

N.s/m2 (2.0 x 10

-4 lbf/ft

2). Diameter bearing 3 in; clearance 0.0025 in, berputar 3600

rpm dan lebar 1.25 inchi. Bearing dalam keadaan tanpa beban sehingga gap atau clearance-

nya simetrik. Tentukan torsi yang dibutuhkan untuk memutar journal & daya yang dihasilkan

oleh putaran tersebut.

Clearance sangat kecil; aliran dianggap sebagai aliran diantara 2

plat parallel.

a = ½ 0.0025 inc

u

a y x

−∂∂

+=2

1

a

y

x

pa

a

uyx µτ

Asumsi : - laminar, steady, incompressible

- fully developed

- lebar tak terhingga ( l/a = 1000)

- 0=∂∂x

p( aliran simetris, tanpa beban )

00125.0

1

2

13

60

123600102

2

4 ××××××⋅=

===

πτ

ωµ

ωµµτ

yx

yxa

D

a

R

a

u

yxτ = 90.5 lbf/ft2

Torsi

inchlbfin

ftT

lDRlDFRT yxyx

.1.1125.1144

35.902

2

2

22

2

=×××⋅=

⋅⋅=⋅⋅⋅⋅==

π

τπ

πτ

Daya yang dihasilkan W = F . U = F R ω = T ω

W = 11.1 [lbf.in] x 3600 [rev/min] x 1/60 [min/sec] x 2π [rad/rev] x 1/12 [ft/in] x 1/550 [hp.s/ft.lbf]

W = 0.634 hp

D=3 in

ω

5.2.2 Fully developed laminer flow dalam sebuah pipa

Gambar 5.3 Control volume untuk aliran dalam pipa.

Distribusi kecepatan

( )

−

∂∂

−=−

∂∂

=22

22 144

1

R

r

x

pRRr

x

pu

µµ

Shear Stress Distribution

∂∂

==x

pr

dr

durx

2µτ

Volumetric Flowrate

L

pD

L

pR

L

pR

x

pRQ

µπ

µπ

µπ

µπ

128888

4444 ∆=

∆=

∆−−=

∂∂

−=

Average Velocity

∂∂

−===x

pR

R

Q

A

QV

µπ 8

2

2

Point of Maximum Velocity

Kecepatan maksimum terjadi jika 0=dr

du

02

1=

∂∂x

p

µ atau pada r = 0

Pada r = 0 U = Umax = Vx

pR2

4

4

=

∂∂

−µ

Kecepatan max terjadi pada centerline of pipe !

Berdasar formula U pada distribusi kecepatan dan Umax di atas diperoleh:

2

max

1

−==R

r

U

u

U

U

p , τrx

y

x

dr dx �

R

r dr

Annular control volume

Aliran turbulen

Profil kecepatan ditentukan dengan persamaan empiris :

n

R

r

U

u1

1

−= n = 6 untuk Re = 4 . 103

n = 7 Re = 1.1 . 105

n = 10 Re = 3.6 . 10

6

Perbandingan kecepatan rata-rata terhadap kecepatan maximum:

( )( )121

2 2

++=

nn

n

U

V

Profil kecepatan untuk laminar dan turbulen flow pada Re = 4 . 103 ditunjukkan sbb :

( QV & sama)

Turbulent

Laminer Laminer Turbulent

Pipe Centerline

V u U

u

Gambar 2.4 Efek transisi (laminar ke turbulen): gradien kecepatan pada dinding lebih besar.

5.3. Perubahan Energi Aliran Dalam Pipa Sirkular (circular pipe)

Bentuk energi aliran fluida dalam pipa potensial (elevasi)

tekanan

kecepatan

Perubahan bentuk energi tersebut dievaluasi dengan persamaan Bernoulli. Kehilangan energi

(losses) akibat gesekan dinding pipa tidak ter-cover dalam persamaan Bernoulli.

Losses : - Major losses (akibat gesekan pada area constan)

- Minor losses (akibat katup, belokan, perubahan luas penampang, dsb);

pressure drop akibat entrance length termasuk minor losses.

Kesetimbangan energi antara dua titik pada aliran dalam pipa

( ) ( )

( )dm

Quugz

Vpgz

Vp

VVmzzgm

ppmuumQ

δα

ρα

ρ

ααρρ

−−=

++−

++

−+−+

−+−=

122

2

22

21

2

11

1

2

11

2

2212

1212

22

22&&&&

Energi mekanis yang hilang berubah bentuk menjadi energi panas yang dibuang ke

lingkungan

dm

Qδ dan menjadi energi dalam yang dikandung molekul-molekul fluida (u2-u1).

α = kinetic energy flux coefficient

α = 2 untuk laminar flow

( )( )nn

n

V

u

233

2 23

++

=α untuk turbulent flow

Satuan head loss : mberat

Energiatau

kg

J

massa

Energi==

5.4. Perhitungan Head loss

� Major losses (akibat friction factor) ML

o Losses akibat gesekan pada region fully developed dalam penampang yang

tetap.

ρp

M L

∆=

• Laminar flow 2Re

642

V

D

LM L

=

• Turbulent flow 2

2

V

D

LfM L =

f = friction factor, ditentukan dari data eksperimental yang

diplotkan dalam Diagram Moody.

E-mekanis sisi 1

per satuan massa

E-mekanis sisi 2

per satuan massa

disebut total head loss

Selisih E-mekanis antara

sisi 1 & 2 per satuan massa

Head loss via

pembuangan panas

Dalam Diagram Moody f ditentukan berdasarkan Re dan kekasaran relatif

permukaan,D

εyang ditentukan berdasarkan besarnya diameter pipa.

Bandingkan ML untuk laminar dan turbulen, diperoleh :

Re

64=f untuk aliran laminar ; hal ini sesuai hasil eksperimen bahwa untuk laminar

flow ; f hanya tergantung Re, sedangkan D

ε tidak berpengaruh.

Seperti disebut sebelumnya, transisi dari laminar ke turbulen menyebabkan gradien kecepatan

dekat dinding menjadi lebih besar. Pada awalnya kenaikan friction factor ini hanya

dipengaruhi Re, tapi semakin tinggi Re profil kecepatan semakin tumpul (fuller): viscous sub-

layer dekat dinding semakin tipis. Kekasaran permukaan ikut berperan. Jika Re semakin besar

lagi friksi sepenuhnya dipengaruhi kekasaran permukaan (fully rough flow).

� Minor losses ( mL )

Losses yang bukan diakibatkan gesekan, tapi akibat adanya katup, belokan,

pembesaran/kontraksi penampang mendadak, efek inlet, entrance length, dsb.

22

22

V

D

Lef

VKmL == K = Koefisien losses

Le = panjang ekuivalen

Nilai K dan D

Ledisajikan dalam bentuk Tabel atau Grafik (yang disusun berdasar data-

data eksperimental).

5.5. Penyelesaian Problem-Problem Aliran Dalam Pipa

Contoh Soal 1

Udara disuplai untuk proses pembuatan baja melalui pipa sirkular D = 6” , berakhir mendadak

ke dalam chamber yang besar. Seorang engineer baru mengajukan saran untuk mengurangi

penggunaa daya dengan cara mengganti sistem perpipaan yang memiliki 2 belokan 90o (center

line radius 2”) dengan kombinasi pipa lurus dan diffuser. Area ratio diffuser, AR=1.35 sistem

perpipaan yang diusulkan mengurangi belokan, mengurangi 8” panjang pipa dan penambahan

diffuser. Kecepatan udara yang dibutuhkan 150 ft/s, tekanan outlet = tekanan atmosferik.

Efisiensi blower 80%. Bera pa daya yang bias dihemat oleh sistem baru tersebut?

Sistem yang ada:

Sistem yang diusulkan:

• Lbaru + N + 8” = Llama

� Sistem yang ada

222

22

22

1

2

1,

2

1

2

1

2

VK

V

D

Lf

V

D

Lf

VKLosses

mV

D

LfmMLosses

exit

bendelamaenttotal

LLLtotal

+++=

+=+=

Dari grafik untuk elbow diperoleh :

Untuk 5.134'5.0

'2 , =→==D

L

D

r bende

Dari tabel exit pipe Kexit = 1.0

( )2

0.15.132

2

1Vf

D

LfKLosses lama

enttotal

+++= ; 21 VV = �

� Sistem yang disarankan

222

22

3

2

1

2

1

2

VKm

V

D

Lf

VKLosses

mV

D

LfmMLosses

exitdiffuserL

new

enttotal

LLLtotal

+++=

+=+=

−

� �

�

Wshaft (blower) D = 6 in

R = 2 ft

Patm

Wshaft (blower)

� � �

�

Lbaru N

Difuser, AR=1.35

Entrance Mayor.L 2 elbow Exit

Pilih diffuser dengan AR = 1.35 (lihat grafik koefisien losses untuk difuser), Cp = 0.4

dengan N/R1=1.5

N = R1 = 1.5 = 0.25*1.5 = 0.375 ft

[ ]

26.0

2549.0051.0

2549.0

235.1

11

22

2051.04.0549.01

2

11

2

2

1

2

1

123

2

3

2

3

22

3

2

3

2

2

3

2

2

2

2

2

2

2

V

D

LfKLosses

V

D

LfKLosses

VVV

VVV

A

AK

VKm

VVCp

AR

Vm

baruentbarutotal

baruentbarutotal

exitlossL

diffL

++=

+++=

≈≈

=

=

==

=−−=

−−=

−

−

−

−

Jika sisi outlet pada kedua sistem kita notasikan sebagai titik 4, maka persamaan volume

kontrol untuk kedua sistem di atas dapat dinyatakan sebagai berikut:

.

2..

2∫ ∫ ⋅

++++∀⋅⋅

∂∂

=+++cv cs

othershears dAVP

gzV

udet

WWWQ ρρ

ρ

Asumsi : steady state, uniform, 0.1=α , incompressible

lamatotallama

lama

LossesmgzVP

gzVP

mWs

dm

Quumgz

VPgz

VPmWs

−

••

••

+

++−

++=

−−+

++−

++=

.22

22

0

2

04

2

44

040

2

04

2

44

ρρ

δρρ

θ

θ

barutotalbaru LossesmgzVP

gzVP

mWs −

••

+

++−

++= .

220

2

0

4

2

44

ρρθ

totalbarutotallamatotalbarulama LossesAVLossesLossesmWsWsWs ∆=−=−=∆ −−

•

11)( ρ

Substitusikan persamaan � dan �

�

( )

HpWs

Win

HpWs

NLLf

v

VD

Vf

D

LLfAVWs

barulama

barulama

76.18.0

41.1

41.1550

1150

2

14.00134.027

5.0

38.80134.0

4

5.0*150*00238.0

38.88;0134.0

000.46910*6.1

1*5.0*150Re

24.027

22

4

2

111

==∆

=∆

=⋅⋅

++=∆

=+=−=→

===→

++

−=∆

−

η

π

ρ

Contoh Soal 2

Air pendingin dipompa melalui perpipaan seperti tampak pada gambar. Laju alir 135 m3/h,

kecepatan air pada nosele keluar = 36 m/s. hitung tekanan suplai minimum pada sisi buang

pompa. Berapa daya pompa input yang dibutuhkan jika effisiensi pompa 70%?

LL

LL

LL

LL

mMmg

PP

mMg

PP

mMzg

VV

g

PP

mMzg

V

g

Pz

g

V

g

P

++=−

+++−

=−

+++−

=−

++++=++

65.183

12020

8.436

2

22

21

22

21

2

2

1

2

221

2

2

221

2

11

ρ

ρ

ρ

ρρ

ML = Mayor losses = losses akibat gesekan

= g

V

D

Lf

2

2

Pipa Al ≈ galvanized iron, D = 100 mm

Untuk mendapatkan satuan “m” dari grafik diperoleh, ε/D = 0.00125

Data: D = 100 mm

L = 210 mm

V2= 36 m/s

Q = 135 m3/h

= 0.0375 m3/s

mz

z

120

0

2

1

≈

≈

P1-P2 = ….?

V1=V rata-rata sepanjang pipa

= smA

Q/8.4

4

1.0

0375.02

=

=

π

120 m

�

�

Gate valve; open

Pump

Bahan pipa Aluminium

D = 100 mm; panjang total, L =

210 m; Sambungan = 15, K = 1

5

6108.4

10

1.0*8.4Re ∗===

−v

DV

Viskositas dinamik air 20oC

Dari diagram Moody : Re = 4.8*105 & ε/D = 0.00125 f = 0.021

mM L 8.50102

8.4

1.0

210021.0

2

=∗

=

mL = Minor losses = losses akibat 15 sambungan + 1 gate valve dalam keadaan

terbuka + 2 belokan pipa

Sambungan : mg

VK 02.13

215

2

=

Gate Valve : lihat tabel, diperoleh panjang ekivalen Le/D = 8

: mg

V

D

Lef 2.0

20

8.4*8021.0

2

22

=∗=

Belokan : asumsikan belokan dengan θ ≈ 60o ; lihat grafik, diperoleh Le/D = 20

: mg

V

D

Lef 97.02*

20

8.4*20*021.0

2

22

==

mL = 13.02 + 0.2 + 0.97 = 14.19 m

Sehingga :

MPaPagPPP

mmMg

PPLL

5.210*4864.264.248*10*100064.248

64.248190.148.5065.18365.183

6

21

21

====−=∆

=++=++=−

ρ

ρ

Daya aktual pompa = ∆P * Q = 2.5 * 106 * 0.0375 = 93750 W = 93.75 kW

Daya input pompa = kW1349.1337.0

75.9375.93≈==

η

Contoh Soal 3

Air dipompa melalui pipa D = 0.25 m sepanjang 5 km dari pompa ke suatu reservoir terbuka

berketinggian (level air) 7 m. kecepatan rata –rata air dalam pipa 3 m/s. Hitung tekanan P1

pada sisi buang pompa.

L

L

Ltotal

MP

Mgg

P

MLossesZg

V

g

PZ

g

V

g

P

=−

=

+−

++

==

++−

++∴

55.1610

710

020

3

22

4

1

521

2

2

22

21

2

11

1

ρρ

αρ

αρ

2

2V

D

LfM L = L = 5000 m ; D = 0.25 m

3 ; V = 3 m/s

Asumsi digunakan pipa “galvanized iron” D = 250 mm dari grafik diperoleh

kekasaran relatif ε/D = 0.0005

5

610*5.7

10

25.03Re =

⋅==

−v

DV

v = viskositas air pada 20 oC

Lihat Diagram Moody ε/D = 0.0005 diperoleh f = 0.018

Re =7.5 * 105

mM

s

mM

L

L

162

16202

3

25.0

5000018.0

2

22

=

==

MPaPaP

Pam

N

ms

mkg

s

m

m

kgmP

MP

L

79.1107855.1

11055.178

55.17855.1616255.1610

6

1

2223

4

1

4

1

=⋅=

==⋅

=⋅⋅=

=+=+=

Data : D = 0.25 m P1 = Pdischarge

L = 5000 m P2 = 1 atm = 105 Pa

Z2 = 7m V = 3 m/s

Z1 = 0 α = 1

V2 = 0

Pompa

(karena gesekan saja)

ρ air = 1000 kg/m3

g = 10 m/s2

ML = losses akibat gesekan pipa sepanjang 5km

Untuk mendapatkan losses dalam satuan

“meter”, dibagi dengan gravitasi

�

�

7 m

D1

Cv

V1 Dt V2

( )( )( )2

12

212

2

1

2

2

221

/1

2

12

AA

PPV

A

AVPP

−

−=

−=−

ρ

ρ

5.6. Pengukuran Aliran

Pemilihan cara pengukuran aliran disesuaikan harga, akurasi, kapasitas, tingkat kemudahan

penanganan data dan servis life.

Ada beberapa metode pengukuran aliran

� Metode langsung : mengukur massa atau volume liquid dalam selang waktu tertentu.

� Pengukuran “internal flow” secara teoritis – empiris :

“ Internal Flow “

( )( )[ ] ( )[ ]

( )

( )[ ]( )

( )

( )21

214

212

12

212

12

2

2

12

2122

2

21

2/1

2/1/1

2

PPKAm

PPCA

m

PPAA

CAm

PPAA

A

AA

PPAVm

tth

tth

tth

th

−=

−−

=

−−

=

−−

=−

−==

•

•

•

•

ρ

ρβ

ρ

ρρ

ρρ

Internal flowmeter ada 3 tipe: Orifice plate (Low cost ; High Head Loss)

Flow nozzle (Intermediate cost & head loss)

Venturi ( High Cost ; Low Head Loss)

� Linear flowmeter; misalnya float type flowmeter (flowmeter yang menggunakan jarum

penunjuk terapung), dan turbine flowmeter.

� Transversing methods (menggunakan tabung pitot); misalnya thermal anemometer dan

laser dopler anemometer.

Tidak ada pemandangan yang lebih menyedihkan

Melihat daripada seorang muda yang pesimis.

-- Mark Twain --

Flow

D2

; C = koefisien discharge (ditentukan secara

empiris)

; 11 A

A

D

D tt ==β

; K = 41 β−

C

Suplemen untuk Bab II : Aliran Fluida Dalam Pipa

Setiap sistem aliran fluida dalam pipa dan perpipaan harus mempertimbangkan

distribusi tekanan dan penurunan tekanan yang terjadi sepanjang aliran. Sebagai contoh,

sistem aliran air PDAM, sistem penyaluran bahan bakar minyak, termasuk juga ducting

system pada AC sentral harus memperhitungkan secara hati-hati losses atau kehilangan

energi akibat penurunan tekanan tersebut karena mempengaruhi energi total dalam

sistem. Kehilangan energi (head losses) tersebut terjadi akibat adanya gesekan antara

fluida yang mengalir dengan permukaan pada tempat fluida mengalir, sehingga disebut

juga friction losses.

Friction losses dibedakan menjadi dua macam. Pertama, friction loss di sepanjang

perpipaan, disebut juga major losses karena losses akibat gesekan ini mempunyai porsi

yang besar. Kedua, friction loss yang terjadi pada fitting (sambungan, belokan, perubahan

penampang aliran, dsb), disebut juga minor losses. Minor losses besar jika kecepatan

aliran tinggi dan banyak fitting di sepanjang aliran.

a. Major Losses

Major losses terjadi akibat gesekan aliran fluida di sepanjang pipa. Besarnya major

losses dipengaruhi oleh panjang pipa (L), diameter pipa (D), kecepatan aliran fluida

(V), viskositas fluida (µ), dan material/bahan pipa. Major losses dihitung dengan

persamaan Darcy-Weisbach sbb:

g.2

V.

D

L.f

2

=LH (1)

dimana HL = Major losses (m)

f = Faktor gesekan (tak berdimensi)

L = Panjang lintasan pipa (m)

D = Diameter pipa (m)

V = Kecepatan rata-rata aliran fluida (m/s)

g = Gravitasi, 9.81 (m/s2)

Persamaan Darcy-Weisbach di atas disebut juga persamaan tekanan-kecepatan

karena memuat suku yang menunjukkan pengaruh tekanan-kecepatan aliran, yaitu

V2/2g.

Nilai faktor gesekan f dipengaruhi oleh rezim aliran (laminer, transisi, atau turbulen)

dan material pipa. Material pipa menentukan besarnya kekasaran permukaan pipa.

Rezim aliran ditentukan oleh besarnya bilangan Reynolds:

µ

ρ=

D.V.Re (2)

dimana Re = Bilangan Reynold (tak berdimensi)

ρ = Densitas fluida (kg/m3)

µ = Viskositas mutlak fluida (N.s/m2)

Untuk aliran laminer, nilai faktor gesekan f merupakan fungsi sederhana dari Bilangan

Reynold Re:

Re

64f = (3)

Untuk aliran transisi, nilai faktor gesekan f dihitung dengan Persamaan Colebrook

sbb:

+

ε=

f.Re

51.2

7.3

Dlog2f

1 (4)

dimana ε = Kekasaran permukaan pipa (m)

ε/D = Kekasaran relatif pipa (tak berdimensi)

Persamaan Colebrook ini harus diselesaikan secara iteratif untuk mendapatkan nilai f.

Untuk aliran turbulen, nilai faktor gesekan f ditentukan dengan urutan sbb:

- Berdasarkan data kekasaran relatif permukaan (ε/D); nilai ε/D bisa ditentukan

berdasarkan diameter pipa dan material pipa dari diagram atau grafik yang

ditunjukkan pada Gambar 1.

- Berdasarkan harga kekasaran relatif permukaan pipa (ε/D) dan Bilangan Reynold,

harga f dicari dengan menggunakan Diagram Moody yang ditunjukkan pada

Gambar 2.

Nilai f untuk aliran transisi bisa juga dicari dengan menggunakan Diagram Moody,

akan tetapi beberapa penelitian yang mengkonfirmasikan ketidakakuratan

menentukan nilai f aliran transisi dengan cara ini.

Gambar 1. Grafik Kekasaran Relatif Pipa

Gambar 2. Diagram Moody

b. Minor Losses

Minor losses terjadi akibat adanya perubahan arah aliran, perubahan penampang

aliran dan perubahan gesekan akibat adanya fitting (belokan, percabangan, katup,

dsb). Ada dua macam prosedur dasar untuk menghitung minor losses, yaitu:

- Metode Panjang Ekuivalen (equivalent length method)

Metode panjang ekuivalen mengasumsikan bahwa setiap fitting atau variasi aliran

mengakibatkan losses yang sama dengan losses yang ditimbulkan oleh pipa lurus

dengan panjang ekuivalen tertentu. Sebagai contoh, sebuah gate valve 2 inchi

mengakibatkan losses sama besar dengan losses yang diakibatkan oleh pipa lurus

berdiameter 2 inchi sepanjang 1.5 feet (= 0.46 m). Sehingga, dikatakan panjang

ekuivalen gate valve adalah 1.5 feet. Panjang ekuivalen untuk semua minor losses

digunakan dalam persamaan Darcy-Weisbach. Metode panjang ekuivalen hanya

digunakan untuk aliran turbulen. Metode ini sederhana dan mudah digunakan tapi

mengharuskan adanya tabel nilai ekuivalen. Panjang ekuivalen untuk fitting tertentu

bisa berbeda-beda, tergantung pada pembuat (produsen) pipa, material, dan cara

pemasangannya. Contoh panjang ekuivalen untuk beberapa fitting ditunjukkan dalam

Tabel 1 dan Tabel 2 di bawah ini.

Tabel 1. Panjang Ekuivalen Fitting Pipa (dalam satuan British)

Tipe Fitting

Panjang Ekuivalen (ft)

Diameter Pipa (inchi)

1” 2” 4”

Regular 90o Elbow 5.2 8.5 13

Long Radius 90o Elbow 2.7 3.6 4.6

Regular 45o Elbow 1.3 2.7 5.5

Tee 3.2 7.7 17

180o Return Bend 5.2 8.5 13

Globe Valve 29 54 110

Gate Valve 0.84 1.5 2.5

Angle Valve 17 18 18

Swing Check Valve 11 19 38

Coupling or Union 0.29 0.45 0.65

Sumber: Engineer-In-Training Reference Manual, 8th Ed, Michael R. Lindeburg, PE, Professional Publications, Inc. Belmont, CA, 1992

Tabel 2. Panjang Ekuivalen Tak Berdimensi (Le/D)

Tipe Fitting Panjang Ekuivalen D

Le *)

Valve (fully open) Gate valve Globe valve Angle valve Ball valve Lift check valve: globe lift : angle lift Foot valve with strainer : poppet disk : hinged disk

Standard elbow 90o

Standard elbow 45o

Return bend, close pattern Standard tee : flow through run : flow through branch

8 340 150 3 600 55 420 75 30 16 50 20 60

*) Berdasar rumus g.2

V.

D

L.fH

2e

L

=

- Menggunakan Koefisien Losses

Setiap fitting mempunyai koefisien loss , K, yang jika dikalikan dengan suku tekanan-

kecepatan menghasilkan besarnya losses.

g.2

V.KM

2

L = (5)

Dimana ML = Minor losses (m)

K = Koefisien losses (tak berdimensi)

Nilai K untuk semua fitting ditentukan secara empiris (berdasar hasil percobaan), dan

tidak dapat diturunkan secara teoritis. Beberapa koefisien losses bisa juga dihitung

berdasarkan panjang ekuivalen yang telah diketahui.

D

Le.fK = (6)

Nilai empiris koefisien losses, K, biasanya dipresentasikan dalam bentuk grafik atau

tabel. Contoh grafik koefisien losses belokan ditampilkan pada Gambar 3.

K

Gambar 3. Koefisien Losses Belokan Pipa

Soal-soal

1. Suatu fluida dengan ρ = 950 kg/m3 mengalir dalam pipa silindris horisontal

berdiameter 5 cm, dengan kecepatan rata-rata 10 m/s. Tekanan fluida dalam pipa

diukur untuk tiap interval 1 m, diperoleh data sebagai berikut:

x, m 0 1 2 3 4 5 6

P, kPa 304 273 255 240 226 213 200

Hitunglah: (a). Tegangan geser (τ) rata-rata yang terjadi pada dinding pipa; (b).

Tegangan geser pada dinding dalam “fully developed region” pipa.

2. Air raksa pada 20 oC (ρ=13350 kg/m

3; µ=0.00156 kg/m.s mengalir di dalam pipa

smooth berdiameter 7 mm dan panjang 4 m, dengan kecepatan rata-rata 3 m/s.

Hitunglah losses yang terjadi sepanjang aliran dan besarnya pressure drop yang

terjadi.

3. Sistem tangki dan pipa seperti dalam gambar di bawah ini, digunakan untuk

mengalirkan paling sedikitnya 11 m3/h air 20

oC (ρ=998 kg/m

3 ; µ=0.001 kg/m.s).

Berapa kekasaran permukaan maksimum yang diperbolehkan ?

L = 5 m, d = 3 cm

Seorang pesimis adalah orang yang tanpa menghiraukan dan mensyukuri

masa kini, telah kecewa terhadap masa depan.

-- Anonim --

Seorang pesimis selalu berdalih tentang kesulitan (yang dibuat-buat) dalam

kesempatan yang dimilikinya. Seorang optimis bisa menciptakan kesempatan

dalam kesulitan yang dihadapinya.

-- Reginald B. Mansell --

4 m

2 m

Bab 3

ALIRAN EKSTERNAL

6.1. Pengertian

� Aliran eksternal: aliran yang berada di luar atau melalui obyek/benda padat yang

dikelilingi aliran fluida.

� Tujuan: memperhitungkan (secara numerik) pengaruh perilaku fluida viscous-

incompressible pada aliran luar terhadap benda padat, serta mempelajari perilaku

aliran fluida melalui benda padat.

� Contoh aliran luar: aliran melalui permukaan padat, airfoil, mobil, kincir angin,

lambung kapal, dsb.

6.2. Ketebalan Lapisan Batas (Boundary layer)

Gambar 6.1. Boundary Layer

Faktor-faktor yang mempengaruhi daerah transisi antara lain: gradien tekanan, kekasaran

permukaan, perpindahan panas, gaya badan yang bekerja, dan gangguan yang terjadi terhadap

aliran bebas.

turbulen transisi laminer

U

U

U

a. Displacement thickness, δ* b. Momentum Thickness, θ

( )∫∞

∗ −=0

dyuUUδ ( )dyuUuU ∫∞

−=0

2θ

Gambar 6.2. Definisi Ketebalan Lapisan Batas

Tebal gangguan lapisan batas, δ : Jarak dari permukaan padat sampai layer dengan kecepatan

sebesar 0,99 kecepatan aliran bebas (U).

Tabal pergeseran , δ * : Jarak dimana permukaan padat dipindahkan ke aliran tanpa gesekan,

sehingga menyebabkan defisit laju alir massa sebesar massa yang berada dalam

boundary layer.

Tebal momentum, θ : Tebal layer fluida dimana flux momentum-nya sama dengan momentum

yang hilang melalui boundary layer.

Efek gaya viscous dalam boundary layer adalah memperlambat aliran sehingga mengurangi

laju alir massa (dibanding tanpa boundary layer). Penurunan laju alir massa akibat gaya

viscous;

( )wdyuUwU ∫∞

∗ −=0

ρδρ

w = lebar permukaan pada arah tegak lurus aliran.

Untuk incompressible flow, ρ =konstan.

dyU

udy

U

u∫∫

−≈

−=∞

∗δ

δ00

11

δ u

0.99U

U

( )∫∞

−=0

dyuUuArea

δ* θ ( )∫

∞−=

0dyuUArea

y

Melambatnya aliran dalam boundary layer mengurangi flux momentum ; laju alir massa aktual

dalam boundary layer : ∫δ

ρ0

uwdy . Penurunan momentum dalam boundary layer adalah

( )wdyuUuUw ∫∞

−=0

2 ρθρ

untuk incompressible flow, ρ= konstan.

dyU

u

U

udy

U

u

U

u

−≈

−= ∫∫∞

1100

δ

θ

Asumsi-asumsi dalam analisis boundary layer;

• u U pada y = δ

• y

u

∂∂

0 pada δ=y

• Uu << dalam boundary layer

• Variasi tekanan arah melintang diabaikan.

Contoh soal.

Sebuah terowongan angin berpenampang persegi dengan garis tengah 305 mm, diobservasi

profil kecepatannya di dua tempat. Pada bagian � dimana U1 = 26 m/s diketahui mm5,11 =∗δ .

Pada posisi � pada arah hilir dari posisi � diperoleh mm1,22 =∗δ . Hitung perubahan tekanan

statis antara �-�dibandingkan tekanan dinamis aliran bebas pada �.

Pengamatan dilakukan pada Patm standar.

a. Profil kecepatan b. Profil kecepatan c. Penampang melintang

aktual. hipotetis. wind runnel.

Persamaan Bernoulli untuk aliran di luar ∗δ :

2

2

221

2

11

22gz

VPgz

VP++=++

ρρ

δ*

L-2δ*

L-2δ*

L = 305 mm

Asumsi: steady, incompressible, uniform diluar ∗δ , tak ada efek friksi diluar ∗δ , aliran

sepanjang streamline antara � dan �, z1=z2 .

( )2

1

2

2212

1VVPP −=− ρ

= ( )

−

=− 1

2

1

2

12

1

22

1

2

1

2

2U

UUUU ρρ

1

2

1

2

1

2

2

1

21 −

=

−

U

U

U

PP

ρ ; 22221111 AUAVAUAV ===

2

1

1

2

A

A

U

U=

( )22 ∗−= δLA = luas efektif aliran

( )( )

12

21

2

1

4

2

2

2

1

2

2

1

2

1

21 −

−

−=−

=

−∗

∗

δ

δ

ρ L

L

A

A

U

PP

= %61,10161,011,22305

5,123054

==−

⋅−⋅−

6.3. Persamaan Integral Momentum

Gambar 6.3. Voleme Kontrol Dalam Boundary Layer

y

x

U(x)

CV

a

b c

d

dx

δ(x)

a

b

c

d

δ

dx

dδ

Persamaan integral momentum merupakan analisis untuk memprediksi pertumbuhan

(ketebalan) boundary layer laminar dan turbulen sebagai fungsi jarak pada arah aliran.

Momentum flux netto melalui control surface (permukaan kontrol) arah x;

wudyuwudyudAVucs

+

−=⋅ ∫∫∫δδ

ρρρ00

_

wdxudyx

Uwdxudyux

∂∂

−

∂∂

+ ∫∫δδ

ρρ00

wdxudyx

Udxudyux

AdVucs

∂∂

−

∂∂

=⋅ ∫∫∫δδ

ρρρ00

__

Sedangkan komponen gaya-gaya arah x yang bekerja pada cv ;

wdxddxdxddx

dpdx

dx

dpF wwsx

−−−−= ττδδ

2

1

2

1

� Karena dxdxd δδ <<< dan wwd ττ <<< maka :

02

1=δdxd

dx

dp 0

2

1=dxd wτ

∫

−−⋅=

cs

wsx wdxdxdx

dpdAvuF τδρ

= wdx

dpwdxudy

xUdxudyu

xτδρρ

δδ

−−

∂∂

−

∂∂

∫∫00

= ∫ ∫∂∂

−∂∂ δ δ

ρρ0 0

udyx

Uudyux

Jika ∫=δ

δ0

dy dan dx

duu

dx

dpρ−= (persamaan Bernoulli untuk inviscid flowdi luar boundary

layer) maka:

∫ ∫ ∫+∂∂

+∂∂

−=δ δ δ

ρρρτ0 0 0

udydx

dUudy

xUudyu

xw

∫ ∫ ∫ ∫+−∂∂

+∂∂

−=δ δ δ δ

ρρρρτ0 0 0 0

Udydx

dUudy

dx

dUuUdy

xudyu

xw

( ) ( )∫ ∫ −+−∂∂

=δ δ

ρρτ0 0

dyuUdx

dUdyuUu

xw

∫ ∫

−+

−∂∂

=δ δ

ρρτ0 0

211 dy

U

u

dx

dUUdy

U

u

U

uU

xw

“Momentum Integral Equation (MIE)”

Menentukan Boundary Layer Thickness sebagai fungsi x dengan menggunakan MIE.

1. Tentukan atau asumsikan distribusi kecepatan aliran bebas (berdasarkan teori aliran

inviscid/non-viscous/tanpa boundary layer), U(x). tekanan dalam boundary layer

dihubungkan terhadap U(x) dengan menggunakan persamaan Bernoulli.

2. Tentukan atau asumsikan profil kecepatan yang “reasonable” dalam boundary layer.

3. Tentukan atau nyatakan hubungan antara tegangan geser dinding ( wτ ) dan medan atau

distribusi kecepatan.

6.4. Pressure Gradient Dalam Viscous – Boundary Layer Flows

Separation point = 00

=

∂∂

=yy

u

Gambar 6.4. Gradien Tekanan Dalam Saluran Dengan Penampang Bervariasi

Efek dari gaya viscous dalam adalah terjadinya gesekan sehingga energi atau momentum

aliran fluida semakin menurun (boundary layer semakin tebal) pada arah aliran fluida.

Region 1 merupakan keadaan yang diharapkan karena tidak terjadi penurunan kecepatan aliran

yang cukup berarti. Pada region 2 (x

p∂

∂= 0) boundary layer semakin tebal, sehingga fluida

yang terhambat dinding makin besar. Pada region 3 ( 0>∂∂

xp

) boundary layer makin tebal

( )dx

dUUU

dx

dw ∗+= δθρτ 2

Region 1 Region 2 Region 3

x

p

∂∂

< 0 x

p

∂∂

= 0 x

p

∂∂

> 0

y

x δ(x) Back flow

dan terdapat suatu titik dimana 00

=∂∂

=yy

u dan fluida memisah dari dinding padat karena

momentum fluida lebih kecil dari pada momentum dan tekanan dari arah hillir (down stream).

Titik tersebut disebut Separation Point. Pada arah hilir dari separation point akan terjadi

aliran balik. Region dengan gradien tekanan positif (Adverse Pressure Gradient) merupakan

keadaan yang tidak menguntungkan karena titik separasi mengakibatkan berkurangnya jumlah

bersih kerja aliran yang dapat dilakukan suatu elemen fluida terhadap fluida sekitarnya.

6.5. Aliran Fluida Melalui Benda Penghalang (Fluid flow about bluff bodies)

Jika suatu benda padat terendam dalam suatu fluida dan terdapat gerak relatif antara keduanya

maka akan ada gaya yang bekerja terhadap benda tersebut. Komponen gaya yang bekerja

dengan arah paralel terhadap gerakan disebut Drag Force (gaya hambat), FD. Sedangkan

komponen gaya yang tegak lurus terhadap arah gerakan disebut Lift Force (gaya angkat), FL.

Drag force atau Lift force bisa menguntungkan (dimanfaatkan) atau merugikan (dihindari),

tergantung fungsi engineering dan tujuan desain benda tersebut.

Gaya angkat terjadi akibat tekanan yang terdistribusi di permukaan benda padat sehingga

perbedaan tekanan antara dua sisi benda padat menimbulkan efek “lift”. Sedangkan gaya

hambat yang dihasilkan oleh efek penghalangan benda padat terhadap aliran. Kebanyakan

desain engineering memanfaatkan gaya angkat untuk menghasilkan atau memanfaatkan energi

aliran fluida.

Pada region 0>∂∂

xp

tidak selalu terjadi separasi. 0>∂∂

xp

merupakan suatu

“syarat perlu” (necessary condition) untuk terjadinya separasi. Namun bukan

“syarat cukup” (sufficient condition) untuk terjadinya separasi.

Gambar 6.5. Gaya Angkat dan Gaya Hambat

Airfoil, sudu turbin didesain untuk menghasilkan gaya angkat. Desain aerodinamis mobil

dibuat supaya drag force-nya sekecil mungkin, juga lift force-nya. Ini bertujuan agar mobil

tersebut pada kecepatan tinggi tetap mencengkram tanah. Beberapa desain sudu turbin angin

ditujukan untuk memanfaatkan drag force sebesar mungkin.

Selain untuk membangkitkan energi FD dan FL digunakan untuk memprediksi beban yang

diterima solid body tersebut. Misalnya, beban gaya yang diterima tiang penopang jembatan

dan pipa-pipa kondensor akibat aliran fluida yang melaluinya.

a. Desain Persia b. Desain China

c. Savonious 2 Sudu c. Savonious 3 Sudu

Gambar 6.6. Contoh Sudu Kincir Angin Yang Memanfaatkan Gaya Hambat

FL

FD

FL

FD

An

gin

An

gin

An

gin

An

gin

Gaya hambat terdiri dari:

• Skin friction drag: memiliki arah paralel dengan elemen permukaan.

• Pressure drag: memiliki arah tegak lurus tiap elemen permukaan benda padat.

Non-dimensional parameter of drag:

Drag coefficient, CD =

AV

FD

2

2

1ρ

; (Re)fCD =

CD tergantung bentuk benda padat dan merupakan fungsi bilangan Reynold aliran. Desain

aerodinamis mobil sejak tahun 1920-an sampai sekarang telah mengalami perubahan yang

sangat drastis, dimana koefisien gaya hambatnya dibuat sekecil mungkin. Bodi kendaraan

dibuat se-aerodinamis mungkin. Streamlining body bertujuan untuk mengurangi terjadinya

adverse pressure gradient atau menghindari terjadinya separasi aliran, sehingga pressure drag

menjadi lebih kecil.

Bilangan tak berdimensi berkaitan dengan gaya angkat disebut lift coefficient.

Lift coefficient, CL =

AV

FL

2

2

1ρ

CL = f(Re,α ) α = sudut serang (angle of attack)

Gambar 6.7. Sebuah Airfoil dengan Sudut Serang αααα

Standar desain airfoil mengacu pada NACA (the National Advisory Committee for

Aeronautics)

Stalling: fenomena dimana gaya angkat secara mendadak menurun dan sebaliknya gaya

hambat meningkat dengan cepat akibat semakin besarnya sudut serang. Sebagai contoh airfoil

NACA 662-215 akan mengalami kenaikan gaya angkat jika α diperbesar akan tetapi pada

017≈α gaya angkat akan mengalami penurunan.

R FL

V∞ α

FD

Tekanan tinggi

Tekanan rendah

6.6. Contoh-Contoh Pemanfaatan Gaya Angkat dan Gaya Hambat

Gambar 6.8. Kincir Angin Propeler ini

mengandalkan gaya angkat pada

sudunya untuk mengekstrak energi

angin yang melewatinya.

Sudu Savonious memanfaatkan gaya

hambat untuk mengekstrak energi kinetik

angin yang melewatinya. Sudu Savonious

memiliki self-starting yang sangat baik.

Sudu Darrieus memanfaatkan gaya angkat,

memiliki self-starting buruk tapi bisa

menyimpan inersia jauh lebih baik.

Gambar 6.9. Kincir Angin Darrieus-Savonious.

Memiliki daya mekanis ±±±± 1000 W, jika

kecepatan angin rata-rata 6 m/s.

Made in Teknik Mesin UNUD, 2003.

Arif Budiman, M’96

Catur Hendro, M’97

Gambar 6.10. Mobil Formula 1, dibuat seaerodinamis mungkin dengan koefisien

hambat sekecil-kecilnya.

Kualitas diri seseorang, terlihat dari standar-standar yang ia

tetapkan untuk dirinya sendiri.

-- Ray Kroc --

Di bagian ini didesain supaya menghasilkan downforce sehingga

mobil lebih “mencengkeram” aspal, dan tidak “terbang”.

Bab 4

Aliran Fluida Kompresibel

7.1. Review Termodinamika

Compressible fluid = fluida kompresibel = fluida termampatkan = fluida mampu mampat.

Kompresibel ≈ kerapatan/densitas fluida berubah-ubah.

Kebanyakan gas pada T dan P moderat, berlaku persamaan Gas Ideal :

P = ρ R T

Dimana :

R = konstanta gas

= Ru/Mm

Ru = konstanta gas universal

= 8314 N.m/(Kgmol.K)

Mm = berat molecular gas

•••• Internal energi , u = u (v,T)

du = d ; untuk gas ideal

du = Cv dT ; Cv = Cv (T)

•••• Entalpi , h = u + P/ρ

h = u + RT ; h = h(P,T)

dh =

∂v dT + ∂T v

∂u dv ∂v T

∂u = 0 ∂v T

∂u = Cv ∂v v

∂h dT + ∂T p

∂h dp ∂p T

u2-u1 = Cv (T2 – T1)

h2 – h1 = Cp (T2 – T1)

dh = Cp dT

dh = du + R dT

∴∴∴∴ Cp dT = Cv dT + R dT

Cp = Cv + R ; R = Cp – Cv

Jika k = Cp/Cv , maka :

;

• Entropi , S

atau

Hukum Termodinamika II (ketidaksamaan Clausius) : ∫ ≤ 0T

dQ

Atau

(proses reversibel)

(proses irreversibel)

Untuk proses adiabatik

ds = 0 (proses adiabatik reversibel = isentropis)

ds > 0 (proses adiabatik irreversibel)

•••• Persamaan Gibbs

Cp = k R k-1

Cv = R k-1

∆S = ∫rev δQ

T

dS = δQ T rev

dS ≥ δQ T

TdS ≥ δQ

TdS = δQ dm

TdS > δQ dm

δQ = 0 dm

Tds = du + P dv

= d(h – Pv)+ P dv

= dh - P dv –v dp + P dv

= dh – v dp

Gas ideal

Untuk Cp & Cv konstan :

Untuk proses isentropik :

0 = dv + Pdv = Cv dT + Pdv

0 = dh – v dp = Cp dT – v dp

7.2. Kecepatan Suara

Kecepatan suara merupakan gelombang tekanan dengan kekuatan yang sangat kecil.

Kompresibilitas ( pada aliran kompressibel) sangat penting. Terutama untuk aliran kecepatan

tinggi dan temperatur tinggi. Perubahan tekanan melibatkan pula perubahan tekanan. Untuk

aliran gas, perubahan tekanan secara signifikan dipengaruhi oleh densitas dan temperatur.

Sehingga dalam aliran kompressibel kecepatan suara merupakan acuan yang sangat penting

dalam menggambarkan bagaimana aliran fluida menimbulkan gangguan (dan perubahan)

terhadap keadaan aliran secara menyeluruh.

ds = dv + Pdv = Cv dT + R dv T T T v ds = dh – v dp = Cp dT - R dp T T T p

S2 – S1 = Cv ln T2 + R ln v2 T1 v 1

S2 – S1 = Cp ln T2 - R ln P2 T1 P 1

dT = v dp = - P dv atau Cp Cv

dp + Cp dv = dp + k dv = 0 P Cv v P v

Jika k = konstan

ln P + k ln v = ln C

ln P + ln vk = ln C

pvk = konstan

ρ/ρk = konstan

Karakteristik nondimensional compressible flow →→→→ Bilangan Mach (M)

lokal suarakecepatan

lokalaliran kecepatan ==

c

vM

� Untuk M < 1, tekanan menyebarkan/merambatkan (propagates) gangguan dengan

sebesar kecepatan sebesar kecepatan suara yang lebih besar dari kecepatan alir fluida.

� Jika M > 1, berarti kecepatan alir fluida lebih besar dari perambatan gangguan.

V V + dV

Substitusikan kedua persamaan , maka diperoleh :

ρddp

=2V

Kecepatan perambatan suara : ρddp

C =

Perambatan suara mendekati isentropic : p ρ -k = konstan

ρρpk

d

dp ⋅=

T R p ; kp

C ρρ

==∴

kRTC = → kecepatan suara dalam gas sempurna merupakan fungsi

suhu mutlak saja.

P

ρ A

P + dp

ρ + dρ A

� Persamaan Kontinuitas :

ρVA = (ρ + dρ)(V + dV)A

ρdV + Vdρ = 0

� Persamaan Momentum :

PA – (P + dp)A = ρVA(V + dV – V)

dp = - ρVdA

Gambar 7.1. Aliran Dalam Konduit

7.3. Tipe-Tipe Aliran & Mach Cone

Aliran Subsonik : M < 1

Aliran Supersonik : M > 1

Aliran Transonik : 0,9 ≤ M ≤ 1,2

Perbedaan kualitatif antara subsonik dengan supersonik dapat dideduksikan dari pergerakan

sumber suara. Perhatikan Gambar 4.2. di bawah ini. C = kecepatan perambatan gangguan.

Pada waktu t, posisi gelombang pada posisi awal dari posisi to dinyatakan oleh sebuah

lingkarandengan radius c(t - to) dengan posisi pusat lingkaran sama dengan posisi gangguan

pada to. V = kecepatan sumber.

c∆t

c(2∆t)

c(3∆t)

V(3∆t)

V(2∆t)

V(∆t)

c(3∆t)

c(2∆t)

c∆t

(a) V = 0 (b) V < C

(c) V = C (d) V > C

• • • 3 2 1

3 2 1

Locus of wave fronts

• 3 • 2 •1

V(2∆t)

c(2∆t)

c(3∆t) α

Gambar 7.2. Perambatan Suara

Gambar 7.3. Mach Cone

Berdasarkan kecepatan sumber gangguan, terdapat 4 macam perambatan gangguan:

a. V = 0 , Pola perambatan suara uniform ke semua arah dan konsentrik.

b. 0 < V < C , Pola perambatan tidak konsentrik namun secara individual tetap spheris.

Jika sumber bergerak dengan kecepatan V, polanya seperti Gambar 4.2.b. Pengamat

yang diam mendengar suara yang lebih keras saat sumber mendekat daripada setelah

melewatinya → disebut Efek Dopller.

c. V = C , Posisi sisi terdepan seluruh gelombang berupa bidang datar ⊥ lintasan sumber.

Tidak ada gelombang suara di depan sumber, sehingga pengamat di depan sumber

tidak mendengar sumber suara mendekat.

d. V > C , Posisi sisi terdepan gelombang membentuk sudut (kerucut). Pengamat diam

tidak mendengar sumber suara mendekat.

α = Mach angle

Region inside cone disebut Zone of Action.

Region outside cone disebut Zone of Silence.

=⇒==MM

1sin

1

V

c sin

1-αα

7.4. Keadaan Referensi: Local Isentropic Stagnation Properties

Keadaan fluida pada titi-titik medan aliran dinyatakan dengan 2 sifat intensif termodinamis

(temperatur, T & tekanan, P) dan kecepatan pada titik tersebut.Untuk aliran kompresibel,

“keadaan stagnasi”(stagnation state) digunakan sebagai “reference state”.

Keadaan stagnasi dikarakteristikkan dengan kecepatan nol; dan sifat-sifat stagnasi pada setiap

titik pada medan aliran merupakan sifat-sifat yang diperoleh jika fluida pada titi-titik tersebut

diperlambat dari kondisi lokal ke kecepatan nol melalui proses isentropik (adiabatik &

inside cone:

aware of sound

Outside cone:

unaware of sound •

V>c ; M > 1

frictionless). Perubahan sifat-sifat tersebut dari titik dalam medan aliran memberi informasi

tentang proses aliran antar titik-titik tersebut.

Proses perlambatan hipotetis ditunjukan gambar steam tube volume kontrol di bawah ini :

YA

X

Gambar 7.4. Keadaan Stagnasi

Dengan menerapkan persamaan kontinuitas dan persamaan momentum,maka diperoleh :

120

12

2

11

PRT P ideal Gas ;

22

11

−

−

−+=⇒=

−+=

k

k

k

k

o

kRT

Vk

Pp

Vk

P

Pρ

ρ

Kecepatan sonic, 1

2

2

20

2

11

2

11

−

−+=

−+=⇒=

k

k

Mk

C

Vk

P

PkRTC

Sifat-sifat stagnasi isentropik : k

k

ook

oo

P

P

T

T

P

P11

;

−

=

=

ρρ

Keadaan hipotetis lain yang digunakan sebagai referensi adalah keadaan kritis (critical

condition) dimana kecepatannya adalah sonic, M = 1.

Contohnya keadaan pada penampang aliran yang minimum yaitu pada leher atau (throat).

∴∴∴∴Local isentropic stagnation properties:

−+=

−+= 2

2

11 ;

1-k

k

2

2

11 M

k

T

oTM

k

P

oP

11

2

2

11

−−+=

k

Mko

ρ

ρ

�

ρ + dρ Vx + d Vx

A + dA

P + dp

T + dT

ρ Vx

A

P

T

V = 0

P = Po→Tekanan

Stagnasi

T = To→Temperatur

Stagnasi

1 0

Volume kontrol

Aliran y

x �

dx

Keadaan kritis ditandai dengan (*) →

Jika M = 1 ; V* = C*

Sifat-sifat stagnasi isentropik menjadi (k = 1,4)

577.12

11

2.12

11

893.12

11

1

1

1

=

−+=

=−

+=

=

−+=

−

∗

∗

∗

∗

−

∗

∗

ko

o

k

k

o

k

k

T

T

k

P

P

ρρ

Ideal gas:

1

2

1

2

2/)1(1

*

*

**

*

**

+==

⋅+

=−+

=

==

∗

∗

k

kRTCV

Tkk

TT

VkRTC

o

oo

7.5. Aliran Fluida Kompresibel 1-Dimensi

Sifat-sifat fluida dalam aliran kompresibel dipengaruhi oleh :

- Perubahan luas penampang

- Friksi

- Heat transfer

- Normal shock.

Semua kegagalan berasal dari orang yang suka mengeluh dan

mempunyai kebiasaan membuat alasan.

-- George Washington Carver --

Po* = Critical stagnation pressure

P* = Critical pressure

7.5.1 Persamaan aliran isentropik

Y

X

Gambar 7.5. Volume Kontrol Untuk Aliran Isentropik Dalam Saluran

� Persamaan kontinuitas : ρ1 V1 A1 = ρ2 V2 A2 = ρ V A = m& = konstan

� Persamaan momentum : Rx + P1 A1 – P2 A2 = m& V2 - m& V1

� Hukum Termodinamika I: tan

222

22

22

2

11 kons

Vh

Vh

Vh =+=+=+

2

2

0

Vhh +=

� Hukum Termodinamika II: S2 = S1 = S = konstan

� Persamaan keadaan : h = h(s,p)

ρ = ρ(s,p)

Gambar 7.6. Aliran Isentropik Pada Diagram h – s (Entalpi-Entropi)

Jika seluruh sifat pada keadaan � diketahui terdapat 7 variabel yang harus dihitung dari

keenam persaman diatas. Karena sifat S1 = S2 maka terdapat 6 variabel (P2, A2, ρ2, h2, V2, dan

Rx) dari 5 persamaan, sehingga salah satu variabel harus diasumsikan.

T2

P2

ρ2 A2

V2

T1

P1

ρ1 A1

V1

Rx = Komponen x gaya permukaan

yang bekerja pada volume kontrol.

Aliran

Kontrol volume untuk

aliran isentropik.

Rx

h = h3

����

����

����

h

s

h0 = konstan

p = p2

Keadaan awal

s=s1= konstan

h

s

h0

h

p0

Ek

Etotal

Sifat-sifat stagnasi sama di

semua titik (aliran

isentropik).

Ek per unit massa = h – h0

7.5.2. Pengaruh perubahan luas penampang terhadap sifat-sifat aliran isentropik

Efek perubahan kecepatan terhadap kecepatan dan tekanan dinyatakan oleh persamaan

berikut: [ ]21 MV

dV

A

dA−

−=

Rezim Aliran Nozzle Diffuser

dp < 0 dp > 0

dV > 0 dV < 0

Jika M = 1 maka 0=dV

dA , secara matematis hal ini berarti A bernilai minimum atau

maksimum. Dalam aliran kompresibel M = 1 terjadi pada “throat” dimana luasan A minimum.

� Untuk mempercepat aliran ke M > 1 , pada bagian hulu digunakan “subsonic converging

nozzle”; M =1 pada area minimum (throat); kemudian untuk mendapatkan M > 1

digunakan “supersonic diverging nozzle”.

� Untuk memperlambat aliran dari M > 1 digunakan desain saluran yang sebaliknya:

“supersonic converging diffuser”-“throat”-“subsonic diverging diffuser”. Luasan throat

lebih besar dari yang dibutuhkan untuk mencapai M = 1 akibat terjadinya “adverse

pressure gradient”. Pada sisi “diverging diffuser” akan terjadi “normal shock” yang

menyebabkan entropi meningkat (aliran tidak isentropik).

Subsonic

M < 1

Supersonic

M < 1

7.5.3. Aliran isentropik gas ideal

Persamaan Dasar:

� Kontinuitas mVAAVAV &=== ρρρ 222111

� Momentum 122211 VmVmAPAPR x&& −=−+

� Hukum Termodinamika I 222

22

22

2

11

Vh

Vh

Vh +=+=+

� Hukum Termodinamika II SSS == 21

� Persamaan Keadaan RTP ρ=

� Proses isentropik tankonsPk

=ρ

( ) ( )1212 TTCpTCphhh −=∆=−=∆

Kondisi Referensi Aliran Isentropik Gas Ideal

Kondisi-kondisi referensi aliran isentropik gas ideal dinyatakan sebagai tekanan stagnasi,

temperature stagnasi, densitas stagnasi, tekanan kritis, temperature kritis, densitas kritis, serta

kecepatan kritis.

Luasan penampang kritis A* dimana M =1 dinyatakan sbb:

)1(2

)1(

2

2

11

2

11

1

−

+

∗

−+

−+

=

k

k

k

Mk

MA

A

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

4

0 0,5 1 1,5 2

Gambar 7.7. Variasi A/A* Terhadap M (k=1,4)

7.5.4. Aliran isentropik dalam converging nozzle

Gambar 7.8. Aliran Isentropik Dalam Converging Nozzle

Keterangan:

(i) Katup tertutup, tak ada aliran, tekanan stagnasi (Po) berlaku pada seluruh bagian.

(ii) Pb diturunkan dengan membuka katup, terjadi penurunan tekanan ke arah hilir.

∗A

A

Terdapat 2 katagori M untuk A/A* > 1

Hal ini konsisten dengan pembahasan

sebelumnya: untuk mempercepat aliran

dari subsonic ke supersonic diperlukan

desain saluran “converging-diverging”

dengan throat yang berpenampang

minimum.

1.0 Pb/Pa 0 oPP /

∗

m&

Pb = back pressure

Pe = P pada exit nozzle

1.0 Pb/Pa

oe PP /

oPP /∗

oPP /∗

1.0

Po

To

Vo = 0

Aliran

Pb

Pe

Ke

pompa

vakum

Katup

i ii

iii

iv

v

Regime 1

Regime 1

Throat X

0

1.0

P/Po

P*/Po

(iii) Sama dengan (ii), flow rate meningkat.

(iv) Pb diturunkan lagi, M = 1, terjadi P kritis (P*) ; Pb/Pa = oPP /∗

(v) Pb < P* tidak ada perubahan keadaan aliran sama sekali (nozzle dikatakan dalam

keadaan “dicekik “ = choked).

� Rezim I : 1 ≥ Pb/Po ≥ P*/Po , aliran menuju throat isentropik; Pe = Pb

� Rezim II : Pb/Po < P*/Po , aliran menuju throat isentropik. Ekspansi isentropik terjadi

pada aliran meninggalkan nozzle; Pe = P* > Pb .

Gambar 7.9. Diagram T- s UntukRezim II Aliran Dalam Converging Nozzle

� Untuk kasus (ii) dan (iii) , Pb > P* ; Pe = Pb, ekspansi mulus / halus, tapi kecepatan gas

dan gaya dorong masih di bawah desain katup.

� Untuk kasus (iv) , Pb = Pe, ekspansi mulus / halus, Pe = P* , gaya dorong dan kecepatan

bernilai maksimum. Laju alir massa maksimum. “Nozzle is Choked”.

� Untuk kasus (v) , Pb < P* ; Pe = P*. Gaya dorong dan kecepatan maksimum, tapi sedikit

di belakang outlet nozzle terjadi penurunan tekanan mendadak dari Pe ke Pb. Akibatnya

energi terbuang dalam turbulensi. Keadaan ini disebut “shock” dan sangat tidak

diinginkan.

� Analisis di atas sangat penting karena pada engine pesawat, Pb akan semakin kecil jika

ketinggian terbang pesawat ditambah.

T

s

T0

T*

p0

p*

s = konstan

s ≠ konstan

Pb < p*

Nozzle exit plane

7.5.5. Aliran isentropik dalam converging-diverging nozzle

Gambar 7.10. Aliran Dalam Converging-Diverging Nozzle

Keterangan:

(i) Katup terbuka sedikit, jika flow rate kecil aliran incompressible & subsonic.

Converging-Diverging nozzle = Venturi.

(ii) Bukaan katup diperbesar → compressible dan subsonic.

(iii) Bukaan katup diperbesar. M = 1 pada throat, flowrate maksimum (nozzle dalam keadaan

dicekik). *** AVPm =&

(iv) Pb diturunkan lagi, terjadi akselerasi isentropik pada bagian diverging nozzle. Jadi ada

dua kemungkinan kondisi aliran isentropik pada C-D nozzle (lihat Gambar 4.7. A*/A vs

M).

(v) Pbv < Pbiv ; tidak ada perubahan kondisi aliran. Nozzle beroperasi “Under expanded”

Jika Pb =Piv , disebut “Design Conditions”. Desain C-D nozzle digunakan pada ruang bakar

turbin gas untuk mendapatkan gaya dorong maksimum.

Jika Piii > Pb > Pib = over expanded, karena tekanan pada nozzle < Pb. Untuk mengatasinya

panjang diverging section harus dikurangi.

� Untuk kasus (iv) Pb = P(iv) , ekspansi mulus /halus /smooth , Pe = Pb terjadi “supersonic

jet” , P* = Pt , Nozzle is choked.

� Untuk kasus (v) Pb < P(iv) , Pe = P(iv) , ekspansi smooth , terjadi supersonic jet , P* = Pt ,

Nozzle is choked. Terjadi shock akibat penurunan tekanan mendadak. Energi terbuang

dalam turbulensi.

Pb

Pe

Po

To

Vo = 0

Aliran

Ke

pompa

vakum

Katup

Throat

M = 1

0 X

1.0

P/Po

P*/Po

Me < 1

Me > 1

i ii iii

iv

v

7.6. Aliran Dalam Saluran Berpenampang Konstan Dengan Gaya Gesek

Persamaan dasar untuk aliran adiabatis dijelaskan di bawah ini. Asusmsi adiabatis dapat

diterima dengan catatan saluran cukup pendek.

Persamaan kontinuitas : A

mGVV

&=== 2211 ρρ

Persamaan momentum : 1221 VmVmApApRx&& −=−+

Hukum Termodinamika I :

)(adiabatis

22

0201

2

22

2

11

hh

Vh

Vh

=

+=+

Hukum Termodinamika II : 1

2

1

221

p

pln

T

Tln RCpss −=−

Persamaan keadaan : RTp ρ=

Perubahan entalpi : )T(T 1212 −=−=∆ Cphhh

Terdapat 6 persamaan dengan 7 variable unknown. Jika semua keadaan � diketahui; T2

diasumsikan, maka sifat-sifat � dan Rx dapat diketahui. Semua kondisi aliran adiabatik (arah

hilir) yang mungkin dinyatakan dengan Garis Fanno.

� Efek friksi pada aliran subsonic: meningkatkan M menuju M = 1 dan mengurangi Local

isentropic stagnation pressure (P02 < P01).

� Efek friksi pada aliran supersonic: menurunkan M menuju M = 1 dan mengurangi Local

isentropic stagnation pressure (P02’ < P01’).

Rx

T2

ρ2 P2 V2

T1

ρ1 P1 V1

X

Y

Aliran

� �

Gambar 7.11. Garis Fanno: Aliran Adiabatis Gambar 7.12. Pengurangan Tekanan Isentropik

Dengan Gesekan Stagnasi Lokal Akibat Gesekan

Pada Garis Fanno To = konstan; dan karena s2 – s1 > 0 maka dalam Diagram T – s aliran selalu

ke arah kanan.

7.7. Aliran Dalam Saluran Berpenampang Konstan Dengan Pertukaran

Kalor

a. Persamaan kontinuitas : A

mGVV

&=== 2211 ρρ

b. Persamaan momentum : 2

222

2

111

1221

VpVp

VmVmApAp

ρρ +=+

−=− &&

c. Hk. Thermo I :

- m

Q

22

0102

2

22

2

11

hh

Vh

Vh

m

Q

=

+=+

δ

δ

d. Hk. Thermo II : 1

2

1

221

p

pln

T

Tln RCpss −=−

e. Persamaan keadaan : RTp ρ=

f. Perubahan entalpi : )T(T 1212 −=−=∆ Cphhh

M = 1

M < 1

M > 1

1

1’

T

s

1’

T

s

M = 1

M < 1

M > 1

1

2’

2

Po1 = Po1’ Po2 = Po2’

Aliran P1

ρ1 V1

P2

ρ2 V2

� �

dm

Qδ

Gambar 7.13. Garis Rayleigh

~ T max terjadi pada M = k

1.

~ S max terjadi pada M = 1.

~ S naik akibat heating dan turun akibat cooling.

~ Pada M = k

1 dan M >1, T naik akibat heating dan turun akibat cooling.

~ Pada k

1 < M < 1, penambahan kalor menyebabkan T turun dan pembuangan panas

menyebabkan T naik.

~ Local isentropic stagnation pressure selalu turun akibat heating. Pengurangan Po

menghasilkan akibat yang nyata untuk proses heating (misalnya dalam ruang bakar).

Penambahan δQ/dm yang sama (pada perubahan To) mengakibatkan perubahan Po yang

lebih besar untuk supersonic flow, karena heating pada T rendah menyebabkan perubahan

entropi yang besar.

Percayalah bahwa anda kalah, tidak perlu terlalu lama, dan hal itu

akan segera menjadi kenyataan.

-- Norman Vincent Peale --

T

s

M = 1 M < 1

M > 1

M = k

1

Cooling

Cooling

Heating

Heating

Terdapat 6 persamaan dengan 7 variabel

unknown. Jika seluruh variable � diketahui

dan T2 diasumsikan, maka seluruh variabel �

dan δQ/dm dapat dihitung. Seluruh keadaan

yang mungkin, dalam T-S diagram disebut

Rayleigh Line.

7.8. Normal Shock (Gelombang Kejut Normal/Tegak Lurus)

Normal shock: diskontinuitas irreversible dalam sifat-sifat fluida, terjadi pada aliran

supersonic. Ketebalan gelombang kejut ini ≈ 0,2 µm. Dalam ketebalan yang sangat kecil

tersebut terjadi perubahan yang sangat besar terhadap tekanan, temperatur,dan sifat yang

lainnya.

Persamaan dasar untuk gelombang kejut:

Gambar 7.14. Volume Kontrol Untuk Gelombang Kejut Normal

a. Persamaan kontinuitas : A

mGVV

&=== 2211 ρρ

b. Persamaan momentum : 2

222

2

111

221

VpVp

VmApAp

ρρ +=+

=− &

c. Hukum Termodinamika I :

22

0102

2

22

2

11

hh

Vh

Vh

=

+=+

d. Hukum Termodinamika II : 1

2

1

221

p

pln

T

Tln RCpss −=−

e. Persamaan keadaan : RTp ρ=

f. Perubahan entalpi : )T(T 1212 −=−=∆ Cphhh

∴∴∴∴Terdapat 6 persamaan dengan 6 variabel unknown.

Asumsikan kondisi � diketahui. Aliran melalui normal shock memenuhi enam persamaan di

atas. Garis Fanno memenuhi semua persamaan kecuali b. Garis Rayleigh memenuhi semua

persamaan kecuali c.

Jadi garis aliran melalui normal shock adalah titik-titik yang memenuhi Garis Fanno dan

Garis Rayleigh (Lihat gambar di bawah ini).

T1

P1

V1

T2

P2

V2

� �

y

x

CV

Aliran

Gambar 7.15. Normal Shock Pada Diagram T - s

� Arah proses / aliran harus memenuhi Hukum Termodinamika II (S2 < S1).

� Normal shock hanya terjadi pada aliran yang pada keadaan awalnya supersonic (aliran

berubah dari supersonic ke subsonic)

Aliran Supersonic Dengan gelombang Kejut

Supersonic flow merupakan “syarat perlu” untuk terjadinya normal shock. Tapi kadang-

kadang shock ‘harus’ terjadi untuk menyesuaikan dengan tekanan hilir. Semakin kuat shock,

semakin besar penurunan Po. Sangatlah penting untuk mengetahui lokasi terjadinya shock

untuk mendapatkan performa supersonic channel yang acceptable.

Seseorang yang bahagia bukanlah seseorang yang berada dalam

situasi yang serba pasti; tapi lebih pada seseorang yang mempunyai

sikap yang serba pasti.

-- Hugh Downs --

T

s

M = 1

M = 1

Fanno Line

Rayleigh Line

�

�

P1

�

T

s

s2 – s1

To1 = To2 Po1 Po2

P2 T2

T1

�

Gambar 7.16. Distribusi Tekanan Aliran Converging-Diverging Nozzle Dengan Shock

Terdapat 4 rezim aliran :

1. Rezim I; kondisi aliran subsonic di seluruh bagian. Flow rate meningkat sebanding

dengan penurunan Pb. Pada kondisi iii, Mt = 1

2. Rezim II; jika Pb diturunkan di bawah iii, terjadi normal shock pada arah hilir throat.

Terjadi kenaikan tekanan dan perlambatan aliran (M<1 di belakang shock) saat aliran

melintasi shock. Pada rezim I dan II exit flow dalam keadaan subsonic, sehingga Pe = Pb.

3. Rezim III; Pb > Pe (lihat viii) tapi tidak cukup tinggi untuk menahan terjadinya normal

shock. Oblique shock (shock dengan arah miring) terjadi di luar nozzle, menuju Pb.

Prediksi matematis oblique shock tidak bisa dilakukan dengan teori 1-D.

4. Rezim IV; aliran bergerak menju Pb yang lebih rendah melalui oblique expansion waves

di luar nozzle.

Pb

Pe

Po To

Vo = 0

Aliran

Ke

pompa

vakum

Katup

M = 1

0 X

1.0

P/Po

P*/Po

Me < 1

Me > 1

i ii iii

iv

v

Throat

vi

vii viii

Regime I

Regime II

Regime III

Regime IV

Gambar 7.17. Diagram T-s Aliran Dalam C-D Nozzle Dengan Shock

� Entropi meningkat akibat shock, T* = C ; P2* < P1

* ; *** / RTP=ρ berkurang pada arah

hilir. Aliran subsonic pada arah hilir meninggalkan nozzle pada tekanan Pb; jadi Pb = Pe.

*

202

*

2

*

1

0201

02

020101 A

A

A

A

P

P

A

A

P

P

P

P

P

P

P

P

P

P e

e

teebeb ××=×=×==

01P

Pb ⇒ parameter yang diketahui ; e

t

A

A = geometri nozzle

02P

Pe ⇒ Rumus 0P

P

*

2A

Ae ⇒ Rumus*A

A

Gelombang kejut (shock) pada dasarnya adalah kerugian aliran (≈dissipasi energi aliran)

akibat adverse pressure gradient, sehingga energi/daya yang diperlukan untuk mengalirkan

fluida kompresibel tersebut menjadi lebih besar.

Aplikasinya antara lain pada aliran gas dalam pipa; desain C-D nozzle ruang bakar (turbin gas

pada mesin pesawat), nosel untuk turbin uap; dan terowongan angin wind tunnel.

Contoh: Nozzle pada turbo jet engine pesawat.

Po

To

Vo = 0

� � e P1

�

T

s

s2 – s1

To = C Po1 Po2

P2 T2

T1

� Te

Pe

T* = C P2* P1*

Udara

Combustors

Kompresor Turbin Gas

Inlet Throat Outlet

Nozzle

Gas

Rasio Tekanan Kritis

Jika tekanan inlet nozzle, P1 dijaga konstan dan tekanan throat Pt perlahan-lahan dikurangi,

kecepatan pada throat akan meningkat menuju kecepatan sonic, yang merupakan kecepatan

maksimum pada throat. Pada keadaan ini Pt disebut tekanan kritis Pc ; Laju alir massa melalui

throat maksimum, nozzle dikatakan “tercekik”(choked).

1

21

2

11

−

−+=

k

k

t

Mk

P

P

1

1 1

2 −

+

=k

k

c

kP

P

Contoh Soal.

Di dalam suatu model roket, gas hasil pembakaran masuk convergent-nozzle tekanan 2 bar dan

temperatur 1500 οC; ekspnsi terjadi secara isentropik. Hitung tekanan throat untuk

mendapatkan “maxsimum discharge”. Jika diameter throat 10 mm, berapa gaya dorong yang

dihasilkan roket tersebut?

Data Cp = 1150 J/Kg ; Cv = 865 J/Kg

2551

1 /1008.154,01021

2mN

kPP

k

k

c ×=××=

+

=∴−

Untuk mendapatkan maximum discharge , 25

tc /1008,1 P P mN×==

d2 = 10 mm

P2 = ?

V2 = ?

⇒⇒⇒⇒ M = 1

Pt = Pc

k = index ekspansi

= 1,4 untuk udara

= 1,3 untuk superheated steam

= 1,13 untuk saturated steam

P1= 2 bar

t1 = 1500oC

V1= 0 Fuel

Oxygen

33,1/

01,0d

....?V ; 0

17732731500

/102

2

21

1

25

1

==

=

==

=+=

×=

CvCpk

V

KT

mNP

N 11,37610,0149

)(Vm

momentumperubahan laju dorong Gaya

/0149,01521285

06,0101.08 m

/2858651150 R

/06,04

01.0761V

Pm

/10289,8 m/s 761

1521)-1150(1773 02898002

)( )(2V

22h V Menghitung

15212

08,11773

1T

isentropikhitungan n Berdasarka

12

5

32

222

2

22

3

2121

2

1212

2

22

2

112

33,1

133,1

1

212

=×=

−=

=

=×

××=

⋅=−=−=

=⋅

⋅=⋅=→=

×==

=+×=

−=∆=−⇒+−=

+=

+=∴

=

=−

=

∴−

V

sKg

KKgJCvCp

smAVRT

V

KgJ

TTCphhhVhh

Vh

V

Kk

k

P

PT

&

&

&&π

Contoh-Contoh Soal Bab IV.

1. 5 Kg udara pada tekanan 10 bar berekspansi secara isothermal menuju tekanan 2 bar,

kemudian ditekan kembali pada tekanan awalnya memenuhi persamaan politropik PV1.3 =

konstan. Cp = 1005 J/Kg ; Cv = 718 J/Kg. Hitung perubahan entropi selama menjalani 2

proses tersebut.

Data : P1 = 10 bar T1 = T2 (isothermal)

P2 = 2 bar m = 5 Kg

P3 = P1 = 10 bar n = 1,3

S1 S3 S2 S S

1-2 : Isoterm (T = konstan)

2-3 : Politropik (grafik lebih curam)

KJ/Kg 462

10

2ln 287-0

P

Pln

T

Tln

1

2

1

212

⋅=

=

−=− RCpSS

KJ/Kg -89

P

Pln

T

Tln

2

3

2

332

⋅=

−=− RCpSS

( ) ( )

J/K 1865

KJ/Kg 3735

udara Kg 5 K J/Kg 373

13

321213

=

⋅×=−

⇒⋅=

−−−=−∴

SS

SSSSSS

2. Dalam sebuah turbin, uap pada 10 bar dan 500 oC memasuki convergent-divergent nozzle

dan diekspansikan secara isentropik ke tekanan 0,2 bar. Laju alir massa uap 100 kg/h.

hitung kecepatan pada throat dan sisi exit nozzle. Hitung juga diameter exit nozzle [data

tambahan: k = 1,3 ; keadaan uap panas lanjut h1 = 3480 kJ/kg ; hthroat = 3275 kJ/kg ; h2 =

2560 kJ/kg ; fraksi uap X2 = 0,98 , volume specifik pada sisi exit V2 = 7,648 m3/kg].

S2 = S3 S1 = S2

T P

P2 P1 = P3

3

2

2

2 1

1

1,45

2

10

T

T

Politropik Proses

3,1

13,11

2

3

2

3

=

=

=

−−

n

n

P

P

Convergent-divergent nozzle.

P1 = 10 bar

bar 5,45

1

2 1

1

=

+

=+k

k

throatn

PP

T1 =773 K Tthroat = …..?

kg/h 100=m&

......m/s

)(2

......m/s

)(2

2

1212

2

11

=

+−=

=

+−=

VhhV

VhhV throatthroat

volume spesifik pada sisi 2 :

kgVgV /m 5,798,0 3

22 ≈×=&

Laju alir massa 2

22

V

VAm

&&

×=

[ ] [ ][ ] [ ]skg

kgm

smskg /

/

//

3

3 ==

A2 = ……. m2 ⇒ ¼ πD2

2

D2 = ……. mm

3. Gas hasil pembakaran memasuki nozzle mesin jet pada 3,8 bar dan 820 oC. Nozzle

terisolasi sempurna (proses adiabatik), gas berekspansi ke 1,1 bar ; Cp=1150 J/Kg ; k = n

= 1,32. hitung temperatur dan kecepatan gas pada sisi exit nozzle, dengan asumsi

kecepatan pada sisi inlet dapat diabaikan !

2 1

→ V1 ≈ 0

→ jika h throat tidak tersedia datanya

dalam soal maka harus dicari dalam

tabel thermodinamika, berdasarkan

nilai Pthroat & Tthroat.

P1 = 3,8 bar

t1 = 820 oC = 1093 K

V1= 0

m/s 808

(22

1212

=

+−= VhhV

Soal-Soal.

1. 5 kg udara dalam sistem tertutup berekspansi secara reversibel dengan entropi konstan dari

300 kPa (abs), 60oC, menuju 150 kPa (abs). Hitung temperatur pada akhir proses ekspansi.

Tunjukkan titik-titik proses tersebut dalam diagram T-s. [T = 273 K]

2. Udara diekspansi dalam aliran steadi melalui sebuah turbin. Kondisi awalnya 1300oC dan

2.0 Mpa (abs). Kondisi akhir proses 500oC dan tekanan atmosferik. Tunjukkan proses

tersebut pada Diagram T-s. Hitung perubahan ebergi dalam, entalpi dan entropi proses

tersebut. [∆u = -574 kJ/kg; ∆h = -803 kJ/kg; ∆s = 143 J/(K.kg)]

3. Gas hasil pembakaran memasuki convergent nozzle mesin jet pada 3.8 bar dan 820oC.

Nozzle terisolasi sempurna (proses adiabatis), gas berekspansi ke 1.1 bar. Cp=1150 J/kg.K;

Cv=865 J/kg.K, asumsikan proses yang terjadi isentropis (k=1.4).

a. Hitung Temperatur dan kecepatan gas pada sisi exit nozzle, dengan asumsi

kecepatan pada sisi inlet dapat diabaikan.

b. Jika diameter sisi exit nozzle sebesar 11 mm, hitung besarnya gaya dorong yang

terjadi.

1 2 P2 = 1,1 bar

V2 = …?

T2 = …?

Proses ekspansi politropik

K 809,3

1

1

212

=

=

−

k

k

P

PTT

h1= Cp T1

= 12,7.10

5 J/Kg

h2 = 9,307.10

5 J/Kg

Jika engkau menutup pintumu dari semua kesalahan, maka

kebenaran-pun akan ikut terhalang masuk.

-- Rabindranath Tagore --